Hidráulica Geral - Escoamento e Equações

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Hidráulica Geral – BC&T 
Prof. Rui Domingues 
Hidrodinâmica 
Definições 
 Escoamento 
 O cisalhamento deforma o fluido, dando a este a 
propriedade de escoar, ou seja, de mudar de forma 
facilmente. Portanto, o escoamento é a fácil mudança de 
forma do fluido, sob a ação do esforço tangencial. É a 
chamada fluidez. 
 Corrente fluida 
 É o escoamento orientado do fluido, isto é, seu 
deslocamento com direção e sentido bem determinados. 
 
 
 
Definições 
 Método de Lagrange 
 Um dos métodos de estudo na cinemática dos fluidos é o 
de Lagrange, que descreve o movimento de cada 
partícula, acompanhado-a na trajetória total. Apresenta 
grandes dificuldades nas aplicações praticas. 
 
 Método de Euler 
 Consiste em adotar um certo intervalo de tempo, escolher 
um ponto do espaço e considerar todas as partículas que 
passam por este ponto. Neste método observador é fixo, e 
é o preferido para se estudar o movimento dos fluidos. 
Definições 
 Linhas de corrente 
 No método de Euler, tomemos os vetores v1, v2, v3, etc., que 
representam as diversas velocidades da partícula nos instante 
considerados, no interior da massa fluida. Tracemos a curva que 
seja tangente, em cada ponto, ao respectivo vetor velocidade 
(v1, v2, v3, etc.). Tal curva é conhecida como linha de corrente ou 
linha de fluxo. A linha de corrente é uma curva imaginaria. 
 
 
 As linhas de corrente não podem cortar-se, pois, em caso 
positivo a partícula teria velocidades diferentes ao mesmo 
tempo, o que não é possível. Em cada instante e em cada 
ponto, passa uma e somente uma linha de corrente. 
Considerando um conjunto de linhas de corrente, em cada 
instante, o fluido move-se sem atravessá-la. 
Classificação de escoamentos 
Classificação de escoamentos 
 Escoamento Laminar 
 As trajetórias das partículas em movimento são bem 
definidas, não se cruzam 
 
 
 
 
 
 
 Escoamento turbulento 
 As trajetórias são curvilíneas, elas se cruzam. Na pratica o 
escoamento dos fluidos quase sempre é turbulento. P.e. 
encontrado nas obras de engenharia, adutoras, vertedores 
de barragens, etc. 
 
Experimento de Reynolds 
 Fez experiência variando o diâmetro da tubulação e a 
viscosidade do liquido 
 

 vDvD 


Re
v = velocidade de escoamento (m/s) 
D = diâmetro (m) 
υ = viscosidade cinemática (m2/s). 
Re <= 2 000 Regime laminar. 
2 000 < Re < 4 000 Regime critico ou transição. 
Re >= 4 000 Regime turbulento 
Experimento de Reynolds 
Exemplo 
 
 Qual a máxima velocidade de escoamento da água a 
40ºC numa tubulação de 20 polegadas sob regime 
laminar ? Dados: visc. cin água = 0,66.10-6 m2/s. 
 
Classificação de escoamentos 
 Movimento Permanente Uniforme (MPU) 
 O movimento permanente é uniforme quando a velocidade 
media permanece constante ao longo da corrente. Neste 
caso as seções transversais da corrente são iguais. 
 Ex. Canal com mesma declividade, rugosidade, seção e vazão. 
 
 
Classificação de escoamentos 
 Movimento Permanente Variado (MPV) 
 
Classificação de escoamentos 
 Escoamento não permanente 
 Neste caso a velocidade varia com o tempo. Varia também 
de um ponto a outro. 
 Ex. Durante uma cheia num rio ocorre o movimento não 
permanente. 
 
Equação da continuidade 
Seja um cubo elementar de dimensões dx, dy e dz, 
situado no interior da massa de um fluido em 
movimento. 
A massa do fluido contida neste cubo será 
m = dx dy dz ρ 
Admitindo que a massa específica ρ do fluido que 
atravessa o cubo varia com t, em um intervalo de 
tempo dt: 
dtdx
x
v
vdzdy
dtdzdyv
dzdydx
t
m
x
x
x














)(



A 
B 
C 
D 
Pode-se considerar que pela face ABCD 
entra a massa: 
E sai a massa: 
(1) 
(2) 
(3) 
Equação da continuidade 
0
0
0
)()()(
)()()(
0
)(









































z
v
y
v
x
v
v
t
z
v
y
v
x
v
t
dzdydx
z
v
dzdydx
y
v
dzdydx
x
v
dzdydx
t
dtdzdydx
x
v
zyx
zyx
zyx
x





