TEORIA - L+¦gica Matem+ítica 2

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LÓGICA MATEMÁTICA – TADS – FACULDADE DRUMMOND
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TEORIA - 02
LÓGICA MATEMÁTICA
Tautologias, Contradições e Contingências
1. Tautologia
Chama-se tautologia toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdade).
Assim, tautologia é toda proposição composta P(p, q, r, ...) cujo valor lógico é sempre V (verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r, ...
Exemplo:
A proposição “p V (q Λ ~q) ↔ p” é tautológica, conforme mostra a sua tabela-verdade:
Tabela Verdade - TAUTOLOGIA
	p
	q
	~q
	(q Λ ~q)
	p V (q Λ ~q)
	p V (q Λ ~q) ↔ p
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
2. Contradição
Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F (falsa).
Assim, contradição é toda proposição composta P(p, q, r, ...) cujo valor lógico é sempre F (falsa), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r, ...
Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre falsa (F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa.
As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas.
Exemplo:
A proposição “(p Λ q) Λ ~(p V q)” é contradição, conforme mostra a sua tabela-verdade:
Tabela Verdade - CONTRADIÇÃO
	p
	q
	(p Λ q)
	(p V q)
	~(p V q)
	(p Λ q) Λ ~(p V q)
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	F
3. Contingência
Chama-se contingência toda a proposição composta em cuja última coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V (verdadeiro) e F (falsa) cada uma pelo menos uma vez.
Assim, contingência é toda proposição composta que não é tautologia nem contradição.
Exemplo:
A proposição “p V q → p Λ q” é contingência, conforme mostra a sua tabela-verdade:
Tabela Verdade - CONTINGÊNCIA
	p
	q
	p V q
	p Λ q
	p V q → p Λ q
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	F
	V
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IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICA
	
Uma proposição condicional p → q que é uma tautologia define uma relação entre as proposições p e q que recebe o nome de implicação.
Indica-se: p q.
Da mesma forma uma proposição bicondicional p ↔ q que é uma tautologia define uma relação entre as proposições p e q que recebe o nome de equivalência.
Indica-se: p q.
 
p ( q (proposição) = p q (relação ou tautológico)
 p ↔ q (proposição) = p q (relação ou tautológico)
Propriedades do Cálculo Proposicional ou Algumas Equivalências Tautológicas
Leis Idem Potentes:
1.a) p V p 	p				1.b) p Λ p p
Leis Associativas:
2.a) (p V q) V r 		p V (q V r)		2.b) (p Λ q) Λ r p Λ (q Λ r)
Leis Comutativas:
3.a) p V q 	q V p				3.b) p Λ q 	 q Λ p
Leis Distributivas:
4.a) p V (q Λ r) (p V q) Λ (p V r)	4.b) p Λ (q V r)	 (p Λ q) V (p Λ r)
Leis de Identidade:
5.a) p Λ t 		p e p Λ c c	5.b) p V t 	 p e p V c p
Leis ou Regras de MORGAN 
9.a) ~(p V q)	 ~p Λ ~q			9.b) ~(p Λ q)		~p V ~q
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9.a) Tabela Verdade - TAUTOLOGIA
	p
	q
	~p
	~q
	(p V q)
	~(p V q)
	~p Λ ~q
	~(p V q) ~p Λ ~q
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	V
9.b) Tabela Verdade - TAUTOLOGIA
	p
	q
	~p
	~q
	(p Λ q)
	~(p Λ q)
	~p V ~q
	~(p Λ q) ~p V ~q
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	V
Nota: Leis em Honra ao matemático inglês do séc. XIX Agustus de Morgam (1806-1871).
Teoremas
São em geral implicações ou equivalências da forma H	 T ou H T
Os teoremas são em geral proposições condicionais da forma H	T.
H: hipótese
T: tese
Exemplo:
Mostre que a prova de um teorema pode ser substituída por uma prova indireta provando-se o teorema contra-positivo. H → T		~T → ~H
Tabela Verdade - TAUTOLOGIA
	H
	T
	~T
	~H
	H → T
	~T → ~H
	H → T ~T → ~H
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	V
TEORIA - 02
LÓGICA MATEMÁTICA
Tautologias, Contradições e Contingências
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Prof.Ms.Carlos H.J.Costa – Email: � HYPERLINK "mailto:carloshjc@yahoo.com.br" ��carloshjc@yahoo.com.br