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Unidade I
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Profa. Isabel Espinosa
Cálculo integralCálculo integral
Estudaremos nesta disciplina:
 Derivadas.
 Integral indefinida.
 Integrais imediatas, substituição e partes.
 Integral de Rieman.
 Teorema fundamental do cálculo.
 Aplicações de integrais.
 Software Maxima.
DerivadasDerivadas
Calcular as derivadas utilizando as regras:
a) f(x) = 5 x – 100
Regras: (k.x)’= k
(k)’ = 0
f’(x) = (5 x )’ – (100 )’
(k) 0
f’(x) = 5 (x )’ – (100 )’
f’(x) = 5 – 0 
f’(x) = 5 
DerivadasDerivadas
b) f(x) = –15 x3 + 3 x –2
Regras: (k xn)’ = k n xn–1
f’(x) = (–15 x3)’ + (3 x–2)’
Regras: (k.xn)’ = k . n. xn–1
f’(x) = –15 ( x3)’ + 3 (x–2)’
f’(x) = –15 . 3 . x3 – 1 + 3 . (–2) . X–2 – 1
f’(x) = –45 x2 – 6 x–3
DerivadasDerivadas
c) f(x) = x1/2 + sen x
Regras: (xn)’ = n xn – 1Regras: (x ) = n. x
(sen x)’ = cos x
f’(x) = ( x1/2)’ + (sen x)’
1f’(x) = x –1/2 + cos x
2
f (x) = x + cos x
DerivadasDerivadas
d) f(x) = x1/4 + 7 x2
Regra: (xn)’ = n xn – 1
f’(x) = (x1/4 )’ + (7 x2)’
Regra: (x ) = n. x
f’(x) = (x1/4 )’ + 7 ( x2)’
f’(x) = x1/4 – 1 + 7 . 2 x2 – 1 1f (x) x 7 . 2 x
4
f’(x) = x–3/4 + 14 x1
44
DerivadasDerivadas
e) f(x) = 3 Ln x + 7 x2
Regras: (xn)’ = n. xn – 1g ( )
1
x
Ln x = 
f’(x) = (3 Ln x)’+ (7 x2)’
f’(x) = 3 (Ln x)’+ 7 (x2)’
f’(x) = 3 + 7 . 2 x2 – 1 1
x
f’(x) = + 14 x3
x
DerivadasDerivadas
f) f(x) = 3 ex + cos x
Regras: (k ex)’ = k exRegras: (k . ex) = k . ex
(cos x)’ = –sen x
f’(x) = (3 ex)’ + (cos x)’
f’(x) = 3 (ex)’ + (cos x)’
f’(x) = 3 ex – sen x
DerivadasDerivadas
g) f(x) = 3 ex . x2
Regra: (u v)’ = u’ v + u v’
f’(x) = (3 ex)’ . x2 + 3 ex . (x2)’
Regra: (u . v) = u . v + u . v
f’(x) = 3 ex . x2 + 3 ex . (2 x2 – 1)
f’(x) = 3 ex . x2 + 3 ex . 2 x
f’(x) = 3 ex . x2 + 6 ex. x
ou
f’(x) = 3 ex ( x2 + 2 x)
DerivadasDerivadas
h) f(x) = 3 x 4 . cos x
Regra: (u v)’ = u’ v + u v’
f’(x) = (3 x4)’ . cosx + 3 x4 . (cosx)’
Regra: (u . v) u . v + u . v
f’(x) = 3.4. x4 – 1 . cosx + 3 x4 . (–senx)
f’(x) = 12. x3. cosx – 3 x4 . senx
DerivadasDerivadas
2 + 4 x3
1 – x2
f(x) =
(2 + 4 x3 )’.(1 – x2) – (2 + 4x3). (1 – x2)’
(1 – x2)2
f’(x) =
DerivadasDerivadas
(0 + 12 x2 ).(1- x2) – (2 + 4x3). (0- 2x) 
(1 – x2) 2
f’(x) =
12 x2.(1- x2) – (2 + 4x3). (- 2x) 
(1 – x2) 2
f’(x) =
(1 – x ) 
12 x2 (1- x2) + (2 + 4x3) 2xf ( ) 12 x .(1- x ) + (2 + 4x ). 2x 
(1 – x2) 2
f’(x) =
DerivadasDerivadas
j) sen x
3 x3
f(x) =
Regra:
u’ . v – u . v’ 
v2
u ’
v =
(sen x)’ (3 x3) (sen x) (3 x3)’
vv 
(sen x)’.(3 x3) – (sen x). (3 x3)’ 
(3 x3) 2
f’(x) =
DerivadasDerivadas
(cos x ).(3 x3) – (sen x). (3 . 3 x2) 
(3 x3)2
f’(x) =
