Aula 02

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1
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA 
CIVIL –
elementos finitos
AULA COM INÍCIO AS 19:00h
Unidade 02
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Elemento de Mola
- Formulação
- Exercício
Unidade
_02Métodos numéricos 2Fonte: Prof. Marcos Vinicius - Notas de Aula/Métodos dos Elementos Finitos
Elemento de Mola: Formulação
- Um elemento de mola possui um grau de liberdade de deslocamento (GLD, ou DOF), 
u, em cada Nó.
- Assim, no sistema local (no âmbito isolado do elemento), o elemento possui as 
equações de equilíbrio:
Lembrando que a força na mola: f = km .x
f2xEntão: = km . (u2 – u1) → f2x = – u1 .km
→ x = variação do comprimento;
x = u2 –u1
+ u2 . km
Estando a mola em equilíbrio: ∑F = 0 , com isso: f1x + f2x = 0 → f1x = - f2x
f1x = u1 . km – u2 . km
Estas equações de equílibrio são também denominadas por RELAÇÃO FORÇA –
DESLOCAMENTO do elemento no Sistema local: f1x = u1 . km – u2 .km
f2x = – u1 . km + u2 .km
u2km 
Rigidez da mola
u1
Nó2Nó1
f1x f2x
Constante elástica da mola: km
Métodos numéricos 3
Elemento de Mola: Formulação
- A RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO do elemento no sistema local pode ser 
escrita de forma compacta utilização a formulação matricial:
fx1 1 – 1 u1
= km . → { f } = [ k ] . { u }
fx2 – 1 1 u2
Em que:
f - vetor forças nodais do elemento (Sistema Local);
k - Matriz de Rigidez do elemento (Sistema Local);
u - vetor de deslocamento nodais do elemento (Sistema Local);
Portanto, qualquer elemento de mola apresenta a seguinte matriz de rigidez no sistema local:
k = km
1 – 1
– 1 1
Em que : km= constante elástica da mola depende do material, 
do diâmetro do fio e número de voltas;
Métodos numéricos 4
estabelecer um importante
Elemento de Mola: Formulação
- A partir da formulação do elemento de mola é possível
conceito do MEF:
{ f } = [ k ] . { u }
onde: 1 -1
k = km
-1 1
sendo k = matriz de rigidez de qualquer elemento de mola;
km= constante elástica da mola;
- Conceito do MEF: Para um Elemento Finito qualquer com n nós e m GLD (graus de 
liberdade de deslocamentos) por nó, a sua Matriz de Rigidez terá dimensão definida por:
Kelem. = n x m = r → Kr x r
u2km 
Rigidez da mola
u1
Nó2Nó1 f2f1
EX1: elemento EX2: elemento
2 Nós → n = 2 nxm = 2.2 = 4 3 Nós → n = 3 nxm = 3.4 = 12
2 GLD por Nó → m=2 kelem= matriz 4x4 4 GLD por Nó → m=4 kelem= matriz 12x12
Métodos numéricos 5
- Como a matriz de rigidez da estrutura é Montada (obtida) a partir das matrizes de 
rigidez dos seus elementos ?
- A montagem da matriz de rigidez da estrutura decorrente da soma da matriz de
rigidez de cada elemento de mola escrita no Sistema Global (da estrutura);
- Como a matriz de rigidez do elemento foi inicialmente escrita no Sistema
local(elemento) é necessário transformá-la para o Sistema Global (estrutura);
- O procedimento para obter a matriz de rigidez do elemento de mola escrita no sistema
Global (estrutura) bem como a MONTAGEM da matriz de rigidez da estrutura são
apresentados de forma prática no exercício a seguir.
