NOTAS DE AULA FLAMBAGEM

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2016/02 - Prof. Gladimir
 Ao ser projetado, uma barra deve satisfazer as condições
de resistência, deslocamentos limites e estabilidade.
 Barras longas ou esbeltas quando submetidas à cargas
compressivas suficientemente elevadas podem ficar sujeitas
ao fenômeno de instabilidade.
 Especificamente, barras longas e esbeltas sujeitas a cargas
axiais compressivas são chamadas de colunas, e seus
deslocamentos laterais são caracterizados através do
fenômeno conhecido como flambagem.
Flambagem de Colunas
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Carga ou Força Crítica
 A força axial máxima que uma coluna pode suportar quando
atinge a iminência de flambar é chamada de carga crítica (Pcr)
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COLUNA IDEAL COM APOIOS ARTICULADOS
Como a coluna ideal é perfeitamente reta, na teoria a força
axial P pode ser aumentada até ocorrer falha ruptura ou
escoamento do material.
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COLUNA IDEAL COM APOIOS ARTICULADOS
Equilíbrio neutro
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Dedução da fórmula da Força Crítica (Pcr)
Para determinar a força crítica e a forma da coluna quando flambada,
aplica-se a equação a seguir que relaciona o momento interno na coluna
com sua forma fletida:
2
2
d
EI M
dx

v
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Dedução da fórmula da Força Crítica (Pcr)
Diagrama de corpo livre na posição fletida
2
2
00
s
M
d
M P EI P
dx
     
v
v v
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Dedução da fórmula da Força Crítica (Pcr)
2
2
00
s
M
d
M P EI P
dx
     
v
v v
2
2
0
d P
dx EI
 
  
 
v
v =
Equação diferencial homogênea 
de segunda ordem com 
coeficientes constantes
Solução geral
1 2
+
P P
C sen x C cos x
EI EI

   
   
   
v
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Dedução da fórmula da Força Crítica (Pcr)
Se C1 = 0  u = 0 , que é uma solução trivial que exige que a coluna
permaneça sempre reta, ainda que a carga faça com que a coluna torne-
se instável. A outra possibilidade é:
Em x = 0  u = 0  C2 = 0
1
= 0
P
C sen L
EI
 
 
 
As duas constantes de integração são determinadas pelas condições
de contorno nas extremidades da coluna.
Em x = L  u = 0 
= 0
P
sen L
EI
 
 
 
= 
P
L
EI
n
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Dedução da fórmula da Força Crítica (Pcr)
ou
= 0
P
sen L
EI
 
 
 
= 
P
L
EI
n
2 2
2
= = 1, 2, 3, ...com
n EI
P
L
n
O menor valor de P é obtido quando n = 1, e a força crítica para a
coluna é portanto:
2
2
= 

cr
EI
P
L
Fórmula de Euler
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Dedução da fórmula da Força Crítica (Pcr)
A forma fletida correspondente é definida pela equação:
Nessa equação, a constante C1 representa a deflexão máxima umáx,
que ocorre no ponto médio da coluna. Não é possível obter valores
específicos para C1, uma vez que a forma defletida exata da coluna é
desconhecida após a flambagem. Porém, considera-se que esta
deflexão seja pequena.
1 1
P x
C sen x C sen
EI L

 
 
 
v
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2 2
2
= = 1, 2, 3, ...com
n EI
P
L
n
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Eminência de flambagem
u
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COLUNAS COM OUTROS TIPOS DE APOIO
A fórmula de Euler foi desenvolvida para o caso de uma coluna com
extremidades rotuladas. Em outras palavras, L na equação de Euler
representa a distância entre os ponto de momento nulo. Se a coluna
for apoiada de outros modos, então a fórmula de Euler poderá ser
usada para determinar a força crítica, desde que L represente a
distância entre pontos de momento nulo. Essa distância é chamada
de comprimento efetivo da coluna Le. Em vez de especificar o
comprimento efetivo da coluna, muitas normas de projeto dão
fórmulas de colunas que empregam um coeficiente adimensional K
denominado coeficiente de flambagem, onde o comprimento efetivo
da coluna é dado pela equação a seguir:
= 
e
L K L
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COEFICIENTES DE FLAMBAGEM PARA ALGUNS TIPOS DE APOIO
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COLUNAS COM OUTROS TIPOS DE APOIO
Utilizando-se a definição de comprimento efetivo da coluna (ou
comprimento de flambagem), pode-se expressar a fórmula de Euler
como:
2
2
= 

cr
EI
P
( K L )
Sabendo que o raio de giração 2 2= = 
I I
r r I r A
A A
  
2
2
= 

cr
E A
P
K L
r
 
 
 
a equação anterior pode ser escrita como:
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Fazendo , a equação anterior pode ser escrita na forma a
seguir:
onde:
2
2
= 


cr
E A
P
E é o módulo de elasticidade do material (módulo de Young);
A é a área da seção transversal e;
 é o índice de esbeltez da coluna.
= 
K L
r
Fórmula para o cálculo da força 
crítica de flambagem elástica à 
flexão
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Cálculo da tensão crítica cr
onde:
2
2
= 



cr
cr
P E
A

E é o módulo de elasticidade do material (módulo de Young);
A é a área da seção transversal e;
 é o índice de esbeltez da coluna.
Fórmula para o cálculo da 
tensão crítica de flambagem 
elástica à flexão
Observação: As fórmula anteriores são válidas para quando o material
tem comportamento elástico linear, ou seja, quando cr for menor que
p (ou y), onde p é o limite de proporcionalidade do material e y é
o limite de escoamento do material.
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