Operações com Vetores e Equações de Retas e Planos

Prévia do material em texto

VETORES 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
Adição 
No ℝ2 
�⃗� + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) 
No ℝ3 
�⃗� + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) + (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) 
 
Subtração 
No ℝ2 
�⃗� − 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) − (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 − 𝑥2, 𝑦1 − 𝑦2) 
No ℝ3 
�⃗� − 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) − (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) = (𝑥1 − 𝑥2, 𝑦1 − 𝑦2, 𝑧1 − 𝑧2) 
 
Multiplicação por escalar 
No ℝ2 
𝛼 ∙ �⃗� = 𝛼 ∙ (𝑥1, 𝑦1) = (𝛼 ∙ 𝑥1, 𝛼 ∙ 𝑦1) 
No ℝ3 
𝛼 ∙ �⃗� = 𝛼 ∙ (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) = (𝛼 ∙ 𝑥1, 𝛼 ∙ 𝑦1, 𝛼 ∙ 𝑧1) 
 
Produto escalar 
No ℝ2 
�⃗� ∙ 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) ∙ (𝑥2, 𝑦2) = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 
No ℝ3 
�⃗� ∙ 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ∙ (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2 
 
Módulo de um vetor 
No ℝ2 
�⃗� = (𝑥, 𝑦) ⟹ |�⃗� | = √𝑥2 + 𝑦2 
|�⃗� | = √�⃗� ∙ �⃗� 
No ℝ3 
�⃗� = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ⟹ |�⃗� | = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
|�⃗� | = √�⃗� ∙ �⃗� 
 
Ângulo entre dois vetores 
cos 𝜃 =
�⃗� ∙ 𝑣 
|�⃗� | ∙ |𝑣 |
 
Consequências: 
cos 𝜃 = 0 ⟷ �⃗� ∙ 𝑣 = 0 ⟷ �⃗� ⊥ 𝑣 
𝜃 = 90° (Os vetores são perpendiculares) 
 
cos 𝜃 = 1 ⟷ �⃗� ∥ 𝑣 
𝜃 = 0° (Os vetores são paralelos de mesmo sentido) 
�⃗� = 𝑘 ∙ 𝑣 , 𝑘 > 0 
 
cos 𝜃 = −1 ⟷ �⃗� ∥ 𝑣 
𝜃 = 180° (Os vetores são paralelos de sentido oposto) 
�⃗� = 𝑘 ∙ 𝑣 , 𝑘 < 0 
 
Produto vetorial 
�⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) 
 
�⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| 
Observação: 
• |�⃗� × 𝑣 | = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 determinado por �⃗� e 𝑣 . 
• �⃗� × 𝑣 é perpendicular a �⃗� e a 𝑣 . 
 
Produto misto dos vetores 
�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ∈ ℝ3 
�⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) e �⃗⃗� = (𝑥3, 𝑦3, 𝑧3) 
 
�⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) = |
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| 
Observação: 
• |�⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� )| = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 determinado por �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� . 
 
RETA 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∥ 𝑣 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝜆𝑣 
𝑃 − 𝐴 = 𝜆𝑣 
𝑃 = 𝐴 + 𝜆𝑣 
 
No ℝ2 
𝐴(𝑥0, 𝑦0); 𝑃(𝑥, 𝑦) e 𝑣 = (𝑎, 𝑏) 
No ℝ3 
𝐴(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0); 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) e 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
 
Equação Vetorial da Reta 
No ℝ2 
(𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦0) + 𝜆 ∙ (𝑎, 𝑏) 
No ℝ3 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝜆 ∙ (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
 
Equação Paramétrica da Reta 
No ℝ2 
(𝑥, 𝑦) = (𝑥0 + 𝜆 ∙ a, 𝑦0 + 𝜆 ∙ b) 
 
{
𝑥 = 𝑥0 + 𝜆 ∙ a
𝑦 = 𝑦0 + 𝜆 ∙ b
 
No ℝ3 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0 + 𝜆 ∙ a, 𝑦0 + 𝜆 ∙ b, 𝑧0 + 𝜆 ∙ c) 
 
{
𝑥 = 𝑥0 + 𝜆 ∙ a
𝑦 = 𝑦0 + 𝜆 ∙ b
𝑧 = 𝑧0 + 𝜆 ∙ c
 
 
Equação Simétrica da Reta 
No ℝ2 
𝜆 =
𝑥 − 𝑥0
𝑎
=
𝑦 − 𝑦0
𝑏
 
No ℝ3 
𝜆 =
𝑥 − 𝑥0
𝑎
=
𝑦 − 𝑦0
𝑏
=
𝑧 − 𝑧0
𝑐
 
 
Posição relativa entre duas retas 
Sejam as retas 𝑟 e 𝑠 no plano com vetores diretores, respectivamente, dados �⃗� e 𝑣 . 
 
Paralelas (𝑟 ∥ 𝑠): 
• Coincidentes: �⃗� = 𝑘 ∙ 𝑣 e há um ponto em comum entre 𝑟 e 𝑠. 
• Não coincidentes: �⃗� = 𝑘 ∙ 𝑣 e não há um ponto em comum entre 𝑟 e 𝑠. 
 