Elemento de Mola: Formulação
- A partir do conhecimento da matriz de rigidez de cada elemento de mola, pode-se 
determinar a matriz de rigidez de uma estrutura constituída por n elementos de mola;
k k
2 31
k k
4 n
Métodos numéricos 6
Elemento de Mola: Formulação
- Uma vez determinada a matriz de rigidez da estrutura K;
- A RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO da estrutura pode ser estabelecida:
{ F } = [ K ] . { U }
onde: F - vetor forças da estrutura;
K - Matriz de Rigidez da estrutura (Sistema global);
U - vetor de deslocamento nodais da estrutura (Sistema global);
- Por meio da RELAÇÃO FORÇA – DESLOCAMENTO da estrutura podem ser 
estabelecidos:
- os deslocamentos nodais da estrutura;
- forças nodais da estrutura;
- força interna em cada elemento da estrutura;
Métodos numéricos 7
Exercício
Métodos numéricos
8
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos mola;
A estrutura possui 4 nós, sendo composta por dois corpos rígidos (carrinho) 
conectados à paredes por molas;
Sistema de referência
K K
K
F = 300 kgf
Elemento 1: K = 200 kgf/mm
Elemento 2: K = 500 kgf/mm
Elemento 3: K = 150 kgf/mm
GLD em x:
Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3
Parede F = 400 kgf Parede
1 2
3 4
Métodos numéricos 9
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de 
apoio da Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
U1 = 0; U4 = 0;
SOLUÇÃO:
1 - PASSO: Definir as Condições de contorno da estrutura; (U, F)
- Restrições de deslocamentos (APOIOS): Nós 1 e 4 são nulos:
- Forças externas sobre os Nós 2 e 3: F2 = 300 kgf; F3 = 400 kgf
2 - PASSO: Definir a dimensão da matriz de rigidez dos elementos; (n, m)
- elemento mola: número de dós: n = 2
deslocamentos por nó : m = 1
Kelem= n x m = 2 x 1 = 2 → k2x2
número de graus de liberdade de deslocamento do elemento: GLD = 2
3 - PASSO: Definir a dimensão da matriz de rigidez da estrutura;
- estrutura: número de dós: N = 4
número de deslocamento por nó do elemento: m = 1
Kestr = N x m = 4 x 1 =4 → k4X4
número de graus de liberdade de deslocamento da estrutura: GLD = 4
u1 u2
Nó2Nó1
Métodos numéricos 10
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de 
apoio da Estrutura, as Forças Internas e nos Elementos;
SOLUÇÃO:
4 - PASSO: Numeração dos GLD da estrutura; (𝑈1, 𝑈2, 𝑈3… 𝑈𝑛)
-Inicia-se pelo primeiro Nó e depois aplica-se para cada Nó da estrutura.
Forças Nodais e Deslocamentos Nodais
K K K
GLD em x:
Elemento 1
Parede Parede
1
(U1; F1)
2
(U2; F2)
3
(U3; F3)
4
(U4; F4)
Sistema de 
referência
1 2
Elemento1
Nó2KNó1
1 2
GLD_Nó1_Elemento1: 1
GLD_Nó2_Elemento1: 2
2 3
Elemento2
Nó2KNó1
2 3
GLD_Nó1_Elemento2: 2
GLD_Nó2_Elemento2: 3
3 4
Elemento3
Nó2KNó1
3 4
GLD_Nó1_Elemento3: 3
GLD_Nó2_Elemento3: 4
1 2 3 4
F2 = 300 kgf
Elemento 2
F3 = 400 kgf
Elemento 3
Métodos numéricos 11GLD vem acumulando ao longo da estrutura
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de 
apoio da Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
F = K . D
SOLUÇÃO:
5 - PASSO: Definir a relação Força x Deslocamento da Estrutura; 
Esta relação é representada pela equação fundamental do MEF:
FGLD x 1 = KGLD x GLD . DGLD x 1
F → é a Matriz coluna que contém as Forças Nodais da estrutura; 
K→ é a Matriz de Rigidez da Estrutura;
U→ é a Matriz Coluna que contém os Deslocamentos Nodais da estrutura.
Aplicando a equação anterior para a estrutura, que possui GLD = 4:
K11 K12 K13 K14
K21 K22 K23 K24
K31 K32 K33 K34
K41 K42 K43 K44
F1
F2
F3
F4
U1
U2
U3
U4
= .
