Lista 1 - Álgebra Abstrata

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
1.a LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA 1 - Turma B
Profa. Sheila Chagas
10 Semestre de 2020
1. Resolva os exerćıcios deixados no texto das aulas 1, 2 .
2. Determine se a sentença a seguir é uma proposição (S) ou não (N).
(a) Em 10 de agosto de 1292 nevou em algum lugar no Rio Grande do Sul.
(b) Pitágoras tinha cabelos rúıvo.
(c) A mulher mais rica do mundo é a senhora Patŕıcia, de Mato Grosso do sul
(d) Pedro e Maria são pessoas malvadas.
(e) Quanto custa este carro?
(f) Saia da chuva.
(g) Use sempre o cinto de segurança.
(h) o número 2987654321 + 37 é primo.
(i) O senhor dos anéis é uma publicações póstuma de J. R. R. Tolkien.
(j) A UNB tem 60 anos.
3. Dentre as proposições dadas nos problemas do exerćıcio anterior, indique aquelas que você
acha que devem ser verdadeiras (V) ou falsas (F), e aquelas cujo status pode ser d́ıficil de
determinar.
4. Numa proposção composta, envolvendo três componentes distintas p, q e r, quantos casos
sãoo necessários para cobrir todas as possibilidades lógicass? Quantos casos são necessários se
houver quatro componentes distintas? Quantos casos são necessários se houver n componentes
distintas?
5. Nos problemas a seguir encontre as tabelas verdade das proposições dadas.
(a) p ∧ p;
(b) ∼ (p∧ ∼ p);
(c) p∧ ∼ q;
(d) ∼ p ∧ q;
(e) ∼ (p ∧ q)
6. Construa a tabela verdade dos itens a seguir.
(g) p∧ ∼ p;
(h) ∼ (p∨ ∼ p);
(i) ∼ (∼ p∨ ∼ q);
(j) ∼ p ∨ q;
(l) (∼ q)→ (∼ p);
(m) q ↔ p;
(a) p ∧ (q ∨ r);
(b) (p ∨ q) ∧ (p ∧ r);
(c) p ∨ (q ∧ r);
(d) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r);
(e) (p ∨ q) ∨ r;
(f) p ∨ (q ∨ r).
7. A proposição (∼ q) → (∼ p) do exerćıcio 6 item (e) é logicamente equivalente à proposição
p→ q?
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8. A proposição ∼ p ∨ q do exerćıcio 6 item (d) é logicamente equivalente à proposição p→ q?.
9. Dentre as proposições do exerćıcio 6, encontre os pares de proposições logicamente equivalen-
tes.
10. Demostre que ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q.
11. Demostre que p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
12. Demonstre que (p→ q)⇒ (p ∧ r → q ∧ r).
Dica: Lembre que ⇒ significa que (p→ q)→ (p ∧ r → q ∧ r) então a afirmação escrita deve
ser uma tautologia. E para isso deve ser usadas todas as propriedades da aula 1, significado
de →, junto com o ∧,propriedades distributivas, o que é contradição, e simplificação para
uma demostração pelo método dedutivo. Outra opção é a tabela.
13. Demonstre que (p↔ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q).
14. Demonstre que p ∨ t⇔ t e , p ∧ c⇔ c.
15. Demonstre que ∼ t⇔ c e ∼ c⇔ t.
16. Demonstre a seguinte Reductio ad Absurdum:
(p∧ ∼ q → c)⇔ (p→ q)
.
17. Demostre as seguintes tautologias pelo método dedutivo:
(a) Modus Ponens: p ∧ (p→ q)⇒ q.
(b) Modus Tollens: ∼ q ∧ (p→ q)⇒∼ p.
(c) Redutio as Absurdum: (p→ q)⇔ (p∧ ∼ q → c).
(d) Silogismo Disjuntivo: (p ∨ q)∧ ∼ p⇒ q.
18. Traduza a proposição da álgebra elementar“A equaçãox2 − 3x + 1 = 0 tem soluções” em
linguagem lógica, usando um quantificador. Qual é o domı́nio de discurso aqui?
19. Encontre a proposição equivalente à negação de cada uma das seguintes proposções, usando
a negação de quantificadores:
(a) Todas as cobras são répteis.
(b) Alguns cavalos são mansos.
(c) Alguns matemáticos não são sociáveis.
(d) Não há bebê que não seja fofo.
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