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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Prof Emanoela Lopes Aula 5: Contagem 1 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Arranjo, Permutação e Combinação 1- (UFOP) – No meio da invasão tecnológica que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque? Ref: shutterstock Arranjo ou Combinação ? 2 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Arranjo, Permutação e Combinação Senhas: a ordem de cada número é muito importante. primeiro dígito é o número 5. número 6 estará em algum dos outros 3 dígitos. A ordem é importante ? unati.no.comunidades.ne Ordem importa Arranjo 3 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Arranjo, Permutação e Combinação 1º Caso (6 no segundo dígito): 5 6 8 possibilidades 7 possibilidades A 8,2 4 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Arranjo, Permutação e Combinação 2º Caso (6 no terceiro dígito): 5 6 8 possibilidades 7 possibilidades A 8,2 5 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Arranjo, Permutação e Combinação 3º Caso (6 no quarto dígito): 5 6 8 possibilidades 7 possibilidades A 8,2 Teremos: A8,2+A8,2+A8,2=3.A8,2 3.A8,2 = 168 possibilidades 6 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Arranjo, Permutação e Combinação 2- (UERJ) – Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher: Tipos de pão: calabresa, orégano, queijo; Tamanhos: pequeno, grande; Recheio: sardinha, atum, queijo, presunto salame; sem possibilidade de repetição de recheio em um mesmo sanduíche. Quantos sanduíches distintos podem ser montados? comida.colorir.com 7 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Arranjo, Permutação e Combinação http://loja.premiumemarketing.com.br Combinação cada elemento é de natureza diferente. Combinação do pão x combinação do tamanho x combinação do recheio. 8 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Arranjo, Permutação e Combinação caso 1 : um item no recheio C 3,1 . C 2,1, C 5,1 = 3.2.5 = 30 caso 2 : dois itens no recheio C 3,1 . C 2,1, C 5,2 = 3.2.10 = 60 caso 3 : três itens no recheio C 3,1 . C 2,1, C 5,3 = 3.2.10 = 60 caso 4 : quatro itens no recheio C 3,1 . C 2,1, C 5,4 = 3.2.5 = 30 caso 5 : cinco itens no recheio C 3,1 . C 2,1, C 5,5 = 3.2.1 = 6 30+60 + 60 +30+6 =186 sanduíches diferentes. Tipos de pão: calabresa, orégano, queijo; Tamanhos: pequeno, grande; Recheio: sardinha, atum, queijo, presunto, salame; 9 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Arranjo, Permutação e Combinação 3- O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche. Tipos de pão: calabresa, orégano queijo; Tamanhos: pequeno grande; Recheio: sardinha, atum, queijo, presunto salame; C 2,1 . C 1,1, C 5,2 20 opções 10 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Arranjo, Permutação e Combinação 4- Grêmio (RS), Flamengo (RJ), Internacional (RS) e São Paulo (SP) disputam um campeonato. Levando-se em conta apenas a unidade de federação de cada um dos clubes, de quantas maneiras diferentes pode terminar o campeonato ? Número de permutações possíveis entre as unidades da federação de RS, RJ, RS e SP. Temos: P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 No entanto a Unidade de Federação do RS ocorre 2 vezes, devemos, portanto, eliminar as duas permutações referentes a ela: 24 / 2! = 12 maneiras diferentes de poder terminar o campeonato. Outra maneira: P4 (2): 12 maneiras diferentes. 11 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Arranjo, Permutação e Combinação 5- Uma prova consta de 6 questões, das quais o aluno deve resolver 3. De quantas formas ele poderá escolher as 3 questões? http://loja.premiumemarketing.com.br Combinação ordem em que os elementos aparecerão não será importante. Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes. C 6, 3 = 20 12 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Arranjo, Permutação e Combinação 6- Resolver a equação C x,2 = 3. Logo V = {3} 13 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Arranjo, Permutação e Combinação 7- Em um grupo de 9 pessoas há 2 garotas e 7 rapazes. De quantas maneiras podemos escolher 4 membros do grupo sendo que, no mínimo, há uma garota entre os escolhidos? Se entre os 4 membros escolhidos há uma garota: C 7, 3 . C 2, 1 maneiras distintas. Se entre os 4 membros escolhidos há duas garotas: C 7, 2 . C 2, 2 maneiras distintas. Portanto: C 7, 3 . C 2, 1 + C 7, 2 . C 2, 2 = 91 14 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem 2.3.1. Aplicação de Arranjo, Permutação e Combinação Arranjo Simples Podemos calcular a quantidade possível de agrupamentos com elementos distintos de um determinado conjunto. Exemplo: conjunto A= {1,2,3}, tomados 2 a 2. Que arranjos seriam possíveis? (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2). Graficamente: Árvore de Possibilidades. Temos 3 x 2 = 6 arranjos. Assim de acordo com a notação padrão, A 3,2 = 6 . 