Métodos numéricos 12
k11
-k21
-k12
k22
1 2
1
2
k22
-k32
-k23
k33
2 3
2
3
k33
-k43
-k34
k44
3 4
3
4
GLD
GLD
GLD
GLD
GLD
GLD
KNó1 Nó2
1 2
KNó1 Nó2
2 3
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de 
apoio da Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
6 - PASSO: Definir a matriz de rigidez de cada elemento em termos das coordenadas 
Globais da estrutura (Nós);
A matriz de rigidez de um elemento de mola é dada por: ke = k -k
-k k
onde k → constante elástica da mola
Escrevendo esta equação para cada elemento em relação às coordenadas globais da
estrutura (Nós), obtêm-se:
Elemento1 Elemento2 Elemento3
1 2 2 3 3 4
KNó1 Nó2
3 4
Métodos numéricos 13
k11 -k12 0 0
-k21 k22 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1
2
3
4
1 2
k11 -k12 1
-k21 k22 2
0 0 0 0
0 k22 -k23 0
0 -k32 k33 0
0 0 0 0
1 2 3 4 1 2 3 4
1
2
3
4
k22
-k32
-k23
k33
2 3
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-k34
k44
1 2 3 4
1
2
3
4
k33
-k43
-k34
k44
3 4
3
4
GLD
GLD GLD
GLD GLD
GLD
MATRIZES EXPANDIDAS DOS ELEMENTOS – escrita no Sistema Global (estrutura)
ke1_exp ke2_exp
0
0
k33
-k43
ke3_exp
KNó1 Nó2
1 2 3
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de 
apoio da Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
7 - PASSO: Definira matriz de rigidez Expandida de cada elemento;
Matriz expandida do elemento → matriz escrita na dimensão da estrutura
Este procedimento facilita a montagem da matriz da estrutura;
Elemento1 Elemento2 Elemento3
1 2 2 3 3 4
Nó1 Nó2 Nó1 Nó2
2
K K
3 4
Métodos numéricos
14
A matriz de rigidez da estrutura é definida por meio da soma da contribuição de cada
elemento da estrutura, ou seja, somando-se as matrizes expandidas dos elementos;
K = ke1_exp + ke2_exp + … + kei_exp
k11 k12 k13 k14
k21 k22 k23 k24
K31 k32 k33 k34
k41 k42 k43 k44
1
2
3
4
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de 
apoio da Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
8 - PASSO: Definir a matriz de rigidez da estrutura em termos das coordenadas globais da 
estrutura (Nós);PROCEDIMENTO DE MONTAGEM DA MATRIZ DAESTRUTURA
Conforme, definido anteriormente, a matriz de rigidez da estrutura: K4x4
GLD
1 2 3 4
GLDK =
Métodos numéricos 15
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de apoio
da Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO
:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
k33
-k43
0
0
-k34
k44
8 - PASSO: Definir a matriz de rigidez da estrutura em termos das coordenadas globais da 
estrutura (Nós);PROCEDIMENTO DE MONTAGEM DA MATRIZ DAESTRUTURA
MATRIZES EXPANDIDAS DOS ELEMENTOS – escrita no Sistema Global (estrutura)
k11 -k12 0 0 0 0 0 0
-k21 k22 0 0 0 k22 -k23 0
0 0 0 0 + 0 -k32 k33 0 +
0 0 0 0 0 0 0 0
K =
k11 -k12 0 0
-k21 k22+k22 -k23 0
0 -k32 k33+k33 -k34
0 0 -k43 k44
1 4
1
2
3
4
0
-200 0
0 -150
0
1 4
1
2
3
4
GLD
2 3
200 -200 0
700 -500
-500 650
0 -150 150
G
L
D
GLD
2 3
K = K =
G
L
D
Elemento 1: K = 200 kgf/mm;
Elemento 2: K = 500 kgf/mm;
Elemento 3: K = 150 kgf/mm;
Métodos numéricos 16
= .
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de 
apoio da Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
9 - PASSO: Escrever a Relação Força x Deslocamento (F = K . U) da estrutura 
interpretando as Condições de contorno da estrutura;
F = K . U → Para a estrutura deste exercício:
K11 K12 K13 K14
K21 K22 K23 K24
K31 K32 K33 K34
K41 K42 K43 K44
K11 K12 K13 K14 
K21 K22 K23 K24
F1
F2
F3
F4
U1
U2
U3
U4
F1 
300
400
F4
K31 K32 K33 K34
K41 K42 K43 K44
0
U2
U3
0
U1 = 0; U4 = 0;
F2 = 300 kgf; F3 = 400 kgf
valores conhecidos:
- Restrições de deslocamentos (APOIOS):
- Forças externas sobre os Nós B e C:
- Matriz de rigidez da estrutura: k → coeficientes determinados na página 14
valores desconhecidos (INCÓGNITAS DO PROBLEMA):
- Reaçoes de apoio da estrutura: F1 = ? ; F4 =?
- Deslocamentos nodais desconhecidos: U2 = ? ; U3 = ?
= .
Métodos numéricos 17
K11 K12 K13 K14F1 0
k → coeficientes determinados na página 14300
400
F4
K21 K22 K23 K24
K31 K32 K33 K34
K41 K42 K43 K44
U2
U3
0
Particionamento: eliminar as linhas e colunas da matriz de rigidez da estrutura associadas
aos deslocamentos nulos, o que permite calcular os deslocamentos desconhecidos e as
forças desconhecidas da estrutura.
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de
apoioda Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
10 - PASSO: Realizar o particionamento da matriz de rigidez da estrutura e selecione a
parte da matriz utilizada para calcular os deslocamentos desconhecidos da Estrutura e a
parte da matriz utilizada para calcular as forças desconhecidas da estrutura;
= .
