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FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
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População, amostra, variável, coleta de dados, apuração de dados e apre-
sentação tabular. 
 
A palavra estatística vem do latim status e significa estado. Inicialmente, era utilizada para compilar 
dados que descreviam características de países (Estados). Em 1662, John Graunt publicou estatísticas 
de nascimentos e mortes. A partir de então, o estudo dos eventos vitais e da ocorrência de doenças e 
óbitos impulsionou o desenvolvimento da Estatística nos campos teórico e aplicado (Triola, 1999). 
 
Atualmente, índices e indicadores estatísticos fazem parte do dia a dia, tais como taxa de inflação, 
índice de desemprego, taxa de natalidade, taxa de crescimento populacional, índice de poluição at-
mosférica, índice de massa corporal, entre outros. 
 
Estatística: é uma coleção de métodos para planejar experimentos, obter e organizar dados, resumi-
los, analisá-los, interpretá-los e deles extrair conclusões (Triola, 1999). 
 
Bioestatística – Estatística aplicada às ciências da vida. 
 
Níveis de mensuração 
 
Escala nominal 
Os indivíduos são classificados em categorias segundo uma característica. 
Ex: sexo (masculino, feminino), hábito de fumar (fumante, não fumante), sobrepeso (sim, não). 
 
Não existe ordem entre as categorias e suas representações, se numéricas, são destituídas de signifi-
cado numérico. 
Ex: sexo masculino=1, sexo feminino = 2. 
Os valores 1 e 2 são apenas rótulos. 
 
Escala ordinal 
Os indivíduos são classificados em categorias que possuem algum tipo inerente de ordem. Neste caso, 
uma categoria pode ser "maior" ou "menor" do que outra. 
 
Ex: nível sócio-econômico (A, B, C e D; onde A representa maior poder aquisitivo); 
nível de retinol sérico (alto, aceitável, baixo, deficiente) onde alto: maior ou igual a 50,0 
µg/dl; aceitável: 20,0 a 49,9 µg/dl; baixo: 10,0 a 19,9 µg/dl; deficiente: menor ou igual a 10,0 
µg/dl. Estes critérios são do Commitee on Nutrition for National Defense ICNND/USA, 1963 (in 
Prado MS et al, 1995). 
 
Embora exista ordem entre as categorias, a diferença entre categorias adjacentes não tem o mesmo 
significado em toda a escala. 
 
Escala numérica intervalar 
Este nível de mensuração possui um valor zero arbitrário. 
Ex: temperatura em graus Celsius. 
 
Escala numérica de razões – possui zero inerente á natureza da característica sendo aferida. 
 
 
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Escala de razões discreta: o resultado numérico da mensuração é um valor inteiro. 
Ex: número de refeições em um dia (nenhuma, uma, duas, três, quatro, ...), 
frequência de consumo semanal de determinado alimento (1 vez, 2 vezes, 3 vezes, 4 vezes, 5 
vezes, 6 vezes, 7 vezes) . 
 
Escala de razões contínua: o resultado numérico é um valor pertencente ao conjunto dos números 
reais R ={-∞; ...; 0; 0,2; 0,73; 1; 2,48;...; +∞}. 
Ex: idade (anos), peso (g), altura (cm),nível de retinol sérico (µg/dl), circunferência da cintura 
(cm). 
 
Comparando-se as escalas intervalar e de razões contínua 
 
 
 
 
De acordo com os níveis de mensuração, pode-se classificar a natureza das variáveis segundo a 
escala de mensuração em: 
VARIÁVEL: 
qualitativa 
 nominal
 ordinal
quantitativa 
 discreta
 contínua













 
 
O tipo da variável irá indicar a melhor forma para o dado ser apresentado em tabelas e 
gráficos, em medidas de resumo e, a análise estatística mais adequada. 
 
Exemplo 1 -Classificar quanto a natureza, as seguintes variáveis 
Variável Tipo (natureza) 
Condição de saúde (doente, não doente) 
Tipo de parto (normal, cesáreo) 
Nível de colesterol sérico (mg/100cc) 
Tempo de um procedimento cirúrgico (minutos) 
Número de praias consideradas poluídas 
Custo do procedimento (reais) 
Peso (g) 
Estado nutricional (desnutrição, eutrofia, sobrepeso, obesidade) 
Consumo de energia (Kcal) 
Realização da refeição café da manhã (sim/não) 
Número de escolares por série 
Realização de atividade física diária (sim/não) 
Tempo assistindo TV/dia (< 2h, 2 a 4h, >4h) 
Porções consumidas por grupo de alimentos 
Percentual de gordura corporal (%) 
comprimento cm polegada |difcm| |dif pol| Difcm/difpol Razãocm Razãopol Razãocm/razãopol 
A 20 50,8 |A-B|=15 |A-B|=38,1 0,394 A/B=0,571 A/B=0,571 1 
B 35 88,9 |B-C|=5 |B-C|=12,7 0,394 B/C=0,875 B/C=0,875 1 
C 40 101,6 |A-C|=20 |A-C|=50,8 0,394 A/C=0,5 A/C=0,5 1 
 
material 0C 0F |dif0C| |dif 0F| dif0C/dif0F razão0C razão0F Razão0C/razão0F 
A 20 68 |A-B|=20 |A-B|=36 0,56 A/B=0,50 A/B=0,65 0,77 
B 40 104 |B-C|=20 |B-C|=36 0,56 B/C=0,67 B/C=0,74 0,91 
C 60 140 |A-C|=40 |A-C|=72 0,56 A/C=0,33 A/C=0,49 0,67 
 
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Coleta de dados 
É a observação e registro da categoria ou medida de variáveis relacionadas ao objeto de estudo que 
ocorrem em unidades (indivíduos) de uma amostra ou população. 
 
 
Tópicos iniciais de amostragem 
 
População: totalidade de elementos sob estudo. Apresentam uma ou mais características em comum. 
Supor o estudo sobre a ocorrência de sobrepeso em crianças de 7 a 12 anos no Município de São 
Paulo. 
População alvo – todas as crianças nesta faixa etária deste município. 
População de estudo – crianças matriculadas em escolas. 
 
Elementos: são unidades de análise; podem ser pessoas, domicílios, escolas, creches, células ou qual-
quer outra unidade. 
 
Amostra: é uma parte da população de estudo. 
 
Amostragem: processo para obtenção de uma amostra. Tem como objetivo estimar parâmetros popu-
lacionais. 
 
Parâmetro: Quantidade fixa de uma população. 
Ex: peso médio ao nascer de crianças que nascem no município de São Paulo (µ = 3100 g); 
 
Proporção de crianças de 7 a 12 anos classificadas como obesas, no município de São Paulo 
(pi = 12%). 
 
Estimador: é uma fórmula matemática que permite calcular um valor (estimador por ponto) ou com 
um conjunto de valores (estimador por intervalo) para um parâmetro. 
 Ex: Média aritmética:
N
X
X
N
i
i∑
=
=
1 , 
onde N
N
i
i XXXX +++=∑
=
...21
1
 e N = número de observações. 
Estimativa: Valor do estimador calculado em uma amostra. Estima o valor do parâmetro. 
 
Ex: Peso médio ao nascer, calculado em uma amostra de 120.000 crianças nascidas no Município de 
São Paulo no ano de 2000: média amostral = gx 3000= . 
 
Indicações para utilizar uma amostra 
População muito grande 
Processo destrutivo de investigação 
Novas terapias 
 
Vantagens de realizar um estudo com amostragem: 
Menor custo 
Menor tempo para obtenção dos resultados 
Possibilidade de objetivos mais amplos 
Dados possivelmente mais fidedignos 
 
Desvantagens 
 Resultados sujeitos à variabilidade 
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Tipos de Amostragem 
 
Probabilística: cada unidade amostral tem probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à 
amostra. É usada alguma forma de sorteio para a obtenção da amostra. 
 
Não probabilística: não se conhece a probabilidade de cada unidade amostral pertencer à amostra. 
Algumas unidades terão probabilidade zero de pertencer à amostra. 
Ex: amostragem intencional; por voluntários; acesso mais fácil; por quotas. 
 
Tipos de amostragem probabilística: 
 - aleatória simples (com e sem reposição); 
 - sistemática; 
 - com partilha proporcional ao tamanhodo estrato; 
 - por conglomerado. 
 
Amostragem aleatória simples (AAS) 
É o processo de amostragem onde qualquer subconjunto de n elementos diferentes de uma popula-
ção de N elementos tem mesma probabilidade de ser sorteado (NN, 1998). Tamanho da população: 
N; tamanho da amostra: n; fração global de amostragem ou probabilidade de sortear um indivíduo = 
N
n
. 
• É necessário ter um sistema de referência que contenha todos os elementos da população 
da qual será retirada a amostra; 
• Utilização da tabela de números aleatórios – mecânica; 
• Utilização de programas computacionais. 
 
Exemplo 2 -Os dados a seguir são de peso (kg) de 80 mulheres identificadas pela variável id (identi-
ficação). 
Id Peso Id peso Id Peso Id Peso Id Peso Id Peso 
1 65 16 71 31 70 46 75 61 68 76 75 
2 65 17 84 32 72 47 79 62 69 77 79 
3 58 18 63 33 75 48 79 63 76 78 73 
4 59 19 64 34 76 49 82 64 77 79 82 
5 67 20 65 35 77 50 83 65 80 80 76 
6 68 21 74 36 78 51 65 66 81 
7 74 22 81 37 80 52 68 67 59 
8 81 23 66 38 82 53 75 68 64 
9 66 24 69 39 63 54 76 69 70 
10 61 25 71 40 66 55 78 70 80 
11 64 26 71 41 72 56 78 71 85 
12 65 27 72 42 72 57 81 72 70 
13 67 28 73 43 72 58 85 73 71 
14 68 29 75 44 73 59 66 74 72 
15 70 30 77 45 73 60 68 75 72 
Fonte: Osborn JF. Statistical Exercises in Medical Research. John Wiley & Sons Inc., 1979. (adaptado). 
 
a) Sorteie uma amostra aleatória de tamanho 20 utilizando a tabela dos números equiprováveis. 
b) Apresente os valores do peso dos indivíduos sorteados. 
c) Some os valores e divida pelo tamanho da amostra (número de valores). 
d) Este valor é o parâmetro, o estimador ou a estimativa do peso médio? 
 
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Amostragem sistemática 
Utiliza-se a ordenação natural dos elementos da população (prontuários, casa, ordem de nascimento). 
• Intervalo de amostragem 
n
Nk = , onde N= tamanho da população e n = tamanho da amos-
tra 
• Início casual i, sorteado entre 1 e k, inclusive 
• Amostra sorteada é composta pelos elementos: i, i+k, i+2k, ...., i+(n-1)k 
 
OBS: É necessário ter cuidado com a periodicidade dos dados, por exemplo se for feito sorteio de dia 
no mês, pode cair sempre em um domingo onde o padrão de ocorrência do evento pode ser diferen-
te. 
Exemplo: N=80; n=10; 8
10
80
===
n
Nk ; início casual: 81 ≤≤ i 
Começo casual sorteado: i=4 
Amostra composta dos elementos: 
i .............. 4 
i+k ……….. 12 
i+2k ………. 20 
i+3k ………. 28 
i+4k ………. 36 
i+5k ………. 44 
i+6k ………. 52 
i+7k ………. 60 
i+8k .…….. 68 
i+(n-1)k …. 76 
 
Se o intervalo de amostragem não for inteiro proceder da seguinte forma: 
N= 321 ; n=154; 084,2
154
321
===
n
NK 
i deve ser um número sorteado entre 1 e 2,084 
Sortear um número entre 1000 e 2084 e dividir o resultado por 1000 
Número sorteado = 1941, portanto i=1,941 
Indivíduos: 
 elemento 
I 1,941 1 
i+k 1,941+2,084 = 4,025 4 
i+2k 1,941+4,1680 = 6,109 6 
i+3k 1,941+6,252 = 8,193 8 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
i+(n-1)k 1,941+318,852 = 320,793 320 
 
Exemplo 3 – Utilize os dados do Exemplo 2. 
a) Sorteie uma amostra sistemática de tamanho 20. Indique o intervalo de amostragem e o co-
meço casual sorteado. Indique o número de identificação de cada elemento da amostra. 
b) Some os valores e divida pelo tamanho da amostra (número de valores). 
c) Compare com o peso médio obtido no exemplo 2. Você esperaria o mesmo resultado? Justifi-
que. 
d) Qual dos dois valores você diria que representa melhor o conjunto de dados? Justifique. 
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Amostragem casual simples estratificada com partilha proporcional 
 
A população possui estratos com tamanhos: 
N1; N2; N3, onde a soma dos estratos é o tamanho da população, ou seja ∑ = NN i 
 
A amostra deve conter os elementos da população nas mesmas proporções dos estratos. Tem-se que 
os tamanhos dos estratos amostrais são n1, n2 e n3 tal que ∑ = nni 
 
Aplicando-se a proporção: 
N
N
nn
N
N
n
n i
i
ii
=⇒= 
 
Exemplo: 
N=500; N1=50; N2=150; N3=300 e n=40 
 
 Tamanho do estrato 
Estrato i na população na amostra 
 Ni ni 
N
N
n
n ii
= 
1 50 4 0,1 
2 150 12 0,3 
3 300 24 0,6 
Total 500 40 
 
4
500
50401 ==n ; 12500
150402 ==n ; 24500
300403 ==n 
 
 
 
Amostragem por conglomerado: 
 
O conglomerado é um conjunto de elementos formando uma unidade amostral. Se a unidade amos-
tral for indivíduo e forem sorteados domicílios, então a amostragem é por conglomerado. 
 
Exemplo 4 
Cite dois exemplos de amostragens por conglomerado. 
 
Apuração de dados 
 
Processo no qual conta-se o número de vezes que a variável assumiu um determinado valor (frequên-
cia de ocorrência). Pode ser manual, mecânica ou eletrônica (programas estatísticos: Epi info, Stata, 
Excel, SPSS, SAS, R, S-Plus). 
 
Distribuição de frequências - correspondência entre categorias (valores) e frequência de ocorrência. 
 
Distribuição de frequências com dados pontuais e em intervalos de classe 
 
Notação: 
X : variável 
xi : valor observado para o indivíduo i 
 
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Apresentação pontual 
Ex: 9 indivíduos 
X: número de refeições diárias 
x: 2, 3, 3, 1, 5, 2, 3, 2, 3 
Apuração: 
número de refeições frequência absoluta 
1 1 
2 3 
3 4 
5 1 
 
X: idade (anos inteiros) 
x: 5, 5, 15, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 22 
idade frequência 
5 2 
15 1 
20 3 
21 2 
22 2 
 
X: peso ao nascer em gramas 
X: 2250, 3025, 1600, 2725, 3750, 3950, 2400, 2180, 2520 
peso frequência 
1600 1 
2180 1 
2250 1 
2400 1 
2520 1 
2725 1 
3025 1 
3750 1 
3950 1 
 
Altura em metros 
X: 1,63; 1,60; 1,59; 1,60; 1,45; 1,73; 2,05; 1,85 
altura frequência 
1,45 1 
1,59 1 
1,60 2 
1,63 1 
1,73 1 
1,85 1 
2,05 1 
 
Apresentação tabular 
 
Elementos essenciais: título, corpo, cabeçalho e coluna indicadora. 
Tabela 1 - Título: o que (natureza do fato estudado)?como (variáveis)?onde? quando? 
Variável n° % 
 
 
 
Total 
Fonte 
notas, chamadas 
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OBS: nenhuma casela (intersecção entre linha e coluna) deve ficar em branco. 
 
A tabela deve ser uniforme quanto ao número de casas decimais e conter os símbolos – ou 0 quando 
o valor numérico é nulo e ... quando não se dispõe do dado. 
 
Exemplo: 
Distribuição de crianças(1) segundo níveis séricos de retinol. Cansação – Bahia, 1992 
Nível de retinol sérico(2) n % 
Aceitável 89 55,3 
Baixo 65 40,4 
Deficiente 7 4,3 
Total 161 100 
(1) 24 –72 meses 
(2) aceitável: 20,0 – 49,9 µg/dl; baixo: 10,0 – 19,9 µg/dl; deficiente: <10,0 µg/dl 
Fonte: Prado MS et al., 1995. 
 
Apresentação tabular de variável quantitativa contínua 
 
Como idade é variável quantitativa contínua, a melhor forma de apresentá-la em tabelas é utilizando 
intervalos de valores denominados intervalos de classe. 
Ex: 
x: 5, 5, 15, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 22 
idade frequência % 
 5 |-- 10 2 20 
10 |-- 15 0 - 
15 |-- 20 1 10 
20 |-- 25 7 70 
Total 10 100 
 
Intervalos de classe: conjunto de observações contidas entre dois valores limite (limite inferior e limite 
superior). 
 
Representação: 
5 | -- 10 intervalo fechado no limite inferior e aberto no limite superior (con-
tém o valor 5 mas não contém o valor 10) 
5 -- 10 intervaloaberto nos limites inferior e superior 
(não contém os valores 5 e 10) 
5 |-- | 10 intervalo fechado nos limites inferior e superior 
(contém os valores 5 e 10) 
 
OBS: Representar o intervalo 0 |-- | 11 meses é equivalente a representá-lo como 0 |-- 12 meses. 
 
X: peso (g) 
X: 2250, 3025, 1600, 2725, 3750, 3950, 2400, 2180, 2520, 2530 
 
Peso (g) frequência % 
1500|--2000 1 10 
2000|--2500 3 30 
2500|--3000 3 30 
3000|--3500 1 10 
3500|--4000 2 20 
Total 10 100 
 
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X: Altura (cm) 
X: 1,63; 1,60; 1,59; 1,60; 1,45; 1,73; 2,05; 1,85 
 
Altura (cm) n % 
1,45|--1,55 1 12,5 
1,55|--1,65 4 50,0 
1,65|--1,75 1 12,5 
1,75|--1,85 0 - 
1,85|--1,95 1 12,5 
1,95|--2,05 0 - 
2,05|--2,15 1 12,5 
Total 8 100 
 
Os intervalos de classe devem ser mutuamente exclusivos (um indivíduo não pode ser classificado 
em dois intervalos ao mesmo tempo) e exaustivos (nenhum indivíduo pode ficar sem classificação). 
A amplitude do intervalo é o tamanho do intervalo de classe. A amplitude do intervalo e o número 
de intervalos dependem basicamente do problema específico e da literatura existente sobre o assunto. 
O ponto médio do intervalo é calculado somando-se o limite inferior e limite superior, dividindo-se 
o resultado por dois. 
 
Exemplo 5 – Os dados a seguir são de altura de uma amostra de 351 mulheres idosas selecionadas 
aleatoriamente de uma comunidade para um estudo de osteoporose. 
 
142 152 154 156 157 158 160 161 163 164 165 169 
145 152 154 156 157 158 160 161 163 164 165 169 
145 152 154 156 157 158 160 161 163 164 165 169 
145 152 154 156 157 158 160 161 163 164 165 169 
146 152 155 156 157 158 160 161 163 164 166 169 
147 152 155 156 157 158 160 161 163 164 166 169 
147 153 155 156 158 158 160 161 163 164 166 169 
147 153 155 156 158 158 160 161 163 164 166 170 
147 153 155 156 158 159 160 162 163 164 166 170 
148 153 155 156 158 159 160 162 163 164 166 170 
148 153 155 156 158 159 160 162 163 164 166 170 
149 153 155 156 158 159 160 162 163 164 166 170 
150 153 155 156 158 159 160 162 163 164 166 170 
150 153 155 156 158 159 160 162 163 164 166 170 
150 153 155 156 158 159 160 162 163 164 166 170 
150 153 155 157 158 159 160 162 163 165 167 170 
150 153 155 157 158 159 160 162 163 165 167 170 
150 153 155 157 158 159 161 162 163 165 167 170 
151 153 155 157 158 159 161 162 163 165 167 171 
151 153 155 157 158 159 161 162 163 165 167 171 
151 153 155 157 158 159 161 162 163 165 167 171 
151 153 155 157 158 159 161 162 163 165 167 173 
151 153 155 157 158 159 161 162 163 165 168 173 
151 154 155 157 158 159 161 162 163 165 168 173 
152 154 155 157 158 159 161 162 163 165 168 174 
152 154 156 157 158 160 161 162 163 165 168 176 
152 154 156 157 158 160 161 163 163 165 168 177 
152 154 156 157 158 160 161 163 164 165 168 178 
152 154 156 157 158 160 161 163 164 165 169 178 
152 154 156 
Fonte: Hand DJ et alli. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
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10 
 
a) Faça uma apuração dos dados e represente-os em uma tabela. 
b) Interprete os resultados. 
c) Se entre as 351 mulheres não fossem conhecidas as alturas de 15 delas, como você represen-
taria esses valores? 
d) Ao apresentar os dados em uma tabela você iria incluir estes valores? 
e) Estas 15 mulheres tinham, na verdade, altura maior que 180 e o investigador, por achar que 
eram “valores esquisitos” resolveu excluí-los. Você concorda com esta decisão? Justifique. 
 
Tabela de dupla entrada 
 
Distribuição de crianças(1) segundo níveis séricos de retinol e idade. Cansação – Bahia, 1992. 
Aceitável Inadequado Total Faixa etária (meses) 
n % n % n % 
<12 5 45,5 6 54,5 11 100 
12|--24 10 43,5 13 56,5 23 100 
24|--36 19 54,3 16 45,7 35 100 
36|--48 21 65,6 11 34,5 32 100 
48|--60 16 43,2 21 56,8 37 100 
60|--73 18 78,3 5 21,7 23 100 
Total 89 55,3 72 44,7 161 100 
(1) 24 –72 meses. 
(2) aceitável: 20,0 – 49,9 µg/dl; baixo: 10,0 – 19,9 µg/dl; deficiente: <10,0 µg/dl. 
Fonte: Prado MS et al., 1995. 
 
Exemplo 6 
Os dados a seguir são de um estudo que investiga a relação entre níveis de β-caroteno (mg/L) e hábi-
to de fumar em gestantes. 
a) Calcule as frequências relativas. Fixando o 100% no total de fumantes e não fumantes. 
b) Calcule as frequências relativas. Fixando o 100% no total do nível de B-caroteno (MG/L). 
c) Interprete os resultados. Existe alguma indicação de existência de associação entre as variá-
veis? Justifique. 
a) 
Distribuição de gestantes segundo níveis de ββββ-caroteno (mg/L) e hábito de fumar. 
ββββ-caroteno (mg/L) Fumante Não Fumante Total 
 n % n % n % 
Baixo (0 – 0,213) 46 74 120 
Normal (0,214 – 1,00) 12 58 70 
Total 58 132 190 
Fonte: Silmara Silva. Tese de Mestrado/FSP/USP. 
 
b) 
Distribuição de gestantes segundo níveis de ββββ-caroteno (mg/L) e hábito de fumar. 
ββββ-caroteno (mg/L) Fumante Não Fumante Total 
 n % n % n % 
Baixo (0 – 0,213) 46 74 120 
Normal (0,214 – 1,00) 12 58 70 
Total 58 132 190 
Fonte: Silmara Silva. Tese de Mestrado/FSP/USP. 
 
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11 
Exercícios suplementares 
 
Exercício S1 
Os dados a seguir são relativos ao número de refeições diária de 50 indivíduos. 
2 3 2 1 2 6 5 4 3 
1 2 2 1 2 5 6 4 3 
2 2 3 2 3 4 2 3 2 
3 2 3 3 3 4 3 4 5 
3 1 4 3 4 4 3 
3 1 6 4 4 2 4 
Fonte X. 
a) Apresente os dados em uma tabela. 
b) Interprete a dispersão dos dados. 
 
Exercício S2 
Os dados a seguir são provenientes do grupo Western Collaborative Group Study, criado na Califórnia 
em 1960-61. Foram estudados 3154 homens de meia idade para investigar a relação entre padrões de 
comportamento e risco de doença coronariana. Os dados apresentados são de 40 homens para os 
quais foram medidos os níveis de colesterol (mg/100ml) e realizada uma categorização segundo com-
portamento. O comportamento de tipo A é caracterizado pela urgência, agressividade e ambição. O de 
tipo B é relaxado, não competitivo e menos preocupado. 
Tipo A: nível de colesterol 
 
233 291 312 250 246 197 268 224 239 239 
254 276 234 181 248 252 202 218 212 325 
 
Tipo B: nível de colesterol 
344 185 263 246 224 212 188 250 148 169 
226 175 242 252 153 183 137 202 194 213 
 
a) Quais variáveis que estão sendo estudadas? Identifique a natureza de cada variável. 
b) Apure os dados e apresente a variável nível de colesterol em uma tabela bidimensional, con-
siderando os níveis A e B. 
c) Classifique a variável nível de colesterol em duas categorias: nível normal (abaixo de 160 
mg/100ml) e nível elevado (160 mg/100ml e mais) e faça uma tabela bidimensional cruzando 
as variáveis: nível de colesterol (normal e alto) e tipo de comportamento (A e B). Interprete 
os resultados. 
 
Exercício S3 
Os dados a seguir são provenientes de um estudo realizado com escolares de 7 a 10 anos que partici-
param de um treinamento para melhorar a habilidade dos mesmos em especificar os alimentos con-
sumidos através de um preenchimento de um Diário Alimentar. Foram atribuídos escores antes e após 
o treinamento para cada criança participante da pesquisa. Apresente os dados dos escores em três 
tabelas separadas e compare os dados da tabela antes e após o treinamento. 
 
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12 
Tabela 1. Valores das médias do escore obtido por aluno antes e após o treinamento, segundo as 
categorias identificação do alimento,detalhamento e quantificação. São Paulo, SP, 2007. 
Identificação de ali-
mento 
Detalhamento do 
alimento 
Quantificação Escolar 
Antes Depois Antes Depois Antes Depois 
1 4,67 5,00 2,50 1,88 - 3,17 
2 4,89 5,00 3,33 2,50 - 4,33 
3 5,00 5,00 - 1,25 2,67 5,00 
4 4,44 5,00 0,83 1,25 - 4,50 
5 5,00 4,92 2,50 0,63 - 5,00 
6 3,11 5,00 3,33 3,00 - 4,87 
7 3,83 5,00 2,50 3,33 - 5,00 
8 4,17 5,00 2,50 3,75 2,33 4,58 
9 3,33 4,58 2,50 3,13 1,00 4,58 
10 5,00 5,00 - 5,00 - 5,00 
11 2,50 4,67 - - 2,50 4,33 
12 4,17 4,44 1,25 2,67 0,50 4,89 
13 4,50 5,00 1,25 2,50 - 3,22 
14 3,33 5,00 2,50 1,67 3,17 5,00 
15 5,00 5,00 - 3,13 0,67 4,50 
16 3,33 5,00 2,50 0,42 - 3,39 
17 3,33 5,00 2,50 4,17 - - 
18 3,83 5,00 - - - 3,67 
19 1,67 5,00 0,63 0,83 - - 
20 3,17 5,00 1,25 2,50 - 4,42 
21 3,89 5,00 - 2,50 - 2,33 
22 3,89 5,00 2,50 4,28 - 1,33 
23 5,00 5,00 - - - 5,00 
24 5,00 5,00 2,50 4,17 - 3,78 
25 4,50 5,00 0,63 0,83 - 3,00 
26 1,67 5,00 - 0,83 - - 
27 5,00 5,00 0,50 2,17 - 5,00 
28 3,33 5,00 0,50 0,67 - 1,00 
29 4,53 4,53 1,50 2,50 - - 
30 3,33 5,00 0,63 1,88 - 3,58 
31 3,75 5,00 - 1,67 - 4,50 
32 1,67 5,00 1,00 1,17 - - 
33 4,17 3,75 - 0,21 - 0,25 
- escore = zero. 
Fonte: Consolmagno DC, 2009. 
 
Exercício S4 
Os dados a seguir são relativos ao peso ao nascer (g) de recém nascidos com síndrome de desconfor-
to idiopático grave. Algumas crianças foram a óbito (*) e outras sobrevieram. 
1050* 2500* 1890* 1760 2830 
1175* 1030* 1940* 1930 1410 
1230* 1100* 2200* 2015 1715 
1310* 1185* 2270* 2090 1720 
1500* 1225* 2440* 2600 2040 
1600* 1262* 2560* 2700 2200 
1720* 1295* 2730* 2950 2400 
1750* 1300* 1130 2550 3160 
1770* 1550* 1575 2570 3400 
2275* 1820* 1680 3005 3640 
Fonte: Hand DJ et al., 1994. 
 
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13 
a) Classifique a variável peso ao nascer em duas categorias: baixo peso (abaixo de 2500 g) e 
não baixo peso (2500 g e mais) e faça uma tabela bidimensional cruzando as variáveis: condi-
ção do recém-nascido (sobrevivente ou não sobrevivente) e peso ao nascer (baixo peso e não 
baixo peso). 
b) Interprete os resultados. 
 
 
Exercício S5 
A tabela abaixo foi extraída do artigo Tendência secular do peso ao nascer na cidade de São Paulo 
(1976-1998) de MONTEIRO CA et al. (Rev. Saúde Pública; 2000:34 (6, supl): 26-40). 
Comente os resultados apresentados. 
 
