INTEGRAL DE LINHA

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INTEGRAL DE LINHA 
 
Consideremos uma curva C unindo dois pontos no plano (xy) e uma função z = f(x, y) 
contínua em D onde D é uma região do plano contendo a curva C. Um muro é construído ao longo 
de C e tem altura igual à f(x, y) (supondo que f seja não negativa em D) em cada ponto (x,y) de 
C. Qual é a área deste muro? 
Para resolver o problema nós tomamos uma partição da curva C obtendo n arcos pela 
introdução de n-1 pontos em C entre os seus extremos. 
 
 
 
 
A área entre a curva e a função f será: 
A = 
n
lim 

n
i 1
 f(x*i, y*i)  si 
 
No ℝ3 
 
Se a curva C é dada pela função vetorial 
r (t) = (x(t), y(t) ) com t

[a, b], 
 então: 

c
sdyxf ),(
 = 

b
a
f(x(t), y(t) ) ds 
 sendo 𝑑𝑠 = |𝑟′(𝑡)|𝑑𝑡 ∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))|𝑟′(𝑡)|𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 = ∫ 𝑓(𝑟(𝑡))|𝑟′(𝑡)|𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
C 
P PP
P
P P
2 
 
 

c
sdzyxf ),,(
 = 

b
a
f(x(t), y(t), z(t) ) 
tdtr )('
 
22 )]('[)]('[)(' tytxtr 
 ou 
222 ])('[)]('[)]('[)(' tztytxtr 
 
 
Também podemos escrever as integrais de linha ao longo de C em relação a x, y e z. 
∫ 𝑓𝑑𝑠 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧
𝐶𝐶
 
 
Exemplo 1 
 
Calcule a integral de linha 
C
(xy + 3x) ds, sendo C o segmento que une o ponto A(-1, 
0) ao ponto B(2, 3). 
 
Solução: 
Primeiro temos de parametrizar a curva C 
Vetor diretor (3,3) 
r(t)=(-1+3t,3t) r’(t)=(-3,3) |𝑟′(⃗⃗ ⃗⃗ 𝑡) = √18 = 3√2 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
∫𝑓(𝑟(𝑡))|𝑟′⃗⃗ ⃗(𝑡)|𝑑𝑡 = ∫ [(−1 + 3𝑡)(3𝑡) + (3)(−1 + 3𝑡)][3√2]𝑑𝑡 =
1
0
 
1
0
 
∫ (6𝑡 + 9𝑡2 − 3)3√2 𝑑𝑡 = 3√2 [3𝑡2 + 3𝑡3 − 3 ]0
1
1
0
= 9√2 
 
Exemplo 2: 
 Calcule a integral curvilínea 
C
xy ds onde C é a curva dada pelas equações x2 + y2 = 
4 e y + z = 8. 
 
Solução: 
Temos: 
x2 + y2 = 4 
]2,0[,
sen2
cos2






 t
ty
tx
 (superfície cilíndrica) 
1 0 2 X 
Y 
3 
A 
B 
Z 
 
2 Y 
X 
0 
C 
3 
 
 
y + z = 8 

 z = 8-y (plano). 
 
Assim, uma parametrização para C (elipse) é 
r(t) = (2cos t, 2sen t, 8 – 2sen t), t

[0, 2

] 
r’(t) = (-2sen t, 2cos t, -2cos t) 

 | r’(t) | = 
ttt 222 cos4cos4sen4 
 
 

 | r’(t) | = 2
ttt 222 coscossen 
 

 | r’(t) | = 2
t2cos1
 
 
 1 
C
xy ds =

2
0
x(t).y(t) | r’(t) | dt = 

2
0
(2cos t)(2sen t) 2
t2cos1
 dt = 
= -4

2
0
(1 + cos2t)1/2(-2cost . sent) dt = 
2
0
2
3
2
2
3
)cos1(
4










t= 2
0
32 )cos1(
3
8






 t
= 
 u du 
=
8
3
8
8
3
8

 = 0 
Exemplo 3 
Calcule ∫ 𝑦𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑧 𝐶 C: segmento de (2,0,0) a (3,4,5) 
Solução: C: r(t)=(2+t,4t,5t) ou x=2+t y=4t z=5t 
Logo ∫ 𝑦𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑧 𝐶 = ∫ (4𝑡)𝑑𝑡 + (5𝑡)(4)𝑑𝑡 + (2 + 𝑡)(5)𝑑𝑡 = 24,5
1
0
 
 
Exemplo4: 
 Calcule a massa de um arame na forma de um semi-círculo de raio “a”, sabendo que a 
densidade de massa linear em qualquer um de seus pontos é proporcional à distância desse ponto 
até à reta que passa pelas extremidades do arame. 
 