cos x .(3 x3) – (sen x). 9 x2 
(3 x3)2
f’(x) =
3 x3 cos x - 9x2 (sen x)f ( )
(3 x )
3 x . cos x - 9x (sen x) 
(3 x3)2
f’(x) =
InteratividadeInteratividade 
A derivada da função f(x) = 5 x2 + sen x é igual a:
a) f’(x) = 5 x – cos x
b) f’(x) = 5 + cos x
c) f’(x) = 10 x + cos x
d) f’(x) = 2 x + sen x
e) f’(x) = 10 – cos x 
DerivadasDerivadas
Função composta
a) f(x) = (x3 – 5 x2 + x– 1)10
u
( un)’ = n . un – 1 . u’
DerivadasDerivadas
(u n)’ = n . un – 1 . u’
f(x) = (x3 – 5 x2 + x– 1)10
u
f’(x) = 10.(x3 – 5x2 + x–1)10–1. ((x3 – 5x2 + x–1))’
f’(x) = 10 (x3 – 5x2 + x–1)10–1 (3x2 –10x – 1 x–2)f (x) = 10.(x 5x + x ) .(3x 10x 1 x )
f’(x) = 10 . (x3 – 5x2 + x–1)9 . (3x2 – 10x – x–2)
DerivadasDerivadas
i t é
b) f(x) = √x4 + 4 x3 – x 2
u
isto é:
f(x) = (x4 + 4 x3 – x2)1/2
( )’ 1 ’(un)’ = n . un – 1 . u’
DerivadasDerivadas
f(x) = (x4 + 4 x3 – x2)½
f’( ) ( 4 4 3 2)½ 1 ( 4 4 3 2)’
1
f’(x) = .(x4 + 4x3–x2)½ – 1.(x4 + 4 x3 – x2)’
f’( ) ( 4 4 3 2)½ 1 (4 3 12 2 2 )
2
1
f’(x) = .(x4 + 4x3–x2)½ – 1. (4x3 + 12x2 – 2x)
f’( ) ( 4 4 3 2) ½ (4 3 12 2 2 )
1
2
f’(x) = .(x4 + 4x3 – x2)–½ .(4x3 + 12x2 – 2x)2
DerivadasDerivadas
c) f(x) = sen (5 x + 8)
( )’ ’
f’(x) = (5 x + 8)’ . cos (5 x + 8)
(sen u)’ = u’ . cos u
f (x) (5 x + 8) . cos (5 x + 8)
f’(x) = 5 . cos (5 x + 8)
DerivadasDerivadas
d) f(x) = e2x + 3
(eu)’ = u’ eu
f’(x) = (2 x + 3)’ . e2x + 3
(e ) = u . e
( ) ( )
f’(x) = 2 . e2x + 3
DerivadasDerivadas
e) f(x) = Ln (x2 + 2 x)
(Ln u)’ = u’ . 1
u
f’(x) = (x2 + 2 x)’ . 1
x2 + 2 x
f’(x) = (2x + 2) . 1
x2 + 2 x
DerivadasDerivadas
f) f(x) = e3x – 2 + cos (2 x)
(cos u)’ = u’ . (-sen u)( ) ( )
(eu)’ = eu . u’
f’(x) = (3x – 2)’ .e3x – 2 + (2x)’ . (-sen (2 x))
f’(x) = (3 – 0) . e3x – 2 + (2) . (–sen (2 x))f (x) (3 0) . e + (2) . ( sen (2 x))
f’(x) = 3 .e3x – 2 – 2 . sen (2 x)
DerivadasDerivadas
g) f(x) = sen x . e4x
(eu)’ = u’ . eu
(sen x)’ = cos x
(u . v)’ = u’ . v + u . v’
f’(x) = (sen x)’ . e4x + sen x . (e4x)’ 
f’(x) = (cos x) . e4x + sen x . (4 . e4x)( ) ( ) ( )
f’(x) = e4x cos x + 4 . e4x . sen x
DerivadasDerivadas
h) f(x) = Ln (x2 + 2 x)
1(Ln u)’ = u’ . 1u
1f’(x) = (x2 + 2 x)’ . 1
x2 + 2 x
1f’(x) = (2x + 2) . 1
x2 + 2 x
InteratividadeInteratividade
A derivada da função f(x) = e–3x é:
a) f’(x) = 3 e–3x
b) f’(x) = - 3 e–3x
c) f’(x) = e–3x
d) f’(x) = 3 e–x
e) f’(x) = 3 e3x
Integral indefinidaIntegral indefinida 
Queremos determinar uma função conhecendo a sua derivada.
Primitiva de f(x) é uma função F(x), tal que
F’(x) = f(x) 
Integral indefinidaIntegral indefinida 
Exemplos:
a) f(x) = 2 x + 1 
F1(x) = x2 + x 
F2(x) = x2 + x + 1
F3(x) = x2 + x – 5
F(x) = x2 + x + c, em que c é uma constante.
