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PRATICA DE ENSINO E ESTÁGIO SUPERV. EM MATEMÁTICA II 
AULA 6 
TRATAMENTO DOS QUATRO TIPOS DE APRENDIZAGEM MATEMÁTICA 
 
Introdução 
Nesta aula, vamos abordar a memorização, a aprendizagem algorítmica, a aprendizagem 
de conceitos e a resolução de problemas nos livros-texto atuais. 
 
Objetivos 
Identificar o tratamento dos quatro tipos de aprendizagem matemática nas sete coleções 
aprovadas no PNLD 2012-2014. 
 
A escolha do conteúdo 
De acordo com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei nº 9.394/96), o Ensino 
Médio tem como finalidade central a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos 
adquiridos durante o nível fundamental, no intuito de garantir a continuidade de estudos. 
Outra finalidade é a preparação para o trabalho e para o exercício da cidadania, a 
formação ética, o desenvolvimento da autonomia intelectual e a compreensão dos 
processos produtivos. 
 
Os objetivos do ensino médio nos levam a refletir sobre o processo de escolha de 
conteúdos, que devem atender às finalidades propostas pela LDB nº 9.394/96. Nesse 
processo, é importante que se levem em consideração os diferentes propósitos da 
formação matemática na educação básica. Assim, ao final do Ensino Médio, espera-se que 
os alunos saibam usar a Matemática para: 
• Resolver problemas práticos do quotidiano; 
• Modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento; 
• Compreender que a Matemática é uma ciência com características próprias, que se 
organiza via teoremas e demonstrações; 
• Perceber a Matemática como um conhecimento social e historicamente construído; 
• Saber apreciar a importância da Matemática no desenvolvimento científico e 
tecnológico. 
 
A escolha do conteúdo 
Como deve ser feita a escolha dos conteúdos matemáticos? 
A escolha de conteúdos deve ser cuidadosa e criteriosa, propiciando ao aluno um “fazer 
matemático” por meio de um processo investigativo que o auxilie na apropriação de 
conhecimento. 
Nesse sentido, é preciso dar prioridade ao tratamento da aprendizagem matemática e não 
à quantidade de conteúdos a serem trabalhados. Nesta aula, este tratamento da 
aprendizagem matemática vai ser observado nas sete coleções do PNLD 2012-2014. 
 
O Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) 
O Livro Didático de Matemática está sendo valorizado pelo Governo Federal, através da 
Resolução nº 38 de 15/10/2003, que instituiu o Programa Nacional do Livro do Ensino 
Médio – PNLEM, agora denominado PNLD. 
Esse programa tem por finalidade levar o livro didático para todos os alunos do Ensino 
Médio das escolas públicas de todo o país. 
PRATICA DE ENSINO E ESTÁGIO SUPERV. EM MATEMÁTICA II 
Um de seus princípios básicos é atribuir ao professor, em sintonia com o projeto 
pedagógico de sua escola, a tarefa de escolher o livro que será usado por seus alunos. Esta 
é, portanto, mais uma das importantes funções que o professor é periodicamente chamado 
a realizar. 
 
Avaliação das obras de Matemática 
No processo de avaliação das obras de Matemática a serem incluídas no Guia de Livros 
Didáticos PNLD 2012, foi levado em consideração o seguinte conjunto de requisitos, que 
deverão obrigatoriamente ser cumpridos pelas coleções de livros didáticos da área do 
conhecimento Matemática: 
• Incluir todos os campos da Matemática escolar, a saber, números e operações, funções, 
equações algébricas, geometria analítica, geometria, estatística e probabilidades; 
• Privilegiar a exploração dos conceitos matemáticos e de sua utilidade para resolver 
problemas; 
• Apresentar os conceitos com encadeamento lógico, evitando recorrer a conceitos ainda 
não definidos para introduzir outro conceito, utilizar-se de definições circulares, 
confundir tese com hipótese em demonstrações matemáticas, entre outros; 
• Propiciar o desenvolvimento, pelo aluno, de competências cognitivas básicas, como: 
observação, compreensão, argumentação, organização, análise, síntese, comunicação 
de ideias matemáticas e memorização. 
 
Coleções de Matemática aprovadas no PNLD 2012-2014 
Estas são as sete coleções de Matemática que foram aprovadas no PNLD 2012-2014: 
Conexões com a Matemática 
Código da coleção: 25042. 
Autor: Juliane Matsubara Barroso. 
Editora: Moderna. 
 
Matemática – Contexto & aplicações 
Código da coleção: 25116. 
Autor: Luiz Roberto Dante. 
Editora: Ática. 
 
Matemática Paiva 
Código da coleção: 25117. 
Autor: Manoel Paiva. 
Editora: Moderna. 
 
Matemática: ciência e aplicações 
Código da coleção: 25121. 
Autores: David Degenszajn; Gelson Iezzi; Nilze de Almeida; Osvaldo Dolce; Roberto Périgo. 
Editora: Saraiva. 
 