Considerando o gráfico ao lado, temos 
r(t) = (a cost, a sent) , t
],0[ 
 
r’(t) = (-a sent, a cost) 

| r’(t) | = a (verifique) 
 
C 
 P 
-a 0 x a X 
Y 
 
A 
4 
 
A distância do ponto P(x, y) até a reta que passa 
pelas extremidades da curva (eixo OX) é igual à ordenada 
de P. Ou seja, é igual a y. 
 Assim, a densidade de massa linear é dada pela função 

(x, y) = k y , onde k é o coeficiente 
de proporcionalidade. Daí, 
 
M = 
C

(x, y) ds = 
C
k y ds = 


0
k y(t) | r’(t) | dt = 


0
k a sent a dt = 
 
= k a2


0
sent dt =  02 costka = -k a
2 cos

 + k a2 cos 0 = 2k a2 
 
INTEGRAL DE LINHA EM CAMPOS VETORIAIS. 
 
Um campo vetorial no ℝ2 𝑜𝑢 𝑛𝑜 ℝ3 podem ser descritos como: 
𝐹 ⃗⃗ ⃗(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑖 + 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑗 
𝐹 ⃗⃗ ⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖 + 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗 + ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧)�⃗� 
Exemplos: 
1)O campo 𝐹 ⃗⃗ ⃗(𝑥, 𝑦) = 2𝑖 + 2𝑗 : Em 𝐹 ⃗⃗ ⃗(1,0) = 2𝑖 + 2𝑗 em 𝐹 ⃗⃗ ⃗(−1,−1) = 2𝑖 + 2𝑗 
Em 𝐹 ⃗⃗ ⃗(1, −2) = 2𝑖 + 2𝑗 e em 𝐹 ⃗⃗ ⃗(−1, −1) = 2𝑖 + 2𝑗 
 
 
2)O campo 𝐹 ⃗⃗ ⃗(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑖 − 𝑥𝑗 : Em 𝐹 ⃗⃗ ⃗(0,1) = 𝑖 em 𝐹 ⃗⃗ ⃗(1,0) = −𝑗 
Em 𝐹 ⃗⃗ ⃗(0, −1) = −𝑖 e em 𝐹 ⃗⃗ ⃗(−1,0) = 𝑗 em 𝐹 ⃗⃗ ⃗(0,2) = 2𝑖 e em 
 𝐹 ⃗⃗ ⃗(2,0) = −2𝑗 
5 
 
 
Dado uma força o trabalho por ela realizado, será: 
 
𝑊 = 𝐹 . 𝑑 ⃗⃗ ⃗ ⇒ 𝑤 = |𝐹 ||𝑑 |cos (𝜃) 
 
∫ 𝑑𝑤 = ∫ 𝐹 .⃗⃗⃗⃗ 
𝐶
𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗ ⟹ 𝑤 = ∫ 𝐹 ⃗⃗ ⃗.
𝐶
𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗ = 𝑟′⃗⃗ ⃗(𝑡)𝑑𝑡 
𝐶
 
𝑟 ⃗⃗ (𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖 + 𝑔(𝑡)𝑗 
𝑟 ⃗⃗ (𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖 + 𝑔(𝑡)𝑗 + ℎ(𝑡)�⃗� 
∫ 𝐹 ⃗⃗ ⃗
𝐶
𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗ = ∫𝐹 ⃗⃗ ⃗(𝑟(𝑡)). 𝑟′⃗⃗ ⃗(𝑡) 𝑑𝑡 
𝑏
𝑎
 
 
 
Se 𝐹 ⃗⃗ ⃗(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑖 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑗 + 𝑅(𝑥, 𝑦)�⃗� e 𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗ = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) ⟹ 
 