 
 
Apresentação gráfica: diagrama de barras, diagramas de setores circula-
res, diagrama linear, histograma, polígono de frequência, ogiva de fre-
quências acumuladas. 
 
Diagrama de barras 
 
Utilizado para representar as variáveis qualitativa nominal, ordinal e quantitativa discreta. 
 
Características: figuras geométricas (barras) separadas e bases de mesmo tamanho. A altura das 
barras é proporcional às frequências. 
 
Variável qualitativa 
O Inquérito Brasileiro de Nutrição (IBRANUTRI) foi um estudo de pacientes maiores de 18 anos, inter-
nados em hospitais da rede pública, conveniados, filantrópicos e universitários de 12 estados do Brasil 
e do Distrito Federal, realizado de maio a novembro de 1996 (in Soares JF, Siqueira AL. Introdução à 
Estatística Médica, COOPMED,Belo Horizonte, MG 2002). Os dados da tabela são retirados deste estu-
do. 
 
Distribuição de pacientes segundo estado nutricional. IBRANUTRI, maio a novembro, 1996. 
Estado nutricional n % 
Nutrido 2061 51,5 
Desnutrido 1905 47,6 
Sem diagnóstico 34 0,9 
Total 4000 100,0 
 Fonte: adaptado de Soares JF, Siqueira AL, 2002. 
 
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14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: adaptado de Soares JF, Siqueira AL, 2002. 
Distribuição de pacientes segundo estado nutricional. IBRANUTRI, maio a novembro, 1996. 
 
 
 
Esta representação gráfica está correta? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção: cuidado com a origem! 
 
 
Diagrama de barras da tabela anterior, excluindo-se os registros da categoria sem diagnóstico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: adaptado de Soares JF, Siqueira AL, 2002. 
Distribuição de pacientes segundo estado nutricional. IBRANUTRI, maio a novembro, 1996. 
 
1800
1850
1900
1950
2000
2050
2100
Nutrido Desnutrido
Estado nutricional
N
úm
e
ro
 
0 
500 
1000 
1500 
2000 
2500 
Nutrido Desnutrido Sem 
diagnóstico 
Estado nutricional 
Nú
m
er
o
 
0
500
1000
1500
2000
2500
Nutrido Desnutrido
Estado nutricional
Nú
m
e
ro
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15 
Variável qualitativa nominal 
Distribuição do consumo médio per capita de carne vermelha (kg/ano) segundo país. 
País Consumo anual País Consumo anual 
Albânia 10,1 Noruega 9,4 
Alemanha Oriental 11,4 Polônia 6,9 
Áustria 8,9 Portugal 6,2 
Bélgica 13,5 Romênia 6,2 
Bulgária 7,8 Espanha 7,1 
Checoslováquia 9,7 Suécia 9,9 
Dinamarca 10,6 Suíça 13,1 
Alemanha Ocidental 8,4 Reino Unido 17,4 
Finlândia 9,5 União Soviética 9,3 
França 18,0 Iugoslávia 4,4 
Grécia 10,2 Hungria 5,3 
Itália 9,0 Irlanda 13,9 
Holanda 9,5 
 Fonte: Hand DJ et al., 1994 (adaptado). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Hand DJ et al., 1994 (adaptado). 
Distribuição do consumo médio (kg/ano) per capita de carne vermelha, segundo país. 
 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Albânia
Alemanha Oriental
Áustria
Bélgica
Bulgária
Checoslováquia
Dinamarca
Alemanha Ocidental
Finlândia
França
Grécia
Itália
Holanda
Noruega
Polônia
Portugal
Romênia
Espanha
Suécia
Suíça
Reino Unido
União Soviética
Iugoslávia
Hungria
Irlanda
País
Consumo médio per capita (Kg/ano) 0 5 10 15 20
França
Reino Unido
Irlanda
Bélgica
Suíça
Alemanha Oriental
Dinamarca
Grécia
Albânia
Suécia
Checoslováquia
Finlândia
Holanda
Noruega
União Soviética
Itália
Áustria
Alemanha Ocidental
Bulgária
Espanha
Polônia
Portugal
Romênia
Hungria
Iugoslávia
País
Consumo médio per capita (kg/ano) 
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16 
Variável qualitativa ordinal 
 
Distribuição de pacientes segundo estado nutricional. IBRANUTRI, maio a novembro, 1996. 
Estado nutricionala n % 
Nutrido 2061 52,0 
Desnutrido moderado 1407 35,4 
Desnutrido grave 498 12,6 
Total 3966 100 
 a excluindo-se 34 (0,9%) de pacientes sem diagnóstico. 
Fonte: adaptado de Soares JF, Siqueira AL, 2002. 
 
0
10
20
30
40
50
60
Nutrido Desnutrido
moderado
Desnutrido grave
Estado nutricional
%
 
a excluindo-se 34 (0,9%) de pacientes sem diagnóstico. 
Fonte: adaptado de Soares JF, Siqueira AL, 2002. 
Distribuição de pacientes segundo estado nutricional. IBRANUTRI, maio a novembro, 1996. 
 
 
Variável quantitativa discreta: número de bens 
 
Foi realizada, no período de outubro de 1998 a outubro 1999, a pesquisa “Alimentação no primeiro 
ano de vida”, onde se estudou uma coorte de recém-nascidos da maternidade do Hospital Universitá-
rio (HU). Os dados a seguir são parte da caracterização sócio-econômica da amostra estudada. 
 
Distribuição de famílias segundo número de bens* que possuem. Hospital Universitário/USP, São Pau-
lo 1999. 
Número de bens n % 
0 146 40,6 
1 97 26,9 
2 87 24,2 
3 26 7,2 
4 4 1,1 
Total 360 100 
* automóvel, telefone, TV a cabo e computador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*automóvel, telefone, TV a cabo e computadorDistribuição de famílias segundo número de bens*. Hospital Universitário/USP, São Paulo 1999. 
 
0 
10 
20 
30 
40 
50 
0 1 2 3 4 
Número de bens 
% 
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17 
Exemplo 7 
Os dados a seguir são relativos ao número de refeições diárias de 50 indivíduos, utilizados no exercí-
cio S1. 
 
2 3 2 1 2 6 5 4 3 
1 2 2 1 2 5 6 4 3 
2 2 3 2 3 4 2 3 2 
3 2 3 3 3 4 3 4 5 
3 1 4 3 4 4 3 
3 1 6 4 4 2 4 
c) Apresente os dados em um gráfico. 
d) Interprete o gráfico. 
 
Diagrama de setores circulares 
Variáveis: qualitativa nominal e qualitativa ordinal 
Distribuição de pacientes segundo estado nutricional. IBRANUTRI, maio a novembro, 1996. 
Estado nutricionala n % 
Nutrido 2061 52,0 
Desnutrido moderado 1407 35,4 
Desnutrido grave 498 12,6 
Total 3966 100 
 a excluindo-se 34 (0,9%) de pacientes sem diagnóstico. 
Fonte: adaptado de Soares JF, Siqueira AL, 2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a excluindo-se 34 (0,9%) de pacientes sem diagnóstico. 
Fonte: adaptado de Soares JF, Siqueira AL, 2002. 
Distribuição de pacientes(a) segundo estado nutricional. IBRANUTRI, maio a novembro, 1996. 
 
Diagrama linear 
 Produção de leite (milhões de toneladas). 
 Índia e Estados Unidos, 1966 – 2000 
Produção de leite (milhões de toneladas). 
Índia e Estados Unidos, 1966 – 2000. 
Ano Índia Estados Unidos 
1966 20 58 
1970 23 56 
1980 29 60 
1990 50 70 
2000 80 75 
 
Fonte: State of the World, 2001. 
 
 Fonte: State of the World, 2001. 
52,0%
35,4%
12,6%
Nutrido Desnutrido moderado Desnutrido grave
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
Ano
M
ilh
o
e
s
 
de
 
to
n
e
la
da
s
Índia
Estados Unidos
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
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18 
Exemplo 8 
 
Os dados são referentes a produção (kg) de carne de peixes e de carne vermelha e de carneiro por 
pessoa, no mundo, no período de 1950 a 2000. 
Ano Pesca oceânica 
(kg) 
Carne vermelha e 
de carneiro (kg) 
1950 7,9 9,0 
1960 12,0 10,0 
1970 16,1 12,0 
1980 15,5 11,9 
1990 16,3 12,0 
2000 15,0 11,7 
Fonte: State of the World, 2001. The Worldwatch Institute. 
 
a) Apresente os dados em um gráfico. 
b) Interprete os resultados. 
 
 
Histograma 
 
Adequado para representar variável quantitativa contínua 
 
Intervalos de classe com mesma amplitude 
Distribuição de recém-nascidos acometidos de síndrome de desconforto idiopático grave segundo 
peso ao nascer (g) 
Peso(g) No % 
1000 |-- 1500 13 26 
1500 |-- 2000 15 30 
2000 |-- 2500 9 18 
2500 |-- 3000 9 18 
3000 |-- 3500 3 6 
3500 |-- 4000 1 2 
Total 50 100 
Fonte: van Vliet PKJ, Gupta JM. (1973). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: van Vliet PKJ, Gupta JM. (1973) 
 
Distribuição de recém-nascidos acometidos de síndrome de desconforto idiopático grave segundo 
peso ao nascer (g). 
 
0 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 
Peso ao nascer (g) 
% 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
19 
 
Notar que o gráfico pode ser construído considerando-se pessoas por unidade de medida 
(densidade) 
 
Peso(g) No Amplitude No/amplitude (No/amplitude)x10000 
1000 |-- 1500 13 500 0,026 26 
1500 |-- 2000 15 500 0,030 30 
2000 |-- 2500 9 500 0,018 18 
2500 |-- 3000 9 500 0,018 18 
3000 |-- 3500 3 500 0,006 6 
3500 |-- 4000 1 500 0,002 2 
Total 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: van Vliet PKJ, Gupta JM. (1973). 
 
Distribuição de recém-nascidos acometidos de síndrome de desconforto idiopático grave segundo 
peso ao nascer (g). 
 
OBS: notar que com intervalos iguais, não é necessário fazer ajuste na altura dos retângulos dado 
que as bases são de mesmo tamanho (mesma amplitude) e, portanto, com proporcionalidade asse-
gurada. 
 
Exemplo 9 
 
Os dados são referentes à distribuição de pacientes segundo taxa de albumina no sangue (g/dL). 
Taxa de albumina (g/dL) No % 
4,40|-4,60 6 10,0 
4,60|-4,80 11 18,3 
4,80|-5,00 14 23,3 
5,00|-5,20 18 30,0 
5,20|-5,40 8 13,3 
5,40|-5,60 2 3,3 
5,60|-5,80 0 - 
5,80|-6,00 1 1,7 
Total 60 100 
Fonte: Soares JF, Siqueira AL. COOPMED, 2002. 
 
a) Apresente os dados em um histograma. 
b) Interprete os resultados. 
 
 0 
0,005
 
0,010 
0,015
 
0,020
 
0,025
 
0,030 
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 
peso ao nascer (g) 
n
úm
er
o
/g
 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
20 
Intervalos de classe com amplitudes diferentes 
Distribuição de mulheres idosas segundo a altura. 
Altura (cm) No % 
140|--150 12 3,4 
150|--155 52 14,8 
155|--160 109 31,1 
160|--170 156 44,4 
170|--180 22 6,3 
Total 351 100 
 Fonte: Hand DJ et al., 1994. 
Ajuste 
Altura (cm) No Amplitude No/amplitude 
140|--150 12 10 1,2 
150|--155 52 5 10,4 
155|--160 109 5 21,8 
160|--170 156 10 15,6 
170|--180 22 10 2,2 
Total 351 
Fonte: Hand DJ et al., 1994. 
Distribuição de mulheres idosas segundo a altura. 
 
Cuidado: Sem fazer o ajuste, o gráfico fica errado e pode levar a conclusões incorretas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico correto, com o ajuste para intervalos de classe com amplitudes diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Hand DJ et al., 1994. 
 
0
 
5 
10
 
15 
20
 
25 
 140 145 150 155 160 165 170 175 180
 
altura (cm) 
Mulheres/cm
 
 
0 
5
 
10
 
15
 
20 
25
 
30
 
35
 
40
 
45
 
50
 
 140 150 160 170 180 
Altura (cm)
 
% 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
21 
Exemplo 10 
 
Os dados a seguir são da altura (cm) de uma amostra de mulheres de Bangladesh. 
 
Altura (cm) número 
137,0 |--140,0 71 
140,0 |--143,0 137 
143,0 |--145,0 154 
145,0 |--147,0 199 
147,0 |--150,0 279 
150,0 |--153,0 221 
153,0 |--155,0 94 
155,0 |--157,0 51 
157,0 |--160,0 37 
Total 1243 
Fonte: Hand DJ et al, 1994 (adaptado). 
 
a) Represente os dados acima, graficamente em um histograma. 
b) Interprete os resultados. 
 
Polígono de frequência simples 
 
Intervalos de classe com mesma amplitude 
 
Distribuição de recém-nascidos acometidos de síndrome de desconforto idiopático grave segundo 
peso ao nascer (g). 
Peso(g) No % 
1000 |-- 1500 13 26 
1500 |-- 2000 15 30 
2000 |-- 2500 9 18 
2500 |-- 3000 9 18 
3000 |-- 3500 3 6 
3500 |-- 4000 1 2 
Total 50 100 
Fonte: Hand DJ et al., 1994. 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
peso (g)
Número
 
Fonte: Hand DJ et al., 1994. 
Distribuição de recém-nascidos acometidos de síndrome de desconforto idiopático grave segundo 
peso ao nascer (g). 
 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
22 
Exemplo 11 
 
Os dados a seguir são referentes à distribuição de usuárias do Serviço de SaúdeX segundo idade 
(anos). Município de São Paulo, 2009. 
Idade (anos) n % 
15|-- 20 14 19,5 
20|-- 25 24 33,3 
25|-- 30 16 22,2 
30|-- 35 9 12,5 
35|-- 40 8 11,1 
40|--45 1 1,4 
Total 72 100 
 Fonte: Dados hipotéticos. 
a) Apresente a variável em um polígono de frequências simples. 
b) Interprete os resultados. 
 
Intervalos de classe com amplitudes diferentes 
 
Distribuição de mulheres idosas segundo a altura. 
Altura (cm) No % 
140|--150 12 3,4 
150|--155 52 14,8 
155|--160 109 31,1 
160|--170 156 44,4 
170|--180 22 6,3 
Total 351 100 
Fonte: Hand DJ et al., 1994. 
Ajuste 
 
Altura (cm) No Amplitude No/amplitude 
140|--150 12 10 1,2 
150|--155 52 5 10,4 
155|--160 109 5 21,8 
160|--170 156 10 15,6 
170|--180 22 10 2,2 
Total 351 
 
0
5
10
15
20
25
130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190
Altu ra (c m)
n
úm
er
o 
de
 
pe
ss
oa
s/
cm
 
Fonte: Hand DJ et al., 1994. 
Distribuição de mulheres idosas segundo a altura (cm). 
 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
23 
Exemplo 12 
Distribuição de homens segundo nível de glicose no sangue (mg%). 
Nível de glicose no sangue 
(mg%) 
n 
 50|-- 100 13 
100|-- 150 45 
150|-- 200 28 
200|-- 250 10 
250|-- 300 3 
300|-- 450 1 
Fonte: X. 
 
a) Apresente os dados acima graficamente utilizando o polígono de frequências simples. 
b) Interprete os resultados. 
 
Polígono (ogiva) de frequências acumuladas 
Distribuição de mulheres idosas segundo a altura. 
Altura (cm) No % % acumulado 
140|-145 1 0,29 0,29 
145|-150 11 3,13 3,42 
150|-155 52 14,81 18,23 
155|-160 109 31,05 49,28 
160|-165 106 30,20 79,48 
165|-170 50 14,25 93,73 
170|-175 18 5,13 98,86 
175|-180 4 1,14 100 
Total 351 100 
 Fonte: Hand DJ et al., 1994. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Hand DJ et al., 1994. 
 
Distribuição acumulada de mulheres idosas segundo a altura. 
 
 
Percentil Valor da variável Medidas estatísticas 
25% 156 cm Q1 – primeiro quartil 
50% 160 cm Q2 - segundo quartil ou mediana 
75% 164 cm Q3 – terceiro quartil 
 
 
0
 
20
 
40
 
60
 
80
 
100
 
140 145 150 155 160 165 170 175 180 
altura (cm)
 
% acumulado 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
24 
Exemplo 13 
 
Os dados a seguir são medidas de circunferência do tórax (polegadas) de 5732 soldados escoceses 
apresentados pelo matemático belga Adolphe Quetelet (1796–1874). 
Medida (polegada) número % % acumulada 
33,0 |– 34,0 3 
34,0 |– 35,0 19 
35,0 |– 36,0 81 
36,0 |– 37,0 189 
37,0 |– 38,0 409 
38,0 |– 39,0 753 
39,0 |– 40,0 1062 
40,0 |– 41,0 1082 
41,0 |– 42,0 935 
42,0 |– 43,0 646 
43,0 |– 44,0 313 
44,0 |– 45,0 168 
45,0 |– 46,0 50 
46,0 |– 47,0 18 
47,0 |– 48,0 3 
48,0 |– 49,0 1 
Total 5732 
Fonte: Daly F et al. Elements of Statistics, 1999. 
 
a) Represente os dados em um polígono de frequências acumuladas. 
b) Utilizando o gráfico, identifique o valor da circunferência de tórax que deixa 25% dos indiví-
duos abaixo. 
c) Qual o valor de circunferência do tórax que divide a distribuição em 2 partes iguais, isto é, 
qual é o valor da variável que deixa 50% das observações abaixo dele? 
d) Qual a proporção de soldados com circunferência do tórax entre 40 a 42 polegadas? 
e) Qual é o valor de circunferência do tórax que deixa 95% dos soldados abaixo dele? 
 
Representação gráfica de duas variáveis qualitativas 
 
Os dados são de um estudo de obesidade em mulheres da zona urbana de Trinidade e Tobago, 
realizado em 1985, que estuda a relação entre idade da menarca e a medida do tríceps. 
Distribuição de mulheres segundo idade da menarca e medida do tríceps. Trinidade e Toba-
go,1985. 
Idade da menarca Medida do tríceps 
 Pequena Intermediária Grande 
< 12 anos 15 29 36 
12 anos e mais 156 197 150 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
25 
Investigando-se a distribuição da idade segundo medida do tríceps tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
Distribuição de mulheres segundo idade da menarca e medida do tríceps. Trinidade e Toba-
go,1985. 
Calculando-se as porcentagens, tomando-se as categorias da medida do tríceps como 100%, tem-se: 
Distribuição de mulheres segundo idade da menarca e medida do tríceps. Trinidade e Tobago, 
1985. 
Idade (anos) Medida do tríceps 
 Pequena Intermediária Grande Total 
 n % n % n % n % 
<12 15 8,8 29 12,8 36 19,4 80 13,7 
12 e + 156 91,2 197 87,2 150 80,6 503 86,3 
Total 171 100 226 100 186 100 583 100 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
Distribuição de mulheres segundo idade da menarca e medida do tríceps. Trinidade e Tobago, 
1985. 
Investigando-se a distribuição da medida do tríceps segundo a idade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
Distribuição de mulheres segundo idade da menarca e medida do tríceps. Trinidade e Tobago, 
1985. 
 
0 
50 
100 
150 
200 
250 
Pequena Intermediária Grande 
medida do tríceps 
número <12 
12 e + 
 
0 
20 
40 
60 
80 
100 
Pequena Intermediária Grande 
Medida do tríceps 
% <12 
12 e + 
 
0 
50 
100 
150 
200 
250 
<12 12 e + 
idade 
número 
Pequena 
Intermediária 
Grande 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
26 
Calculando-se as porcentagens tem-se: 
 
Medida do tríceps Idade 
(anos) Pequena Intermediária Grande Total 
 N % n % n % n % 
<12 15 18,8 29 36,2 36 45,0 80 100 
12 e + 156 31,0 197 39,2 150 29,8 503 100 
Total 171 29,3 226 38,8 186 31,9 583 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 14 
 
A tabela apresenta dados de classificação de pessoas segundo doença coronariana (CHD) segundo 
hábito de consumo de café para uma coorte de 1718 homens com idade 40-55 anos. 
 
Distribuição de homens segundo presença de doença coronariana (CHD) e consumo de café. 
condição Alto consumo de café 
(≥ 100xícaras/mês) 
Moderado consumo de 
café (<100 xícaras/mês) 
Total 
 n % n % n % 
Com CHD 38 4,8 39 4,2 77 4,5 
Sem CHD 752 95,2 889 95,8 1641 95,5 
Total 790 100 928 100 1718 100 
 
a) Apresente os dados graficamente. 
b) Interprete os resultados. 
 
Representação gráfica de duas variáveis quantitativas 
 
Histograma 
 
Fixando-se os percentuais na condição do recém-nascido: 
 
Distribuição de recém-nascidos acometidos de síndrome de desconforto idiopático grave segundo 
peso ao nascer (g) e condição do recém-nascido. 
Peso(g) Sobrevivente Não sobrevivente Total 
 no % no % no % 
1000 |-- 1500 2 9 11 41 13 26 
1500 |-- 2000 6 26 9 33 15 30 
2000 |-- 2500 5 22 4 15 9 18 
2500 |-- 3000 6 26 3 11 9 18 
3000 |-- 3500 3 13 0 - 3 6 
3500 |-- 4000 1 4 0 - 1 2 
Total 23 100 27 100 50 100 
Fonte: Hand DJ et al., 1994. 
 
 
0 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
40 
45 
50 
<12 12 e + 
 Idade da menarca 
% 
Pequena 
Intermediária 
Grande 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
DenisePimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuição de recém-nascidos acometidos de síndrome de desconforto idiopático grave segundo 
peso ao nascer (g) e condição do recém-nascidos. 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
 
Polígono de frequências 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Hand DJ et al., 1994. 
Distribuição de recém-nascidos acometidos de síndrome de desconforto idiopático grave segundo 
peso ao nascer (g) e condição do recém-nascido. 
 
Fixando-se os percentuais no peso ao nascer: 
 
Diagrama de barras 
Distribuição de recém-nascidos acometidos de síndrome de desconforto idiopático grave segundo 
peso ao nascer (g) e condição do recém-nascido. 
Peso(g) Sobrevivente Não sobrevivente Total 
 no % no % no % 
1000 |-- 1500 2 15 11 85 13 100 
1500 |-- 2000 6 40 9 60 15 100 
2000 |-- 2500 5 56 4 44 9 100 
2500 |-- 3000 6 67 3 33 9 100 
3000 |-- 3500 3 100 0 - 3 100 
3500 |-- 4000 1 100 0 - 1 100 
Total 23 46 27 54 50 100 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
 
 
0 
5
 
10
 
15 
20
 
25 
30
 
35 
40 
45
 
Sobrevivente Não sobrevivente 
Condição do recém nascido 
%
 
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 1000 1500 2000 2500 3000 
 
0
 
5
 
10
 
15
 
20
 
25
 
30
 
35
 
40
 
45
 
0
 
500
 
1000
 
1500
 
2000
 
2500
 
3000
 
3500
 
4000
 
4500
 
peso ao nascer (g)
 
%
 
Sobrevivente
 
Não sobrev.
 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
 
Distribuição de recém-nascidos acometidos de síndrome de desconforto idiopático grave segundo 
peso ao nascer (g) e condição do recém-nascido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
Distribuição de recém-nascidos acometidos de síndrome de desconforto idiopático grave segundo 
peso ao nascer (g) e condição do recém-nascido. 
 
Exemplo 15 
Utilize os dados da tabela e apresente-os graficamente. 
Distribuição de escolares de 7 a 10 anos segundo peso e sexo. Duas escolas do Município de São Pau-
lo, 2005. 
Sexo Peso (kg) 
Masculino Feminino 
15,0 |-- 25,0 52 68 
25,0 |-- 35,0 146 132 
35,0 |-- 45,0 59 53 
45,0 |-- 55,0 11 18 
55,0 |-- 65,0 10 2 
65,0 |-- 75,0 3 1 
75,0 |-- 85,0 0 0 
85,0 |-- 95,0 0 1 
Total 281 275 
Fonte: Koga CR. Estado nutricional de escolares de 7 a 10 anos de idade: diagnóstico e comparação 
de métodos. São Paulo; 2005. [Dissertação de Mestrado-Faculdade de Saúde Pública da Universidade 
de São Paulo/USP]. 
 
0 
20 
40 
60 
80 
100
 
120 
1000 |--1500
 
1500 |--2000
 
2000 |--2500
 
2500 |--3000
 
3000 |--3500
 
3500 |--4000
 
peso (g)
 
%
 Sobrevivente 
Não sobrevivente
 
 
0 
20 
40 
60 
80 
100 
 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 
peso (g) 
% não sobreviviente 
sobrevivente
 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
29 
 
Exemplo 16 
Utilize os dados da tabela e apresente-os graficamente. 
Distribuição de percentual (%) de escolares segundo estatura (cm), sexo e idade. 
Sexo Estatura (cm) 
Masculino Feminino 
105,0 – 119,9 3 16 
120,0 – 124,9 36 31 
125,0 – 129,9 61 74 
130,0 – 134,9 57 41 
135,0 – 139,9 52 43 
140,0 – 144,9 38 30 
145,0 – 149,9 22 26 
150,0 – 159,9 12 14 
Total 281 275 
Fonte: Koga CR. Estado nutricional de escolares de 7 a 10 anos de idade: diagnóstico e comparação 
de métodos. São Paulo; 2005. [Dissertação de Mestrado-Faculdade de Saúde Pública da Universidade 
de São Paulo/USP]. 
 
 
Escala aritmética e escala logarítmica 
 
Número de crianças segundo massa corporal. Escola X, 2000 e 2002. 
Ano Sobrepeso Obesas 
2000 300 100 
2002 150 50 
Fonte: dados hipotéticos. 
 
Gráfico em escala aritmética 
 
 
 
Fonte: dados hipotéticos 
 
Número de crianças segundo massa corporal. Escola X, 2000 e 2002. 
 
0 
50 
100 
150 
200 
250 
300 
350 
2000 2002 
Ano 
N
úm
er
o
 
Sobrepeso 
Obeso 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
30 
Gráfico em escala logarítmica 
 
 
Fonte: dados hipotéticos. 
 
Número de crianças segundo massa corporal. Escola X, 2000 e 2002. 
 
 
Gráfico em escala aritmética 
 
Coeficiente de mortalidade pela doença X e Y (100.000 hab.). Determinada localidade, 
1990- 1995. 
Ano Doença X Doença Y 
1990 123,5 28,7 
1991 121,4 22,4 
1992 111,9 17,7 
1993 85,9 13,9 
1994 77,1 14,8 
1995 62,2 10,5 
Fonte: dados hipotéticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: dados hipotéticos. 
Coeficiente de mortalidade pela doença X e Y (100.000 hab.). Determinada loca-
lidade, 1990- 1995. 
 
1 
10 
100 
1000 
2000 2002 
Ano 
N
úm
er
o
 
Sobrepeso 
Obeso 
 
0 
50 
100 
150 
1990 1991 1992 1993 1994 1995 
Ano 
Co
e
fic
ie
n
te
 
Doença X 
Doença Y 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
31 
Gráfico em escala logarítmica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: dados hipotéticos. 
Coeficiente de mortalidade pela doença X e Y (100.000 hab.). Determinada localidade, 1990 - 1995. 
 
Exemplo 17 
Os dados a seguir são referentes à mortalidade por câncer de esôfago, segundo sexo, no município de 
São Paulo no período de 1968-1998. 
Coeficientes de mortalidade por câncer de esôfago (por 100.000 hab.). 
Município de São Paulo, 1968-1998. 
Ano Masculino Feminino 
1968 8,81 2,00 
1973 12,38 2,61 
1978 10,93 1,98 
1983 9,41 2,00 
1988 8,60 1,67 
1993 8,33 1,27 
1998 8,37 1,12 
Fonte: Incidência de câncer no Município de São Paulo, 1997-1998. Registro de Câncer de São Paulo. 
FSP/USP. 
 
a) Represente os coeficientes de mortalidade por câncer de esôfago para o sexo masculino e feminino 
em um único gráfico, utilizando escala aritmética. 
b) Represente os coeficientes de mortalidade por câncer de esôfago para o sexo masculino e feminino 
em um único gráfico utilizando escala logarítmica. 
c) Comente os gráficos dos itens a e b. Qual a melhor representação para os dados? 
 
Exercícios suplementares 
 
Exercício S6 
Apresente a variável peso ao nascer graficamente utilizando a variável definida em duas categorias, 
conforme tabela abaixo. 
Distribuição de recém-nascidos acometidos de síndrome de desconforto idiopático grave segundo 
peso ao nascer (g). Austrália, 1993. 
Peso(g) No % 
Baixo peso (<2500 g) 37 74,0 
Não baixo peso (2500 g e mais) 13 26,0 
Total 50 100 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
 
1 
10 
100 
1000 
1990 1991 1992 1993 1994 1995 
Ano 
Co
ef
ic
ie
n
te
 
Doença X 
Doença Y 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
32 
 
Exercício S7 
Apresentar a variável comprimento ao nascer em um histograma. 
 Distribuição de recém-nascidos segundo comprimento ao nascer (cm). Hospital X, 2009. 
Comprimento (cm) n % 
40|--43 1 1,2 
43|--46 45 55,6 
46|--4925 30,9 
49|--52 4 5 
 52|--55 3 3,7 
 55|--58 1 1,2 
 58|--61 2 2,5 
Total 81 100 
 Fonte: dados hipotéticos. 
 