Métodos numéricos 18
K11 K12 K13 K14F1 0
k → coeficientes determinados na página 14300
400
F4 K42 K43
K21 K22 K23 K24
K31 K32 K33 K34
K41 K44
U2
U3
0
Parte utilizada no cálculo dos deslocamentos desconhecidos: parte da matriz não 
eliminada no particionamento;
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de
apoioda Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
10 - PASSO: Realizar o particionamento da matriz de rigidez da estrutura e selecione a
parte da matriz utilizada para calcular os deslocamentos desconhecidos da Estrutura e a
parte da matriz utilizada para calcular as forças desconhecidas da estrutura;
= .
Métodos numéricos 19
K11 K12 K13 K14F1 0
k → coeficientes determinados na página 14300
400
F4 K42 K43
K21 K22 K23 K24
K31 K32 K33 K34
K41 K44
U2
U3
0
Parte utilizada no cálculo das forças desconhecidas: parte da matriz acima ou abaixo ou 
da parte utilizada para calcular os deslocamentos desconhecidos ou ambas acima e abaixo;
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de
apoioda Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
10 - PASSO: Realizar o particionamento da matriz de rigidez da estrutura e selecione a
parte da matriz utilizada para calcular os deslocamentos desconhecidos da Estrutura e a
parte da matriz utilizada para calcular as forças desconhecidas da estrutura;
= .
Métodos numéricos 20
K11 K12 K13 K14F1 0 U2
21 22 23K K K K U24 2
300
400
K22 K23
K32 K33 U3300
400
F4
K31 K32 K33 K34 
K41 K42 K43 K44
U3 
0
K12 K13F1 
F4 K42 K43
U2 
U3
= .
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de
apoioda Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
10 - PASSO: Realizar o particionamento da matriz de rigidez da estrutura e selecione a
parte da matriz utilizada para calcular os deslocamentos desconhecidos da Estrutura e a
parte da matriz utilizada para calcular as forças desconhecidas da estrutura;
= .
Nota: Sempre será resolvido nesta ordem:
1- inicialmente determina-se os
deslocamentos nodais desconhecidos;
2 - depois de calculado os deslocamentos
nodais calcula-se as forças nodais
desconhecidas
A seguir 
Calcula-se as 
forças
desconhecidas: 
F1 e F4
determinam-se 
inicialmente os 
deslocamentos 
desconhecidos: 
U2 e U3
= .
Métodos numéricos 21
1º2º
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de 
apoio da Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
11 - PASSO: Determinar os Deslocamentos desconhecidos e em seguida calcular as
Forças desconhecidas:
300
A determinação dos deslocamentos U a rigor, deveria ser realizado por intermédio da
“divisão” de F por K, o que forneceria: F = K . U → U= F/ K → U= K-1 .F.
Porém, como se trata de matrizes esta determinação é fetuada por intermédio do 
conceito de Inversão de Matrizes, o que fornece a seguinte expressão:
{ U } = [ K ]-1 . [ F ]
Assim, para calcular os deslocamentos nodais desconhecidos da estrutura U2 e U3, 
torna-se necessário obter a inversa da matriz k
K22 K23 
400 = K32 K33
F = K
U2
. U3
. U → U = F/ K → U = K-1 . F
Valor conhecido 
Valor desconhecido
Métodos numéricos 22
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de 
apoio da Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
11 - PASSO: Determinar os Deslocamentos desconhecidos e em seguida calcular as 
Forças desconhecidas :
2 22U K K23
U3 K32 K33
300
400
U2 
U3 -500 650 2,4390 . 10-3
2,4390 . 10-3 300
3,4146 . 10-3 400
U2 = 3,1707 . 10-3 . 300 + 2,4390 . 10-3 . 400 = 1,92681 mm
U3 = 2,4390 . 10-3 . 300 + 3,4146 . 10-3 . 400 = 2,09754 mm
Valor conhecido 
Valor desconhecido
Determinando os deslocamentos desconhecidos
-1
= .
=
700 -500 -1
.
300
400
U2 = 3,1707 . 10
-3 
U3
.
A MATRIZ INVERSA PODE SER OBTIDA COM USO DE 
VÁRIOS APLICADOS OBTIDOS NA INTERNET E NO 
PRÓPRIO PACOTE WINDONS→ EXCEL
Métodos numéricos 23
Dicas para obter a matriz inversa utilizando o EXCEL:
1 – digite no EXCEL a matriz que deseja obter a inversa.