(2) – (3) idem para y e z 
Igualando a (1) 
Equação da 
continuidade 
Para fluidos incompressíveis, ρ = cte 
Equação da continuidade 
Aplicação 
 Suponhamos um fluido ideal em escoamento 
permanente, através de um tubo de corrente. Na 
entrada do tubo temos A1, ρ1 e V1. Decorrido uma certa 
unidade de tempo, teremos a saída do tubo (a direita na 
figura) A2, ρ2 e V2 que são os novos valores das 
grandezas indicadas. 
QvAvA
AvAv
mm
dt
dm
saientra





2211
222111
0

Equação da continuidade 
Aplicação 
Fluido incompressível 
AVQ 
Exemplo 
 A velocidade de escoamento em uma linha de recalque 
é de 1,05 m/s. A vazão de bombeamento é de 450 m3/h. 
Determine o diâmetro da linha. 
Teorema de Bernoulli 
Considerando o 
escoamento de um fluido 
IDEAL em regime 
permanente) 
“a variação da energia cinética de um sistema é 
igual ao trabalho por todas as forças do sistema” 
ctezz
pp
g
v
g
v
zzppv
g
v
g
g
zzppvv
VmVm
zzVVpVpvmvm
zzVdSdApdSdApvmvm
zzwdSdFdSdFEcEc
Vw
dApdF
vmEc












)(
2
1
2
1
:)(*
)(
2
1
2
1
)/(*
)(
2
1
2
1
)//(*
)(
2
1
2
1
)(
2
1
2
1
)(
2
1
21
21
2
1
2
2
2121
2
1
2
2
2121
2
1
2
2
2121
2
11
2
22
21222111
2
11
2
22
21221112
2










Teorema de Bernoulli 
Devido a pressão 
Devido ao peso 
Teorema de Bernoulli 
ctez
P
g
v
z
P
g
v
 2
2
2
2
1
1
2
1
22 
“ao longo de qualquer linha de 
corrente é constante o somatório 
das energias piezométrica, cinética 
e potencial” 
 O teorema de Bernoulli não é senão o principio de 
conservação da energia. Cada um dos termos 
representa uma forma de energia 
 
Teorema de Bernoulli 
ctez
P
g
v
z
P
g
v
 2
2
2
2
1
1
2
1
22 
Energia cinética 
Energia de pressão (piezométrica) 
Energia potencial 
Teorema de Bernoulli 
Visualização gráfica 
 
Teorema de Bernoulli 
Extensão a casos práticos 
 No teorema de Bernoulli admite-se que: 
 O escoamento do líquido é ideal (sem atrito, viscosidade, 
coesão, elasticidade, etc) 
 O movimento é permanente 
 O líquido é incompressível 
 
Entretanto, os fluidos reais se afastam do modelo perfeito. A 
viscosidade e o atrito do fluido nas tubulações são 
responsáveis por diferenças em cálculos e observações 
experimentais. 
Essa perda de energia é denominada PERDA DE CARGA 
(energia dissipada na forma de calor). 
 A perda de carga é considerada introduzindo-se um 
termo corretivo na eq. de Bernoulli: 
 
 
Teorema de Bernoulli 
Extensão a casos práticos 
fhz
P
g
v
z
P
g
v
 2
2
2
2
1
1
2
1
22 
hf 
Teorema de Bernoulli 
Extensão a casos práticos 
 Note que a perda de carga tem unidade de 
comprimento: 
 
 
  mz
m
mkgf
mkgfP
m
sm
sm
g
v












3
2
2
222
/
/
/
/
2

Teorema de Bernoulli 
Demonstração experimental 
 Instalando-se piezômetros nas diversas seções verifica-
se que a água sobe a alturas diferentes; nas seções de 
menor diâmetro, a velocidade é maior e, portanto, 
também é maior a carga cinética, resultando menor 
carga de pressão. 
Teorema de Bernoulli 
Aplicações imediatas 
 Teorema de Torricelli 
 Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da 
superfície livre constante, contendo um fluido ideal, 
escoando em regime permanente através de um orifício 
lateral. 
 
 
ghv
g
v
h
hz
z
P
g
v
z
P
g
v
2
2
22
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1