Exercício S8 
 
Apresentar a variável idade da mãe em um polígono de frequências. 
 Distribuição de mães segundo idade (anos). Centro de Saúde X, 2009. 
Idade (anos) n % 
15|-- 20 14 19,5 
20|-- 25 24 33,3 
25|-- 30 16 22,2 
30|-- 35 9 12,5 
35|-- 40 8 11,1 
40|--45 1 1,4 
Total 72 100 
 Fonte: dados hipotéticos. 
Exercício S9 
Defeitos do tubo neural são má formações congênitas que surgem durante o desenvolvimento fetal. É 
conhecida como spina bífida. Estes dados são de um estudo realizado no país de Gales – Reino Unido, 
para investigar possível associação entre defeito do tubo neural e dieta materna. O estudo é do tipo 
caso-controle: mães que tinham tido bebês com spina bífida (casos) e suas irmãs que não tinham tido 
(controles) foram avaliadas segundo suas dietas e classificadas em boa, razoável e ruim. 
 
Distribuição de recém-nascidos casos (acometidos de spina bífida) e controles segundo dieta da 
mãe. 
Casos Controles Total Dieta 
n % n % n % 
Boa 34 43 77 
Razoável 110 48 158 
Pobre 100 32 132 
Total 244 123 367 
Fonte: Hand DJ ET al., 1994. 
a) Calcular percentuais tomando-se como 100% o grupo (caso, controle) e interprete os resulta-
dos. 
b) Apresentar os dados em um gráfico. 
 
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Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
33 
Exercício S10 
 
Represente os dados da tabela em um polígono de frequências e interprete os resultados. Trata-se de 
condenados por embriaguez em Londres, 1970. 
Idade Homens Mulheres 
 Número % Número % 
 0 |--30 185 20,5 4 9,1 
30 |-- 40 207 22,9 13 29,5 
40 |-- 50 260 28,8 10 22,7 
50 |--60 180 19,9 7 15,9 
60 |--80 71 7,9 10 22,7 
total 903 100 44 100 
Fonte: Hand DJ et alli. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
 
 
Medidas de tendência central e de dispersão 
 
Medidas de tendência central 
Média aritmética 
Notação: 
 X →→→→ variável 
N → tamanho da população 
n → tamanho da amostra 
→ Média populacional (parâmetro, geralmente desconhecido) 
 X → Estatística (fórmula) 
 x → Média amostral (estimativa, valor calculado na amostra) 
 
Média aritmética é o valor que indica o centro de equilíbrio de uma distribuição de frequências de uma 
variável quantitativa. 
 
Definição: é a soma dos valores de uma variável, dividida pelo número de valores. 
 
Em uma amostra aleatória simples de tamanho n, composta das observações x1, x2, ..., xn, a média 
aritmética ( x ) é igual a: 
 
n
x
n
xxx
x
n
i
i
n
∑
=
=
+++
=
121 ... 
OBS: 
• só existe para variáveis quantitativas e seu valor é único; 
 
• é da mesma natureza da variável considerada; e 
 
• sofre influência dos valores aberrantes (outlier). 
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34 
Exemplo: 
Os dados a seguir são provenientes do grupo Western Collaborative Group Study. Grupo tipo A: pes-
soas caracterizadas pela urgência, agressividade e ambição. Os participantes de tipo B são mais rela-
xados, não competitivos e menos preocupados. 
 
Tipo A: nível de colesterol 
233 291 312 250 246 197 268 224 239 239 
254 276 234 181 248 252 202 218 212 325 
 
Colesterol médio: 
 
mlmgxA 100/05,24520
325212...291233
=
++++
= 
Tipo B: nível de colesterol 
344 185 263 246 224 212 188 250 148 169 
226 175 242 252 153 183 137 202 194 213 
 
 
=Bx 
 
 
O nível médio de colesterol dos homens do grupo A é 245,1 mg/100ml e do tipo B _____________. 
 
Exemplo 18 
Os dados a seguir são provenientes de um estudo que avaliou o consumo alimentar de crianças de 7 
a 10 anos de uma escola pública do município de São Paulo no ano de 2008. Os dados apresentados 
são de 15 meninos e 10 meninas para os quais foram investigados o consumo em energia (Kcal) de 
um dia alimentar. Calcule a média aritmética do consumo de energia para cada sexo: 
 
Meninos 
1976 3234 1405 1410 1782 2167 1917 2622 1824 3912 
1412 1635 2230 1241 1866 
 
=Meninosx 
 
Meninas 
2002 2964 2203 1478 1151 1083 1362 1392 1637 1628 
 
=Meninasx 
 
Mediana 
 
É o valor que ocupa a posição central de uma série de n observações, quando estas estão ordenadas 
de forma crescente ou decrescente. 
 
Quando número de observações (n) for ímpar: 
a mediana é o valor da variável que ocupa o posto 
n + 1
2
 
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35 
 
Quando o número de observações (n) for par: 
a mediana é a média aritmética dos valores da variável que ocupam os postos n
2
 e 
n + 2
2
 
OBS: 
• existe para variável quantitativa e qualitativa ordinal; 
 
• é da mesma natureza da variável considerada; 
 
• torna-se inadequada quando há muitos valores repetidos; 
 
• não sofre influência de valores aberrantes. 
 
Ex: 
 
Tipo A: nível de colesterol 
233 291 312 250 246 197 268 224 239 239 
254 276 234 181 248 252 202 218 212 325 
 
Ordenando-se os valores: 
Tipo A: nível de colesterol 
181 202 218 233 239 246 250 254 276 312 
197 212 224 234 239 248 252 268 291 325 
 
Mediana: (239+246)/2=242,5 mg/100ml 
 
Tipo B: nível de colesterol 
344 185 263 246 224 212 188 250 148 169 
226 175 242 252 153 183 137 202 194 213 
 
Ordenando-se os valores: 
 
 
 
 
Mediana: 
 
 
 
 
 
Exemplo 19 
 
Com os dados do exemplo 18, calcule a quantidade mediana de energia para os meninos e para as 
meninas: 
 
Meninos 
 
 
 
Mediana= 
 
Meninas 
 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
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36 
 
Mediana= 
Medidas de dispersão 
 
Valores mínimo e máximo: valores extremos da distribuição. 
 
Amplitude de variação: é a diferença entre os 2 valores extremos da distribuição. 
 
Variância: indica o quanto, em média, os quadrados dos desvios de cada observação em relação à 
média aritmética estão afastados desta média. 
 
Populacional Parâmetro 
2σ estimador : 
 
N
XX
S
ou 
N
XX
S
N
i
i
N
N
i
i
N
1
)(
)(
1
2
2
)1(
1
2
2
)(
−
−
=
−
=
∑
∑
=
−
=
 
 
 
Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância , ou seja 
σ σ=
=
2
2S S
 
 
Coeficiente de Variação de Pearson (CV): 
é o quociente entre o desvio padrão e a média, ou seja 100
X
S
=CV x 
 
Exemplo: 
 
Tipo A: nível de colesterol 
233 291 312 250 246 197 268 224 239 239 
254 276 234 181 248 252 202 218 212 325 
 
Variância: 2
22
2 )100/(37,1342
19
)05,245325(...)05,245233(
mlmgs =−++−= 
 
Desvio padrão mlmgs 100/64,3637,1342 == 
 
Coeficiente de Variação de Pearson %15100
05,245
64,36
== xCV 
 
Tipo B: nível de colesterol 
344 185 263 246 224 212 188 250 148 169 
226 175 242 252 153 183 137 202 194 213 
 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
37 
Variância: =
2s 
 
Desvio padrão =s 
 
 
Coeficiente de Variação de Pearson CV= 
 
Exemplo 20 
 
Com os dados do exemplo 18, calcule a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação de 
Pearson. 
 
Meninos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MeninasFSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
38 
Quartil 
 
Valores da variável que dividem a distribuição em quatro partes iguais. 
 ¼ ½ ¾ 
25% 25% 25% 25% 
 
 Q1: deixa abaixo 25% das observações 
25% 75% 
 
 Q2: deixa abaixo 50% das observações 
50% 50% 
 
 Q3: deixa abaixo 75% das observações 
75% 25% 
))1(
4
1(1 +
=
n
xQ e ))1(
4
3(3 +
=
n
xQ 
onde x é o valor da variável e ))1(
4
1( +n e ))1(
4
3( +n são índices que representam as posições 
ocupadas por x. 
 
Os dados abaixo são referentes ao peso ao nascer de 50 recém-nascidos que tiveram síndrome de 
desconforto respiratório idiopático grave. 
23 crianças sobreviveram e 27 foram a óbito (*). 
1.050* 2.500* 1.890* 1.760 2.830 
1.175* 1.030* 1.940* 1.930 1.410 
1.230* 1.100* 2.200* 2.015 1.715 
1.310* 1.185* 2.270* 2.090 1.720 
1.500* 1.225* 2.440* 2.600 2.040 
1.600* 1.262* 2.560* 2.700 2.200 
1.720* 1.295* 2.730* 2.950 2.400 
1.750* 1.300* 1.130 2.550 3.160 
1.770* 1.550* 1.575 2.570 3.400 
2.275* 1.820* 1.680 3.005 3.640 
 
 
Ordenando-se os dados, em cada grupo, obtém-se: 
1.030* 1.310* 2.200* 1.680 2.550 
1.050* 1.500* 2.270* 1.715 2.570 
1.100* 1.550* 2.275* 1.720 2.600 
1.175* 1.600* 2.440* 1.760 2.700 
1.185* 1.720* 2.500* 1.930 2.830 
1.225* 1.750* 2.560* 2.015 2.950 
1.230* 1.770* 2.730* 2.040 3.005 
1.262* 1.820* 1.130 2.090 3.160 
1.295* 1.890* 1.410 2.200 3.400 
1.300* 1.940* 1.575 2.400 3.640 
 
Fonte: van Vliet PK; Gupta JM. Sodium bicabornate in idiopatic respiratory distress syndrome. Arch. 
Diseases in Childhood,1973:48, 249-255. 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
39 
Entre os recém-nascidos que sobreviveram: 
 gxxQ 17206))123(
4
1(1
===
+
; gxxQ 283018))123(
4
3(3
===
+
 
gxxQ 220012))123(
2
1(2
===
+
 
Entre os recém-nascidos que foram a óbito 
gxxQ 12307))127(
4
1(1
===
+
; gxxQ 220021))127(
4
3(3
===
+
 
gxxQ 160014))127(
2
1(2
===
+
 
 
Se o resultado for um valor fracionário: 
Por exemplo, para n=22 
 )
4
35()
4
23())122(
4
1(1
xxxQ ===
+
 
que é ¾ do caminho entre x5=1715 e x6=1720 
 gQ 8,1718)17151720(4
317151 =−+= 
)
4
117())122(
4
3(3
xxQ ==
+ 
que é ¼ do caminho entre x17=2700 e x18=2830 
 gQ 5,2732)27002830(4
127003 =−+= 
 
Decil 
Valores da variável que dividem a distribuição em dez partes iguais. 
 
Percentil 
Valores da variável que dividem a distribuição em cem partes iguais. 
 
Entre os recém-nascidos que sobreviveram 
 
Percentil 5: 
 )
5
11()
100
120())123(
100
5(5
xxxP ===
+
 
que é 1/5 do caminho entre x1=1130 e x2=1410 
gP 1186)11301410(
5
111305 =−+= 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
40 
Percentil 10: 
)
5
22()
100
240())123(
100
10(10
xxxP ===
+
; gP 1476)14101575(
5
2141010 =−+= 
Percentil 50: 
)12()
100
1200())123(
100
50(50
xxxP ===
+
; gP 220050 = 
Percentil 75: 
)18()
100
1800())123(
100
75(75
xxxP ===
+
; gP 283075 = 
Percentil 90: 
)
5
321()
100
2160())123(
100
90(90
xxxP ===
+
; gP 3304)31603400(
5
3316090 =−+= 
Percentil 95: 
)
5
422()
100
2280())123(
100
95(95
xxxP ===
+
; gP 3592)34003640(
5
4340095 =−+= 
 
 
Box plot e identificação de valores aberrantes (outliers) 
 
O Box plot representa graficamente dados de forma resumida em um retângulo onde as linhas da 
base e do topo são o primeiro e o terceiro quartis, respectivamente. A linha entre estas é a mediana. 
Linhas verticais que iniciam no meio da base e do topo do retângulo, terminam em valores 
denominados adjacentes inferior e superior (Chambers et al., 1983, pag 60). 
 
O valor adjacente superior é o maior valor das observações que é menor ou igual a Q3+1,5(Q3-Q1). 
 
O valor adjacente inferior é definido como o menor valor que é maior ou igual a Q1-1,5(Q3-Q1), 
sendo a diferença Q3-Q1 denominada intervalo inter-quartil (IIQ). 
 
Valores outliers (discrepantes ou aberrantes) são valores que “fogem” da distribuição dos dados. O 
box plot além de apresentar a dispersão dos dados torna-se útil também para identificar a ocorrência 
destes valores como sendo os que caem fora dos limites estabelecidos pelos valores adjacentes supe-
rior e inferior. 
 
Exemplo: 
Tipo A: nível de colesterol 
181 202 218 233 239 246 250 254 276 312 
197 212 224 234 239 248 252 268 291 325 
 
Tipo B: nível de colesterol 
137 153 175 185 194 212 224 242 250 263 
148 169 183 188 202 213 226 246 252 344 
 
Tipo A: 
n=20; 
5,2195,1218)218224(
4
12181
4
15
4
21)1(
4
1 =+=−+====
+
xxxQ
n
 
5,2645,10254)254268(
4
32543
4
315)21(
4
3)1(
4
3 =+=−+====
+
xxxQ
n
 
 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
41 
Intervalo Inter-Quartil (IIQ): Q3-Q1 = 45. 
 
325 é o valor adjacente superior. Este é o maior valor da distribuição, igual ou abaixo de 332, onde 
332 é dado por: 332455,15,264 =+ x . 
 
181 é o valor adjacente inferior. É o menor valor da distribuição, igual ou acima de 152, onde 152 é 
dado por: 152455,15,219 =− x . 
 
Tipo B 
n=20 
1772175)175183(
4
11751
4
15
4
21)1(
4
1 =+=−+====
+
xxxQ
n
 
2453242)242246(
4
32423
4
315)21(
4
3)1(
4
3 =+=−+====
+
xxxQ
n
 
 
Intervalo Inter-Quartil (IIQ): Q3-Q1 = 68 
 
344 é o valor adjacente superior. Este é o maior valor da distribuição, igual ou abaixo de 347, onde 
347 é dado por: 347685,1245 =+ x . 
 
137 é o valor adjacente inferior. É o menor valor da distribuição, igual ou acima de 75, onde 75 é 
dado por: 75685,1177 =− x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fonte: Fonte: Hand DJ et alli. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
 Gráfico - Box plot da variável nível de colesterol segundo tipo de personalidade. 
 
 
Exemplo 21 
Os dados a seguir são de uma pesquisa que investigou as concentrações de minerais no leite mater-
no, no período de 1984 a 1985. Foram coletadas amostras de leite materno de 55 mulheres que tive-
ram seus filhos no Hospital Maternidade Odete Valadares, em Belo Horizonte. As mães foram divididas 
em período de lactação: colostro e leite maduro. 
cálcio (µg/mL de leite) – grupo colostro 
113 181 254 311 334 145 221 256 312 344 
163 225 275 313 372 163 231 296 323 375 
167 241 303 325 375 437 
cálcio (µg/mL de leite) – grupo maduro 
159 175 181 188 200 206 213 214 217 231 
238 238 242 244 256 259 260 263 264 275 
277 279 281 293 302 303 314 344 394 
 
120 
140 
160 
180 
200 
220 
240 
260 
280 
300 
320 
340 
360 
380 
A B 
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42 
a) Calcule a quantidade média de cálcio (µg/mL de leite) em cada grupo. 
b) Calcule a quantidade mediana de cálcio (µg/mL de leite) em cada grupo. 
c) Desenhe o box plot da concentração de cálcio (µg/mL de leite) representando os dois grupos 
em um só gráfico. 
d) Comente o gráfico box plot quanto a dispersão dos dados, existência de valores aberrantes e 
igualdade de medianas. 
 
Exercícios suplementares 
Exercício S11 
Os dados a seguir são provenientes de um estudo que avalia o crescimento de criançasde 7 a 10 
anos de uma escola pública do município de São Paulo no ano de 2008. Os dados apresentados são 
de 16 meninos e 16 meninas para os quais foram aferidos a circunferência do braço (CB) (cm): 
Meninos 
18,3 19,3 20,9 19,0 20,5 16,3 21,0 17,8 21,6 22,6 
27,3 26,7 29,0 22,0 25,2 19,5 
Meninas 
21,5 16,1 18,6 19,9 17,9 23,7 20,0 19,4 23,5 18,0 
23,0 17,9 20,3 23,1 17,8 18,2 
 
a) Calcule a circunferência braquial (cm) média e mediana para cada sexo. 
b) Calcule a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação de Pearson da circunferência 
braquial (cm) para cada sexo. 
c) Meninos e meninas são parecidos quanto a circunferência braquial (cm)? 
d) E quanto à variabilidade? 
 
Exercício S12 
Os dados a seguir são provenientes de um estudo que avaliou o nível de colesterol sanguíneo (mg/dl) 
de 100 homens. 
id colesterol id colesterol id colesterol id colesterol 
1 134 26 189 51 216 76 239 
2 147 27 189 52 217 77 239 
3 157 28 190 53 217 78 240 
4 161 29 190 54 218 79 240 
5 162 30 192 55 218 80 240 
6 164 31 194 56 219 81 243 
7 165 32 195 57 219 82 246 
8 166 33 196 58 219 83 248 
9 171 34 198 59 221 84 251 
10 173 35 199 60 221 85 255 
11 176 36 199 61 223 86 255 
12 176 37 199 62 223 87 256 
13 178 38 201 63 224 88 259 
14 179 39 203 64 225 89 261 
15 179 40 204 65 228 90 267 
16 180 41 205 66 230 91 268 
17 181 42 206 67 230 92 272 
18 181 43 209 68 231 93 279 
19 183 44 210 69 231 94 286 
20 184 45 211 70 231 95 287 
21 185 46 211 71 232 96 289 
22 186 47 212 72 234 97 290 
23 186 48 213 73 234 98 296 
24 186 49 215 74 238 99 298 
25 187 50 216 75 238 100 382 
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43 
a) Desenhe o box plot do colesterol (mg/dl). 
b) Comente o gráfico box plot quanto a dispersão dos dados, existência de valores aberran-
tes e igualdade de medianas. 
 
Correlação e regressão linear simples 
 
Análise simultânea entre duas variáveis quantitativas (associação entre duas variáveis quantitativas). 
 
Gráfico de dispersão: deve ser feito antes da análise numérica dos dados. 
É construído com conjuntos de pontos formados por pares de valores (x,y). Pode indicar correlação 
linear positiva, negativa ou inexistência de correlação. Também é útil para identificar existência de 
valores aberrantes. 
 
Ex: X: coeficiente de mortalidade por câncer gástrico 
 Y: consumo médio de sal 
 
Y
X
 
 
 
 
 
correlação positiva 
 
 
 
 
 
 
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44 
Ex: X: Esperança de vida ao nascer 
 Y: Coeficiente de mortalidade infantil (por 1000 nascidos vivos) 
 
Y
X
 
 
 
 
 
correlação negativa 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
66 68 70 72 74 76
Esperança de vida ao nascer
CM
I (p
o
r 
10
00
 
n
v)
 
 
X: coeficiente de mortalidade por câncer de colo de útero 
Y: consumo de sal 
X
Y
 
 
 
 
correlação inexistente 
 
 
Distinção entre associação e causação: duas variáveis podem estar associadas mas uma não será 
necessariamente a causa da outra. 
 
Na correlação é comum investigar se mudanças na magnitude de uma variável são acompanhadas de 
mudanças na magnitude da outra sem significar que uma variável causa a outra. 
 
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45 
Coeficiente de correlação de Pearson ( ρ ), lê-se rhô 
 
Mede o grau de associação entre 2 variáveis X e Y. 
 
Definição: 
ρ σ
σ σ
=
XY
X Y , onde 
 
XYσ é a covariância de X e Y (dispersão conjunta) 
Xσ é o desvio padrão de X (dispersão de X) 
Yσ é o desvio padrão de Y (dispersão de X) 
 
Covariância: É o valor médio do produto dos desvios de X e Y, em relação às suas respectivas médias. 
N
YYXX
_
i
_
i
XY
∑ 





−





−
=σ 
 
estimador (r) 














−





−






−





−
=
∑ ∑
∑
2
_
i
2
_
i
_
i
_
i
yyxx
yyxx
r 
 
 
Propriedades 
a)− ≤ ≤ +1 1ρ ; 
b) ρ não possui dimensão, isto é, não depende da unidade de medida das variáveis X e Y ; 
c) YXXY ρ=ρ . 
 
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46 
Gráficos de dispersão para diferentes valores do coeficiente de correlação ρ (rho). 
 
 
 
 
Exemplo: 
Os dados a seguir são provenientes de um estudo que investiga a composição corporal e fornece o 
percentual de gordura corporal (%), idade e sexo para 18 adultos com idades entre 23 e 61 anos. 
a) Qual a relação entre a idade e o % de gordura? Existe alguma evidência de que a relação é 
diferente entre pessoas do sexo masculino e feminino? Explore os dados graficamente. 
b) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson entre a idade e o % de gordura para homens e 
mulheres. Interprete os resultados. 
 
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47 
 
Idade % Gordura Sexo Idade % Gordura Sexo 
23 9,5 M 53 34,7 F 
23 27,9 F 53 42,0 F 
27 7,8 M 54 29,1 F 
27 17,8 M 56 32,5 F 
39 31,4 F 57 30,3 F 
41 25,9 F 58 33,0 F 
45 27,4 M 58 33,8 F 
49 25,2 F 60 41,1 F 
50 31,1 F 61 34,5 F 
 
M=masculino ; F= feminino 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
Dispersão entre % de gordura e idade 
 
id
a
de
gordura
5 10 15 20 25 30 35 40 45
20
30
40
50
60
70
m f
m m
ff
m
f f
f ff
ff f f
ff
 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
 
Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson 
Sexo: masculino 
Idade 
(X) 
% gordura 
(Y) )( xx − )( yy − ))(( yyxx −− 2)( xx − 2)( yy − 
23 9,5 -7,5 -6,13 45,94 56,25 37,52 
27 7,8 -3,5 -7,83 27,39 12,25 61,23 
27 17,8 -3,5 2,18 -7,61 12,25 4,73 
45 27,4 14,5 11,78 170,74 210,25 138,65 
30,5 15,625 236,45 291,00 242,13 
 
Coeficiente de correlação (idade,%gordura) masculino: 89,013,242291
45,236
==
x
r 
 
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48 
Sexo: feminino 
Idade 
(X) 
% gordura 
(Y) )( xx − )( yy − ))(( yyxx −− 2)( xx − 2)( yy − 
23 27,9 -27,86 -4,42 123,17 776,02 19,55 
39 31,4 -11,86 -0,92 10,93 140,59 0,85 
41 25,9 -9,86 -6,42 63,30 97,16 41,23 
49 25,2 -1,86 -7,12 13,23 3,45 50,71 
50 31,1 -0,86 -1,22 1,05 0,73 1,49 
53 34,7 2,14 2,38 5,10 4,59 5,66 
53 42 2,14 9,68 20,74 4,59 93,67 
54 29,1 3,14 -3,22 -10,12 9,88 10,38 
56 32,5 5,14 0,18 0,92 26,45 0,03 
57 30,3 6,14 -2,02 -12,42 37,73 4,09 
58 33 7,14 0,68 4,85 51,02 0,46 
58 33,8 7,14 1,48 10,56 51,02 2,19 
60 41,1 9,14 8,78 80,26 83,59 77,06 
61 34,5 10,14 2,18 22,10 102,88 4,75 
50,86 32,32 333,64 1389,71 312,12 
 
 
Coeficiente de correlação (idade,%gordura) feminino: 51,012,31271,1389
64,333
==
x
r ; 
 
 
Coeficiente de correlação considerando o grupo todo (homens e mulheres) 
 
Idade 
(X) 
% gordura 
(Y) )( xx − )( yy − ))(( yyxx −− 2)( xx − 2)( yy − 
23 9,5 -23,33 -19,11 445,93 544,44 365,23 
27 7,8 -19,33 -20,81 402,35 373,78 433,10 
27 17,8 -19,33 -10,81 209,01 373,78 116,88 
45 27,4 -1,33 -1,21 1,61 1,78 1,47 
23 27,9 -23,33 -0,71 16,59 544,44 0,51 
39 31,4 -7,33 2,79 -20,45 53,78 7,7841 25,9 -5,33 -2,71 14,46 28,44 7,35 
49 25,2 2,67 -3,41 -9,10 7,11 11,64 
50 31,1 3,67 2,49 9,13 13,44 6,19 
53 34,7 6,67 6,09 40,59 44,44 37,07 
53 42 6,67 13,39 89,26 44,44 179,26 
54 29,1 7,67 0,49 3,75 58,78 0,24 
56 32,5 9,67 3,89 37,59 93,44 15,12 
57 30,3 10,67 1,69 18,01 113,78 2,85 
58 33 11,67 4,39 51,20 136,11 19,26 
58 33,8 11,67 5,19 60,54 136,11 26,92 
60 41,1 13,67 12,49 170,68 186,78 155,97 
61 34,5 14,67 5,89 86,37 215,11 34,68 
 Soma 1627,53 2970,00 1421,54 
 
 
33,46=x ; 61,28=y ; %14,9
17
54,1421
1
)( 2
==
−
−
=
∑
n
yy
S y ; anos
n
xx
S X 22,1317
0,2970
1
)( 2
==
−
−
=
∑ 
 
FSP/USP. HEP 103-Bioestatística aplicada a Nutrição - 2010 
Denise Pimentel Bergamaschi, José Maria Pacheco de Souza, Patrícia de Fragas Hinnig 
49 
79,0
54,14210,2970
53,1627
==
x
r 
 
 
Análise simultânea de duas variáveis quantitativas. 
 
 
REGRESSÃO LINEAR 
 
ADMITINDO-SE Y COMO FUNÇÃO LINEAR DE X, AJUSTA-SE A “MELHOR RETA” AO CONJUNTO DE 
DADOS. 
 
EQUAÇÃO DE RETA: bxay +=ˆ , onde 
 yˆ = valor ajustado (valor médio predito). 
 x = valor escolhido de X. 
xbya −= ; a é denominado intercepto; é o valor predito para x=0. 
 
x
y
xy
s
s
rb =
; b é denominado coeficiente angular (slope). Indica quantas unidades de Y 
mudam para a mudança de uma unidade de X. 
 
Utilizando-se os dados do exemplo considerando-se o grupo como um todo: 
 
a = 28,61 – b 46,33 ; 
 
548,0
22,13
14,979,0 == xb 
 
Para aumento de 1 ano, o percentual de gordura aumenta 0,55%. 
 
Substituindo-se o valor b em a, obtém-se a=3,221. 
 
Equação ajustada % gordura= 3,22 + 0,55 (idade) 
 
Com base nesta equação é possível traçar a reta que passa pelos pontos. 
 
Para x = 30; y = 19,7; para x = 50, y = 30,7 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = 0,55x + 3,22
0
10
20
30
40
50
0 20 40 60
idade (anos)
%
 
go
rd
u
ra
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50 
OBS: o coeficiente angular depende das unidades de medida de X e Y. Isto deve ser considerado 
na decisão da importância do coeficiente angular. 
O coeficiente angular da equação de Y=f(X) é diferente do coeficiente angular de X=f(Y), a menos 
que os desvios padrão de X e Y sejam iguais. 
Usos da reta de regressão: 
- Predição - utilizar X para predizer Y; quando a correlação for forte, melhor é a predição; 
- Correlação – mede o grau de relacionamento linear entre X e Y; 
- Resumir os dados – cada valor de X tem um valor médio de Y. 
 
Exemplo: 
Em um estudo sobre o efeito dos componentes de uma dieta (X) sobre a composição lipídica (Y) fo-
ram obtidos os seguintes dados em uma amostra de 15 animais. 
Componente da dieta (X) Composição lipídica (Y) 
18 30 
21 35 
28 43 
35 60 
47 50 
33 28 
40 40 
41 60 
28 43 
21 30 
30 33 
46 65 
44 68 
38 62 
19 25 
Fonte:X. 
a) Apresente os dados em um diagrama de dispersão. 
b) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson entre X e Y. 
c) Calcule a reta de regressão da composição lipídica como função do componente da dieta. 
d) Desenhe a reta de regressão. 
e) Interprete os coeficientes da reta de regressão. 
 
