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Exemplo: 
Determine os deslocamentos em cada nó para a treliça a seguir: 
 
(dados: EA/L = 50000 kN/m) 
 
Resolução 
Parametros geométricos 
Observe que a estrutura possui 5 elementos e 4 nós. A incidência dos elementos 
com seus respectivos nós, pode ser encontrada na Tabela a seguir. 
 
Elemento i j 
1 1 2 
2 2 4 
3 2 3 
4 1 3 
5 3 4 
 
A próxima etapa é a obtenção da matriz de rigidez de cada elemento no sistema global, 
a partir da matriz de rigidez do elemento de barra em seu sistema local. 
elemento angulo λ= cos θ μ = senθ λ²=cos² θ μ²=sen²θ λμ 
1 135 -0,70711 0,7071 0,5 0,5 -0,5 
2 0 1 0 1 0 0 
3 45 0,70711 0,70711 0,5 0,5 0,5 
4 90 0 1 0 1 0 
5 315 0,70711 -0,7071 0,5 0,5 -0,5 
 
Para a montagem da Tabela 2, deve-se definir o vetor de localização de cada elemento, 
ou seja, estabelecer os nós i e j para definir o ângulo formado entre o sistema local e 
global de coordenadas. Na Tabela 2 são mostrados os valores necessários para a 
obtenção da matriz no sistema global. Observe que um elemento de treliça possui dois 
graus de liberdade, e a treliça utilizada nesta aplicação numérica possui 4 nós, ou seja, a 
matriz de rigidez global da treliça deve ser uma matriz de ordem 8 x 8. 
A matriz de rigidez no sistema global é a apresentada conforme a Equação a seguir. A 
constante de proporcionalidade EA/L vale 50000 kN/m. Apesar do comprimento das 
barras serem diferentes (Dado da questão). 
 
 
Sendo assim: 
 
1
1 1
2
2
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
x
y
x
y
U
UEA
K
UL
U
  
 
 
 
  
 
  
 
 
2
2 2
4
4
1 0 1 0
0 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
x
y
x
y
U
UEA
K
UL
U
 
 
 
 
 
 
 
 
2
3 2
3
3
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
x
y
x
y
U
UEA
K
UL
U
  
 
 
 
  
 
  
 
 
1
4 1
3
3
0 0 0 0
0 1 0 1
0 0 0 0
0 1 0 1
x
y
x
y
U
UEA
K
UL
U
 
 

 
 
 
 
 
 
3
5 3
4
4
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
x
y
x
y
U
UEA
K
UL
U
  
 
 
 
  
 
  
 
Montagem da matriz rigidez da estrutura: 
Cada matriz de rigidez dos elementos desconexos tem contribuição na matriz de rigidez 
da estrutura. O coeficiente de posição u (ix, jy) da matriz de rigidez de cada elemento deve 
ocupar a mesma posição na matriz de rigidez da estrutura. Por exemplo, o 
posicionamento da matriz do elemento 1 na matriz de rigidez da estrutura é o seguinte: 
 
  7
0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 0 0 1
0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 0 0 1
0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 0 0 2
0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 0 0 2
5 10
0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 0 0 4
0 0 0 0 0 0 0 0 4
x
y
x
y
K
x
y
x
y
  
 
 
 
  
 
   
 
 
 
 
 
  
 
Adicionando o elemento 2: 
  7
0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 0 0 1
0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 0 0 1
0,5 0,5 1,5 0,5 0 0 1 0 2
0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 0 0 2
5 10
0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 0 1 0 0 0 1 0 4
0 0 0 0 0 0 0 0 4
x
y
x
y
K
x
y
x
y
  
 
 
 
   
 
   
 
 
 
 
 
  
 
Adicionando o elemento 3: 
  7
0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 0 0 1
0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 0 0 1
0,5 0,5 2,0 0 0,5 0,5 1 0 2
0,5 0,5 0 1 0,5 0,5 0 0 2
5 10
0 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 3
0 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 3
0 0 1 0 0 0 1 0 4
0 0 0 0 0 0 0 0 4
x
y
x
y
K
x
y
x
y
  
 
 
 
    
 
    
  
 
  
 
 
  
 
Adicionando o elemento 4 e 5: 
  7
0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 0 0 1
0,5 1,5 0,5 0,5 0 1 0 0 1
0,5 0,5 2,0 0 0,5 0,5 1 0 2
0,5 0,5 0 1 0,5 0,5 0 0 2
5 10
0 0 0,5 0,5 1 0 0,5 0,5 3
0 1 0,5 0,5 0 2,0 0,5 0,5 3
0 0 1 0 0,5 0,5 1,5 0,5
0 0 0 0 0,5 0,5 0,5 0,5
x
y
x
y
K
x
  
 
  
 
    
 
    
   
 
    
   
 
   
4
4
y
x
y
 
Devido as condições de restrição os deslocamentos dos nós 1 e 4 são nulos: 
  7
0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 0 0 1
0,5 1,5 0,5 0,5 0 1 0 0 1
0,5 0,5 2,0 0 0,5 0,5 1 0 2
0,5 0,5 0 1 0,5 0,5 0 0 2
5 10
0 0 0,5 0,5 1 0 0,5 0,5 3
0 1 0,5 0,5 0 2,0 0,5 0,5 3
0 0 1 0 0,5 0,5 1,5 0,5
0 0 0 0 0,5 0,5 0,5 0,5
x
y
x
y
K
x
  
 
  
 
    
 
    
   
 
    
   
 
   
4
4
y
x
y
 
Reduzindo a um sistema 4x4 
  7
2 0 0,5 0,5 2
0 1 0,5 0,5 2
5 10
0,5 0,5 1 0 3
0,5 0,5 0 2 3
x
y
K
x
y
  
 
 
  
  
 
  
 
Aplicando no sistema 
2
27
3
3
0 2 0 0,5 0,5
0 0 1 0,5 0,5
5 10
150 cos35 0,5 0,5 1 0
150 35 0,5 0,5 0 2
x
y
x
y
U
U
U
Usen
      
    
        
       
    
           
 
2
27
3
3
0 2 0 0,5 0,5
0 0 1 0,5 0,5
5 10
122,87 0,5 0,5 1 0
86,04 0,5 0,5 0 2
x
y
x
y
U
U
U
U
      
    
        
     
    
         
 
É possível encontrar a solução por um método numérico ou mesmo o método de Cramer: 
2
2 5
3
3
0,0913
0,1825
10
0,3826
0,0176
x
y
x
y
U
U
m
U
U

   
   
    
   
   
    