Matemática: ciência, linguagem e tecnologia 
Código da coleção: 25122 
Autor: Jackson Ribeiro 
Editora: Scipione 
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Matemática: ciência, linguagem e tecnologia 
Código da coleção: 25122 
Autor: Jackson Ribeiro 
Editora: Scipione 
 
Novo Olhar – Matemática 
Código da coleção: 25133 
Autor: Joamir Souza 
Editora: FTD 
 
Distribuição dos Campos nos volumes da 1ª série das obras aprovadas 
Nas coleções de livros que vimos, há uma clara concentração no campo das funções, em 
detrimento dos demais campos da matemática. Em valores aproximados, cinco das 
coleções dedicam perto de 70% a funções, e as outras duas, respectivamente 65% e 60%. 
Tal excesso decorre, entre outras razões, de um tratamento fragmentado e repetitivo, 
com estudo de muitos casos particulares. Além do mais, a concentração leva a que, em 
praticamente todas as obras, sejam excluídos os conteúdos relativos a outros campos. 
Três das sete coleções incluem conteúdos de Geometria Analítica na 1ª série. 
O quadro, a seguir, mostra a concentração dos campos da matemática em cada coleção: 
 
 
 
O predomínio das funções nos volumes da 1ª série das obras aprovadas 
Desde a passagem do século XIX para o século XX, o primeiro grande movimento 
internacional de reforma do ensino de Matemática propôs que o conceito de função fosse 
introduzido o mais cedo possível na escolaridade, devido a suas aplicações e a seu poder 
unificador. 
Esse poder do conceito de função contribui, por exemplo, para que possamos abordar, sob 
um mesmo ponto de vista conceitual, as funções tradicionalmente estudadas na 
Matemática escolar, além das transformações geométricas e das sequências. Com relação 
a essas últimas, é um avanço que todas as coleções aprovadas adotem a definição 
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apropriada de sequência, embora a maioria só enfatize as progressões aritméticas ou 
geométricas. 
De um ponto de vista panorâmico, no ensino médio, quatro grandes classes de funções 
numéricas são importantes e se constituem em modelos matemáticos para o estudo dos 
fenômenos do mundo físico e social. São as funções afins, as quadráticas, as exponenciais 
e as trigonométricas. 
 
As sete obras aprovadas introduzem a noção de função de modo intuitivo, apoiando-a nas 
ideias de: 
• Relação ou associação entre grandezas variáveis; 
• Dependência entre grandezas; 
• Correspondência entre elementos de dois conjuntos; 
• “Regra” ou “lei de formação” envolvendo grandezas ou números, entre outras. 
 
Todas as obras sistematizam o conceito de função utilizando conjuntos, o que é 
apropriado. 
Distribuição dos campos nos volumes da 2ª série das obras aprovadas 
Uma característica evidente dos livros aprovados é a ausência da Geometria Analítica nos 
livros da 2ª série, exceto em um, no qual se registra uma diminuta atenção ao campo. 
Outro aspecto que se observa é o predomínio da Geometria em cinco das coleções, 
chegando-se, em uma delas, ao porcentual elevado de, aproximadamente, 55% das 
páginas dedicadas a esse campo. Por outro lado, o campo “números e operações” — 
representado pela análise combinatória — recebe uma atenção uniforme e em grau 
razoável, nas sete obras. Pode ser constatada a presença das equações algébricas,das 
funções (quase sempre trigonométricas) e do campo da estatística e probabilidades. 
O quadro, a seguir, mostra a concentração dos campos da matemática em cada coleção: 
 
 
 
No Ensino Médio, o aluno é levado a conhecer o caráter dedutivo da Geometria, em geral 
na parte da Geometria Espacial denominada “Geometria de Posição”, porém muitas vezes 
sem os cuidados necessários. 
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Isso acontece pois, em geral, são propostos, como ponto de partida, variados conjuntos 
de axiomas que por vezes são inadequados. 
 
Veja um exemplo: 
Em alguns livros, escolhe-se como um dos axiomas da Geometria Espacial: “Existem 
infinitos pontos no espaço”, mas não é exigido, axiomaticamente, que esses pontos não 
estejam todos em um mesmo plano. Isto acarreta que seria admissível uma Geometria 
Espacial em que o objeto de estudo fosse um único plano. 
Um das falhas relacionadas com a tentativa de fazer uma introdução à Geometria Dedutiva 
é que isto, em geral, permanece completamente isolado na obra, sem nenhum reflexo em 
seu restante. 
Fechada a seção ou o capítulo em que se mencionaram axiomas e teoremas, raramente se 
volta a apresentar uma dedução, seja em Geometria, seja em outro campo da Matemática 
escolar. 
É característica das sete coleções a apresentação de uma variedade muito pequena de 
poliedros, sempre nas mesmas posições, o que empobrece sobremodo a compreensão 
desse assunto. 
 