 
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51 
Exercício suplementar 
Exercício S13 
São apresentados valores da massa do corpo sem gordura (kg) e da taxa de metabolismo (calorias) 
de 10 pessoas de ambos os sexos 
 
Pessoa Sexo Massa Taxa 
1 M 62,0 1792 
2 M 62,9 1666 
3 F 36,1 995 
4 F 54,6 1425 
5 F 48,5 1396 
6 F 42,0 1418 
7 M 47,4 1362 
8 F 50,6 1502 
9 F 42,0 1256 
10 M 48,7 1614 
 Fonte: Moore et al., 2004 (adaptado) 
 
a) Apresente os dados em um diagrama de dispersão com pontos identificando os sexos. Apre-
sente a variável Y, taxa de metabolismo, como variável resposta (dependente) e a variável X, 
massa do corpo sem gordura, como explicativa (independente). 
b) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis taxa e massa. 
c) Calcule os coeficientes da reta de regressão e desenhe a reta. 
d) Interprete os coeficientes da reta. 
e) Com base no gráfico de dispersão, você diria que o coeficiente de correlação de Pearson para 
o sexo feminino é maior, menor ou igual ao do sexo masculino? Justifique. 
 
 
Medidas de Associação 
 
ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS QUALITATIVAS 
 
ESTUDO DE PREVALÊNCIA 
 
São apresentados dados sobre o estado nutricional de 1226 crianças brasileiras de 2 anos de idade, 
segundo sexo. Local X, Ano Y. 
Estado nutricional Masculino Feminino Total 
Desnutridas 29 20 49 
Normais 574 603 1177 
Total 603 623 1226 
 Fonte: dados hipotéticos. 
Prevalência de desnutrição: 040,01226
49
= ou 4%. 
Prevalência de desnutrição segundo sexo: 
Masculino: 05,0603
29
= ou 5,0%; Feminino: 032,0
623
20
= ou 3,2%. 
Razão de prevalências: 5,1
623
20
603
29
= 
Diferença de prevalências: 0,05-0,032=0,018 ou 1,8%. 
 
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52 
A prevalência de desnutrição parece ser maior entre as crianças do sexo masculino. Os meninos apre-
sentam uma prevalência 50% maior do que as meninas. 
 
A prevalência de desnutrição entre meninos é 1,5 vezes (uma vez e meia) a prevalência de desnutri-
ção entre meninas. 
 
Também é possível dizer que a prevalência de desnutrição entre meninos é 50% maior que a preva-
lência entre meninas, calculado como (1,5-1)x100. 
 
Para a diferença de prevalências diz que a prevalência entre meninos excede a de meninas em 1,8% 
ou que a diferença entre as prevalências é de 1,8%. 
 
Se a razão de prevalências for igual a 1 ou a diferenças de prevalências for igual a 0 então diz-se que 
as variáveis não estão associadas. 
 
De forma geral 
Y: variável resposta (Ex: desnutrição) 
X: variável explicativa ou de confusão (Ex: sexo) 
 Variável Y 
Variável X Y1 Y0 Total (%) 
X1 a B n1 (100 
X0 c D n0 (100 
Total m1 m2 n (100) 
 
p= prevalência de Y1= m1/n 
p1= prevalência de Y1|x1= a/n1 
p0= prevalência de Y1|x0= c/n0 
rp= razão de prevalências= p1/p0; dp=diferença de prevalências= p1-p0 
 
Exemplo 22 
 
Distribuição de indivíduos segundo presença de obesidade e consumo de chocolate. Esto-
colmo, Suécia. Ano 2009. 
Consumo de chocolate Obesidade (> 30Kg/m2) 
 
 
 Sim Não Total 
Mais de 1 vez por semana 128 625 753 
Até 1 vez por mês 68 353 421 
Total 196 978 1174 
 Fonte: dados adaptados de Janszky I, Mukamal KJ, Ljung R, et al. Chocolate consuption and 
 mortality following a first acute myocardial infarction: The Stockholm Heart Epidemiology 
 Program. Journal of Internal Medicine 2009; 266: 248-257. 
 
a) Calcule a prevalência de obesidade entre pessoas que consomem chocolate até 1 vez por 
mês. 
b) Calcule a prevalência de obesidade entre pessoas que consomem chocolate mais de uma vez 
por semana. 
c) Calcule a razão de prevalências. 
d) Interprete a razão de prevalências. Você diria que a obesidade está associada ao consumo de 
chocolate? Justifique. 
 
 
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53 
ESTUDO DE INCIDÊNCIA 
 
Distribuição de pessoas segundo hábito de fumar e morte em 5 anos por DIC. Local X. Ano Y 
 Morte em 5 anos por DIC 
Fumar Sim Não Total 
Sim 208 850 1058 
Não 264 1467 1731 
Total 472 2317 2789 
Fonte: dados hipotéticos. 
 
r= 472/2789= 0,17 = 17% 
 
r1=208/1058= 0,20= 20% 
 
r0=264/1731= 0,15=15%rr=0,20/0,15= 1,33 
 
ra= 0,20- 0,15= 0,05= 5% 
 
A incidência de mortes parece ser maior entre as pessoas que fumam. Os fumantes apresentam uma 
incidência 33% maior do que os não fumantes. 
 
Os óbitos são 1,33 vezes mais incidentes entre fumantes do que entre não fumantes. 
 
Também é possível dizer que os óbitos são 33% maiores entre fumantes. 
 
Pela diferença diz-se que 5% dos óbitos excedentes são devidos ao fumo. 
 
De forma geral 
Y: variável resposta 
X: variável explicativa ou de confusão 
 Variável Y 
Variável X Y1 Y0 Total (%) 
X1 A B n1 (100 
X0 C D n0 (100 
Total M1 m2 n (100) 
 
r= incidência de Y1= m1/n 
r1= incidência de Y1|x1= a/n1 
r0= incidência de Y1|x0= c/n0 
ri= razão de incidências= r1/r0 
di= diferença de incidências= r1-r0 
 
incidência risco 
r1 r0 r1/r0 r1-r0 
ri=rr=razão de riscos=risco relativo=r1/r0 
di= ra= risco atribuível= r1-r0 
 
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54 
Exemplo 23 
Padrão de amamentação de crianças segundo episódios de doenças respiratórias. 
Padrão Um ou mais episódios Nenhum episódio Total 
Mamadeira e peito 207 238 445 
Somente peito 34 72 106 
Total 241 310 551 
Fonte: Abramson JH e Abramson ZH. 
 
a) Calcule a incidência de um ou mais episódios de doenças respiratórias, dado que a criança se 
alimenta de mamadeira e peito. 
b) Calcule a incidência de um ou mais episódios de doenças respiratórias, dado que a criança se 
alimenta somente ao seio. 
c) Calcule a razão de incidências. 
d) Calcule a diferença de incidências. 
e) Discuta os resultados. 
 
Exemplo 
 Investigação de toxinfecção alimentar 
 Toxiinfecção 
Tomou sorvete de baunilha Sim Não Total (%) 
Sim 43 11 54 (100) 
Não 3 18 21 (100) 
Total 46 29 75 (100) 
Fonte:Epi Info, 2000. 
r= incidência global = taxa de ataque global= 46/75= 0,61 
 
r1= incidência entre quem tomou sorvete= taxa de ataque1= 43/54= 0,80 
 
r0= incidência entre quem não tomou sorvete= taxa de ataque0= 3/21= 0,14 
 
rr= risco relativo= 6,5
543
2143
21
3
:
54
43
==
x
x
 
 
Odds ratio 
 
Odds e probabilidade 
 
Supor que durante um jogo de basquete um jogador acerta a cesta 2 vezes em 5 tentativas. 
Chamando pˆ ( p chapéu) de probabilidade de acerto tem-se que 
5
2
ˆ =p = 0,4 ou 40% e a probabili-
dade de erro, 
5
3
ˆ =q = 0,6 ou 60%. 
 
Considerando-se que a probabilidade de acerto ou de erro = p+q= 1; então pq ˆ1ˆ −= . 
 
Odds ratio 
 
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55 
Define-se odds como a razão entre a probabilidade de acerto e a probabilidade de erro, ou seja, 
p
p
−1
. 
No exemplo acima, o odds a favor de acerto é 67,0
3
2
53
52
5
3
5
2
1
====
− x
x
p
p
 ou 0,67:1 (0,67 acertos 
para 1 erro). 
 
 
Estudo do tipo caso-controle 
 
Os dados a seguir são de um estudo sobre câncer de esôfago e consumo de álcool. Local X. Ano Y. 
Condição Consumo médio de álcool (g/dia) Total 
 80 e + 0-79 
Casos 96 104 200 
Controles 109 666 775 
Total 205 770 975 
Fonte: Tuyns et al.,1977. 
 
(entre expostos) odds a favor de casos entre consumidores de 80 e + g/dia: 88,0
109
96
205
109
:
205
96
== 
 
(entre não expostos) odds a favor de casos entre consumidores de 0-79g/dia: 16,0
666
104
770
666
:
770
104
== 
odds ratio: 6,5
104109
66696
666
104
:
109
96
==
x
x
 
 
A força de morbidade de câncer de esôfago entre consumidores de 80 e + g/dias de bebida alcoólica 
é 5,6 a força de morbidade entre os que consomem de 0 a 79g/dia. 
 
Em casos especiais, o odds ratio pode ser um bom estimador do risco (quando a doença de estudo é 
rara). 
 
Odds ratio utilizando-se os dados de DIC. or=(208x1467)/850x265)=1,36. 
 
De forma geral 
Y: variável resposta 
X: variável explicativa ou de confusão 
 Variável Y 
Variável X Y1 Y0 Total (%) 
X1 a B n1 (100 
X0 c D n0 (100 
Total m1 m2 n (100) 
odds a favor de Y1: 
na categoria X1= (a/n1)÷(b/n1) 
na categoria X0= (c/n0)÷(d/n0) 
odds ratio: [(a/n1)÷(b/n1)]÷[(c/n0)÷(d/n0)]= bc
ad
d
c
b
a
= 
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56 
Exemplo 24 
Distribuição de recém-nascidos segundo condição caso - com defeitos do tubo neural; controle – re-
cém-nascidos que não tinham defeitos do tubo neural e dieta materna. Local X. Ano Y. 
Dieta Casos Controles Total 
 N % n % n % 
Boa 34 13,9 43 35,0 77 21,0 
Razoável 110 45,1 48 39,0 158 43,0 
Pobre 100 41,0 32 26,0 132 36,0 
Total 244 100 123 100 367 100 
 Fonte: X 
Considere a dieta boa como categoria de referência (basal) e calcule: 
 
a) O odds ratio de dieta razoável em relação a dieta boa. 
b) O odds ratio de dieta pobre em relação a boa. 
c) Interprete os resultados. 
 
 
QUI-QUADRADO DE PEARSON 
 
DUAS VARIÁVEIS QUALITATIVAS 
 
Os exemplos são retirados de BUSSAB, Wilson de O; MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. 5ª Ed. 
São Paulo: Saraiva, 2004. 
 
X - curso universitário e 
Y – sexo do aluno 
 
Questão: sexo do indivíduo influi na escolha do curso? 
 
Situação 1 
Curso Masculino Feminino Total 
 n n n 
Economia 24 36 60 
Administração 16 24 40 
Total 40 60 100 
 
Curso Masculino Feminino Total 
 N proporção n proporção n proporção 
Economia 24 0,6 36 0,6 60 0,6 
Administração 16 0,4 24 0,4 40 0,4 
Total 40 1 60 1 100 1 
 
As proporções de escolha dos cursos não diferem segundo sexo do estudante 
 
 
Definição de independência: 
A – Ser do sexo masculino; 
B – Estar cursando economia. 
 
A e B são independentes se P(A e B) = P(A) x P(B). 
 
P(A e B) = Probabilidade (ser homem e estar cursando Economia) 
 
P(A e B) = 24,0
100
24
= 
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57 
 
P(A) = 4,0
100
40
= P(B) = 6,0
100
60
= 
 
Como 
100
60
100
40
100
24
x= , então A e B são independentes e portanto não existe associação. 
 
 
Situação 2 
 
Curso Masculino Feminino Total 
 n n n 
Física 100 (a) 20 (b) 120 
Ciências Sociais 40 (c) 40 (d) 80 
Total 140 60 200 
 
 
Curso Masculino Feminino Total 
 n proporção n proporção n proporção 
Física 100 0,7 20 0,3 120 0,6 
Ciências Sociais 40 0,3 40 0,7 80 0,4 
Total 140 1 60 1 200 1 
 
 
A distribuição de alunos em cada curso, segundo sexo não é a mesma, sexo e curso podem estar 
associados. 
 
Se a variável sexo não fosse associada à escolha do curso, quantos indivíduos espera-se em Física, 
entre os homens? 
 
Aplicar a proporção marginal utilizando o raciocínio da regra de três: 120 está para 200 assim como x 
estará para 140; ou seja: 
140200
120 x
= e 
200
140120x
x = 
 
Para os demais valores esperados observar os cálculos abaixo. 
 
Curso Sexo Valor Esperado sob a condição de independência 
 
Física 
 
Masculino (a) 84140
200
120
=x 
 
Física 
 
Feminino (b) 3660200
120
=x 
 
Ciências Sociais 
 
Masculino (c) 56140
200
80
=x 
 
Ciências Sociais 
 
Feminino (d) 2460200
80
=x 
 
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58 
Tabela de frequências esperadas, sob a condição de independência. 
 
Curso Masculino Feminino Total 
 n n n 
Física 84 36 120 
Ciências Sociais 56 24 80 
Total 140 60 200 
 
 
Valores observadosO 
Valores esperados 
E 
(O-E) (O-E)2 
E
EO 2)( −
 
100 84 16 256 3,048 
40 56 -16 256 4,571 
20 36 -16 256 7,11 
40 24 16 256 10,667 
 = Qui-quadrado=25,397 
 
 
O Qui-quadrado é obtido somando-se a diferença ao quadrado entre as frequências observadas e as 
esperadas, dividido pelas frequências esperadas. 
 
χ2
2
=
−
∑
( )O E
E 
 
 
Se o Qui-quadrado for igual a zero, então não existe associação entre as variáveis. 
 
Exemplo: 
Distribuição de recém-nascidos acometidos de síndrome de desconforto idiopático grave segundo 
condição de sobrevivência e peso ao nascer (g). 
 
Peso ao nascer Óbito Sobrevida Total 
Baixo peso (<2500) 24 13 37 
Não baixo peso (2500 e mais) 3 10 13 
Total 27 23 50 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
 
Cálculo do qui-quadrado de Pearson 
Valores observados 
O 
Valores esperados 
E 
(O-E) (O-E)2 
E
EO 2)( −
 
24 19,98 4,02 16,16 0,809 
3 7,02 -4,02 16,16 2,302 
13 17,02 -4,02 16,16 0,949 
10 5,98 4,02 16,16 2,702 
 Qui-quadrado=6,762 
 
Tem-se ainda que: 
A incidência de óbitos entre crianças com baixo peso é 65,0
37
24
=
 ou 65%; 
a incidência de óbitos entre crianças sem baixo peso é 23,0
13
3
= ou 23%; 
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59 
e a razão de incidências é igual a 
81,2
373
1324
13
3
37
24
==
x
x . 
Portanto pode-se dizer que a incidência de óbitos parece maior entre as crianças que tiveram baixo 
peso ao nascer. O risco de óbito entre as crianças com baixo peso ao nascer é 2,8 o risco das crianças 
com peso ao nascer maior ou igual a 2.500g. O qui-quadrado é diferente de zero. Pode-se suspeitar 
da existência de associação entre as variáveis. 
 
Exemplo 25 
A tabela abaixo apresenta dados de classificação de pessoas segundo doença isquêmica coronariana 
(DIC) e hábito de consumo de café, para uma coorte de 1718 homens com idade 40-55 anos. 
 
Distribuição de homens segundo presença de doença isquêmica coronariana (DIC) e consumo de café. 
Local X. Ano y. 
Condição Consumo médio de café Total 
 Alto (≥ 100 xícaras/mês) Moderado (<100 xícaras/mês) 
Com DIC 38 39 77 
Sem DIC 752 889 1641 
Total 790 928 1718 
Fonte: X. 
 
a) calcule a incidência de doença isquêmica coronariana entre as pessoas com alto consumo de 
café. 
b) calcule a incidência de doença isquêmica coronariana entre as pessoas com consumo mode-
rado de café. 
c) calcule a razão de incidências. 
d) calcule a diferença de incidências. 
e) Interprete os resultados. 
f) Calcule o qui-quadrado de Pearson. 
 
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES 
 
Exercício S14 
Com base nos dados da tabela calcule: 
a) a incidência de toxinfecção, dado que o indivíduo consumiu presunto cozido. 
b) a incidência de toiinfecção, dado que o indivíduo não consumiu presunto cozido. 
c) a razão de incidências. 
d) a diferença de incidências. 
e) discuta os resultados. 
Distribuição de indivíduos segundo ocorrência de toxiinfecção e consumo de presunto cozido. Local X. 
Ano Y 
 Toxiinfecção 
Presunto cozido sim (taxa de ataque %) não Total 
Sim 29 (0,63) 17 46 
Não 17 (0,59) 12 29 
Total 46 (0,61) 29 75 
RR 1,1 
 Fonte: Epi-Info 2000. 
 
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60 
Exercício S15 
Os dados são de um estudo sobre consumo de pimenta e câncer gástrico, realizado no México. Ano Y. 
Consumo de pimenta Casos Controles Total 
Sim 211 607 818 
Não 9 145 154 
Total 220 752 972 
 Fonte: X. 
a) calcule o odds a favor de casos entre pessoas que consomem pimenta. 
b) calcule o odds a favor de casos entre pessoas que não consomem pimenta. 
c) calcule a razão dos odds (odds ratio). 
d) calcule o qui-quadrado de Pearson. 
e) Discuta os resultados sobre possível associação entre as variáveis. 
 
Exercício S16 
A tabela abaixo apresenta o número de crianças classificados segundo nível de retinol sérico e sexo. 
Calcule a prevalência de nível inadequado de retinol para crianças de cada um dos sexos. Calcule a 
razão de prevalências. Calcule o qui-quadrado. Interprete os resultados. 
 
Distribuição de crianças segundo sexo e nível de retinol sérico. Cansação, Bahia, 1992 
 Nível de retinol Sexo 
Aceitável Inadequado Total 
Masculino 50 40 90 
Feminino 39 32 71 
Total 89 72 161 
 Fonte: Prado MS et al. ,Revista de Saúde Pública, 29(4)295 – 300, 1995. 
 
Exercício S17 
Os dados a seguir são de pesquisa que estuda a associação entre amamentação ao seio e Diabetes 
Mellitus tipo I . Local X. Ano Y. 
Amamentação ao 
seio 
Casos Controles Total 
Não 35 17 52 
Sim 311 329 640 
Total 346 346 692 
Fonte: Gimeno SGA. Consumo de leite e o Diabetes Mellitus insulino-dependente:um estudo 
caso-controle. Tese de doutorado, 1996. 
 
Com base nos dados apresentados 
a) Calcule o odds ratio de casos entre expostos e não expostos. 
b) Calcule e apresente o qui-quadrado de Pearson. 
c) Os dados sugerem existência de associação entre as variáveis? Justifique. 
 
 
Noções de probabilidade e distribuição Bernoulli e distribuição binomial 
 
PROBABILIDADE (probability, chance, likelihood) 
• É uma afirmação numérica sobre a possibilidade de que algum evento ocorra. 
• Quantifica o grau de incerteza de eventos, variando de 0 (0%) a 1 (100%). 
• Um evento impossível de ocorrer tem probabilidade 0 (zero). 
• Um evento certo tem probabilidade 1 (um). 
• Quando se joga uma moeda, não se sabe se vai sair cara. Mas sabe-se que a probabilidade de sair 
cara é 0,5 = 50% = 1/2. 
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61 
• Dizer que a eficácia de uma vacina é de 70% corresponde a dizer que cada indivíduo vacinado tem 
probabilidade 0,7 de ficar imune. 
 
Probabilidade em espaços finitos contáveis 
 
Espaço amostral (S) 
• É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. 
 
• Supor o experimento lançar uma moeda: S= {cara, coroa} 
 
Há dois pontos neste espaço amostral, sendo um favorável ao evento A={cara}. 
 
Definição clássica de probabilidade 
 
5,0
2
1
S de elementos de numero
A de elementos de numero)( ===AP 
 
Exemplo: probabilidade de (ouros) =
4
1
52
13
= 
 
 
Probabilidade de eventos mutuamente excludentes 
• Diz-se que dois eventos são mutuamente excludentes (ou mutuamente exclusivos) quando não 
podem ocorrer simultaneamente. 
 
Exemplo: 
A = {cara} ; B= {coroa}, no lançamento de uma moeda; 
A = {carta com naipe vermelho}; B={carta com naipe preto}, na retirada de uma carta de baralho. 
 
Exemplo de eventos não mutuamente exclusivos 
 A= {naipe vermelho} ; B = {ás} . 
 
• A probabilidade da ocorrência de um evento A ou de um evento B é: 
P(A ou B) = P(A υ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 
Exemplo: P(naipe vermelho ou ás) = P(naipe vermelho) + P(ás) – P(naipe vermelho e ás) = (26/52) 
+ (4/52) – (2/52) = 28/52 = 0,538. 
 
• A probabilidade da ocorrência simultânea de eventos mutuamente exclusivos é zero. 
P(cara e coroa) = P(cara ∩ coroa) = 0, no lançamento de uma moeda. 
 
• Se A e B forem mutuamente excludentes, P(A ∩ B) = 0 e 
P(A ou B) = P(A υ B) = P(A) + P(B) 
 
Exemplo: 
P(Face 2 ou Face 3) no lançamento de um dado 
P(2 ou 3)= P(2)+P(3)= 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. 
 
P(Resultado ímpar)= P(1 ou 3 ou 5)= P(1)+P(3)+P(5)= 3/6 = 1/2. 
 
Regra da adição: P(A ou B) = P(A υ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B) 
 
Probabilidade de eventos independentes 
 
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62 
• Os eventos A e B são independentes quando o resultado de um não influi no resultado do outro. 
 
Exemplo: no lançamento simultâneo de duas moedas, o resultado de uma não interfere no resultado 
da outra. 
 
• A probabilidade da ocorrência de eventos independentes é o produto das probabilidades de cada 
evento. 
 P(A e B)= P(A ∩ B) = P(A) x P(B) 
 
• P(face 2 no primeiro dado e face 3 no segundo dado), no lançamento sequencial de dois dados = 
P(2 e 3) = P(2)xP(3)= 1/6 x 1/6= 1/36= 0,0278= 2,78%. 
 
Probabilidade condicional 
 
A probabilidade condicional do evento A dado que ocorreu o evento B é 
)(
)()|(
BP
BAPBAP ∩= , para 0)( ≠BP 
Lê-se P(A|B) como probabilidade de A dado B. 
 
Exemplo: 
Probabilidade de rei dado que ocorreu figura: 
 P(r|figura)= P(r e figura)/P(figura)= 4/52 ÷ 12/52= 4/12= 1/3 
 
• Probabilidade de rei, dado que ocorreu copas: 
 P(r|♥)= P(r e ♥)/P(♥)= 1/52÷13/52= 1/13 
 
 
Regra da multiplicação 
)()|()( BxPBAPBAP =∩ 
se A e B forem independentes, P(A|B) = P(A) e como consequência, )()()( BxPAPBAP =∩ 
 
Exemplo 
Considerar uma população de homens que foram classificados segundo o hábito de fumar e doença 
respiratória crônica. Nesta população sabe-se que 5% dos homens têm doença respiratória e são não 
fumantes, 15% têm doença e são fumantes, 50% não têm doença e são não fumantes e 30% não 
têm a doença e são fumantes. 
 
Problema respiratório Não fumante 
S 
Fumante 
S 
 
Não ( R ) 0,5 = P( RS ) 0,30 = P( SR ) 0,80 = P(R ) 
Sim (R) 0,05 = P( RS ) 0,15 = P(SR) 0,20 = P(R) 
 0,55 = P( S ) 0,45 = P(S) 
 
Escolhe-se um homem ao acaso, qual a probabilidade dele ter doença respiratória dado que era fu-
mante? 
)(
)()|(
SP
SRPSRP ∩= = 0,15/0,45 = 0,33 
Os eventos não são independentes porque )()()( RxPSPRSP ≠ 
 
 
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63 
Relação entre eventos mutuamente exclusivos e independentes: 
 
Os eventos mutuamente exclusivos A e B satisfazem a condição que P(A e B) = 0, então dois eventos 
mutuamente exclusivos A e B são não independentes a menos que P(A)=0 ou P(B)=0. Caso contrário, 
eles são claramente dependentes pois P(A)P(B)>0 se ambos P(A)>0 e P(B)>0, portanto 
)()()( BPAPBAP ≠∩ porque 0)( =∩ BAP . 
 
Assim, dois eventos mutuamente exclusivos A e B são dependentes exceto nos casos onde P(A)=0 ou 
P(B)=0. 
 
Definição frequentista de probabilidade: 
n repetições do evento A; A ocorre m vezes, então a frequência relativa de 
n
mA = 
Para n suficientemente grande, )(AP
n
m
≅ ou seja, )(lim AP
n
m
n =∞→ 
Quando n cresce, 
n
m
 tende a se estabilizar em torno de uma constante, P(A) 
 
 
Variável aleatória discreta 
 
Variável aleatória é qualquer função de número real, definida no espaço amostral e existe associado a 
este número uma probabilidade de ocorrência. 
 
Exemplo: 
No lançamento de 1 moeda, o número de caras é uma variável aleatória. Se esta variável for denomi-
nada X, tem-se que os valores possíveis para X são 0 e 1. Assim escreve-se X:0,1. 
 
A probabilidade de cara é 0,5: P(cara)= 0,5= 1/2. 
 
No lançamento de 10 moedas, X:0, 1, 2,....,10; e a probabilidade de cara = 0,5. 
Sair cara é mutuamente exclusivo de sair coroa e um particular resultado de cada lançamento inde-
pende dos demais. 
 
É possível calcular a probabilidade da variável assumir cada valor x, ou seja, P(X=x). 
 
O conjunto de valores da variável aleatória e das probabilidades obtidas define uma distribuição de 
probabilidades. Se X assume valores inteiros, a variável é denominada discreta. Se X assume valo-
res no conjunto dos números reais, a variável é denominada contínua. 
 
Distribuição de probabilidades 
 
Modelo de probabilidade Bernoulli 
 
Estrutura básica: duas possibilidades de resultado (sucesso e fracasso). 
 
Exemplo: 
Joga-se uma moeda uma vez. A moeda é equilibrada, ou seja, os lados possuem peso igual, não favo-
recendo nenhum dos lados, ao ser lançada. 
 
Define-se como sucesso sair cara. 
 
Define-se a variável aleatória X que assume valor 1 se ocorrer sucesso e 0 se ocorrer fracasso. X: 0,1 
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64 
 
Parâmetro: probabilidade da variável assumir valor 1. 
Notação: pi ou p. 
 
Se probabilidade de sucesso = p, a probabilidade de fracasso será igual a q=(1-p), porque p+q=1. 
 
Probabilidade de sair cara = P(X=1) = p(1) = p = 0,5. 
 
Probabilidade de sair coroa = P(X=0) = p(0) = q = 1-p = 0,5 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Uma droga cura 15% dos pacientes. Administra-se a droga a um paciente. Qual a probabilidade do 
paciente ficar curado? Qual a probabilidade do paciente não ficar curado? 
X: 0,1 (X será 0 se o paciente não se curar e 1 se houver cura) 
 
P(X=1) =p(1)=p= 0,15 ; P(X=0) =p(0)= q=0,85 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os exemplos pertencem a mesma família de distribuições, mas têm parâmetros diferentes. 
 
 
A distribuição de Bernoulli pode ser escrita como P(X=1) = p(1)=p e P(X=0) =p(0) =1-p; ou, de for-
ma mais genérica: 
 
0 
0,2 
0,4 
0,6 
0,8 
1 
0 1 x 
p(x) 
p=0,5
 
 
0 
0,2 
0,4 
0,6 
0,8 
1 
0 1 x
 
p(x)
 
p=0,15 
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65 
Isto significa que 
x1x )p1(p)x(p −−= , x=0,1 
para x=0, p1)p1(p)0X(P)0(p 010 −=−=== − , 
 
para x=1, p)p1(p)1X(P)1(p 111 =−=== − 
 
 
Média de uma variável aleatória discreta: ∑==µ
x
)x(xp)X(E 
Na distribuição de Bernoulli: 
 
p)0x(p0)1x(p1)x(xp)X(E
x
==+====µ ∑ 
 
Média da distribuição Bernoulli é p (probabilidade de ocorrer o sucesso) 
 
 
Variância de uma variável aleatória discreta: 
 
∑ µ−=µ−==σ
x
222 )x(p)x(])X[(E)X(V 
Desvio padrão: σ== )X(V)X(SD 
 
Desvio padrão da distribuição Bernoulli é 
 
)1x(p.)p1()0x(p.)p0( 22 =−+=− = 
 
pqpppppppp =−+−=−+−− )]1()[1()1()1.()( 22 
 
 
Resumindo, 
Modelo de probabilidade Bernoulli 
Uma variável aleatória discreta X que pode assumir valores 0 e 1, com função de probabilidade dada 
por 
x1x )p1(p)x(p −−= com x=0,1 
segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro p , 0<p<1. 
 
p é a probabilidade de obter o resultado X=1. Isto pode ser escrito como X~Bernoulli(p) com média p 
e desvio padrão )p1(p − . 
O símbolo ~ lê-se “tem distribuição” ou se “distribui segundo”. 
 