A1<<A2 P1=P2=Patm z2=0 (ref) 
“A velocidade de um líquido 
jorrando por um orifício através 
de uma parede delgada é igual à 
velocidade que teria um corpo 
em queda livre de uma altura h” 
Teorema de Bernoulli 
Aplicações imediatas - Medidores de vazão 
 Freqüentemente, é necessário medir a vazão que 
passa por uma tubulação. Existem diferentes 
dispositivos capazes de efetuar esta medição, 
divididos principalmente em duas classes: 
instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de 
carga. Os instrumentos mecânicos medem a vazão 
real do fluido, retendo e medindo uma certa 
quantidade. Os dispositivos de perda de carga 
obstruem o escoamento, causando a aceleração de 
uma corrente fluida. 
Teorema de Bernoulli 
Aplicações imediatas – Tubo de venturi 
 O tubo de Venturi é um dispositivo utilizado para medição da 
vazão ou da velocidade em uma tubulação. Consiste em 
uma redução da seção do escoamento, provocando um 
aumento de velocidade e uma queda na pressão. Em geral, 
os medidores são fundidos e usinados com pequenas 
tolerâncias, de modo a reproduzir o desempenho de projeto. 
A perda de carga total é baixa. A diferença de pressão entre 
um ponto no escoamento e um ponto no estrangulamento é 
medida através de um líquido manométrico 
Teorema de Bernoulli 
Aplicações imediatas – Tubo de Venturi 






































2
1
2
21
2
1
2
2
2
2
21
2211
2
2
2
1
2
2
21
2
2
2
2
1
1
2
1
1
)(2
1
2
)(*
1
2
)(*
22
2
A
A
PP
v
A
Av
PP
AvAv
v
vv
PP
g
z
P
g
v
z
P
g
v





2
2
1
2
21
22
1
)(2
)(*
A
A
A
PP
Q
AvQ



















Teorema de Bernoulli 
Aplicações imediatas – Tubo de Pitot 
 Assim como o tubo de Venturi, o tubo de Pitot é um 
dispositivo utilizado para a medição de vazão ou a 
velocidade de um escoamento. Um tubo é inserido no 
escoamento. Ao entrar no tubo, a velocidade do fluido é 
reduzida a zero, sem atrito. Aplicando-se a equação de 
Bernoulli: 
Teorema de Bernoulli 
Aplicações imediatas – Tubo de Pitot 
A
mA
mA
mDC
AD
AC
AA
hhg
v
ghhPP
hhgPP
ghPP
ghPP
g
P
g
v
g
P
z
P
g
v
z
P
g
v








))((2
))((
)(**
*
*
2
22
12
1
1212
12
11
22
2
2
11
2
2
2
2
1
1
2
1








1 
D 
C 
2 
h2 
h1 
Teorema de Bernoulli 
Aplicações imediatas – Tubo de Pitot 
 O tubo de Pitot é utilizado como medidor de velocidade 
em aeronaves 
Acidente Air 
France 447 
Teorema de Bernoulli 
Aplicações imediatas - Sifão 
 Um sifão é um dispositivo para transportar 
um líquido de uma altura para outra mais baixa, 
passando por um ponto mais alto 
Teorema de Bernoulli 
Aplicações imediatas - Sifão 
h 
H 
C 
A 
B 
Patm 
Patm 
hPP atmA  HPP atmC 
)( hHPP
hHPP
CA
CA




PA-PC>0 (Condição para ocorrer escoamento) 
Teorema de Bernoulli 
Exemplos 
 A água escoa pelo tubo indicado abaixo, cuja seção 
varia do ponto 1 para o ponto 2, de 100 cm2 para 50 
cm2. Em 1, a pressão é de 0,5 kgf/cm2 e a elevação 100 
m, ao passo que no ponto 2, a pressão é de 3,38 
kgf/cm2 na elevação 70 m. Calcular a vazão em litros 
por segundo. (R.: 281 L/s) 
Teorema de Bernoulli 
Exemplos 
 Tome-se o sifão da figura. Retirado o ar da tubulação por algum meio 
mecânico ou estando a tubulação cheia de água, abrindo-se C pode-se 
estabelecer condições de escoamento, de A para C , por força da 
pressão atmosférica. Supondo a tubulação com diâmetro de 150mm, 
calcular a vazão e a pressão no ponto B, admitindo que a perda de 
carga no trecho AB é 0,75m e no trecho BC é 1,25m. 
R.: Q= 0,124 m3/s; PB/γ = -5,05 mca 
FAÇAM A LISTA DE EXERCÍCIOS