Concorrentes: 
• Oblíquas: �⃗� ≠ 𝑘 ∙ 𝑣 e �⃗� ∙ 𝑣 ≠ 0 
• Perpendiculares (𝑟 ⊥ 𝑠): �⃗� ≠ 𝑘 ∙ 𝑣 e �⃗� ∙ 𝑣 = 0 
 
Sejam as retas 𝑟 e 𝑠 no espaço com vetores diretores, respectivamente, dados �⃗� e 𝑣 . 
 
Paralelas (𝑟 ∥ 𝑠): 
• Coincidentes: �⃗� = 𝑘 ∙ 𝑣 e há um ponto em comum entre 𝑟 e 𝑠. 
• Não coincidentes: �⃗� = 𝑘 ∙ 𝑣 e não há um ponto em comum entre 𝑟 e 𝑠. 
 
Concorrentes: 
• Oblíquas: �⃗� ≠ 𝑘 ∙ 𝑣 e �⃗� ∙ 𝑣 ≠ 0 
• Perpendiculares (𝑟 ⊥ 𝑠): �⃗� ≠ 𝑘 ∙ 𝑣 e �⃗� ∙ 𝑣 = 0 
 
Reversas: 
• �⃗� ≠ 𝑘 ∙ 𝑣 e não há um ponto em comum entre 𝑟 e 𝑠. 
 
PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO 
𝑃𝑟𝑜𝑗
�⃗� 
𝑣 
=
�⃗� ∙ 𝑣 
|𝑣 |2
∙ 𝑣 
COSSENOS DIRETORES 
No ℝ2 
𝑖 = (1, 0) ⟹ cos𝛼 =
𝑒1⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑣 
|𝑒1⃗⃗ ⃗| ∙ |𝑣 |
=
(1, 0) ∙ (𝑥, 𝑦)
√𝑥2 + 𝑦2
 
cos 𝛼 =
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2
 
 
𝑗 = (0, 1) ⟹ cos𝛽 =
𝑒2⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑣 
|𝑒2⃗⃗ ⃗| ∙ |𝑣 |
=
(0, 1) ∙ (𝑥, 𝑦)
√𝑥2 + 𝑦2
 
cos 𝛽 =
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
 
Observação: 
• cos2 𝛼 + cos2 𝛽 = 1 
 
No ℝ3 
𝑖 = (1, 0, 0) ⟹ cos 𝛼 =
𝑒1⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑣 
|𝑒1⃗⃗ ⃗| ∙ |𝑣 |
=
(1, 0, 0) ∙ (𝑥, 𝑦, 𝑧)
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
 
cos 𝛼 =
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
 
 
𝑗 = (0, 1, 0) ⟹ cos 𝛽 =
𝑒2⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑣 
|𝑒2⃗⃗ ⃗| ∙ |𝑣 |
=
(0, 1, 0) ∙ (𝑥, 𝑦, 𝑧)
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
 
cos 𝛽 =
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
 
 
�⃗� = (0, 0, 1) ⟹ cos 𝛾 =
𝑒3⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑣 
|𝑒3⃗⃗ ⃗| ∙ |𝑣 |
=
(0, 0, 1) ∙ (𝑥, 𝑦, 𝑧)
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
 
cos 𝛾 =
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
 
Observação: 
• cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos2 𝛾 = 1 
 
PLANO 𝜋 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝜆1�⃗� + 𝜆2𝑣 
𝑃 − 𝐴 = 𝜆1�⃗� + 𝜆2𝑣 
𝑃 = 𝐴 + 𝜆1�⃗� + 𝜆2𝑣 
 
Equação Vetorial do Plano 𝝅 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝜆1 ∙ (𝑎, 𝑏, 𝑐) + 𝜆2 ∙ (𝑑, 𝑒, 𝑓) 
 
Equação Paramétrica do Plano 𝝅 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0 + 𝜆1 ∙ 𝑎 + 𝜆2 ∙ d, 𝑦0 + 𝜆1 ∙ 𝑏 + 𝜆2 ∙ e, 𝑧0 + 𝜆1 ∙ 𝑐 + 𝜆2 ∙ f) 
 
{
𝑥 = 𝑥0 + 𝜆1 ∙ 𝑎 + 𝜆2 ∙ d
𝑦 = 𝑦0 + 𝜆1 ∙ 𝑏 + 𝜆2 ∙ e
𝑧 = 𝑧0 + 𝜆1 ∙ 𝑐 + 𝜆2 ∙ f
 
 
Equação Geral (Cartesiana) do Plano 𝝅 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∥ �⃗� + 𝑣 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝜆1�⃗� + 𝜆2𝑣 
𝑃 − 𝐴 = 𝜆1�⃗� + 𝜆2𝑣 
𝑃 = 𝐴 + 𝜆1�⃗� + 𝜆2𝑣 
 
No ℝ2 
𝐴(𝑥0, 𝑦0); 𝑃(𝑥, 𝑦), 𝑣 = (𝑎, 𝑏) e 𝑣 = (𝑑, 𝑓) 
No ℝ3 
𝐴(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0); 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) e 𝑣 = (𝑑, 𝑒, 𝑓) 
 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ �⃗� = 0 
|
𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
| = 0 
 
Observação: 
• �⃗� = �⃗� × 𝑣 
𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 − 𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0 = 0 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
Observação: 
• 𝑑 = −𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0