 
 
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66 
Distribuição binomial: Soma de n distribuições Bernoulli 
 
População: 2 categorias 
 Ex: sexo (masculino, feminino), 
 faces de uma moeda (cara, coroa), 
 desfecho de um tratamento (cura, não cura) 
 
Lançamento de uma moeda 





⇒
→
→
p-1=q 1=q+p 
q =(C) adeprobabilid (C) Coroa
p=ade(K)probabilid (K) Cara
 
 
p = probabilidade de sucesso; q= probabilidade de fracasso. 
 
Realiza-se o experimento n vezes, onde cada ensaio é independente do outro e os resultados são 
mutuamente exclusivos. 
 
 
X: Número de vezes que sai cara. 
 
A moeda é lançada uma vez (n=1)→ X: 0,1 X~Bernoulli(p) 
X resultado P(X=x) 
0 C P(X=0) = q 
1 K P(X=1) = p 
 
A moeda é lançada duas vezes (n=2) → X: 0,1,2 X~B(n=2, p) 
X resultado P(X=x) 
0 C,C P(X=0) = q.q = q2 
1 K,C ou C,K P(X=1) = p.q+q.p= 2.p.q 
2 K,K P(X=2) = p.p= p2 
 
A moeda é lançadatrês vezes (n=3) → X: 0,1,2,3 X~B(n=3, p) 
X resultado P(X=x) 
0 C,C,C 
 
P(X=0) = q.q.q = q3 
1 K,C,C ou 
C,K,C ou 
C,C,K 
 
P(X=1) = p.q.q+q.p.q +q.q.p = 
3 p.q2 
2 K,K,C ou 
K,C,K ou 
C,K,K 
 
P(X=2) = p.p.q +p.q.p +q.p.p = 
3 p2.q 
3 K,K,K P(X=3) = p.p.p = p3 
 
 
Probabilidade (X=x) é calculada pelo produto de 3 fatores: 
1o - número (combinação de n elementos combinados x a x); 
2o - probabilidade de sucesso elevado a um expoente (valor de x); 
3o - probabilidade de fracasso elevado a um expoente (valor de n-x). 
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xnxxnx qp
xnx
nqp
x
n
xXP −−
−
=





== )!(!
!)(
 
 
 
Resumindo 
Modelo de probabilidade Binomial 
 
 
Seja E um experimento com 2 resultados (mutuamente exclusivos): S (sucesso) e F (fracasso) 
p = probabilidade de ocorrência de S e q= probabilidade de ocorrência de F 
sendo que p+q=1. 
Se E for repetido n vezes, de forma independente, mantendo-se p e q, a probabilidade da variável 
aleatória X= número de vezes que S ocorre é dada por 
 P X x
n
x n x
p qx n x( ) !!( )!= = −
−
 X~B(n,p) onde n e p são os parâmetros da 
distribuição; a média = m = n.p, a variância = n.p.q e o desvio padrão = npq 
 
 
Exemplo 
Lançamento de moedas. 
• n= número de ensaios (nº de lançamentos)= 10; 
• X= variável aleatória (nº de caras); 
• x= resultado particular de X (0, 1, 2, ...,10); 
• p= probabilidade de ocorrer cara (sucesso); p=P(cara)= 0,5. 
xnx pp
x
n
xXP −−





== )1()( 
Distribuição de probabilidade B(n=10; p=0,5) 
 
X= nº de caras P(X=x) 
0 0,0010 
1 0,0098 
2 0,0439 
3 0,1172 
4 0,2051 
5 0,2461 
6 0,2051 
7 0,1172 
8 0,0439 
9 0,0098 
10 0,0010 
 1 
 
Média = np = 10x0,5 = 5. 
 
Variância = npq = 2,5. 
Desvio padrão = 58,15,25,05,010 === xxnpq . 
 
 
0,00 
0,05
 
0,10
 
0,15 
0,20
 
0,25
 
0,30 
0 1 2 3 5
4 
5 6 7 8 9 10 
X 
p(X=x) 
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68 
Se estivermos trabalhando com a proporção de sucessos, 
n
X
: 
Média = 5,0== p
n
p
n 
 
Variância = 
n
pq
n
q
x
n
p
n = = 0,025 
 
Desvio padrão = 
n
pq
n
npq
n
npq
== 2 = 0,158 
 
Exemplo 26 
 
Um programa de incentivo à amamentação exclusiva ao seio nos primeiros 3 meses está sendo execu-
tado em um hospital universitário. Verificou-se que a eficácia do programa era de pi= 60%. 
Para uma amostra de 20 mães que deram à luz neste hospital, a distribuição de probabilidade da vari-
ável aleatória número de mães amamentando exclusivamente ao seio é a seguinte: 
 
 
X= nº de mães 
amamentando 
P(X=x|p=0,6) 
0 0,000 
1 0,000 
2 0,000 
3 0,000 
4 0,000 
5 0,001 
6 0,005 
7 0,015 
8 0,035 
9 0,071 
10 0,117 
11 0,160 
12 0,180 
13 0,166 
14 0,124 
15 0,075 
16 0,035 
17 0,012 
18 0,003 
19 0,000 
20 0,000 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule a média, a variância e o desvio-padrão. 
 
 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
X 
p(X=x) 
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69 
Exemplo 27 
Uma suspensão contendo organismos de Leishmania é preparada e quando uma determinada quanti-
dade é inoculada em ratos, 30% deles se tornam infectados. Se 3 ratos forem inoculados independen-
temente, qual a probabilidade de: 
 
a) Nenhum rato ficar infectado? 
 
P(X=0) = 343,0343,01)7,0()!03(!0
!3)7,0()3,0(
0
3 330
==
−
=





x = 34,3% 
 
b) Um rato ficar infectado? 
 
P(X=1) = 441,049,03,0
121
123)7,0()3,0()!13(!1
!3)7,0()3,0(
1
3 131131
==
−
=





−−
x
xx
xx
 = 44,1% 
 
c) Dois ratos ficarem infectado? 
 
P(X=2) = 189,07,009,0
112
123)7,0()3,0()!23(!2
!3)7,0()3,0(
2
3 232232
==
−
=





−− x
xx
xx
 = 18,9% 
 
d) Todos os ratos ficarem infectados? 
 
P(X=3) = 027,01027,0
1123
123)7,0()3,0()!33(!3
!3)7,0()3,0(
3
3 03333
==
−
=





−
x
xxx
xx
 = 2,7% 
 
e) Pelo menos 2 fiquem infectados? 
 
 
 
f) No máximo 1 fique infectado? 
 
 
 
Exemplo 28 
Uma indústria de alimentos está realizando testes com um bolo que será comercializado. Durante a 
prova do bolo, 20% das pessoas selecionadas para tal tarefa acharam o sabor muito doce. Supondo 
que 5 pessoas provarão o bolo novamente, qual a probabilidade de: 
a) Nenhuma pessoa achar o bolo muito doce? 
b) Todos acharem o bolo muito doce ? 
c) Pelo menos 4 pessoas acharem o bolo muito doce? 
d) No máximo 2 pessoas acharem o bolo muito doce? 
 
 
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES 
 
Exercício S18 
Supor um teste com questões com 5 respostas de múltipla escolha com somente uma alternativa cor-
reta. 
a) Se o aluno escolher uma ao acaso ("chute"), qual a probabilidade dele escolher a resposta certa? 
b) Supondo que o teste tenha 20 questões; definindo-se a variável aleatória T: número de questões 
certas, qual é a distribuição de probabilidade da variável T? 
c) Calcular a probabilidade de um aluno acertar, no chute, 3 questões. 
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70 
d) Se o escore mínimo para passar é 10, qual a probabilidade de um aluno passar no teste, somente 
chutando? 
e) Qual o número médio de acertos esperado se o aluno somente chutar as respostas? 
 
Exercício S19 
Certa doença tem letalidade de 70%. Supondo-se que existam 20 pacientes com esta doença, calcu-
lar: 
a) a probabilidade de que todos morram da doença. 
b) a probabilidade de que nenhum paciente morra da doença. 
c) a probabilidade de que 7 pacientes morram da doença. 
d) a probabilidade de que, no máximo, 10 pacientes morram da doença. 
e) a probabilidade de que, no mínimo, 5 pacientes sobrevivam. 
f) o número esperado de óbitos e o respectivo desvio padrão. 
 
Exercício S20 
Em uma grande população, 20% das pessoas são canhotas. Assumindo que a variável X: número de 
pessoas canhotas segue uma distribuição Binomial, e sorteando-se uma amostra aleatória de 10 pes-
soas, encontre a probabilidade de: 
a) encontrar 2 pessoas canhotas . 
b) encontrar pelo menos 2 pessoas canhotas. 
c) encontrar no máximo 1 pessoa canhota. 
d) encontrar de 1 a 4 pessoas canhotas. 
 
Exercício S21 
Um caso de esquistossomíase é identificado pela detecção de ovo de xistossoma em amostra de fe-
zes. Em pacientes com infecção baixa, uma técnica de exame de fezes tem probabilidade de 0,4 de 
detectar ovo. Se 5 amostras são examinadas para cada paciente, qual a probabilidade de um paciente 
com baixa infecção não ser identificado? 
 
Exercício S22 
Supor que 20% de certa população tem sangue tipo B. Para uma amostra de tamanho 18, retirada 
desta população, calcule a probabilidade de que sejam encontradas: 
a) 3 pessoas com sangue tipo B. 
b) 3 ou mais pessoas com sangue tipo B. 
c) no máximo 3 pessoas com sangue tipo B. 
 
Exercício S23 
A probabilidade que uma pessoa que sofre de enxaqueca obter alívio utilizando certo medicamento é 
de 0,9. São selecionados 5 pacientes que sofrem de enxaqueca e recebem o medicamento. Quanto ao 
número de pessoas que vai ter alívio, encontre a probabilidade de: 
a) nenhuma pessoa ter alívio. 
b) mais do que uma pessoa tenha alívio. 
c) três ou mais pessoas tenha alívio. 
d) no máximo duaspessoas tenham alívio. 
 
 
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71 
Distribuição normal ou de Gauss; distribuição amostral da média 
 
Os dados abaixo são medidas do tórax (polegadas) de 5732 soldados escoceses, tomadas pelo mate-
mático belga, Adolphe Quetelet (1796-1874). 
 
 medidas | Freq, Percent Cum, 
------------+----------------------------------- 
 33 | 3 0,05 0,05 
 34 | 19 0,33 0,38 
 35 | 81 1,41 1,80 
 36 | 189 3,30 5,09 
 37 | 409 7,14 12,23 
 38 | 753 13,14 25,37 
 39 | 1062 18,53 43,89 
 40 | 1082 18,88 62,77 
 41 | 935 16,31 79,08 
 42 | 646 11,27 90,35 
 43 | 313 5,46 95,81 
 44 | 168 2,93 98,74 
 45 | 50 0,87 99,62 
 46 | 18 0,31 99,93 
 47 | 3 0,05 99,98 
 48 | 1 0,02 100,00 
------------+----------------------------------- 
 Total | 5732 100,00 
 
Distribuição de medidas do tórax (polegadas) de soldados escoceses. 
Fr
eq
u
en
cy
medidas
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
0
200
400
600
800
1000
 
Fonte: Daly F et al. Elements of Statistics, 1999. 
 
Função densidade de probabilidade da distribuição normal: Se a variável aleatória X é normalmente 
distribuída com média µ e desvio padrão σ (variância 2σ ), a função densidade de probabilidade de 
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72 
X é dada por 
]
2
)([ 2
2
2
1)( σ
µ
piσ
−
−
=
x
exf
, +∞<<∞− x ; onde 
pi : constante ≅ 3,1416; e: constante ≅ 2,718 
µ
: constante (média aritmética da população) 
σ : constante (desvio padrão populacional) 
Propriedades: 
• campo de variação : +∞<<∞− X ; 
• é simétrica em torno da média m (ou µ ); 
• a média e a mediana são coincidentes; 
• a área total sob a curva é igual a 1 ou 100%; 
• a área sob a curva pode ser entendida como medida de probabilidade. 
 
sobservaçõedasinclui
sobservaçõedasinclui
sobservaçõedasinclui
%0,9958,2
%0,9596,1
%2,681
σµ
σµ
σµ
±
±
±
 
 
Exemplo: 
Depois de tomarmos várias amostras, decidiu-se adotar um modelo para as medidas de perímetro do 
tórax de uma população de homens adultos com os parâmetros: média ( µ ) = 40 polegadas e des-
vio padrão (σ ) = 2 polegadas. 
 
 
 
 40 43 X 
Qual a probabilidade de um indivíduo, sorteado desta população, ter um perímetro de tórax entre 40 
e 43 polegadas? 
dxeXP x
x
∫
−
−
=≤≤
43
40
]
42
)40([
2
22
1)4340(
pi 
Quantos desvio padrão 43 está em torno da média? 
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73 
Normal reduzida: 
( )
σ
µ-x
 onde 1;0~ =ZNZ 
)5,10()
2
4043
2
4040()4340( ≤≤=−≤−≤−=≤≤ ZPXPXP
σ
µ
 
 
 
 
 0 1,5 Z 
Utilizando a tabela da curva normal reduzida, 
)5,10( ≤≤ ZP = 0,43319 =43,3% 
Exemplo 29: 
Com base na distribuição de X~N(µ =40, σ =2), calcular: 
a) a probabilidade de um indivíduo, sorteado desta população, ter um perímetro de tórax maior ou 
igual a 43 polegadas. 
 
 
 
 
 40 43 X 
)5,1()
2
4043()43( ≥=−≥−=≥ ZPXPXP
σ
µ 
 
 
 
 
 0 1,5 Z 
 
Utilizando a tabela da curva normal reduzida, 
)5,1( ≥ZP = 0,5-0,43319=0,06681= 6,7%. 
 
b) a probabilidade de um indivíduo, sorteado desta população, ter um perímetro de tórax entre 35 e 
40 polegadas. 
 
 
 
 
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74 
c) a probabilidade de um indivíduo, sorteado desta população, ter um perímetro de tórax menor que 
35. 
 
 
d) Qual o valor do perímetro do tórax, que seria ultrapassado por 25% da população? 
 
Exemplo 30 
Considerar a altura de 351 mulheres idosas como seguindo uma distribuição normal com média 
160cm e desvio padrão 6 cm. Sorteia-se uma mulher; qual a probabilidade de que ela tenha: 
a) altura entre 160 cm e 165 cm? 
b) altura menor do que 145 cm? 
c) Altura maior do que 170 cm? 
 
Distribuição amostral da média 
Supor a situação onde uma população é composta por 6 elementos, para os quais observou-se a ca-
racterística X, cujos valores estão apresentados abaixo. 
elementos Xi 
A 11 
B 16 
C 12 
D 15 
E 16 
F 14 
Fonte: Dixon WJ e Massey FJ. Introduction to Statistical Analysis. 2nd edit. The Maple Press Company, 
York, 1957. 
 
Média populacional (µ ) = 14; 
Variância populacional (
2σ ) = 3,667; 
 
Desvio padrão populacional (σ ) = 1,9149. 
 
Parâmetros 
População 
valor Estimador 
amostra 
Valor (estimativa) 
Par(A,D)=(11,15) 
Média (µ ) 14 x 13 
Variância (
2σ ) 3,67 S
2 8 
Desvio padrão (σ ) 1,91 S 2,828 
 
 
Todas as possíveis amostras de tamanho 2, determinadas pelo processo de amostragem aleatório, 
com reposição (N=6, n=2): 
Amostra Elementos que compõem a amostra valores 
Média( ix ) 
1 A,A (11,11) 11 
2 A,B (11,16) 13,5 
3 A,C (11,12) 11,5 
4 A,D (11,15) 13 
5 A,E (11,16) 13,5 
6 A,F (11,14) 12,5 
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75 
7 B,A (16,11) 13,5 
8 B,B (16,16) 16 
9 B,C (16,12) 14 
10 B,D (16,15) 15,5 
11 B,E (16,16) 16 
12 B,F (16,14) 15 
13 C,A (12,11) 11,5 
14 CB (12,16) 14 
15 CC (12,12) 12 
16 C,D (12,15) 13,5 
17 C,E (12,16) 14 
18 C,F (12,14) 13 
19 D,A (15,11) 13 
20 D,B (15,16) 15,5 
21 D,C (15,12) 13,5 
22 D,D (15,15) 15 
23 D,E (15,16) 15,5 
24 D,F (15,14) 14,5 
25 E,A (16,11) 13,5 
26 E,B (16,16) 16 
27 E,C (16,12) 14 
28 E,D (16,15) 15,5 
29 E,E (16,16) 16 
30 E,F (16,14) 15 
31 F,A (14,11) 12,5 
32 F,B (14,16) 15 
33 F,C (14,12) 13 
34 F,D (14,15) 14,5 
35 F,E (14,16) 15 
36 F,F (14,14) 14 
 
Distribuição de frequência de todas as possíveis médias: 
Distribuição amostral da média 
i 
ix frequência 
1 11 1 
2 11,5 2 
3 12 1 
4 12,5 2 
5 13 4 
6 13,5 6 
7 14 5 
8 14,5 2 
9 15 5 
10 15,5 4 
11 16 4 
Total 36 
 
 
 
 
 
 
 
Fr
eq
u
en
cy
medias
10 10.65 11.3 11.95 12.6 13.25 13.9 14.55 15.2 15.85
0
2
4
6
8
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76 
Média das médias 14)(
11
1
==
∑
=
n
fx
x i
ii
 
Variância das médias 833,1
)( 2
11
12
=
−
=
∑
=
n
fxx i
i
i
xσ ; 
Desvio padrão das médias = erro padrão da média = 
2
xx σσ = ; 
Erro padrão da média = 354,1833,1 = . 
Teorema central do limite: X é variável aleatória com média µ e variância 2σ , então 
),(~
n
NX σµ 
No exemplo, )915,1,14(~ == σµNX , portanto )354,1
2
915,1
,14(~ === xxNX σµ . 
Exemplo: 
Os valores de ácido úrico em homens adultos sadios seguem distribuição aproximadamente Normal 
com média 5,7mg% e desvio padrão 1mg%. Encontre a probabilidade de que uma amostra aleatória 
de tamanho 9, sorteada desta população, tenha média 
a)maior do que 6 mg%. 
b) menor do que 5,2 mg%. 
 
X~N(µ=5,7; )1=σ 
a) 18141,031859,05,0)91,0()
9
1
7,56()6( =−=≥=−≥=≥ XX ZPZPXP . 
b) 064,043574,05,0)52,1()
9
1
7,52,5()2,5( =−=−≤=−≤=≤ XX ZPZPXP . 
Exemplo 31 
 
Suponha que o peso em gramas do conteúdo de pacotes de salgadinho siga uma distribuição normal 
com média 500g e desvio padrão 85g. Sorteia-se uma amostra de 50 pacotes. Calcule: 
a) a probabilidade de obter peso médio entre 500 e 530 gramas. 
b) a probabilidade de obter peso médio entre 450 e 500 gramas. 
 
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77 
Aproximação da distribuição Binomial pela Normal 
Representação gráfica da distribuição Binomial(n=10;p=0,5). 
 
 
 
 
 
 
 
Aproximação da Binomial(n=10,p=0,5) pela distribuição normal. 
 
 
 
 
 
 
Supor X~B(n,p), onde X:número de sucessos; 
Parâmetros da distribuição: p (probabilidade de sucessos); n (número de realizações); 
Binomial possui média=np; variância =npq e desvio padrão = npq . 
Para n suficientemente grande (np≥ 5 e nq≥ 5), a variável X pode ser aproximada para uma distribui-
ção Normal(média=np, e desvio padrão= npq ) 
Supor a proporção de sucessos dada por 
n
X
 
Média de p
n
X
= e desvio padrão de 
n
pq
n
X
= 
porque: 
média de pnp
n
1)X(E
n
1)
n
X(E
n
X
==== ; 
 
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X
P(X=x)
 
0
0,05 
0,10 
0,15 
0,20 
0,25 
0,30 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X
P(x1<X<x2)
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78 
 
variância de 
n
pq
npq
n
1)X(V
n
1)
n
X(V
n
X
22 ==== ; 
 
desvio padrão de 
n
pq)
n
X(V
n
X
== . 
Para n suficientemente grande (np≥ 5 e nq≥ 5), a distribuição de 
n
X
 pode ser aproximada para a 
distribuição Normal(média=p, e desvio padrão=
n
pq
). 
Exemplo: 
Y: número de sucessos; 
Y~B(n=10; p=0,5) 
)6Y3(P <≤ =P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)=0,11719+0,20508+0,24609=0,5684. 
Pela distribuição normal: Y~N(np=5; dp= 581,15,0x5,0x10 = ) 
 
)6Y3(P <≤ =P( 581,1
55,5
npq
5Y
581,1
55,2 −
<
−≤− )= 
)316,0Z581,1(P Y <≤− =0,44295+0,12552=0,5685. 
Trabalhando-se com a proporção de sucessos: 
n
Y
: proporção de sucessos 
Pela distribuição Binomial: 
5684,024609,020508,011719,0)6Y3(P)6,0
n
Y3,0(P =++=<≤=<≤ 
Pela distribuição normal: 
n
Y
~N(p=0,5; dp= 1581,0
10
5,0x5,0
n
pq
== ) 
)6Y3(P <≤ =P(
1581,0
5,055,0
n
pq
5,0
n
Y
1581,0
5,025,0 −
<
−
≤− )= 
)316,0Z581,1(P Y <≤− =0,44295+0,12552 = 0,5685 
 
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EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES 
 
Exercício S24 
Suponha que o peso de açúcar em pacotes seja anunciado como sendo 2Kg (2000g). Suponha que o 
peso (X) segue uma distribuição normal com média e desvio padrão em gramas dado por 
N( 1;2003 == σµ ). Qual a probabilidade de sortear um pacote com peso abaixo do anunciado? 
 
Exercício S25 
Suponha que o tempo médio de permanência em um hospital para pacientes com determinada doen-
ça é de 60 dias com desvio padrão de 15 dias. Supor que o tempo de permanência segue uma distri-
buição aproximadamente normal. Se for sorteado 1 paciente desta população, calcule a probabilidade 
de que seu tempo de permanência será 
a) maior que 50 dias. 
b) menor que 30 dias. 
c) entre 40 e 70 dias. 
d) maior do que 75 dias. 
 
Exercício S26 
Supor que a idade para o aparecimento de certa doença possui distribuição aproximadamente normal 
com média 11,5 anos e desvio padrão 3 anos. Uma criança apresentou esta doença. Calcule a proba-
bilidade de que a criança tenha 
a) idade entre 8,5 e 14,5 anos. 
b) acima de 10 anos. 
c) abaixo de 12 anos. 
 
Exercício S27 
Supor que a pressão média diastólica de certa população em certo grupo de idade é igual a 78mmHg 
com desvio padrão 9mmHg. Calcule a probabilidade de que em uma amostra de tamanho 16, a média 
seja maior que 81mmgHg. 
 
Exercício S28 
Seja X a variável estatura de homens adultos, assuma que X segue uma distribuição normal com mé-
dia µ = 172 cm e desvio padrão σ = 7,6 cm. Supor que uma amostra de tamanho n= 25 é retirada 
desta população. 
a) Qual é a distribuição da média amostral X e qual é a média e o desvio padrão desta distribu-
ição? 
b) Calcule a probabilidade que a média amostral seja menor que a média populacional em 2,5 
cm. 
 
A família de distribuições t de Student 
 
Student é o pseudônimo de W. S. Gosset que, em 1908, propôs a distribuição t. Esta distribuição é 
muito parecida com a distribuição normal. A família de distribuições t é centrada no zero e possui 
formato em sino. A curva não é tão alta quanto a curva da distribuição normal e as caudas da distri-
buição t são mais altas que as da distribuição normal. O parâmetro que determina a altura e largura 
da distribuição t depende do tamanho da amostra (n) e é denominado graus de liberdade (gl), deno-
tado pela letra grega (ν ) (lê-se ni). A notação da distribuição t é νt . 
 
Curvas t para graus de liberdade (tamanhos de amostra) diferentes. 
 
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80 
 
 
 
 
 
Quando o número de graus de liberdade da distribuição t aumenta, a distribuição se aproxima de uma 
distribuição normal. 
 
 
 
Esta família t não descreve o que acontece na natureza mas sim o que aconteceria se selecionásse-
mos milhares de amostras aleatórias de uma população normal com média µ e fosse calculado 
n
s
X
t
µ−
= para cada amostra. 
Calculando o valor de t para 500 amostras de tamanho 6 de uma população com distribuição normal, 
obtém-se o gráfico a seguir: 
 
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81 
 
 
Estimação de parâmetros populacionais 
 
Estimação por ponto 
 
X é uma característica que na população possui distribuição normal com média µ e variância 2σ 
(desvio padrão σ ). 
 
 
Seja X1, X2, X3, ...Xn uma amostra aleatória de tamanho n extraída desta população. 
 
Os parâmetros µ e 2σ podem ser estimados com base na amostra. 
 
Se o estimador for um único valor, a estimação é chamada de estimação por ponto. 
Se o estimador for um conjunto de valores, a estimação é chamada de estimação por intervalo. 
 
Estimação por ponto 
 
Média aritmética 
Populacional Parâmetro µ estimador : 
N
X
X
N
i
i∑
=
=
1 
 
 
Variância 
Populacional Parâmetro 
2σ estimador : 
 
N
XX
S
ou 
N
XX
S
N
i
i
N
N
i
i
N
1
)(
)(
1
2
2
)1(
1
2
2
)(
−
−
=
−
=
∑
∑
=
−
=
 
 
Atenção: Antes dos dados serem coletados, os estimadores são variáveis aleatórias. 
 
 
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82 
Estimação por intervalo 
 
Intervalo de confiança: É um conjunto de valores calculados com base na amostra. Pressupõe-se que 
cubra o parâmetro de interesse com um certo grau (nível) de confiança. 
 
O grau de confiança tem origem na probabilidade associada ao processo de construção do intervalo 
antes de se obter o resultado amostral. 
 
O grau de confiança mais comumenteutilizado é o de 95%. 
 
Seria impossível construir um intervalo de 100% de confiança a menos que se medisse toda a popula-
ção. 
 
Na maioria das aplicações não sabemos se um intervalo de confiança específico cobre o verdadeiro 
valor. Só podemos aplicar o conceito frequentista de probabilidade e dizer que se realizarmos a amos-
tragem infinitas vezes e construirmos intervalos de confiança de 95%, em 95% das vezes os interva-
los de confiança estarão corretos (cobrirão o parâmetro) e 5% das vezes estarão errados. 
Exemplos de intervalo de confiança: 
 
IMC médio, desvio padrão (dp) e IC de 95% segundo sexo e idade (anos). Duas escolas públicas de 
São Paulo, 2004. 
Sexo(1) Idade (anos)(2) 
 7 8 9 10 
 IMC (kg/m2) médio e desvio padrão (dp) (IC 95%) 
Masculino 
 
16,8 (2,5) 
(16,2 – 17,4) 
17,9 (4,0) 
(17,0 – 18,9) 
17,3 (3,1) 
(16,5 – 18,1) 
18,9 (4,0) 
(17,9 – 19,8) 
Feminino 
 
16,4 (2,30) 
(15,9 – 17,0) 
16,9 (2,9) 
(16,2 – 17,6) 
17,4 (3,3) 
(16,6 – 18,2) 
18,7 (3,1) 
(17,9 – 19,5) 
 
Total 
 
16,6 (2,4) 
(16,2 – 17,0) 
17,4 (3,5) 
(16,8 – 18,0) 
18,7 (3,2) 
(17,9 – 19,5) 
18,8 (3,7) 
(18,2 – 19,4) 
(1) Masculino (n=281), Feminino (n=275); 
(2) 7 anos (n=151); 8 anos (n=138); 9 anos (n=126); 10 anos (n=141) 
Fonte: Claudia Regina Koga. Dissertação de Mestrado (dados preliminares) 
 
IC para a proporção populacional 
 
 “Os dados de composição corporal obtidos pela utilização da BIA, classificados em duas cate-
gorias: sem risco de doença cardiovascular e com risco de DCV, resultaram em prevalência de risco de 
DCV igual a 42,3% (IC95%: 38,1 - 46,5%).” 
 
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83 
Representação gráfica 
 
 
 
A linha vertical representa o parâmetro populacional. O gráfico foi gerado via programa de computa-
dor. São apresentados 50 intervalos de confiança para amostras de tamanho n=20. As linhas horizon-
tais representam os intervalos de confiança. Se o intervalo de confiança não contiver o parâmetro, a 
linha horizontal não cruzará a linha vertical. A linha vertical é o parâmetro. No exemplo, 3 intervalos 
não cobrem ("capturam") o parâmetro. 
 
