[MASUERO] 03 - linha elástica e flambagem - exercícios de provas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
Eng 01202 – MECÂNICA ESTRUTURAL II 
Prof. João Ricardo Masuero 
L I S T A D E E X E R C Í C I O S 
1) Utilizando a equação diferencial da linha elástica, calcule o deslocamento vertical do centro do vão CD. 
Considere nas vigas apenas os esforços de flexão. EI = 80.000 kNm2. Os cabos BC e DE são 
extensíveis, com EA = 10.000 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre as expressões para ω(x) e M(x) 
da viga ao lado, considerando os efeitos 
de segunda ordem e apenas os esforços 
de flexão. 
 
OBS: Calcular as reações na configuração 
deformada. 
 
 
 
3) A ponte abaixo é formada por 2 treliças planas contraventadas na parte inferior pelo tabuleiro da ponte e 
na parte superior por duas barras transversais. Sabendo que as barras do banzo superior se comportam 
como rotuladas nos nós no plano da treliça (xz), e como uma barra única rotulada apenas nas 
extremidades (A e B) no plano horizontal (xy), calcular as dimensões b e h da seção transversal 
retangular dessas barras para um coeficiente de segurança S =2. Dados do Material: E=21.000 kN/cm2, 
σp=21 kN/cm2, σe=24 kN/cm2, K1=31,0kN/cm2, K2=0,114kN/cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L,EI
q
P 
fω(x) 
x
A B 
C D 
7 m 
8 m 
4 m 
30 kN/m 
50kN 
80kN 
4 m 
6 m 
E 
F 
G 
H 
L,EI 
ω = ML2/2EI 
OBS 2:
L,EI 
ω = PL3/3EI 
OBS 1:
P 
M 
2000kN2000kN 
A A 
B B 
B A 
2000kN 
4m 
3m
z 
y 
x 
y 
z 
Seção Transversal 
b 
h 
4) O telhado abaixo é formada por 2 tesouras (treliças planas) com um contraventamento vertical central 
ligado aos pontos A e B. Sabendo que as barras dos banzos inferior e superior se comportam como 
rotuladas nos nós no plano da treliça (xz), e como uma barra única rotulada apenas nas extremidades 
(C e A ou C e B) no plano horizontal (xy), calcular o coeficiente de segurança S das barras do banzo 
INFERIOR. Dados do Material: E=21.000 kN/cm2, σp=21 kN/cm2, σe=24 kN/cm2, K1=31,0kN/cm2, 
K2=0,114kN/cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
150kN
A 
B 
B 
A 
B 
150kN 
5m 
2m
z 
y x 
y 
z 
Seção Transversal 
18 cm 
150kN 
150kN
150kN 
150kN 
C C 
C 
C 
A 
150kN 
150kN
C 
C 
150kN
11 cm 
5) O telhado de uma edificação pesa 0,6 kN/m2 e está sustentado pelas tesouras mostradas abaixo, afastadas entre si de 4m. Considerando-se que: 
• As telhas podem ser consideradas como vigas simplesmente apoiadas nas terças; 
• As terças podem ser consideradas como vigas simplesmente apoiadas nas tesouras; 
• As terças na parte superior (e respectivo contraventamento, não indicado no desenho) impedem o deslocamento dos respectivos nós de apoio na direção 
normal ao plano das tesouras; 
• A tesoura em análise é uma tesoura central da edificação, havendo tesouras anteriores (não mostradas no desenho em prol da clareza) e posteriores (uma 
delas mostrada no desenho). 
Pede-se: 
a) Indicar a condição de vinculação e comprimento de flambagem das barras do Banzo Superior para flambagem no plano (de definição da treliça ou plano 
vertical) e flambagem lateral (plano horizontal). 
b) Calcular a carga nos nós e o esforço normal nas barras do Banzo Superior 
c) Dimensionar as barras do banzo superior em 3 segmentos de 10m, cada um correspondendo a 2 módulos da treliça. Cada segmento poderá ter seção (b x h) 
diferente. Utilizar um coeficiente de segurança igual a 1,65. 
d) Indicar que contraventamento seria adequado para reduzir a seção transversal das barras do banzo superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = 21000 kN/cm2, σe = 24 kN/cm2, σp = 21 kN/cm2, K1 = 31 kN/cm2, K2 = 0,114 kN/cm2, 
Sugestão: Utilizar o Método de Ritter 
 
 
5m 5m 5m 5m 5m 
b 
Terças 
Banzo Superior 
4m
0,5m
x 
y 
z 
z 
y 
h 
5m
SEÇÃO TRANSVERSAL 
P1 P2 
R 1 
N 
∑ = 01M
Seção de Ritter