Integral indefinidaIntegral indefinida 
b) f(x) = cos x
F1(x) = sen x
F2(x) = sen x + 10
F3(x) = sen x – 2
F(x) = sen x + c, em que c é uma constante.
Integral indefinidaIntegral indefinida 

Integral indefinida
 f(x) dx = F(x) + c 
Integrando primitiva de fIntegrando primitiva de f
Lê-se: a integral de f(x) dx é F(x) 
Integral indefinidaIntegral indefinida 
Integrais imediatas (utilizando tabela de integrais)
 5 dx1)
K dx = K x + c
 5 dx = 5 x + c 5 dx = 5 x + c 
Integral indefinidaIntegral indefinida 
2)  – dx13
k dx = k x + c
Integral indefinidaIntegral indefinida 
3)
Integral indefinidaIntegral indefinida 
4)  dx1x4x
Inicialmente pela propriedade de potência
1
= a–n, temos:
1
an
 d1  4 d dx = 1x4  x–4 dx 
Integral indefinidaIntegral indefinida 
Integral indefinidaIntegral indefinida 
5)  x √ x dx
Inicialmente pelas propriedades de potência, podemos 
escrever:
 x √ x dx =  x . x1/2 dx =  x3/2 dx  
Integral indefinidaIntegral indefinida 
Integral indefinidaIntegral indefinida 
6)  + 6x dx1x ( ) x
f(x)
g(x)
   f(x) + g(x) dx =  f(x) dx +  g(x) dx
   + 6x dx = 1x  dx +  6x dx1x
Integral indefinidaIntegral indefinida 
Resolvendo cada uma das integrais, temos:
Integral indefinidaIntegral indefinida 
 + 6x dx = 1x x
= Ln |x| + + c 6
x
Ln 6Ln 6 
InteratividadeInteratividade
O valor de é:5 x3 – ex dx
4a) 5x4 – ex + c 
4 
5x4 + ex + cb) 5x4 + ex + c 
4 
b)
5x3 + ex + cc) 5x + e + c 
3 
c)
5x3 – ex + cd) 5x e + c 
3 
d)
–5x3 – ex + c 
3
e)
3 
Integral indefinidaIntegral indefinida 
Integrais por substituição
 3 3x d1)
u
 3 e3x dx1)
ex dx = ex + cex dx = ex + c
u = 3xu 3x
du
dx = 3 ou du = 3 dx
Integral indefinidaIntegral indefinida 
Substituindo na integral
 u  3 e3x dx
du eu du = eu + c=
Voltando à variável do enunciado:
du
 e3x dx = e3x + c
Integral indefinidaIntegral indefinida 
2)  dx2 1+2x
u
u = 1 + 2xu 1 + 2x
du
dx = 2 ou du = 2 dx
Integral indefinidaIntegral indefinida 
Substituindo na integral
 dx2  du = = Ln |u| + c
Voltando à variável do enunciado
 dx1+2x  u= = Ln |u| + c
 dx2 1+2x = Ln |1 + 2x| + c
Integral indefinidaIntegral indefinida 
3)  cos(3 x) + x2 dx
Separando as integrais: 

 cos(3 x) dx (substituição)(1a parte) 
 x2 dx (imediata)(2a parte) 
Integral indefinidaIntegral indefinida 
(1a parte) 
 (3 ) d ( b tit i ã ) cos(3 x) dx (substituição)
u = 3x
du
dx = 3 ou 
du
3 = dx
Substituindo na integral 
Integral indefinidaIntegral indefinida 
 cos(3 x) dx =  cos u = du3  3
 cos u du = sen u + c13 133 3
 cos(3x) dx = sen 3x + c13 3
Integral indefinidaIntegral indefinida 
(2a parte) 
 2 d +x3 x2 dx = + c x33
Logo:Logo:
 cos(3x) + x2 dx = sen 3x + + c13 x33 3 3
Integral indefinidaIntegral indefinida 
4)  (x3 + 2x)3 . (3x2 + 2) dx
uu
u = x3 + 2x
ddu
dx = 3x
2 + 2 ou du = (3x2 + 2) dx 
Substituindo no enunciado
Integral indefinidaIntegral indefinida 
 (x3 + 2x)3 . (3x2 + 2) dx =
 u3 du= = + c u44
Voltando à variável do enunciado
 (x3 + 2x)3 . (3x2 + 2) dx =
(x3 + 2x)4= + c 4
(x + 2x)
InteratividadeInteratividade
Resolvendo a integral
temos:  dx,1 √2x + 3
a) –√2x + 3 + c
b) √2 + 3 + cb) √2x + 3 + c
c) 1 + c)
√ 2x + 3
 c 
d) –1 + c
e) 1 + c
)
2x + 3 
e) 1 + c
2x + 3 
ATÉ A PRÓXIMA!