Apresentação gráfica do efeito do tamanho da amostra: 
 
 
 
Para amostras menores (n=5), as larguras dos intervalos são maiores a proporção de intervalos que 
"capturam" o parâmetro é parecida com a anterior (para n=20). Portanto, o tamanho da amostra não 
interfere na proporção de “captura” do parâmetro mas sim na precisão do estimador. 
 
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84 
Efeito do grau de confiança 
Para n=20 e α =0,25, obtém-se intervalos com os apresentados a seguir: 
 
 
Os intervalos são mais estreitos do que para n=20 e α =0,05. Uma porcentagem bem maior não 
contém o parâmetro. Isto é o que 75% de confiança significa. Do total de todas as possíveis amos-
tras, 75% delas resultará em intervalos de confiança que contêm o verdadeiro valor do parâmetro. 
 
Interpretando Intervalos de Confiança (IC) 
Um intervalo de confiança para um parâmetro é um intervalo de valores no qual pode-se depositar 
uma confiança que o intervalo cobre (contém) o valor do parâmetro. Por exemplo, se com base em 
uma amostra encontrarmos que o intervalo (3200 ; 3550) é um intervalo de 95% de confiança para a 
média (µ ) da população de valores do peso médio ao nascer de recém-nascidos no Município de 
São Paulo, então podemos estar 95% confiantes que o conjunto de valores 3220 – 3500 gramas co-
bre (contém) o verdadeiro peso médio ao nascer da população. 
 
Pode-se também pensar no IC a partir da seleção de milhares de amostras de uma população. Para 
cada amostra calcula-se um intervalo de confiança com grau de confiança 100(1-α )%, para um pa-
râmetro da população. A porcentagem de intervalos que contém o verdadeiro valor do parâmetro é 
100(1-α ). Para α =0,05, o grau de confiança será igual a 100(1-0,05)% = 100(0,95)% = 95%. 
 
Na prática, tomamos somente uma amostra e obtemos somente um intervalo. Mas sabemos que 
100(1-α )% de todas as amostras tem um intervalo de confiança contendo o verdadeiro valor do 
parâmetro, portanto depositamos uma confiança 100(1-α )% que o particular intervalo contém o 
verdadeiro valor do parâmetro. 
 
 
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85 
Amplitude do intervalo 
 
Para um grau de confiança especificado (por exemplo, 95%), desejamos o intervalo tão pequeno 
quanto possível. 
Ex: o intervalo de confiança de 95% para o peso médio ao nascer (gramas) de recém-nascidos no 
Município de São Paulo de (2500, 4000) traz pouca informação prática porque sabe-se, da experiên-
cia, que a média populacional está neste intervalo. Deseja-se um intervalo com amplitude de poucas 
gramas. É o tamanho da amostra que determina a amplitude do intervalo. Quanto maior a amostra, 
menor será o intervalo. 
 
Fórmulas para construção dos intervalos de confiança: 
 
As fórmulas dos intervalos de confiança são derivadas da distribuição amostral da estatística; 
 
Construção do intervalo de confiança para a média populacional µ ; 
 
Pressuposição: A amostra deve ser obtida de forma aleatória; 
 
É necessário utilizar as propriedades do teorema central do limite : 
),(~ σµNX ; ),(~
n
NX σµ 
Padronizando-se a média X , obtém-se )1,0(~ N
n
XZ
σ
µ−
=
, que permite calcular 
α
σ
µ
−=≤
−
≤− 1)( z
n
X
zP . 
Para %5=α , 95,0)96,196,1( =+≤−≤−
n
XP
σ
µ 
 
95,0)96,196,1( =+≤−≤−
n
X
n
P σµσ 
 
95,0)96,196,1( =+−≤−≤−−
n
X
n
XP σµσ 
Multiplicando tudo por -1 
95,0)96,196,1( =−≥≥+
n
X
n
XP σµσ 
 
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86 
Reescrevendo a equação tem-se 
95,0)96,196,1( =+≤≤−
n
X
n
XP σµσ 
 
Obtém-se um intervalo aleatório centrado na média amostral o qual possui 95% de probabilidade 
de conter a verdadeira média populacional. 
 
O parâmetro será estimado por um conjunto de valores provenientes de uma amostra. Quando isto é 
feito, a média é estimada por um determinado valor ( xX =ˆ ), e o intervalo 
n
x
n
x
σµσ 96,196,1 +≤≤− deixa de ser uma variável aleatória. 
 
Este intervalo cobre (contém) ou não cobre (não contém) a verdadeira média (parâmetro). Diz-se 
então que a confiança que se deposita neste intervalo é de 95% porque antes de coletar a amostra de 
tamanho n, existia, associada a ele, uma probabilidade de 95% de que contivesse a média populacio-
nal. Por isso chama-se intervalo de confiança para a média populacional. 
IC(95%) : )96,1 ;96,1(
n
x
n
x
σ
+
σ
− 
 
 
Intervalo de confiança para a média populacional com variância populacional conhecida 
 
Pressuposição: A amostra deve ser obtida de forma aleatória. 
Estatística: média populacional - µ . 
( )
n
.;
n
.IC 2/2/ xx zxzx
σ
+
σ
−=µ αα 
 
Exemplo: 
Construa um intervalo de 95% de confiança para estimar a pressão diastólica média populacional 
(µ ), sabendo que em uma amostra de 36 adultos a pressão média amostral ( x ) foi igual a 
85mmHg e o desvio padrão populacional (σ ) foi 9 mm de Hg. Interprete o significado desse interva-
lo 
Solução: 
36
996,185;
36
996,185 +− , ou seja, (82,06; 87,94mmHg) 
 
Exemplo 32 
Em uma amostra de 16 gestantes com diagnóstico clínico de pré-eclâmpsia, a taxa média de ácido 
úrico no plasma foi de 5,3 mg sabendoque a variabilidade na população é igual a 0,6 mg. Estime, 
com 95% de confiança, a taxa média de ácido úrico no plasma da população de gestantes com diag-
nóstico de pré-eclâmpsia. 
 
 
 
 
 
 
 
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87 
Intervalo de confiança para a média populacional com variância populacional desconheci-
da 
( )
n
.;
n
.:IC 2,12,1 xnxn
S
tx
S
tx α−α− +−µ 
 
Exemplo: 
Construa um intervalo de 95% de confiança para estimar a pressão diastólica média populacional 
(µ ), sabendo que em uma amostra de 36 adultos a pressão média amostral ( x ) foi igual a 
85mmHg e o desvio padrão amostral (s) foi 12 mm Hg. Interprete o significado desse intervalo. 
 
36
1203,285;
36
1203,285 +− , ou seja, (80,94; 89,06 mmHg) 
 
Exemplo 33 
Uma amostra de 25 adolescentes meninos apresenta peso médio de 56 kg e desvio padrão 8 kg. 
a) encontre o intervalo de confiança de 95% para o peso médio da população da qual esta a-
mostra foi sorteada. 
b) interprete o intervalo de confiança encontrado. 
 
 
 
 
Intervalo de confiança aproximado pela Normal para a proporção populacional (pi ) 
 
Pressuposições: 
1- np e nq≥5 
2- a amostra deve ser obtida de forma aleatória 
 
Seja X uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial, X~ B(n,p). 
A proporção de sucessos populacionalpi é desconhecido. Seu estimador por ponto é 
n
Xp = 
Para n grande, ),(~
n
pqpNp == σµ . 
 
Com intervalo de confiança para pi dado por 
 
( )
n
qp
zp
n
qp
zpIC ˆˆ.ˆ;ˆˆ.ˆ: 2/2/ ααpi +− , com pˆ e qˆ estimados na amostra onde 
n
xp =ˆ e 
pq ˆ1ˆ −= e x é o número de sucessos observado na amostra de tamanho n. 
 
Exemplo: 
Supor que em uma amostra de 200 casais encontrou-se 10 casais onde a esposa era mais alta que o 
marido. Construir o intervalo de confiança de 95% para a proporção de casais na população (pi ) onde 
as esposas são mais altas que seus maridos. 
05,0
200
10
ˆ ==p ; 95,0ˆ1ˆ =−= pq 
 
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( )
200
95,005,096,105,0;
200
95,005,096,105,0:%,95 xxIC +−pi 
 
IC(95%, p): (2,0% ; 8,0% casais) 
 
Se for de interesse estimar por intervalo o número esperado de sucessos na população ( NpX ˆˆ = 
onde N é tamanho da população) pode-se utilizar os valores obtidos no IC para a proporção popula-
cional. 
 
IC95% para o número esperado de sucessos na população: (N x ipˆ ; N x spˆ ) onde ipˆ é a proporção 
de sucessos estimada pelo limite inferior do IC e spˆ é a proporção de sucessos estimada pelo limite 
superior do IC. 
 
Para uma população de 1000 casais, obtém-se: (1000 x 0,02 ; 1000 x 0,08), ou seja, (20 ; 80 casais) 
 
Exemplo 34 
Em uma pesquisa sobre saúde bucal na Inglaterra observou-se que de uma amostra de 
262 mulheres com idade entre 25 e 34 anos, 7,6% não tinham dentes. Calcule o intervalo de confian-
ça de 95% para a proporção de mulheres inglesas naquela faixa etária, que não possuem dentes. 
 
Resumo: Intervalo de Confiança 
 
Média populacional: µ 
Com variância conhecida 
2σ : 
n
Zx
2
2/
σ
α− ;
n
Zx
2
2/
σ
α+ 
Com variância 
2σ desconhecida: 
n
s
tx να ,2/− , 
n
s
tx να ,2/+ ; 1−= nν 
 
Proporção populacional (p) 
 
Intervalo aproximado: 5)ˆ1(ˆ,ˆ ≥− ppnpn 
 
n
ppZp )ˆ1(ˆˆ 2/
−
− α ; 
n
ppZp )ˆ1(ˆˆ 2/
−
+ α 
onde pˆ é a proporção de sucessos na amostra. 
 
 
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89 
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES 
 
Exercício S29 
São apresentadas medidas de pressão arterial sistólica de uma amostra de 20 pacientes. 
a) Construa o intervalo de confiança de 90% para a pressão sistólica média populacional. 
b) Interprete o intervalo de confiança encontrado. 
 
98 136 128 130 114 123 134 128 107 123 
160 125 129 132 154 115 126 132 136 130 
 
Valores de média e desvio padrão das observações: 
Média ( x ) 128 
Desvio padrão (Sn-1) 13,91 
 
 
Exercício S30 
Em uma pesquisa sobre propriedades teratogênicas de uma droga, 85 camundongos fêmeas grávidas 
que não foram expostas a droga foram observadas. Do total de 85 ninhadas, 12 tiveram pelo menos 1 
filhote com malformação. 
a) Apresente o intervalo de confiança de 95% para a verdadeira proporção de malformação na 
população de camundongos de onde os 85 que participaram do estudo foram provenientes. 
b) Interprete o intervalo de confiança encontrado. 
 
 
Exercício S31 
Os dados a seguir são provenientes do grupo Western Collaborative Group Study, criado na Califórnia 
em 1960-61. 
Tipo A: nível de colesterol 
233 291 312 250 246 197 268 224 239 239 
254 276 234 181 248 252 202 218 212 325 
 
Tipo B: nível de colesterol 
344 185 263 246 224 212 188 250 148 169 
226 175 242 252 153 183 137 202 194 213 
 
Medidas(mg/100ml) Tipo A Tipo B 
 Média 245,05 210,3 
 Variância (n-1) 1342,37 2336,747 
 Desvio padrão (n-1) 36,64 48,33991 
 
Com base nos valores fornecidos, 
a) Calcule o intervalo de confiança de 95% para o nível médio populacional de colesterol para 
cada um dos tipos. 
b) Interprete os intervalos. Explique o que eles significam. 
c) Compare os resultados. 
 
Exercício S32 
São apresentados dados sobre o estado nutricional de 1226 crianças brasileiras de 2 anos de idade, 
segundo sexo. 
Estado nutricional Masculino Feminino total 
Desnutridas 29 20 49 
Normais 574 603 1177 
Total 603 623 1226 
 Fonte: retirado de material de aula da Profa M. R. Cardoso 
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90 
 
Com base nos dados calcule a proporção de crianças desnutridas e respectivos intervalos de confiança 
de 90% segundo sexo. Discuta os resultados. 
 
Exercício S33 
No artigo “Hipovitaminose A em crianças de áreas rurais do semi-árido baiano” a idade média das 
crianças com nível aceitável e inadequado de retinol e seus respectivos desvios-padrão são apresen-
tados a seguir. Encontre o intervalo de confiança de 90% para as verdadeiras idades médias. Compa-
re os resultados. Pode-se dizer que as crianças provêm de uma mesma população? 
 
Estatísticas Nível aceitável Nível inadequado 
Número de observações (n) 89 72 
Média ( x ) 41,9 37,4 
Desvio padrão (Sn-1) 17,4 17,1 
 
Exercício S34 
O nível médio de protrombina em populações normais é 20 mg/100ml de sangue. Uma amostra de 
40 pacientes que tinham deficiência de vitamina K tiveram nível médio observado de protrombina de 
18,5mg/100ml e desvio padrão 4mg/100ml. Seria razoável concluir que a verdadeira média de paci-
entes com deficiência de vitamina K é a mesma que a da população normal? 
 
Exercício S35 
Uma companhia de produtos alimentícios solicitou pela mídia que os consumidores entrassem em 
contato dizendo se tinham aprovado o sabor de um novo produto. Quem telefonasse receberia um 
exemplar de um livro de receitas. 320 consumidores telefonaram sendo que 75% destes aprovaram o 
produto. 
a) Poderia ser construído o intervalo de confiança de 95% para a proporção de consumidores 
que aprovaram o produto na população? 
b) Se sim, calcule o intervalo; se não, explique porque não. 
 
Teste de hipóteses, teste de hipóteses de uma proporção populacional 
Estatística descritiva 
Descreve eventos por meio de: 
 tabelas 
 gráficos 
 razões e índices 
 parâmetros típicos (medidas de posição e dispersão) 
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91 
Estatística analítica 
Nível I - Teórico (conceitos, hipóteses científicas) 
Nível II - operacional (hipótese estatística) 
Situação 
Quanto mais bem educada uma pessoa, menor o seu preconceito em aceitar certa campanha sanitária 
Nível I Nível II 
 
 
Conceitos Definições 
Científicas/ 
teóricas 
Definições 
operacionais 
Hipótese operacional 
 
 
 
 
educação Visão global 
 do mundo 
Anos de escolarida-
de 
 
 Quanto maior o número 
de anos de escolaridade, 
menor o escore em uma 
escala de preconceito 
preconceito Pré-julgamento Preconceito (escore 
em uma escala) 
 
 
Conceitos gerais 
Hipótese científica 
 
(inferência dedutiva) 
Hipótese estatística em termos operacionais relativos a po-
pulação 
 Estimador (Populacional) 
 
Veracidade/ 
falsidade científica 
 
 Regras de decisão: fixação de α - nível de significância 
 
Delineamento: normas de coleta e análise dos dados 
 
Inferência indutiva 
(teoria probabilística) 
Coleta de dados (observação e mensuração) 
 
 Verificação da veracidade da hipótese 
 
 
 
 
Inferência estatística: É qualquer procedimento que se utiliza para se generalizar afirmações sobre 
determinada população, baseadas em dados retirados de uma amostra. 
 
Parâmetro: É a medida usada para se descrever uma característica de uma população. 
 
Estatística: É uma função dos valores amostrais. 
 
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92 
Estimação: É o processo através do qual estima-se o valor de um parâmetro de uma população com 
base no valor obtido em uma amostra. 
 
Hipótese: É uma forma de especulação relativa a um fenômeno estudado (qualquer que seja). É 
qualquer afirmação sobre a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória (afirmação sobre 
um parâmetro). 
 
Hipótese estatística: É uma especulação feita em relação a uma proposição, porém relativa a uma 
população definida. 
 
 
Teste de Hipóteses 
 
Abordagem de Neyman e Pearson 
 
Neyman e Pearson propuseram uma abordagem, para a tomada de decisão, que envolve a fixação, 
antes da realização do experimento, das hipóteses nula e alternativa, e fixação de valores de probabi-
lidade de ocorrência de erros de decisão. 
 
Considerar a situação na qual se deseja comparar a eficácia de uma nova droga (DN) com a eficácia 
de uma droga padrão (DA), que vem sendo atualmente utilizada. 
 
Para a tomada de decisão sobre a eficácia de DN, torna-se necessário seguir os seguintes passos: 
• Formular as hipóteses; 
• Identificar a distribuição de probabilidade da estatística do teste; 
• Fixar o nível de significância do teste (α); 
• Calcular o tamanho da amostra; 
• Determinar a região de rejeição/aceitação de H0; 
• Realizar o estudo, observar os resultados, calcular a estatística do teste; 
• Confrontar o valor observado da estatística do teste com a região de rejeição/aceitação de H0; 
• Tomar a decisão; 
• Apresentar a conclusão. 
 
Cada passo será apresentado detalhadamente a seguir. 
 
Fixação das hipóteses para o exemplo da eficácia de DN 
Para o estudo proposto, onde uma nova droga é desenvolvida para apresentar maior eficácia que a 
droga em uso, as hipóteses apropriadas seriam: 
 
 
ANa
AN0
DD:H
DD:H
>
=
 Teste monocaudal à direita 
Se o estudo envolvesse a comparação de duas drogas, uma nova e outra que é atualmente utilizada, 
e a nova droga se propõe a reduzir os efeitos colaterais, as hipóteses seriam: 
 
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93 
ANa
AN0
DD:H
DD:H
<
=
 Teste monocaudal à esquerda 
 
 
Se ambas os lados forem possíveis, deve-se optar pela hipótese alternativa que explicita a diferença 
como na situação onde uma nova droga para depressão está em teste e deseja-se investigar se a 
droga inibe ou provoca o apetite, como efeito colateral. Assim, antes do estudo não se conhece o 
efeito da droga sobre o apetite dos pacientes. 
 
ANa
AN0
DD:H
DD:H
≠
=
 Teste bicaudal 
 
 
Fixação de valores de probabilidade de ocorrência de erros de decisão 
Considerar o estudo que tem por objetivo comparar a eficácia de uma nova droga (DN) com a eficácia 
de uma droga padrão, que vem sendo utilizada (DA), cuja eficácia é de 50%. 
 
Eficácia (E) pode ser medida pelo número de curas. 
 
Supor que a nova droga será utilizada em 10 pacientes (n=10) e, considerando-se a eficácia conheci-
da da droga antiga (DA), de 50%, tem-se que a probabilidade de cura (p) é igual a 0,5. 
 
Hipóteses: 5,0D:H
5,0D:H
Na
N0
>
=
 ou 5,0E:H
5,0E:H
Na
N0
>
=
 
 
Estatística do teste: número de curas pela nova droga 
 
X: número de curas, X~B(n=10; p=0,50), se H0 for verdade 
 
X: 0, 1, 2, 3,...,10 
 
Valor esperado de curas = n.p= 10x0,5 = 5 curas. 
 
 
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94 
Distribuição de probabilidade Binomial para n=10 e p=0,5 (sob H0, ou seja, se H0 for verdade) 
 
X (número de curas) P(X=x) 
0 0,001 
1 0,010 
2 0,044 
3 0,117 
4 0,205 
5 0,246 
6 0,205 
7 0,117 
8 0,044 
9 0,010 
10 0,001 
 
Utiliza-se o teste de hipóteses para testar H0. O teste de hipóteses fornece elementos para a tomada 
de decisão com base em H0 
 
É possível tomar somente uma decisão – Rejeita-se H0 ou Não rejeita-se H0 (Aceita-se H0) 
 
Possíveis erros na tomada da decisão: 
Decisão Verdade 
 H0 Ha 
H0 não cometeu erro II tipoerro 
Ha I tipoerro não cometeu erro 
 
) (Pr tipoIerroeobabilidad=α = Probabilidade (Rejeitar H0 e H0 é verdade) 
 
) (Pr tipoIIerroeobabilidad=β = Probabilidade (Aceitar H0 e H0 é falsa) 
 
)1( β− = poder do teste = Probabilidade (Rejeitar H0 e H0 é falsa) 
 Poder de revelar a falsidade de H0 quando a verdade é Ha 
 
Conduta: Antes do experimento, fixa-se α e trabalha-se com o menor β possível. 
 
 
Exemplo 35 
Em um julgamento jurídico o júri tem que decidir sobre a culpa ou inocência de um réu. Considere 
dois fatos: 1) o sistema jurídico admite que toda pessoa é inocente até que se prove o contrário. 2) só 
vai a julgamento pessoas sobre as quais existe dúvida de sua inocência. Fazendo uma analogia com 
teste de hipóteses, responda: 
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95 
a) Apresente as hipóteses nula e alternativa sobre a culpa ou inocência do réu. 
 
 
b) O júri pode errar se decidir que o réu é culpado quando na verdade ele é inocente. Qual é o outro 
erro de decisão que o júri pode cometer? 
 
 
c) Qual dos dois erros é o mais sério? 
 
 
d) Na terminologia de teste de hipótese, qual tipo de erro (I ou II) pode-se vincular a cada uma das 
decisões do item b? 
 
 
Exemplo 36 
Supor duas situações: 1- a pessoa está fazendo parte de um levantamento para diagnóstico de para 
câncer de mama (screening); 2- a pessoa realiza o teste para detectar anticorpos anti-HIV. 
É fornecido um diagnóstico com base no resultado do teste. 
a) Qual dos erros é geralmente mais sério: um resultado falso positivo que diz que a pessoa tem a 
doença quando na verdade ela não tem ou um resultado falso negativo, que diz que a pessoa não 
tem a doença quando na verdade ela tem? 
 
 
 
b) Apresente as hipóteses nula e alternativasobre a situação de saúde do paciente; fazendo uma 
analogia com teste de hipóteses, que tipo de erro (I ou II) seria cometido se o resultado do teste 
fosse falso positivo? Que tipo de erro (I ou II) seria cometido se o resultado do teste fosse falso nega-
tivo? 
 
 
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96 
Definição de critérios de aceitação ou rejeição de H0: estabelecimento das regiões de re-
jeição e de aceitação de H0. 
Distribuição de probabilidade do número de curas sob H0: B(n=10, p=0,5) 
X (número de curas) P(X=x) Região 
0 0,001 
1 0,010 
2 0,044 
3 0,117 
4 0,205 
5 0,246 
6 0,205 
7 0,117 
Região de aceitação de H0 
1-α 
8 0,044 
9 0,010 
10 0,001 
Região de rejeição de H0 
α = 5,5% 
Após a definição da área de rejeição de H0, pode-se realizar o experimento. 
Por exemplo, supor que entre 10 pessoas que tomaram a nova droga, 9 se curaram. Como 9 cai na 
região de rejeição de H0, decide-se por rejeitar H0. 
 
Se tivessem sido observadas 6 curas ou qualquer valor da área de aceitação de H0, a decisão seria 
não rejeitar H0 ou seja, aceitar H0. 
 
Onde está β? 
Lembrar que as hipóteses de teste são: 
5,0D:H
5,0D:H
Na
N0
>
=
 e que a probabilidade do erro tipo II é a pro-
babilidade de aceitar H0 quando H0 é falsa e que )1( β− é o poder do teste, ou seja, a probabilidade 
de rejeitar H0 quando H0 é falsa. 
Supor que não se rejeita H0, portanto, decide-se por H0. Entretanto, se estiver sendo cometido algum 
erro de decisão, este será do tipo II. Assim, a verdade seria uma eficácia da nova droga maior que 
0,5. 
Supor que uma diferença de no mínimo 10% seja suficiente. Assim, supondo-se p=0,6, a distribuição 
do número de curas sob Ha, ou seja, sob uma B(n=10, p=0,6) seria: 
X 
(número de curas) 
p=0,5 
P(X=x) 
Região p=0,6 Região 
0 0,001 0,000 
1 0,010 1− α 0,002 
2 0,044 aceitação de H0 0,011 
3 0,117 0,042 
4 0,205 0,111 
5 0,246 0,201 
6 0,205 0,251 
7 0,117 0,215 
aceitação de H0 β= 0,833 
8 0,044 rejeição de H0 0,121 
9 0,010 0,040 
rejeição de H0 
10 0,001 α = 0,055 0,006 (1-β ) = 0,167 
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97 
 
Notar que para n fixo, uma alteração no nível de significância, altera o poder do teste. 
 
São apresentadas a seguir as relações entre o tamanho da amostra, o nível de significância, β e 
β−1 
 
Valores de β e de β−1 para o teste de H0:EN=EP=50% contra H1: EN>50%, quando n=10, ≅α 5% 
(a rigor, 5,47%) segundo diferentes valores de EN . 
EN β (%) β−1 (%) 
60% 83,27 16,73 
70% 61,72 38,28 
80% 32,22 67,78 
90% 7,02 92,98 
 
Valores de β e de β−1 para o teste de H0: EN =EP=50% contra H1: EN >50%, quando n=10, 
≅α 1% (a rigor, 1,08%) segundo diferentes valores de EN. 
EN β (%) β−1 (%) 
60% 95,36 4,64 
70% 85,07 14,93 
80% 62,42 37,58 
90% 26,39 73,61 
 
Valores de β e de β−1 para o teste de H0: EN =EP=50% contra H1: EN = 60%, quando ≅α 5% 
para diferentes valores de n. 
 
Tamanho da 
amostra (n) 
Valor de α mais 
próximo de 5% 
Valor de β 
(%) 
Valor de β−1 (%) 
10 5,5 83,3 16,7 
15 5,9 78,3 21,7 
20 5,7 75,0 25,0 
25 5,4 72,6 27,4 
30 4,9 70,9 29,1 
35 4,5 69,4 30,6 
40 4,0 68,3 31,7 
45 6,8 67,3 32,7 
50 5,9 55,4 44,6 
55 5,2 54,1 44,9 
60 4,6 54,9 45,1 
65 4,1 54,7 45,3 
70 6,0 48,8 51,2 
75 5,3 45,0 55,0 
80 4,6 45,2 54,8 
100 4,4 37,7 62,3 
150 4,3 22,6 77,4 
160 4,8 18,7 81,3 
175 4,8 15,8 84,2 
200 5,2 11,0 89,0 
 
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98 
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
0 50 100 150 200 250
T amanho da amo stra
bicaudal monocaudal
Valores de β e de β−1 para o teste de H0: EN =EP=50% contra H1: EN = 55%, quando ≅α 5% 
para diferentes valores de n. 
Tamanho da 
amostra (n) 
Valor de α mais 
próximo de 5% 
Valor de β 
(%) 
Valor de β−1 (%) 
10 5,5 90,0 10,0 
15 5,9 87,0 12,0 
20 5,7 87,0 13,0 
25 5,4 86,6 13,4 
30 4,9 86,5 13,5 
35 4,5 86,6 13,4 
40 4,0 86,7 13,3 
45 6,8 87,0 13,0 
50 5,9 80,3 19,7 
55 5,2 81,0 19,0 
60 4,6 81,8 18,2 
65 4,1 82,5 17,5 
70 3,6 83,2 16,8 
75 5,3 77,4 22,6 
80 4,6 78,4 21,6 
100 4,4 75,9 24,1 
150 4,3 68,8 31,2 
160 4,8 65,4 34,6 
175 4,8 63,3 36,7 
200 5,2 58,3 41,7 
300 5,9 43,0 57,0 
400 4,9 36,2 63,8 
600 5,6 19,4 80,6 
 
Para um teste bicaudal 
Valores de β e de β−1 para o teste de H0: EN = EP=50% contra H1: EN ≠ 50%, quando ≅α 5% 
para diferentes valores de n e E1 = 60% ou E1 = 40% 
 
Tamanho 
da 
amostra 
(n) 
Valor de 
α mais 
próximo 
de 5% 
Valor de 
β 
(%) 
Valor de 
β−1 
(%) 
10 2,1 95,2 4,8 
15 3,5 90,8 9,2 
20 4,1 87,3 12,7 
25 4,3 84,5 15,5 
30 4,3 82,3 17,7 
35 4,1 80,4 19,6 
40 3,8 78,8 21,1 
45 7,2 67,2 32,8 
50 6,5 66,4 33,6 
55 5,8 65,7 34,3 
60 5,2 65,1 34,9 
65 4,6 64,5 35,5 
70 4,1 64,0 36,0 
75 6,4 54,4 45,6 
80 5,7 54,2 45,8 
100 5,7 45,7 54,3 
150 6,0 27,9 72,1 
160 6,9 23,3 76,7 
175 6,9 19,8 80,2 
200 7,7 14,0 86,0 
 
 
Poder do teste para tamanhos de amostra fixos em tes-
tes mono e bicaudal, com distribuições de probabilidade 
B(n, p=0,5) para H0 e B(n, p=0,6) para Ha 
 
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99 
Teste de hipóteses segundo a abordagem de Fisher (Ronald Aylmer Fisher) 
 
Inicia-se a abordagem de Fisher com a especificação de uma proposição inicial (equivalente à H0 de 
Neynman e Pearson). Considerando o estudo que tem por objetivo comparar a eficácia de uma nova 
droga (DN) com a eficácia de uma droga padrão, que vem sendo utilizada (DA), cuja eficácia é de 
50%, tem-se: 
 
Proposição inicial: DN=0,5 
 
Para tomada de decisão deve-se realizar o experimento e calcular a probabilidade de ocorrência do 
valor observado ou de um valor mais extremo da estatística do teste, em uma curva de probabilidade 
especificada na proposição inicial. 
 