Distribuição dos campos nos volumes da 3ª série das obras aprovadas 
Na terceira série, é dada maior atenção à Geometria Analítica, em detrimento de outros 
campos. Além disso, excetuando-se duas, as obras omitem ou dedicam pouca atenção à 
Geometria ou às funções. 
O quadro, a seguir, mostra a concentração dos campos da matemática em cada coleção: 
 
 
 
Desde as suas origens, a Geometria Analítica é um campo privilegiado para as conexões 
entre a Álgebra e a Geometria. 
É sabido que a escolha de um sistema de coordenadas permite que se estabeleça uma 
estreita relação entre, de um lado, figuras geométricas e, do outro, equações (ou 
inequações) envolvendo as coordenadas dos pontos. 
Na Geometria Analítica, tanto resolvemos problemas geométricos recorrendo a métodos 
algébricos quanto atribuímos significado geométrico a fatos algébricos. 
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Na maioria das sete coleções aprovadas, a Geometria Analítica no plano é apresentada 
em um único volume, normalmente o terceiro. As figuras geométricas estudadas são, 
essencialmente, as retas, as circunferências e as cônicas. 
 
COMENTÁRIO 
Nota-se que, em geral, a abordagem adotada nos livros é muito fragmentada. Por 
exemplo: no estudo da reta, há vários tipos de equação, apresentados isoladamente e com 
igual destaque, no lugar de se priorizar uma delas, à qual seriam relacionadas as demais. 
São importantes as conexões da Geometria Analítica com outros tópicos como: gráficos de 
funções, representações geométricas dos sistemas lineares e matrizes de transformações 
geométricas. 
Apesar disso, ainda são poucas as coleções que valorizam essa articulação tanto ao tratar 
dos sistemas lineares, funções e matrizes, quanto no estudo Geometria Analítica. 
 
As estratégias de aprendizagem nas sete coleções do PNLD 2012-2014 
De certa forma, todas as obras contêm páginas de abertura dos capítulos (ou unidades) 
que apresentam aplicações, questões, problemas, informações ou revisão de 
prerrequisitos, relacionadas com aquilo que será estudado. 
No entanto, as formas de fazer isso são diversas, algumas mais apropriadas ao Ensino 
Médio, outras mais superficiais ou menos significativas. Há, também, casos de contextos 
muito sofisticados para esse nível de ensino. 
Em muitos casos, as seções iniciais incluem um pouco da História da Matemática, com 
ênfase nas motivações sociais e econômicas que levaram ao avanço desta ciência. Em 
outros, o uso da História se reduz a dados factuais, do tipo “quem” e “quando”. 
 
A seguir, veja um quadro comparativo das estratégias de aprendizagem matemática 
presentes nas obras aprovadas no PNLD 2012-2014: 
 
 
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Os exercícios presentes nas sete coleções do PNLD 2012-2014 
No tratamento da aprendizagem matemática caracterizado nos exercícios das sete 
coleções do PNLD 2012-2014, observa-se o excesso de conteúdos e exercícios que não 
levam em conta o tempo didático, a carga horária da disciplina e o ano letivo. 
Assim, em qualquer das obras aprovadas, será preciso fazer escolhas, tanto dos conteúdos 
incluídos em cada série do Ensino Médio quanto das atividades e exercícios. 
Veja um quadro que mostra o tratamento da aprendizagem matemática presente nos 
exercícios propostos nas obras aprovadas em: 
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon537/docs/a06_t13.pdf. 
 
 
 
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Resumo do conteúdo 
Nesta aula, você: 
Reconheceu que, no 1º ano do Ensino Médio, o estudo de funções pode ser iniciado com 
uma exploração qualitativa das relações entre duas grandezas em diferentes situações: 
idade e altura; área do círculo e raio; tempo e distância percorrida; tempo e crescimento 
populacional; tempo e amplitude de movimento de um pêndulo, entre outras; 
Reconheceu que, no 2º ano do Ensino Médio, o estudo da Geometria deve possibilitar aos 
alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, 
como, por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias 
percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber usar 
diferentes unidades de medida; 
Avaliou que, no 3º ano do Ensino Médio, o trabalho com a Geometria Analítica permite a 
articulação entre Geometria e Álgebra. 
 
Referências desta aula 
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros 
curriculares nacionais: Ensino Médio. Brasília: MEC/SEMTEC, 2000. 
BRASIL. Guia de livros didáticos. PNLD 2012 - Matemática. Brasília: MEC/SEB, 2011. 
BARROSO, Juliane Matsubara. Conexões com a Matemática. Código da coleção 25042. 
Editora Moderna, 2011. 
DANTE, Luiz Roberto. Contexto & aplicações. Código da coleção 25116. Editora Ática, 
2011. 
DEGENSZAJN, David; et al. Matemática ciência e aplicações. Código da coleção 25121. 
Editora Saraiva, 2011. 
DINIZ, Maria Ignez; SMOLE, Kátia Stocco. Matemática Ensino Médio. Código da coleção 
25125. Editora Saraiva, 2011. 
PAIVA, Manoel. Matemática Paiva. Código da coleção 25117. Editora Moderna, 2011. 
RIBEIRO, Jackson. Matemática ciência, linguagem e tecnologia. Código da coleção 25122. 
Editora Scipione, 2011. 
SOUZA, Joamir. Novo olhar – Matemática. Código da coleção 25133. Editora FTD, 2011. 
 
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Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, assista ao vídeo: 
Dina Loff comenta a aprendizagem por simulação em Matemática. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=YQNYfxSWiyA.