15 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Material referente ao conteúdo de Arranjo. Disponível em: http://sites.unifra.br/Portals/17/Matematica/Arranjo/arranjo.swf 16 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Material referente ao conteúdo de Arranjo. Disponível em: http://sites.unifra.br/Portals/17/Matematica/Arranjo/arranjo.swf 17 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem http://sites.unifra.br/rived/ObjetosPedag%C3%B3gicos/Matem%C3%A1tica/tabid/428/la nguage/pt-BR/Default.aspx 18 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Arranjos, Permutação e Combinação AULA 5: Contagem Software "Combinat”: Arranjos, Combinações e Permutações. http://www.somatematica.com.br/emedio.php 19 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 5: Contagem Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 1- Em um plano são marcados 5 pontos distintos, não alinhados. Quantos triângulos podemos formar tendo sempre 3 deles como vértice? Solução: C 5,3 = 10 Exercícios Propostos 20 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 5: Contagem Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 2- No congresso Nacional, uma comissão de 5 membros será formada a partir de 8 senadores e 6 deputados, sendo que pelo menos um deputado deverá pertencer à comissão. Calcule o número de comissões que poderão ser formadas. Solução: A comissão poderá ser formada por: 4 senadores e 1 deputado: C 8,4 . C6,1 = 70 . 6 = 420 3 senadores e 2 deputados: C8,3 . C6,2 = 56 . 15 = 840 2 senadores e 3 deputados: C8,2 . C6,3 = 28 . 20 = 560 1 senador e 4 deputados: C8,1 . C6,4 = 8 . 15 = 120 5 deputados: C6,5 = 6 Logo, poderão ser formadas 1.946 comissões. Exercícios Propostos 21 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 5: Contagem Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 3- Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarãoem quadra no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes? Solução: Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos. Como a ordem não faz diferença, temos: Escolhas do levantador: Escolhas dos 5 atacantes: Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o time. Exercícios Propostos 22 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 5: Contagem 4- Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas? 5- Se tivermos um conjunto com 4 termos e quisermos formar arranjos de 3 a 3: A 4,3 = (4! ) / (4-3)! = 4 x 3 x 2 x 1! / 1! = 24 Exercícios Propostos 23 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 5: Contagem Indicação de Leitura Específica Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático. Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de Conjuntos disponíveis. Recomendação de leitura no material didático: Matemática Discreta - Juliano Minelli - 1ª edição, SESES – Rio de Janeiro 2015 – Estácio, p: 11-19 Sugestão de material: http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/Mat_Disc_Parte08.pdf http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/Mat_Disc_Parte08.pdf http://www.matematicadidatica.com.br/PrincipioFundamentalContagem.aspx Indicação de Leitura 24 MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO AULA 5: Contagem Indicação de Leitura Específica Sugestão de leitura: Contagem http://educacao.globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/conjuntos.html http://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.php http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm Indicação de Leitura 25 VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? Unidade 3 – Relações 3.1. Pares Ordenados. 3.1.2. Produto Cartesiano; 3.1.3. Relação; 3.1.4. Contradomínio, Domínio e Imagem. 3.2. Relações Binárias. Propriedades e Fechos. 3.3. Ordens Parciais. 3.4. Relações de Equivalência. 26
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