Se na amostra de 10 pacientes, 9 evoluíssem para a cura (90%), Fisher recomendava que se calculas-
se a probabilidade de 9 ou mais pacientes se curarem (P(X≥9)), tendo como base, a distribuição de 
probabilidade conhecida, especificada na proposição inicial, onde a probabilidade de cura é igual a 
50%. 
 
Pelo exemplo, esta probabilidade seria igual a P(X≥9) = P(X=9) + P(X=10) = 0,011 = 1,1% 
Se na amostra de 10 pacientes, fossem observadas 6 curas (60%), P(X≥6) = P(X=6) + P(X=7) + 
P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) = 0,205 + 0,117 + 0,044 + 0,010 + 0,001 = 0,377 = 37,7% 
 
A probabilidade calculada é conhecida como valor de p (p-value) e a decisão estatística será tomada 
com base no valor desta probabilidade. 
 
Se o valor de p for considerado pequeno, conclui-se que os dados não mostram evidência de perten-
cer a uma população com proporção de cura igual a 50% e, portanto, a droga cura mais do que 50%. 
 
Se o valor de p for considerado grande, então se pode dizer que os dados provavelmente vêm de uma 
população que possui como parâmetro 50% de curas. 
 
Definição: 
 
Valor de p é a probabilidade de ocorrência do valor observado ou de um valor mais extremo de uma 
estatística, em uma curva de probabilidade especificada (conhecida, verdadeira). 
 
Fisher dizia que antes de dar uma forma matemática a um problema, propondo hipóteses a serem 
testadas, era necessário um amplo conhecimento dos dados, o que poderia ser realizado combase no 
valor de p. 
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100 
 
Passos necessários para a realização de um teste de hipóteses segundo a abordagem de 
Fisher. 
• Formular a proposição inicial (“hipótese”) que será testada; 
• Identificar a distribuição de probabilidade; 
• Realizar o estudo e observar o resultado da estatística de interesse; 
• Calcular o valor de p, ou seja, a probabilidade de ocorrer o valor observado ou um valor mais 
extremo, sob a curva especificada na proposição inicial; 
• Tomar a decisão com base no valor de p; 
• Apresentar as conclusões. 
 
 
Teste de hipóteses para uma proporção populacional (Distribuição Binomial) 
 
Considerar a seguinte situação: 
Segundo dados de rotina dos serviços de saúde tem-se que, em determinada comunidade, a propor-
ção de mães que amamentam até o 3° mês de idade da criança é de 60%. Desejando-se aumentar 
esta proporção, realizou-se o estudo que consistiu em desenvolver um programa educativo. Deseja-
se, portanto, avaliar a eficácia do programa. 
 
Após o programa observou-se que, em uma amostra de 10 mães que foram submetidas ao programa 
e acompanhadas durante quatro meses, 9 mães amamentaram pelo menos até o 30 mês. 
 
Utilizando-se teste de hipóteses para decidir sobre a eficácia da intervenção: 
 
Pela abordagem de Neyman e Pearson 
 
1) Elaboração das hipóteses : 
6,0E:H
6,0E:H
pa
P0
>
= 
 
2) Fixação de α = Prob(rejeitar H0 e H0 é V); fixando-se α=0,05 
 
 
3) Estabelecimento da região de rejeição/aceitação de H0: 
Estatística do teste: número de mães que amamentaram até o 3° mês. 
 
X: 0,1,2,...,10 
 
Eventos independentes e mutuamente exclusivos; portanto, a distribuição de probabilidade de X se-
gue um modelo B(n=10; p=0,6). 
 
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101 
Região de rejeição e aceitação de H0, se H0 for verdade 
X P(X=x); sob H0, p=0,6 Região 
0 0,00010 
1 0,00157 
2 0,01062 
3 0,04247 
4 0,11148 
5 0,20066 
6 0,25082 
7 0,21499 
8 0,12093 
 
 
 
α−1 
Ace itação de H 0 
9 0,04031 
10 0,00605 
Reje ição de H 0; 
05,004636,0 ≅=α 
 
4) Decisão: Como 9 mães amamentaram pelo menos três meses, e 9 cai na área de re-
jeição de H0, decide-se por rejeitar H0. 
 
5) Conclusão: Foi encontrada diferença estatisticamente significante entre as proporções 
populacionais de mães que amamentam antes e após o programa, para nível de significância de 5%. 
O programa educativo, portanto, foi eficaz, pois as mães submetidas ao programa provêm de uma 
população de mães onde mais do que 60% amamentam pelo menos até o 3º mês. 
 
Abordagem de Fisher 
 
Proposição: mães que são submetidas ao programa provêm de uma população onde 60% delas a-
mamentam pelo menos até o 3º mês. 
 
Calculando-se a probabilidade de observar 9 ou mais mães amamentando pelo menos até o 3º mês, 
utilizando uma curva onde 60% de mães amamentam até o 3º mês: considerando-se a distribuição de 
probabilidade: B(n=10; p=0,6), tem-se p= 046,0006,0040,0)10()9()9( =+==+==≥ XPXPXP ou 
4,6%. 
 
Interpretação do valor de p: 4,6% é a probabilidade de observar 9 ou mais mães amamentando 
pelo menos até o 3º mês, se estas tivessem vindo de uma população de mães na qual 60% amamen-
ta pelo menos até o 3º mês de idade da criança. 
 
Para decidir com base no valor de p é necessário perguntar-se se os resultados observados são com-
patíveis com a proposição de que as mães vêm de população na qual 60% das mães amamentam 
pelo menos até o até o 3º mês. Em outras palavras, com base nos resultados, você diria que existe 
evidência favorável ou contrária à proposição inicial? 
 
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102 
Se p for considerado, pelo investigador, pequeno então se conclui que os dados observados mostram 
evidência contrária à proposição inicial sendo que a proporção de mães que amamentaram, depois da 
campanha é mais compatível com uma população de mães na qual mais de 60% amamentam pelo 
menos até o 3º mês. Neste caso, o programa foi eficaz. 
 
Se p for considerado, pelo investigador, grande, então se conclui que os dados não mostram evidên-
cia contrária à proposição e, portanto, as mães, após a intervenção, devem ser de uma população na 
qual 60% amamentam pelo menos até o 3º mês. Neste caso, a intervenção não surtiu efeito. 
 
Considerações finais 
• O valor de p é a força de evidência contrária à proposição inicial. Para existir forte evidência contrária 
à proposição inicial, o valor de p deve ser bem pequeno; 
• O julgamento sobre o valor de p, se é grande ou pequeno, é arbitrário e quem decide é o investiga-
dor. 
 
Exemplo 
Considerar a situação, comum na área de análise sensorial, denominada “comparação de par, direcio-
nada”: A situação envolve um fabricante que quer lançar um bolo mais doce do que o produto que 
está no mercado (código 15). Para tanto é desenvolvido um novo produto (código 23). 
 
O experimento consiste em oferecer uma fatia de cada produto a 20 degustadores, de modo indepen-
dente, e registrar (contar) quantos acham o produto novo mais doce. 
 
 
 
No teste “comparação de par, direcionada”, o número K de degustadores que achou o 
bolo com código 23 mais doce foi k= 8. Pode-se admitir que os bolos diferem quanto à doçura? 
 
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103 
Abordagem de Neyman e Pearson 
O investigador fixa o nível de significância em 5% (α=0,05). Se os bolos não forem diferentes quanto 
ao sabor, metade dos degustadores vai escolher um produto e a outra metade vai escolher o outro. 
Assim, a probabilidade de escolher o código 15 = 0,5. 
Hipóteses: 



>pi
=pi
5,0:
5,0:0
AH
H
 
(onde pi representa a proporção populacional que escolhe o produto 23) 
 
Estatística do teste: número de pessoas que escolhem o novo produto 
Distribuição de probabilidade: 
X: número de degustadores que escolhem o produto novo. X:0, 1, 2,...,18, 19, 20 
Cada degustador escolhe o produto independente do outro degustador e se for feita a escolha por 
um produto (eventos independentes), o outro produto fica eliminado (mutuamente exclusivos). 
X~B(n=20; p=0,5) 
X P(X=x) Região do teste 
0 
. 
. 
. 
13 
Ace itação de H 0 
 
14 0,03696 
15 0,01479 
16 0,00462 
17 0,00109 
18 0,00018 
19 0,00002 
20 0,00000 
Reje ição de H 0 
058,0=α 
 
Decisão: como k=8, decide-se não rejeitar H0. 
Conclusão: Não foi encontrada diferença estatisticamente significante entre a proporção de escolha 
dos produtos, podendo-se dizer que os produtos não diferem quanto ao sabor adocicado, para um 
nível de significância de 5%. 
 
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104 
Abordagem de Fisher 
Proposição: Proporção de degustadores que escolhem código 23 = 0,5 
n=20 
K: número de degustadores que escolhem código 23; K: 0, 1, 2, ..., 20 
K~B(n=20; p=0,5) 
Observou-se que 8 degustadores escolheram o produto de código 23 (k=8). 
Valor de p=probabilidade de ocorrer 8 ou mais, se os dados vierem de uma população que escolhe os 
produtos em proporções iguais. 
Valor de p= P(K≥8) = P(k=8)+P(k=9)+...+P(k=20)= 0,868 ou 86,8%. 
Conclui-se que os dados não mostram evidência contráriaà proposição inicial (p=0,868). Os dados 
são compatíveis com uma população que escolhe igualmente os produtos com códigos 15 e 23. O 
novo produto não foi considerado mais doce que o antigo. 
 
OBS: Como np=10 e nq=10, para o cálculo de p poderia ter sido utilizada a distribuição normal. 
24,25,05,020;105,020(~ ===σ===µ xxnpqxnpNK 
=−≥=
−
≥=≥ )12,1()
24,2
105,7()8( ZPZPKP
0,5+0,36864=0,86764 ou 86,8% 
 
Exemplo 37 
Supor o experimento onde existe interesse em investigar se o odor de determinado alimento atrai 
camundongos. O experimento consiste em colocar um animal em um corredor que no final é dividido 
para a direita e para a esquerda. Um alimento é colocado no final do corredor da esquerda, fora da 
visão do animal. Entretanto, antes da realização do experimento, decide-se eliminar a possibilidade de 
incluir no estudo camundongos que têm predileção por um lado, independentemente do odor do ali-
mento. Neste caso, decide-se investigar inicialmente se os camundongos escolhem os lados em pro-
porções iguais. Para tanto, realiza-se o experimento com 12 camundongos sem a colocação do ali-
mento e verifica-se que 7 viram para a esquerda. 
Realize um teste de hipóteses seguindo as propostas de Neyman e Pearson, com nível de significância 
de 5%, e a de Fisher, para verificar se os camundongos vêm de uma população que escolhe mais um 
lado do que o outro. 
 
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105 
Exemplo 38 
Supor agora, o experimento para investigar se o odor de determinado alimento atrai camundongos. 
Realiza-se o experimento colocando-se o alimento no final do corredor do lado esquerdo, fora da vi-
são dos camundongos. Observa-se que de 12 camundongos, 10 viram para a esquerda. 
Realize um teste de hipóteses seguindo as propostas de Neyman e Pearson e de Fisher, com cálculo 
do valor descritivo do teste, para verificar se os camundongos vêm de uma população que escolhe 
mais o lado onde está o alimento. Utilize nível de significância de 5%. 
 
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES 
Exercício S36 
Um estudo foi desenvolvido para investigar se aleitamento materno é um fator que protege a criança 
contra diabetes, em idades maiores. Considerando H0: aleitamento materno não protege contra 
diabetes e Ha: aleitamento materno protege contra diabetes, responda: 
a) Tomando qual decisão (aceitar ou rejeitar) sobre H0 você poderia estar cometendo o erro tipo I? 
b) Tomando qual decisão (aceitar ou rejeitar) sobre H0 você poderia estar cometendo o erro tipo II? 
c) Como é denominada a probabilidade de ocorrer o erro tipo I? 
d) Como é denominada a probabilidade de ocorrer o erro tipo II? 
e) O que é o poder do teste? 
f) Se você fosse fixar valores de probabilidades associadas à ocorrência dos erros tipo I e II para 
este estudo, qual deles seria menor? Justifique. 
 
Exercício S37 
Será realizado um estudo para investigar a relação entre consumo de produtos derivados de soja e 
presença de osteoporose em mulheres com mais de 50 anos. Para a tomada de decisão, será utilizado 
teste de hipóteses, no modelo clássico, proposto por Neyman e Pearson. Apresente os passos 
necessários para a realização do teste de hipóteses, listados a seguir, em uma sequência correta: 
tomada de decisão, cálculo do tamanho da amostra, elaboração das hipóteses, determinação da 
região de rejeição do teste, coleta dos dados e cálculo da estatística do teste, fixação do nível de 
significância, conclusão, verificação se o valor observado da estatística cai na região de aceitação ou 
rejeição, identificação da distribuição de probabilidade da estatística do teste. 
 
Exercício S38 
Considere a seguinte situação hipotética: A incidência de resfriados durante o inverno, em uma creche 
é 60%. Durante o ano de 2001, a direção da creche resolveu servir suco de acerola durante todo o 
inverno com o objetivo de prevenir resfriados. Após o inverno observou-se que de 20 crianças que 
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106 
foram acompanhadas, 13 ficaram resfriadas e deseja-se saber se o suco de acerola teve efeito sobre 
a ocorrência de resfriados. Segundo a abordagem de Fisher, responda: 
 
a) Qual seria a proposição ou hipótese nula? 
b) Se for definida a variável X: ficar resfriado, e considerando-se que foram acompanhadas 20 crian-
ças, qual a distribuição de probabilidade de X? Especifique os parâmetros da distribuição. 
c) Fisher recomendava calcular o valor de p e decidir com base nele. O que é o valor de p? 
d) Calcule o valor de p e decida se os dados mostram evidência favorável ou desfavorável ao que for 
especificado na proposição ou hipótese H0. 
e) Calcule o valor de p se 7 crianças tivessem ficado resfriadas e decida sobre a propriedade preven-
tiva do suco. 
 
Exercício S39 
Considere a situação onde 40% de mulheres idosas apresentam condição esquelética do tipo A. Sus-
peita-se que mulheres magras apresentam menor predisposição a esta condição. Realizou-se um es-
tudo e observou-se que entre 28 mulheres idosas magras, 6 apresentaram a condição. 
a) Realize um teste de hipóteses para investigar se os resultados do estudo são compatíveis com 
uma população onde 40% apresentam a condição. Utilize a abordagem clássica de Neyman e Pe-
arson, com nível de significância de 10%. 
b) Realize um teste de hipóteses para investigar se os resultados do estudo são compatíveis com 
uma população onde 40% apresentam a condição, utilizando a abordagem de Fisher. 
 
Exercício S40 
A prevalência de infecção por hepatite B na população geral é de 30%. A literatura sugere que a in-
fecção por hepatite B é maior entre pessoas com infectadas pelo vírus HIV. Em uma amostra de 20 
pessoas que apresentaram teste HIV +, 8 apresentaram positividade para hepatite B. Teste a hipóte-
se de que as pessoas HIV + possuem mesma prevalência de Hepatite B que a população geral. Utilize 
a estratégia clássica de Neyman e Pearson, com nível de significância de 5% e a abordagem de Fi-
sher, com tomada de decisão a partir do valor descritivo do teste (valor de p). 
 
Exercício S41 
Suponha que uma pesquisa de grande abrangência encontrou que 60% de crianças entre 7 e 10 anos 
consomem determinada marca de cereal. Com o objetivo de verificar possível queda no consumo, a 
indústria sorteou 15 crianças nesta faixa etária e observou 6 crianças consomem o produto. Teste a 
hipótese de que o consumo do produto não foi alterado. Utilize a estratégia clássica de Neyman e 
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107 
Pearson, com nível de significância de 5% e a abordagem de Fisher, com tomada de decisão a partir 
do valor descritivo do teste (valor de p). 
 
Teste de hipóteses para uma média populacional com variância conhecida 
e desconhecida 
 
Teste de hipóteses para uma média populacional com variância conhecida 
 
Tomando-se como exemplo os dados de recém-nascidos com Síndrome de Desconforto Idiopático 
Grave (SDIG) é possível elaborar a hipótese de que crianças que nascem com esta síndrome possuem 
peso médio ao nascer menor do que o peso médio ao nascer de crianças sadias. 
A variável de estudo X é peso ao nascer (quantitativa contínua). 
Com base em conhecimento prévio (da literatura) sabe-se que a distribuição do peso ao 
nascer em crianças sadias segue uma distribuição normal com média 3000 gramas e desvio padrão 
500 gramas, ou seja )500;3000(~ =σ=µ XXNX . 
 
Recordando-se, para a realização do testede hipóteses segundo Neyman e Pearson é 
necessário: 
• Formular as hipóteses estatísticas; 
• Fixar a probabilidade do erro tipo I; 
• Calcular o tamanho da amostra necessária para detectar uma diferença que se suspeita exis-
tente o que é equivalente a fixar a probabilidade do erro tipo II; 
• Apresentar a distribuição de probabilidade da estatística do teste; 
• Estabelecer a(s) região(ões) de rejeição e aceitação (regiões críticas) do teste; 
• Realizar o estudo, ou seja, coletar os dados e calcular a estatística do teste; 
• Confrontar a estatística do teste observada com a região crítica; 
• Tomar a decisão; 
• Elaborar a conclusão. 
 
Formulação das hipóteses 
SadiaSDIGa
SadiaSDIG
H
H
µ<µ
µ=µ
:
:0
 ou 
3000:
3000:0
<µ
=µ
SDIGa
SDIG
H
H
 
 
Fixando-se o nível de significância 05,0=α 
 
Supor um tamanho de amostra n=50 recém-nascidos com SDIG 
 
Distribuição de probabilidade 
Como as hipóteses envolvem a média populacional, é necessário utilizar a distribuição de probabilida-
de da média. 
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108 
Pelo Teorema Central do Limite tem-se que );(~
n
NX XXXX
σ
=σµ=µ portanto, se H0 for verdade, e 
admitindo-se que as crianças com SDIG possuem distribuição do peso ao nascer com mesma disper-
são que as crianças sadias, tem-se 
)50
500
;3000(~ =σ=µ XXNX 
Pode-se utilizar XZ ou obsx para a tomada de decisão. 
 
 
Região de rejeição e aceitação da hipótese H0. 
 
71,70
3000
=σ
=µ
X
X X
 
 
Zcrítico=-1,64 
z
 
-4
 
-3
 
-2
 
-1
 
0
 
1
 
2
 
3
 
4
 
α=0,05 
Aceitação de H0 
Rejeição de H0 
H0 
 
 
Cálculo do peso médio na amostra de crianças com SDIG 
Supor que na amostra de 50 crianças, foi observado peso médio ao nascer igual a 2800 gramas 
)2800( =obsx . 
 
Cálculo do peso médio observado em número de desvios padrão:
 
83,2
71,70
30002800
−=
−
=
σ
µ−
=
X
Xobs
obsX
x
Z
 
 
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109 
Confrontar o valor da estatística do teste com a região de rejeição e aceitação de H0 
 
Como Zobs está à esquerda de Zcrítico (região de rejeição), decide-se por rejeitar H0. 
 
Decisão: 
Rejeita-se H0. 
 
Conclusão 
Foi encontrada diferença estatisticamente significante entre os pesos ao nascer de crianças sadias e 
com SDIG para nível de significância .05,0=α Crianças com SDIG nascem com peso menor do que 
crianças sadias. 
 
É possível realizar o teste comparando a média observada na amostra )2800( =obsx e o valor de peso 
médio ao nascer que deixa, no caso deste exemplo, uma área α=0,05 à sua esquerda. O valor de 
peso médio que limita esta área é denominado criticox . 
Cálculo de criticox 
De 
X
xcritico
critico
x
Z
σ
µ−
= tem-se XXcriticocritico Zx µ+σ= 
 
gxxcritico 04,2884300071,7064,1 =+−= 
 
71,70
3000
=σ
=µ
X
X X
Rejeita-se H0 
Aceita-se H0 
gxcritico 04,2884=
 
 
Como 2800=obsx é menor que criticox (fica à esquerda), opta-se por rejeitar H0. 
 
 
Regra geral: 
 
Rejeita-se H0 se 
Zobs>Zcrítico para SadiasSDIGaH µ>µ: 
Zobs<-Zcrítico para SadiasSDIGaH µ<µ: 
Zobs>Zcrítico ou Zobs<-Zcrítico para SadiasSDIGaH µ≠µ: 
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110 
ou 
 
Rejeita-se H0 se 
criticoobs xx > para SadiasSDIGaH µ>µ: 
criticoobs xx < para SadiasSDIGaH µ<µ: 
criticoobs xx > ou criticoobs xx < para SadiasSDIGaH µ≠µ: 
 
 
Exemplo 39 
O nível médio de protrombina em populações normais é 20 mg/100ml de sangue. Uma amostra de 40 
pacientes que tinham deficiência de vitamina K tiveram nível médio observado de protrombina de 
18,5mg/100ml e desvio padrão 4mg/100ml. Seria razoável concluir que a verdadeira média de pacien-
tes com deficiência de vitamina K é a mesma que a da população normal? Realize um teste de hipóte-
ses. 
 
Teste de hipóteses para uma média populacional com variância desconhecida 
 
Supor a situação anterior, só que a variância (desvio padrão) populacional do peso ao nascer de cri-
anças sadias é desconhecida sendo conhecido somente o peso médio populacional de crianças sadias 
( Sadiasµ =3000 gramas). 
 
Formulação das hipóteses: 
 
3000:
3000:0
<µ
=µ
SDIGa
SDIG
H
H
 
 
Fixando-se o nível de significância: 05,0=α 
 
Cálculo do tamanho da amostra: supor um tamanho de amostra n=50 recém-nascidos com SDIG 
 
Distribuição de probabilidade: 
 
Como as hipóteses envolvem a média populacional, é necessário utilizar a distribuição de probabilida-
de da média. 
Pelo Teorema Central do Limite tem-se que );(~
n
NX XXXX
σ
=σµ=µ . 
 
Admitindo-se que H0 é verdade, resta um problema que é o fato de não se conhecer o valor da dis-
persão do peso ao nascer das crianças sadias. Neste caso não é possível utilizar a estatística Z. 
 
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111 
Utiliza-se, então, a estatística T onde 
n
S
X
S
X
T
X
X
X
X µ−
=
µ−
=
 sendo SX o desvio padrão da população 
de estudo, estimado com os dados da amostra de crianças com SDIG. 
 
 
T segue uma distribuição t de Student, com (n-1) graus de liberdade. Quando o tamanho da amostra 
é grande, a estatística T tende para uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1 
( ( )1; 0~T n N⇒∞→ ). 
 
Região de rejeição 
e aceitação 
da hipótese H0. 
 
 
 
 
Obs: utilização da tabela t de Student 
A tabela da distribuição de Student apresenta um valor de probabilidade dividido em duas partes 
iguais. Para n=50, o número de graus de liberdade (gl) é 49; como não existe este valor na tabela, 
deve-se trabalhar com o número de gl mais próximo e dependendo se o teste é mono ou bicaudal, 
utiliza-se respectivamente o valor de p/2 ou p, apresentados na primeira linha da tabela. 
Exemplo de utilização da tabela t de Student: 
n=10; teste bicaudal, α=0,05; tcrítico=-2,262 e tcrítico= 2,262 (p da tabela =0,05) 
n=10; teste monocaudal a esquerda, α=0,05; tcrítico=-1,833 (p da tabela = 0,10) 
n=10; teste monocaudal a direita, α=0,05; tcrítico= 1,833 (p da tabela = 0,10) 
 
Cálculo do peso médio na amostra de crianças com SDIG 
Supor que na amostra de 50 crianças, foi observado peso médio ao nascer igual a 2800 gramas e 
desvio padrão igual a 610g )610;2800( == Xobs sx . 
 
Cálculo do peso médio observado em número de desvios: 
318,2
50
610
30002800
−=
−
=
µ−
=
X
Xobs
obs S
x
t 
Confronto do valor da estatística do teste com a região de rejeição e aceitação de H0 
 
Como tobs está à esquerda de tcrítico (região de rejeição), decide-se por rejeitar H0. 
 
Decisão 
Rejeita-se H0. 
 
3000=Xµ X
 
tcrítico= -1,676 t 0 
α=0,05 
Aceitação de H0 
Rejeição de H0 
H0 
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Conclusão 
Foi encontrada diferença estatisticamente significante entre os pesos ao nascer de crianças sadias e 
com SDIG para nível de significância .05,0=α Crianças com SDIG nascem com peso menor do que 
crianças sadias. 
 
Exemplo 40 
Uma companhia de produtos alimentícios utiliza uma máquina para embalar salgadinhos cujas emba-
lagens especificam454 gramas. Com o propósito de verificar se a máquina está trabalhando correta-
mente, selecionou-se 50 pacotes de salgadinhos, obtendo-se os seguintes valores de peso: 
 
464 450 450 456 452 433 446 446 450 447 
442 438 452 447 460 450 453 456 446 433 
448 450 439 452 459 454 456 454 452 449 
463 449 447 466 446 447 450 449 457 464 
468 447 433 464 469 457 454 451 453 443 
média da amostra, x =451,22 gramas e desvio padrão amostral (s) =8,40 gramas 
 
Testar a hipótese de que a máquina está trabalhando corretamente, para α = 0,05. 
 
 
Teste de hipóteses de uma média populacional )(µ (com variância conhecida e desconhe-
cida) – Abordagem de Fisher 
 
Revisão de conceitos básicos 
 
Distribuição Normal 
Medindo-se a altura de muitas mulheres (população), obtém-se o gráfico a seguir. 
 
 proporção
 
Altura(cm)
 
140
 
145
 
150
 
155
 
160
 
165
 
170
 
175
 
180
 
0
 
.05 
.1
 
.15
 
.2 
.25
 
.3
 
.35 
 
 
Aos dados pode ser ajustada uma curva teórica 
 proporção 
Altura (cm) 140 145 150 155 160 165 170 175 180 
0 
.05 
.1 
.15 
.2 
.25 
.3 
.35 
 
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113 
 
A curva ajustada aos dados é uma curva teórica (curva de Gauss) que representa a altura de mulhe-
res idosas. Notação: X: altura, )10,160(~ == σµNX . 
A curva tem propriedades conhecidas: 
• Soma da área sob a curva é igual a 1 ou 100%; 
• Pode-se calcular probabilidade trabalhando-se com a área sob a curva. 
 
Sorteia-se uma mulher ao acaso; P(desta mulher ter mais de 160) = 50%; 
 
P(esta mulher tenha mais de 180)= )2()
10
160180()180( >=−>=> ZPZPXP =0,5-0,47725=0,02275 
ou 2,3% 
 
Sortear uma mulher com altura 180 ou mais desta população é uma coisa comum? 
 
 
P(esta mulher tenha mais de 170)= )1()
10
160170()170( >=−>=> ZPZPXP = 0,5-0,34134=0,15866 ou 
15,9% 
 
Sortear uma mulher com altura 170 ou mais desta população é uma coisa comum? 
 
 
O limite para decidir o que é comum é arbitrário. O investigador é que decide, com base no problema 
que está sendo estudado. 
 
Supor agora uma outra d ist r ibuição de a ltura, por exemplo, entre ho-
mens. 
 
 proporção
 
Altura (cm)
 
160 165
 
170
 
175
 
180
 
185
 
190 195
 
200
 
0
 
.05
 
.1
 
.15
 
.2
 
.25
 
.3
 
.35
 
 
X: altura, )10,180(~ == σmNX 
 
P(homem tenha mais de 180)= P(X>180)=0,5 ou 50% 
 
Supor que as pessoas da primeira curva tenham uma marca vermelha e as pessoas da segunda curva 
tenham uma marca azul. Misturam-se todas as pessoas e sorteia-se uma pessoa ao acaso e ela tem 
altura 180. De qual população seria este indivíduo? 
 
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114 
Agora não estamos mais interessados em um indivíduo e sim em vários indivíduos portanto, vamos 
trabalhar com a altura média. 
Supor X: altura, )20,160(~ == σmNX . 
Toma-se uma amostra de tamanho n=30 desta população e calcula-se a altura média ( 170=x ). 
Deseja-se saber a probabilidade desta amostra vir de população com altura média maior ou igual a 
170. 
 
 µ=160 170 
 
X
 
 
Pelo Teorema Central do Limite 
)74,2()
6515,3
160170()
30
20
160170()170( ≥=−≥=−≥−=≥ ZPZPmXPXP X
Xσ
 
 
Na curva da Normal reduzida tem-se 
 
 µ=0 2,74 
 XZ 
P(Z ≥ 2,74) = 0,5- 0,49693 = 0,0031 ou 0,31% 
 
Sortear uma amostra que apresenta altura média igual a 170 cm ou mais da população que tem altura 
média 160 cm é uma coisa comum? 
 
Para decidir se a amostra representa uma população com altura média maior e que o resultado não é 
devido ao acaso, realiza-se o teste de hipóteses. 
 
