AULA 3 MEF Barras

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ELEMENTOS FINITOS
Tipos de Elementos
Tipos de Elementos
Formulação do Elemento Barra
Um primeiro tipo de elemento a estudar, dada a
simplicidade em sua formulação (empregando
conceitos básicos da Mecânica dos Materiais),
é o elemento tração – compressão, ou elemento
Barra (ou Truss, também chamado de
elemento Link no Ansys).
Uma estrutura de treliça, como a mostrada na
Figura, consiste em uma coleção destes
elementos que são considerados
suficientemente finos, de modo que
apresentam resistência à torção, dobragem e
cisalhamento desprezíveis.
Consequentemente, as forças de dobragem, de cisalhamento e de torção são
consideradas inexistentes. As únicas forças internas importantes nas Barras são as
forças axiais internas, de modo que o comportamento desses elementos é similar
ao das molas. Alguns dos elementos de barra não estão alinhados horizontalmente,
enquanto outros estão posicionados em um ângulo arbitrário, como mostraremos
mais adiante.
Formulação do Elemento Barra
Mostraremos como relacionar Forças Internas Nodais, agindo em nós, para os
Deslocamentos Nodais correspondentes, denotados por (F1, F2) e (u1, u2)
respectivamente, para uma barra unidimensional. Em duas dimensões, as forças
nodais de um elemento são (F1x, F1y, F2x, F2y) e os deslocamentos nodais são
(u1x, u1y, u2x, u2y).
Construiremos uma equação matricial que relacione os deslocamentos e as cargas
aplicadas no elemento. Embora a forma desta equação mude de um elemento
para outro, este é um exemplo excelente e simples de um elemento finito.
Inicialmente utilizaremos uma formulação no sistema de coordenadas Locais,
para depois empregar sistemas de coordenadas Globais na análise de estruturas.
Simplificações impostas
Carga Estática
Material Linear Elástico
Simplificações impostas
Simplificações impostas
Ignora a flexão / flambagem nos elementos
Seções transversais planas
Material Isotrópico
Formulação da matriz de rigidez
A partir dos deslocamentos nodais:
por definição (Equação Constitutiva)
Da Equação de Equilibrio
(Conservação da quantidade de
movimento linear)
Relação cargas-deslocamentos nodais
Como se aplica esta expressão matricial para a solução de um sistema
mecânico formado por varios elementos de duas forças conectados entre si ?
Aplicação para múltiplos elementos
Considerando um sistema formado por dois elementos e três nós como o 
seguinte …
1 2
1
2
2 3
2
3
Montagem da matriz de rigidez geral
Expandindo as matrizes [K] de cada elemento:
=
1 2 3
1
2
3
1 2 3
1
2
3
Aplicação das condições de borda 
(contorno / restrições) (Caso I)
F2
?
?
?
É um sistema de três equações com três incógnitas …
F2
?
?
?
É um sistema de três equações com três incógnitas …
Aplicação das condições de borda 
(contorno / restrições) (Caso II)
Análise de estruturas bidimensionais
Até o momento todos os elementos estão orientados em uma mesma
direção. Esta é uma estrutura funcional ? O que ocorre se temos
elementos com distintas orientacões ?
Adição de graus de liberdade ao
elemento Barra (Truss)
Com respeito ao sistema local de coordenadas
Matriz de rotação
Revisando um pouco sobre rotação de sistemas de coordenadas … 
Matriz de transformação 
ortogonal
Rotação de vetores de carga e deslocamento
Kaa Kab
Kba Kbb
Rotação da matriz de rigidez
Sim, há um cambio de base na formulação construida ….
Rotação da matriz de rigidez
Solução de uma estrutura utilizando 
elementos Barra (Truss)
1
21
  
 vg , vg ,
 
 
u uf ,f ,
Observe, por exemplo, que para este elemento  = 0º, assim:
Calculando a matriz de rigidez de cada elemento
Equação de rigidez para o elemento 1
Para o elemento (2):
Equação de rigidez para o elemento 2
Para o elemento (3):
Equação de rigidez para o elemento 3
Expandindo a matriz de cada elemento… (elemento 1)
Expansão da matriz de rigidez do elemento 1
Expansão da matriz de rigidez do elemento 2
Expandindo a matriz de cada elemento… (elemento 2)
Expandindo a matriz de cada elemento… (elemento 3)
Expansão da matriz de rigidez do elemento 3
notando que: (com e = 1, 2, 3)
Montagem da matriz de rigidez geral
Representação do sistema de 
equações lineares
?
?
?
?
?
?
Reorganizando a matriz K, temos:
Solução do sistema de equações
A partir dos deslocamentos podem ser calculados os alongamentos dos
elementos. Estas deformações permitem conhecer as deformacões, os
esforços e as cargas em cada elemento
Pós-processamento de dados
Pós-processamento de dados