Fórmulas de Geometria Analítica prova 1 (vetores)

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Fórmulas de Geometria Analítica
Igualdade entre vetores: 
Soma de vetores obs.: é igual à diagonal do paralelogramo formado pelos vetores somados, caso esses sejam 
Norma de vetor: , representa o tamanho do vetor
Multiplicação por escalar: , para todo α∈R
Ponto médio – A, B, M são pontos genéricos e o ponto M é o ponto médio do vetor 
Produto escalar: 
Produto vetorial: 
Obs.: 
Cosseno: e o Seno: 
Área do paralelogramo é a norma do produto vetorial: 
Área do triangulo é a norma do produto vetorial dividida por dois: 
Altura de triangulo: , para como base do triangulo 
Produto misto: obs.: (por propriedades de matriz)
Volume paralelepípedo: fórmula do Produto misto: 
Volume tetraedro: fórmula do produto misto dividido por 6: 
Projeção ortogonal: é a projeção do vetor no vetor , 
Equação da reta: Geral, paramétricas e simétrica. 
, e 
Planos: 
Obs.: é o vetor normal ao plano, os coeficientes da equação geral são as coordenadas dele
Equações: Geral, vetorial e paramétricas , e 
	Posições entre 3 planos:
	 
	Se não
Se sim
	 Os 3 vetores normais são paralelos entre si?
	Os 3 planos se interceptam em um único ponto
	Se sim
Se não
	
	Os três planos paralelos entre si
	Os 2 vetores normais são paralelos e outro não?Se sim
	
	
	Se não
	
	
	2 planos são paralelos e outro não
	Os 3 planos são concorrentes. 
	
	
	
	Se não
Se sim
	
	
	
	Os 3 planos interceptam 2 a 2
	A interseção dos 3 planos é uma reta
	
Posições 
Vetores ortogonais/perpendicular: o produto escalar é igual a 0 , também pode ser usado as fórmulas de 
Vetores paralelos: devem ser múltiplos entre si ou utilize das fórmulas Seno ou Cosseno para os ângulos de 0° ou 180°.
Pontos colineares– pontos genéricos A, B, C.
· Se a norma do produto vetorial for igual a zero , (obs.: essa é a fórmula da Área do paralelogramo). Ou se os vetores e forem paralelos 
Pontos coplanares - A,B,C,D pontos genéricos.
· Se o determinante de 3 dos vetores formados pelos pontos igualar a zero, simplificando, se o produto misto for 0 
Retas: 
 , se, e só se, e , se, e só se, com 
 paralelas coincidentes; paralelas distintas 
 concorrentes; reversas
Retas e planos: seja 
Contida 
Paralelos 
Concorrentes 
Plano e plano: seja 
 são paralelas coincidentes 
 são paralelas distintas 
 são concorrentes
Distâncias
Ponto a ponto: 
Ponto a reta: ,
 se ; 
se 
Ponto a plano: 
Reta a reta: sejam 
· Se as retas são paralelas coincidentes , então 
· Se as retas são concorrentes , então 
· Se as retas são paralelas distintas , ( ponto da reta s) então (distância de ponto a reta)
· Se as retas são reversas , então 
Reta a plano: ; 
· Se , a reta é concorrente ao plano ou contida nele, 
· Se , a reta é paralela, (distância de ponto ao plano)
Plano a plano: 
· Se , os planos são paralelos coincidentes ou concorrentes, então 
· Se , os planos são paralelos distintos, então ; (distância de ponto ao plano) 
Ângulos
Ângulo entre retas: 
· Se r//s (coincidentes ou distintas), então (r,s)=0
· Se rs (concorrentes ou reversas), então 
Ângulo entre reta e plano:; 
· Se r// (distinta ou contida), então ∢(r,)=0
· Se (concorrente), então
Ângulo entre planos: 
· Se // (distintos ou coincidentes), então ∢
· Se (concorrentes), então