 
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115 
Teste de hipóteses para uma média populacional com variância conhecida - Abordagem 
de Fisher 
 
Situação: 
Estudos mostram que crianças sadias possuem peso médio (m) ao nascer igual a 3100 gramas e des-
vio padrão gramas610=σ . 
Suspeita-se que crianças que nascem com síndrome de desconforto idiopático grave possuem peso ao 
nascer abaixo do peso ao nascer da população de crianças sadias. 
 
Proposição (equivalente à H0): Crianças com síndrome vêm de uma população com peso médio =3100 
gramas. 
 
Realiza-se um estudo em uma amostra de n=50 crianças que nasceram com esta síndrome, onde 
observou-se peso médio ( x ) igual a 2800 gramas. 
 
Supondo-se que as crianças da amostra (com síndrome) vêm de uma população com mesma disper-
são do peso ao nascer de crianças sadias, teste a hipótese de que crianças com síndrome idiopática 
grave possuem peso médio ao nascer igual ao peso médio ao nascer de crianças sadias. 
 
Distribuição de probabilidade: 
 
Distribuição do peso médio: segue uma distribuição normal com média m=3100 gramas e desvio pa-
drão 27,86
50
610
==
n
σ
gramas 
 
 
2800 µ=3100 
 
X
 
 
 
Cálculo da probabilidade de observar um peso médio ao nascer igual ou menor que 2800 se H0 for 
verdade. 
 
)48,3()
27,86
300()
50
610
31002800()2800( −≤=−≤=−≤−=≤ XX
X
ZPZPmXPXP
σ
 
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116 
 
 -3,48 µ = 0 
 XZ 
 
Pela distribuição Normal reduzida tem-se que 00025,049975,05,0)48,3( =−=≤ZP ou 0,025% 
 
Os resultados não são compatíveis com uma distribuição que tem peso médio igual a 3100. Possivel-
mente a amostra vem de uma população com média menor que 3100. Pode-se dizer que crianças 
com síndrome de desconforto idiopático grave possivelmente possuem peso ao nascer menor do que 
o peso médio de crianças sadias. 
 
Exemplo 41 
O nível médio de protrombina em populações normais é 20 mg/100ml de sangue. Uma amostra de 40 
pacientes que tinham deficiência de vitamina K tiveram nível médio observado de protrombina de 
18,5mg/100ml e desvio padrão 4mg/100ml. Seria razoável concluir que a verdadeira média de pacien-
tes com deficiência de vitamina K é a mesma que a da população normal? Realize um teste de hipóte-
ses pela abordagem de Fisher. 
 
 
 
Teste de hipóteses para uma média populacional com variância desconhecida - Aborda-
gem de Fisher 
 
Supor a mesma situação anterior, só que neste caso somente a média populacional é conhecida. O 
peso médio de crianças sadias (µ) é igual a 3100 gramas. 
H0: Crianças com síndrome de desconforto idiopático grave vêm de uma população com peso médio = 
3100 gramas 
 
Seleciona-se uma amostra de 50 crianças com a síndrome e calcula-se o peso médio e o desvio pa-
drão do peso, obtendo-se n=50; 2800=x e s=510 
 
Distribuição de probabilidade: 
Distribuição do peso médio ao nascer de crianças sadias: como não se sabe o desvio padrão popula-
cional, este é estimado utilizando-se os dados da amostra. 
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117 
Nestecaso a variável a variável segue uma distribuição t de Student com n-1=50-1=49 graus de li-
berdade. 
 
)159,4()
12,72
300()
50
510
31002800()2800( −≤=−≤=−≤−=≤ XX
X
tPtP
S
mXPXP
 
 
 
 -4,16 µ=0 t 
 
 
Pela distribuição t de Student com 49 graus de liberdade, tem-se %05,0)159,4( <−≤XtP 
 
Os resultados não são compatíveis com uma distribuição que tem peso médio igual a 3100. Pode-se 
dizer que crianças com desconforto idiopático grave provavelmente vêm de uma população com peso 
médio ao nascer menor do que o peso médio ao nascer de crianças sadias. 
 
Exemplo 42 
Uma companhia de produtos alimentícios utiliza uma máquina para embalar salgadinhos cujas emba-
lagens especificam 454 gramas. Com o propósito de verificar se a máquina está trabalhando correta-
mente, selecionou-se 50 pacotes de salgadinhos, obtendo-se os seguintes valores de peso: 
464 450 450 456 452 433 446 446 450 447 
442 438 452 447 460 450 453 456 446 433 
448 450 439 452 459 454 456 454 452 449 
463 449 447 466 446 447 450 449 457 464 
468 447 433 464 469 457 454 451 453 443 
média da amostra, x =451,22 gramas e s=8,40 gramas 
 
Testar a hipótese, pela abordagem de Fisher, de que a máquina está trabalhando corretamente. 
 
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES 
 
Exercício S42 
Deseja-se saber se o consumo calórico médio de determinada população adulta de zona rural é menor 
que 2000 kcal. Uma amostra de 500 pessoas apresentou consumo médio igual a 1985 kcal e desvio 
padrão igual a 210. Faça um teste de hipóteses pela abordagem de Neyman e Pearson e de Fisher 
para tomar a decisão; considere o nível de significância igual a 5%. 
 
Exercício S43 
O conteúdo de iodo em pacotes de sal é recomendado que seja igual a 590 gµ . Determinada indús-
tria, tendo recebido reclamações de que estava vendendo seu produto com teor de iodo abaixo do 
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118 
recomendado, realizou um estudo com dosagem de iodo em 15 amostras de sal. Os resultados das 
quantidades de iodo são apresentados a seguir. Realize um teste de hipóteses pela abordagem de 
Neyman e Pearson e de Fisher para verificar se a reclamação procedia. Utilize nível de significância de 
5%. 
 
555 590 500 550 620 
570 610 530 530 600 
610 600 580 533 575 
 
 
Exercício S44 
Vacas da raça Jersey (J) produzem porcentagem média de gordura para manteiga igual a 5,25%. 
Suspeita-se que vacas Holstein-Fresian (HF), se não forem criadas de um modo especial, produzem 
quantidades menores deste tipo de gordura. É fornecida a porcentagem média de gordura de mantei-
ga de uma amostra de 10 vacas da raça Holstein-Fresian. Os dados sugerem que as que as vacas 
Holstein-Fresian produzem a mesma quantidade de gordura do que as vacas Jersey? Conduza um 
teste de hipóteses pela abordagem de Neyman e Pearson e de Fisher. Utilize nível de significância de 
5%. 
 
Percentuais de gordura de uma amostra de 10 vacas Holstein-Fresian: 
3,4 3,55 3,83 3,95 4,43 3,7 3,3 3,93 3,58 3,54 
 
Exercício S45 
Em uma pesquisa realizada entre os cadetes da Força Aérea sobre a relação entre saúde em geral e 
patologias orais, o escore médio de CPO (número de superfícies de dentes cariados, obturados ou 
extraídos em um indivíduo) foi 27,2. Em 121 cadetes que procuraram os serviços médicos 5 ou mais 
vezes durante um ano, o CPO médio foi 31,1 com desvio padrão 15,5. Se for assumido que estes 121 
cadetes representam a população de cadetes com pior saúde, existe evidência que pior nível de saúde 
está associado a escore de CPO mais elevado? Tome a decisão utilizando as duas estratégias: a clás-
sica de Neyman e Pearson, com nível de significância de 5% e a abordagem de Fisher, com tomada 
de decisão a partir do valor descritivo do teste (valor de p). 
 
Exercício S46 
O nível médio de ganho de peso entre 42 homens submetidos a exercícios físicos durante 3 meses foi 
igual a 0,5 kg com desvio padrão de 2,2 kg. Entre homens que não fazem exercícios físicos mas que 
possuem uma dieta balanceada, o ganho médio de peso é de 1,3 kg. Seria razoável concluir que a 
verdadeira média de ganho de peso entre homens que praticam exercícios é a mesma que a de ho-
mens que não praticam exercícios mas que possuem dieta balanceada? Tome a decisão utilizando as 
duas estratégias: a clássica de Neyman e Pearson, com nível de significância de 5% e a abordagem 
de Fisher, com tomada de decisão a partir do valor descritivo do teste (valor de p). 
 
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119 
Teste de hipóteses de associação pelo qui-quadrado de Pearson (χχχχ2) 
 
O qui-quadrado é obtido somando-se razões dadas pelos quadrados das diferenças entre frequências 
observadas e as esperadas, divididos pelas frequências esperadas. 
χ2
2
=
−
∑
( )O E
E 
 
Quando as variáveis são independentes, é equivalente a dizer que não existe associação, e neste 
caso, o valor do qui-quadrado será zero. O qui-quadrado não mede força de associação e não é sufi-
ciente para estabelecer relação de causa e efeito. 
 
Distribuição qui-quadrado ( 
2
)1( −nχ ) com (n-1) graus de liberdade 
Seja uma população com distribuição normal ),( σµN . Se desta população se obtiver um número 
infinito de amostras de tamanho n, calculando-se as quantidades x e S2 em cada amostra, a variável 
aleatória 2 )1(2
2
~
)1(
−
−
n
Sn χ
σ
, onde 
2
)1( −nχ se lê "qui-quadrado com n-1 graus de liberdade" Berquó 
(1981). 
 
A distribuição qui-quadrado é assimétrica e se torna menos assimétrica a medida que os graus de 
liberdade aumentam. Os valores da distribuição são sempre positivos (maior ou igual a zero). Existe 
uma família de distribuições qui-quadrado, dependendo do número de graus de liberdade. Para gran-
des amostras, a distribuição qui-quadrado tende para uma distribuição normal. 
 
 
Teste de hipóteses de associação pelo Qui-quadrado de Pearson (χχχχ2) 
 
Abordagem de Neyman e Pearson 
 
Estabelecimento das hipóteses: 
 
 H0: Não existe associação 
Ha: Existe associação 
 
Fixando-se a probabilidade de erro tipo I: 
 Nível de significância (α) = 0,05 
 
Área de rejeição do teste: 
 
 
Para a tomada de decisão, utiliza-se a regra: rejeita-se H0 se o valor calculado do qui-quadrado for 
maior do que o valor crítico para um nível de significância pré definido. 
 
densidade 
X2
 
0 5 10 15 20 
0 
.1 
.2 
.3 
.4 
.5 
.6 .6 
Qui-quadrado crítico = 3,841 
Área de rejeição de H0 
α=0,05 
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120 
 
Estatística do teste: 
2
)1)(1(
2
~
)(
−−∑ −=− crE
EOquadradoQui χ 
 
onde r e c representam o número de linhas e de colunas, respectivamente. 
 
Exemplo: na tabela abaixo, número de linhas =2 (masculino, feminino) e número de colunas = 2 (a-
ceitável, não aceitável). Assim, o número de graus de liberdade (gl) seria (2-1)x(2-1) = 1 
Distribuição de crianças segundo sexo e nível de retinol sérico. Cansação, Bahia, 1992 
 
Sexo Nível de retinol 
 Aceitável Inadequado Total 
Masculino 50 40 90 
Feminino 39 32 71 
Total 89 72 161 
 Prado MS et al. ,Revista de Saúde Pública, 29(4)295 – 300, 1995. 
 
Na tabela abaixo, gl = 2 
 
Distribuição de recém-nascidos segundo condição caso - com defeitos do tubo neural; controle – re-
cém-nascidos que não tinham defeitos do tubo neural e dieta materna. 
Dieta Casos Controles Total 
 n % n % n % 
Boa 34 13,9 43 35,0 77 21,0 
Razoável 110 45,1 48 39,0 158 43,0 
Pobre 100 41,032 26,0 132 36,0 
Total 244 100 123 100 367 100 
Fonte: Hand DJ et al. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
 
Correção de continuidade: 
 
2
)1)(1(
2
Yates de correcao ~
)5,0|(|
−−∑ −−=− crE
EOquadradoQui χ 
 
Limitações: 
Para n<20, utilizar o teste exato de Fisher 
Para 4020 ≤≤ n , utilizar o qui-quadrado somente se os valores esperados forem maiores ou iguais 
a 5. 
 
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121 
Exemplo: 
Com o objetivo de investigar a associação entre história de bronquite na infância e presença de tosse 
diurna ou noturna em idades mais velhas, foram estudados 1319 adolescentes com 14 anos. Destes, 
273 apresentaram história de bronquite até os 5 anos de idade sendo que 26 apresentaram tosse 
diurna ou noturna aos 14 anos. 
Número de adolescentes segundo história de bronquite aos 5 anos e tosse diurna 
ou noturna aos 14 anos de idade. Local X, ano Y. 
Tosse Bronquite Total 
 Sim Não 
Sim 26 44 70 
Não 247 1002 1249 
Total 273 1046 1319 
Fonte: Holland, WW et al.. Long-term consequences of respiratory disease in in-
fancy. Journal of Epidemiology and Community Health 1978; 32: 256-9. 
 
 
Valores observados 
(O) 
Valores espe-
rados (E) 
(O-E) (O-E)2 
E
EO 2)( −
 E
EO 2)5,0|(| −− 
26 14,488 11,512 132,526 9,147 
247 258,512 -11,512 132,526 0,513 
44 55,512 -11,512 132,526 2,387 
1002 990,488 11,512 132,526 0,134 
 Qui-quadrado ( 2χ )= 12,181 =2corrigidoχ 
 
Decisão: 
O valor do qui-quadrado calculado é maior do que o valor do qui-quadrado crítico para 1 grau de li-
berdade e nível de significância de 5%, portanto, rejeita-se H0. 
 
Conclusão: Pode-se dizer que na população existe associação entre bronquite na infância e tosse na 
adolescência. 
 
Abordagem de Fisher 
Pela tabela da distribuição qui-quadrado, com 1 gl, p<0,001 (na tabela, menor que 0,1%) 
 
Calculando-se o valor de p pelo Excel, para 1 gl, o valor de p não corrigido = 0,0004829 
No Excel utilizar a função DIST.QUI tendo como argumentos o valor calculado do qui-quadrado e o 
número de graus de liberdade: = DIST.QUI(12,181;1)) 
 
Conclusão: Existe forte evidência contrária à independência portanto a associação observada ocorre 
não devido ao acaso. Pode-se dizer que os dados são compatíveis com existência de associação entre 
bronquite na infância e tosse na adolescência, na população. 
 
Exercício 
Considere os dados apresentados a seguir. Investigue a existência de associação entre níveis de β-
caroteno (mg/L) e hábito de fumar, em puérperas. Utilize as abordagens de Neyman e Pearson (nível 
de significância de 5%) e de Fisher. 
 
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122 
Distribuição de mulheres no período pós parto, segundo hábito de fumar e nível de ββββ-caroteno sérico 
 
β-caroteno (mg/L) Fumante Não Fumante Total 
Baixo (0 – 0,213) 56 84 140 
Normal (0,214 – 1,00) 22 68 90 
Total 78 152 230 
Fonte: Silmara Salete de Barros Silva, tese de Doutorado [2003]. 
 
Teste de hipóteses de duas médias 
 
Comparação de duas médias de populações com distribuição normal – amostras independentes. 
 
São apresentadas duas situações nas quais as amostras são coletadas de modo independente. 
 
Situação 1 
São coletados os pesos ao nascer de 50 recém nascidos (RN) com síndrome de desconforto respirató-
rio idiopático grave (SDIG) sendo que 54% dos RN vão a óbito. Pode existir uma diferença entre o 
peso ao nascer de crianças que sobrevivem e as que morrem. É possível realizar um teste de hipóte-
se para confirmar a aparente diferença. 
1.050* 2.500* 1.890* 1.760 2.830 
1.175* 1.030* 1.940* 1.930 1.410 
1.230* 1.100* 2.200* 2.015 1.715 
1.310* 1.185* 2.270* 2.090 1.720 
1.500* 1.225* 2.440* 2.600 2.040 
1.600* 1.262* 2.560* 2.700 2.200 
1.720* 1.295* 2.730* 2.950 2.400 
1.750* 1.300* 1.130 2.550 3.160 
1.770* 1.550* 1.575 2.570 3.400 
2.275* 1.820* 1.680 3.005 3.640 
Fonte: Hand DJ et alli. A handbook of small data sets. Chapman&Hall, 1994. 
(*) crianças que foram a óbito. 
 
Situação 2 
Quantifica-se uma enzima (ornithine carbonyl transferase) do fígado de dois grupos de 
pessoas que sofrem de hepatite. Um grupo tem a forma viral, aguda e o outro, a crônica. Existe inte-
resse em verificar se existe diferença entre pessoas com cada tipo de doença, com base na medida da 
enzima. 
 
Hepatite viral aguda (log das medidas) 
2,66 2,38 2,37 2,31 2,50 1,96 2,85 2,68 1,76 2,36 2,56 2,09 
2,85 2,67 2,37 2,40 2,79 1,82 3,00 2,50 2,36 2,48 2,60 2,42 
2,51 2,51 2,80 2,50 2,57 2,54 2,53 2,78 2,07 2,35 2,98 2,31 
2,45 2,75 2,56 2,50 3,00 2,94 2,46 2,83 3,61 2,99 2,78 3,02 
2,93 2,78 2,57 2,62 2,71 2,18 3,21 2,86 2,51 
Hepatite crônica (log das medidas) 
3,01 2,99 2,60 2,47 3,04 1,92 2,17 2,33 2,07 2,30 2,56 2,11 
3,32 2,21 1,71 2,60 2,79 2,71 2,64 2,52 2,21 2,58 2,40 2,45 
3,18 2,84 2,84 2,31 2,71 2,47 2,72 3,71 2,73 3,69 3,40 2,77 
2,28 2,84 2,80 3,02 
Fonte: Daly et al.. Elements of Statistics. The open University, 1995.
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123 
0
.
5
1
1.
5
1.5 2 2.5 3 3.5 4 1.5 2 2.5 3 3.5 4
forma aguda forma crônica
Density
normal enzima
De
ns
ity
enzima
Graphs by grupo
 
 
 
Estatísticas Hepatite viral 
aguda 
(log medidas) 
Hepatite 
crônica 
(log medi-
das) 
n 57 40 
Média 2,587 2,651 
Variância 
(n-1) 
0,107 0,194 
 
Razão entre variâncias =1,8 
 
 
 
 
 
Distribuição de pessoas segundo determinada enzima produzida no fígado e tipo de hepatite. 
 
Teste t para duas amostras independentes 
 
Sob certas circunstâncias (pressuposições), o teste t permite testar a hipótese nula 210 : µµ =H 
 
Com as seguintes possíveis hipóteses altenativas: 
21: µµ >aH ; 21: µµ <aH ; 21: µµ ≠aH , de-
pendendo do problema que está sendo proposto. 
 
A hipótese nula é equivalente à: 0: 210 =− µµH , onde 1µ e 2µ são médias de populações 
distintas. 
 
Pressuposições: 
A variável sob estudo segue as seguintes distribuições nas populações de origem: 
na população 1 ),(~ 1 σµN 
na população 2 ),(~ 2 σµN 
 
Observe que prossupõem-se amostras provenientes de populações normais, com médias distintas e 
mesma dispersão. 
 
Verificando-se as pressuposições (de modo informal): 
1- Normalidade – histograma 
2- Igualdade de variâncias (de desvios padrão) uma variância não pode ser 3 ou mais vezes a 
outra. 
 
 
Estatística do teste: 
Os estimadores das médias populacionais 1µ e 2µ são 1X e 2X . 
Utilizando-se a estatística 21 XX − pode-se estimar a diferença entre as médias populacionais. 
 
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124 
Esta estatística tem uma propriedade importante: é a melhor estatística quando as pressuposições de 
normalidade e de igualdade de variâncias estão satisfeitas. 
 
Para duas amostras n1 e n2, como consequência da distribuição amostral da média e Teorema Central 
do Limite, tem-se ).,(~
1
11
n
pdmediaNX σµ == e 
)..,(~
2
22
n
pdmediaNX σµ == 
 
 
Assumindo que as amostras são independentes, tem-se a distribuição de 21 XX − : 
),(~
2
2
1
2
2121
nn
NXX σσµµ +−− ou ))11(,(~
21
2121
nn
NXX +−− σµµ 
 
 
σ pode ser estimado tanto por S1 como por S2. Existe uma combinação de S1 e S2 que fornece um 
estimador melhor: 
 
Estimador ponderado (agregado): 
)2(
)1()1(
21
2
22
2
11−+
−+−
=
nn
SnSnS p 
Onde 
2
1S e 
2
2S são as variâncias amostrais, 
 
Calcula-se T, o número de desvios padrão da estatística 21 XX − , em torno da diferença populacional 
)( 21 µµ − : T= 
21
2121
11
)()(
nn
S
XX
p +
−−− µµ , que sob H0 torna-se T = 
)2(
21
21
21
~
11
)(
−+
+
−
nn
p
t
nn
S
XX , 
 
onde (n1+n2-2) é o número de graus de liberdade necessário para o cálculo de T, utilizando-se a dis-
tribuição t de “Student” . 
 
Esta estatística pode ser utilizada para a realização do teste de hipótese e para o intervalo de confi-
ança da diferença de duas médias para amostras independentes. 
 
Se o teste for segundo Neyman e Pearson, deve-se confrontar o valor observado (tobs) de T, com a 
área de rejeição de H0, para um nível de significância pré-fixado. Se tobs cair na área de rejeição de H0, 
opta-se pela rejeição da hipótese nula. 
 
Se o teste for segundo Fisher, deve-se calcular a probabilidade de observar o valor observado (tobs) de 
T ou um valor mais extremo, na curva especificada em H0. Decide-se com base no valor de p. Se a 
probabilidade for pequena, concluí-se que os dados mostram evidência contrária à proposição de i-
gualdade de médias. 
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125 
0
5.
0e
-
04
.
00
1
1000 1500 2000 2500 3000 3500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
sobrev nao sobrev
Density
normal peso
De
n
sit
y
peso
Graphs by condicao
 
Aplicação: 
Situação 1: Pesos ao nascer proveem de mesma população? 
 
Abordagem de Neyman e Pearson 
 
 
tesobrevivennãosobrevH µµ =:0 
ntesobrevivienãosobrevaH µµ ≠: 
 
Considerar nível de significância pré-fixado em 5% 
Olhando-se os dados e investigando-se as pressuposições do teste: 
 
 
Peso ao nascer segue distribuição normal? 
Variâncias são iguais? 
 
razão entre as variâncias ≅ 1,6 
 
 
 
 
Cálculo da estatística do teste 
n1=27, 16921 =x ; 7,26795821 =s 
n2=23, 23072 =x ; 5,44185622 =s 
 
)22327(
5,441856)123(7,267958)127(
)2(
)1()1(
21
2
22
2
11
−+
−+−
=
−+
−+−
=
nn
SnSnS p = 63,58986,347661 = 
 
 
68,3
23
1
27
163,589
)23071692(
11
)(
21
21
−=
+
−
=
+
−
=
nn
S
XX
t
p
obs
 
 
 
Graus de liberdade = 27+23 – 2 = 48 
 
 
Comparação com a área de rejeição de H0: 
 
 
Como o valor calculado caiu na área de rejeição, 
decide-se por rejeitar H0. 
 
Conclui-se que foi encontrada diferença 
estatisticamente significante entre os pesos 
médios ao naser de RN com SDIG, que 
 
 -3,68 -2,009 µ=0 2,009 
H0 
t 
Área de aceitação de H0 
Área de rejeição 
de H0; 025,02 =α
 
Área de rejeição de 
H0; 025,02 =α
 
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126 
vão a óbito e que sobrevivem, para nível de significância de 5%. Os RN sobreviventes apresentam 
maior peso médio ao nascer. Neste caso, os RN são provenientes de duas populações distintas, com 
relação ao peso ao nascer. 
 
Abordagem de Fisher 
 
Proposição inicial: tesobrevivennãosobrev µµ = 
 
Valor calculado da estatística do teste = -3,68 
 
Cálculo do valor de p: pela tabela da Distribuiçaõ t de “Student”, e 48 graus de liberdade (27+23-2), 
obtém-se p<0,1% ou p<0,001. 
 
Pode-se obter o valor exato de p, utilizando-se a função =DISTT(3,68;48;2), no Excel, obtendo-se o 
valor p = 0,0006, para um teste bi-caudal. 
 
Pelo valor de p pode-se concluir que os dados mostram evidência contrária à proposição inicial. Os RN 
sobreviventes apresentam maior peso médio ao nascer. 
 
Teste t para duas amostras dependentes 
 
Existem situações onde os dados da primeira amostra estão, de alguma forma, relacionados aos da-
dos da segunda amostra. São apresentadas duas situações com amostras dependentes. 
 
Situação 1 
Uma certa droga está sendo testada quanto a seu efeito na pressão sanguínea. 12 pacientes tiveram 
sua pressão arterial diastólica (PAD) medida antes e após o tratamento. Os resultados são mostrados 
a seguir. Os resultados são compatíveis com uma droga que produz efeito na pressão sanguínea dias-
tólica? 
 
Paciente PAD antes PAD após paciente PAD antes PAD após 
1 120 125 7 140 146 
2 124 126 8 135 133 
3 130 138 9 126 127 
4 118 117 10 130 135 
5 140 143 11 126 126 
6 128 128 12 127 131 
 
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127 
Situação 2 
São apresentados dados de um estudo biomédico do peso de rins em uma série de autópsias realiza-
das no departamento de patologia de um hospital na África. A diferença das médias amostrais pode 
ser razoavelmente explicada como sendo devida ao acaso? 
Peso do rim esquerdo (gramas) Peso do rim direito (gramas) 
170 150 
155 145 
140 105 
115 100 
235 222 
125 115 
130 120 
145 105 
105 125 
145 135 
155 150 
110 125 
140 150 
145 140 
120 90 
130 120 
105 100 
95 100 
100 90 
125 125 
 
 
Abordagem de Neyman e Pearson 
 
Hipóteses 
21
210
:
:
µµ
µµ
≠
=
a
H
H
 
 
 
A hipótese nula é equivalente à 0: 210 =− µµH , como o teste é emparelhado (pareado), deve-se 
escrever 0:0 =dH µ , onde d vem de uma população composta pela diferença entre as observações 
X1 e X2, para cada indivíduo. 
 
Pressuposição: 
d segue uma distribuição normal; d ),(~ ddN σµ 
 
Estatística do teste: 
T= 
n
S
d
S
d
d
d
d
d )()()()( µµ −
=
−
, que sob H0 torna-se T = )1(~ −n
d
t
n
S
d 
Onde n é o número de pares de valores. 
 
Se o teste for segundo Neyman e Pearson, deve-se comparar o valor observado (tobs) de T, com a 
área de rejeição de H0, para um nível de significância pré-fixado. Se tobs cair na área de rejeição de H0, 
opta-se por esta decisão. 
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128 
 
Se o teste for segundo Fisher, deve-se calcular a probabilidade de observar o valor observado (tobs) de 
T ou um valor mais extremo, na curva especificada em H0. Decide-se com base no valor de p. Se a 
probabilidade for pequena, concluí-se que os dados mostram evidência contrária à proposição de i-
gualdade de médias. 
 
Aplicação: 
 
Considerando-se os dados de pressão arterial diastólica antes e após um tratamento 
Paciente Pressão arterial diastó-
lica antes 
Pressão arterial dias-
tólica após 
Diferença 
(d) 
1 120 125 -5 
2 124 126 -2 
3 130 138 -8 
4 118 117 1 
5 140 143 -3 
6 128 128 0 
7 140 146 -6 
8 135 133 2 
9 126 127 -1 
10 130 135 -5 
11 126 126 0 
12 127 131 -4 
 
Abordagem de neyman e Pearson 
Hipóteses: 
0:
0:0
≠
=
da
d
H
H
µ
µ
 
 
Nivel de significância = 5%;n=12; 
Graus de liberdade = n-1 = 11; 
 
58,2
12
31
−=
−
=d ; 
 
501,9
11
51,104
11
))58,2(4...()58,2(5( 222
==
−−−+−−−
=ds
 
 
082,3501,9 ==ds , 
 
 
90,2
12
082,3
58,2
−===
n
s
d
t
d
obs
 
 
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129 
Área de rejeição de H0 para 11 graus de liberdade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o valor calculado caiu na área de rejeição, decide-se por rejeitar H0. 
 
Conclui-se que foi encontrada diferençaestatisticamente significante entre os níveis médios de pres-
são arterial diastólica antes e após o tratamento, para nível de significância de 5%. O tratamento 
provoca aumento da pressão arterial diastólica. 
 
Abordagem de Fisher 
 
Proposição inicial: 
apósantes µµ = 
 
Valor calculado da estatística do teste = -2,90 
 
Cálculo do valor de p: pela tabela da Distribuição t de “Student”, e 11 graus de liberdade (12-1), ob-
tém-se 1%<p<2% ou p ≅ 1,5% (p ≅ 0,015). Os dados mostram evidência contrária à proposição 
inicial. O tratamento produz efeito, os valores médios antes e após o tratamento são diferentes, sendo 
que após o tratamento o nível médio é maior. 
 
Pode-se obter o valor exato de p, utilizando-se a função =DISTT(2,9;11;2), no Excel, obtendo-se o 
valor p = 0,014445, para um teste bi-caudal. 
 
 
 -2,9 -2,201 µ=0 2,201 
H0 
t 
Área de aceitação de H0 
Área de rejeição 
de H0; 025,02 =α
 
Área de rejeição de 
H0; 025,02 =α