Exemplo: 1 3 2
4 1 3
2 1 0
2 – duas linhas abaixo da matriz:
1. - selecione o mesmo número de células da matriz;
2. - escreva na barra de funções do excel Fx:
= matriz.inverso(
3. - antes de fechar o parênteses:
selecione a matriz que deseja obter a inversa
2.4 - feche o parênteses: )
2.4 - pressione CTRL+SHIFT+ENTER.
2.1
2.2
Métodos numéricos 24
Exercício: Determine os Deslocamentosnodais, em seguida as Reações de apoio da
Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
11 - PASSO: Determinar os Deslocamentos desconhecidos e em seguida calcular as
Forças desconhecidas :
Determinando as forças desconhecidas
F1 
F4
K12 K13
K42 K43
U2 
U3
F1 
F4
-200 0
0 -150
1,92681
2,09754
F1 = -200 . 1,92681 + 0 . 2,09754 = -385,362 kgf
F4 = 0 . 1,92681 + -150 . 2,09754 = -314,631 kgf
OBS: somando Forças externas + Reações de apoio = 0, pois a estrutura encontra-
se em equilíbrio: F1+ F2 + F3 + F4 = - 385,362 + 400 + 300 – 314,631 = 0,007 = 0
Valor conhecido
Valor desconhecido
= . = .
Métodos numéricos 25
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de 
apoio da Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
SOLUÇÃO:
12 - PASSO: Determinação da deformação (DESLOCAMENTO) de cada elemento de mola, 
sendo este valor determinado por:
Na numeração interna do elemento: delem =( unó 2 – unó 1)
delem _1= ( u2 – u1) = ( U2 – U1) = 1,92681 - 0 = 1,92681 mm ( alongamento)
delem_2 = ( u2 – u1) = ( U3 – U2) = 2,09754 - 1,92681 = 0,17073 mm (alongamento)
delem)_3= ( u2 – u1) = ( U4 – U3) = 0 - 2,09754 = - 2,09754 mm (contrai)
U1 = 0 mm
U2 = 1,92681 mm 
U3 = 2,09754mm
U4 = 0mm
1 2
Elemento1
Nó2Nó1 K1
1(U1; F1) 2(U2; F2)
2 3
Elemento2
Nó2Nó1 K2
2(U2; F2) 3(U3; F3)
3 4
Elemento3
Nó2Nó1 K3
3(U3; F3) 4(U4; F4)
Métodos numéricos 26
Exercício: Determine os Deslocamentos nodais, em seguida as Reações de 
apoio da Estrutura e as Forças Internas nos Elementos;
delem _1 = 1,92681 mm 
delem_2 = 0,17073 mm 
delem)_3 = - 2,09754mm
SOLUÇÃO:
13 - PASSO: Determinação das forças internas nos elementos da estrutura;
A força interna ( f ) em cada elemento poderá ser contabilizada, pois a Lei de
Comportamento do elemento (mola) é conhecida, sendo esta dada por: f = K . d
f = K . (u2 – u1) →f = K . delem
f 1 = K1 . delem _1 = 200 . (1,92681) = 385,36kgf
f 2 = K2 . delem _2 = 500 . (0,17073) = 85,365kgf
f 3 = K3 . delem _3 = 150 . (- 2,09754) = - 314,63 kgf
K1 = 200 kgf/mm
K2 = 500 kgf/mm 
K3 = 150kgf/mm
1 2
Elemento1
Nó2Nó1 K1
1(U1; F1) 2(U2; F2)
2 3
Elemento2
Nó2Nó1 K2
2(U2; F2) 3(U3; F3)
3 4
Elemento3
Nó2Nó1 K3
3(U3; F3) 4(U4; F4)
Métodos numéricos 27
Aplicações Gerais a partir do estudo do Elemento de Mola
- O exercício anterior estabelece os principais passos para o montagem de um modelo
de elementos finitos;
- Estes passos são os mesmos utilizados no problemas mais gerais do MEF, onde o
engenheiro com auxílio do computador desenvolve uma solução para o problema em
estudo;
- O uso do computador merece algumas observações:
▪Ao utilizar um “software” de elementos finitos, devemos lembrar que o principal
passo a ser dado constitui o entendimento claro do problema físico que se
proprõe a resolver por intermédio de um modelo discretizado;
▪Com base nos conceitos teóricos do MEF e na Análise de Engenharia do
problema prático que queremos resolver, poderemos iniciar o planejamento do
trabalho;
Métodos numéricos 28
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Obrigada!!! 
Lista de Presença.