∫ 𝐹 ⃗⃗ ⃗
𝐶
𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗ = ∫(𝑃, 𝑄, 𝑅). (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧)
𝐶
= ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + 𝑅(𝑥, 𝑦)𝑑𝑧
𝑐
 
Exemplos: 
6 
 
1) Calcule ∫ 𝐹 ⃗⃗ ⃗𝐶 𝑑𝑟
⃗⃗⃗⃗ 𝑠𝑒 𝐹 ⃗⃗ ⃗(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 sendo C as curvas abaixo: 
 
Segmento AB 
{
𝑥 = 1 − 1𝑡
𝑦 = 0 + 2𝑡
 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 𝑟 (𝑡) = (1 − 𝑡, 2𝑡) ⟹ 𝑟′⃗⃗ ⃗(𝑡) = (−1,2) 
 𝐹 ⃗⃗ ⃗(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 = (𝑥, 𝑦) 
 ∫ 𝐹 ⃗⃗ ⃗𝐶 𝑑𝑟
⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝐹 ⃗⃗ ⃗(𝑟(𝑡)). 𝑟′⃗⃗ ⃗(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ (1 − 𝑡, 2𝑡). (−1,2)𝑑𝑡 = ∫ (5𝑡 − 1)𝑑𝑡
1
0
=
3
2
 
1
0
 
1
0
 
Curva entre A e B 
{
𝑥 = 𝑡 
𝑦 = 2 − 2𝑡2 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 𝑟 
(𝑡) = (𝑡, 2 − 2𝑡2) ⟹ 𝑟′⃗⃗ ⃗(𝑡) = (1,−4𝑡) 
 𝐹 ⃗⃗ ⃗(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 = (𝑥, 𝑦) 
 ∫ 𝐹 ⃗⃗ ⃗𝐶 𝑑𝑟
⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝐹 ⃗⃗ ⃗(𝑟(𝑡)). 𝑟′⃗⃗ ⃗(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ (𝑡, 2 − 2𝑡2). (1,−4𝑡)𝑑𝑡 = ∫ (8𝑡3 − 7𝑡)𝑑𝑡
1
0
=
3
2
 
1
0
 
1
0
 
Em ambos os casos o trabalho realizado pelo campo sobre as curvas tem o mesmo valor. 
Neste caso dizemos que o campo é conservativo, ou um campo gradiente e neste caso existe 
também uma função chamada função potencial f , com a seguinte característica: 
O trabalho realizado por este campo gradiente (conservativo) sobre qualquer curva entre os 
dois pontos será o valor desta função potencial no ponto final menos o valor desta função g 
Cálculo da função potencial f. 
Se F é conservativo é uma função gradiente 
∫ 𝐹 ⃗⃗ ⃗
𝐶
𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗ = ∫ ∇𝑓. 𝑑𝑟 =
𝐶
 𝑓(𝑟(𝑏)) − 𝑓(𝑟(𝑎)) 
Exemplo: 
1)Verifique se o campo 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)𝑖 + (𝑥 − 2)𝑗 é conservativo. 
Solução 
𝑃(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦) 𝑄(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 2) 
7 
 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= −1 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
= 1 
 𝐹 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
2) 𝐹(𝑥, 𝑦) = (3 + 2𝑥𝑦)𝑖 + (𝑥2 − 3𝑦2)𝑗 
 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 2𝑥 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
= 2𝑥 → 𝐹 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
Como encontrar a função potencial: 
Já que F é Gradiente então 
 𝐹 = 𝑓𝑥𝑑𝑥 + 𝑓𝑦𝑑𝑦 → 𝑓 = ∫𝑓𝑥𝑑𝑥 = ∫(3 + 3𝑥𝑦)𝑑𝑥 = 3𝑥 + 𝑥
2𝑦 + 𝑔(𝑦) 
𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑓𝑦 = 0 + 𝑥
2 + 𝑔′(𝑦) → 𝑔′(𝑦) = −3𝑦2 → 𝑔(𝑦) = −𝑦3 + 𝑐 
Logo: 𝑓 = 3𝑥 + 𝑥2𝑦 −𝑦3 + 𝑐 esta é a função potencial 
O trabalho realizado por F entre os pontos A e B será =∫ 𝐹 . 𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗ =
𝑏
𝑎
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)