ap4 Fisica Básica

Prévia do material em texto

Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
199 
 
QUINTA ETAPA PLANEJAMENTO DE ESTUDOS 
 
 Este material não precisa ser estudado por todos. Destina-se apenas a quem estiver sentindo 
dificuldades em Física Básica e não esteja conseguindo solucionar seu problema. 
 
1) Vamos parar para pensar sobre o que você está fazendo. 
 
a) Você obteve um bom resultado com o que tem feito? Não. Se tivesse obtido, não precisaria ler esse 
material. Portanto, é preciso ou desistir ou mudar de tática. 
 
b) O quê você quer obter? Deve desejar ser aprovado em Física Básica. Esta é a necessidade mais 
direta. Além disso, você sabe que, se aprender essa matéria, poderá se sair bem nas outras disciplinas 
de Física. 
 
c) Você sabe como conseguir isso? Isso é um problema? Talvez você saiba o que precisaria fazer, e não 
faz. Então, o seu problema é emocional. Deve conversar com alguém sobre seu problema; isso pode 
ajudar muito. Mas o problema mais comum é não é não saber como conseguir aprender o assunto. 
Talvez você tenha até a impressão de que nunca será capaz de aprendê-lo. 
 
d) Como começar? Se você não sabe o que fazer, precisa pensar sobre isso. Esse material pode ser 
justamente o início. As perguntas seguintes podem lhe sugerir um início de solução. 
 
e) Já fez algo semelhante antes? Já esteve em situação igualmente difícil e conseguiu solucionar o 
problema? Certamente, você já aprendeu alguma coisa em sua vida (senão, não estaria na 
Universidade). Aquilo que você para aprender esse outro assunto pode ajudá-lo agora? Como você 
costuma fazer quando precisa aprender algo difícil? Como estuda? Procure aproveitar sua experiência 
anterior. Você se conhece. 
 
f) Quais são as condições que lhe faltam? O quê vem antes de Física Básica? O que é que esta 
disciplina está exigindo e que você não possui? Tempo? Conhecimentos de Física? De Matemática? 
Estabeleça claramente o que lhe falta. Faça uma lista pormenorizada de todos os problemas. 
 
g) O que estou fazendo de errado? Se você não obtém bons resultados, há uma falha. Talvez não estude 
metodicamente, ou estude algo sem conhecer os pré-requisitos, ou estude muita coisa ao mesmo tempo. 
Onde está o erro? O quê é preciso mudar? Faça uma lista daquilo que você tenta fazer, e procure 
descobrir algo errado. 
 
h) O quê é preciso fazer em primeiro lugar? Como começar? Sabe como obter as condições que lhe 
faltam? Sabe como obter o tempo, ou os conhecimentos, ou a vontade que lhe falta? Onde encontrar 
ajuda? Quem ou o quê poderia ajudá-lo? 
 
i) Qual é o melhor meio para aprender Física Básica, ou para aprender ou obter o que lhe falta? Deve 
existir algum modo de resolver o seu problema. Muitas pessoas estão obtendo bons resultados em 
Física Básica. O quê elas fazem? Qual é o segredo? Como você pode aprender o que eles aprenderam? 
Você pode perguntar-lhes. Talvez essas pessoas possam ajudá-lo. 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
200 
 
j) Pode-se fazer as coisas de outro modo? Talvez você faça as coisas de um modo excessivamente 
desperdiçando seu 
tempo, com o método que emprega normalmente. Verifique se as outras pessoas fazem o que você faz. 
 
2) Vamos parar para pensar sobre o que fazer 
 
a) Vamos decompor o problema em partes mais simples e menores. Determine partes do problema que 
você possa resolver. Existe algo em Física Básica que você poderia aprender e que não aprendeu? Há 
alguma outra coisa, de algum assunto, necessário em Física Básica, que você não aprendeu, mas seria 
capaz de aprender? Se seu problema são certas partes da disciplina que ficaram para trás, e que você 
não aprendeu, examine provas das etapas anteriores, e verifique se há algum tipo de problema que você 
não sabe resolver, e que está relacionado ao que você está estudando agora. Tente descobrir em que 
ponto você se perdeu. Nessa disciplina não há saltos. Descubra até onde chegou e recomece. Se o 
problema é tempo, você sabe como obter tempo para estudar? Como você poderia obter um pouco de 
tempo amanhã? 
 
b) Determine um objetivo mais simples e bem próximo. Qual é a parte do problema que você vai atacar 
agora? Essa parte é suficientemente simples? Você tem certeza de que é capaz de abordá-lo? Em 
quanto tempo, em qual prazo, você poderia atingir esse primeiro objetivo? 
 
c) Elabore um plano. O que você vai fazer, onde, quando, com quem, utilizando qual material? Você 
consegue ver claramente o que vai fazer? Sente confiança em atingir isso? Se as idéias não estiverem 
claras, simplifique-as. 
 
d) Pense no conjunto. Isso que você planejou vai mesmo ajudá-lo a atingir seu objetivo? Onde você 
quer chegar? Você vê claramente como esse primeiro objetivo o aproxima do objetivo final? 
 
e) Pense no segundo passo. O quê você fará logo após atingir esse primeiro objetivo? Se não tiver uma 
idéia, deixe pelo menos estabelecido desde já que vai parar para pensar naquilo que deve fazer. 
Programe uma data para reler esse material e planejar uma seqüência para seu trabalho. 
 
f) Realize seu plano. Boa sorte! 
 
 Os professores de Física Básica gostariam de discutir com você sobre seus problemas de 
estudo. Se você e alguns de seus colegas (um grupo nunca uma pessoa isolada) desejarem, combine 
um horário com o professor para discutir o planejamento de seus estudos. Nós queremos que todos 
obtenham o maior rendimento possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
201 
 
PLANEJAMENTO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
 
 Este material se destina aos que sentem alguma dificuldade em resolver os problemas propostos 
em Física Básica. Consiste numa explicação simples dos tipos gerais de problemas e das dificuldades 
mais comumente encontradas. 
 
 Um problema de Física consiste em uma descrição de uma situação e de valores de algumas 
grandezas envolvidas na situação; e solicitação dos valores de uma ou mais grandezas descritas na 
situação, Exemplo: 
 metálica de um capacitor é igual a 4,8 x 10-14 C/cm2. Sabe-
se que a placa tem dimensões iguais a 7 cm e 4 cm, e que está a uma distância de 2 cm da outra placa. 
 
 Neste exemplo, a situação é: existe um capacitor de placas paralelas metálicas, e existe uma 
carga elétrica em uma das placas. Os valores fornecidos são: concentração de carga elétrica, dimensões 
da placa e distância entre as placas. Solicita-se uma grandeza: a carga total da placa. 
 
 Alguns problemas, cham
Substitui-se os dados na fórmula, efetua-se certas operações e obtém-se o resultado. As operações 
podem envolver também transformações de unidades. Exemplo: 
 em um fio metálico é de 12 g/m. Qual será a massa de 10 cm deste 
 
 Neste exemplo, a situação é: São dados sua concentração linear de massa e o comprimento do 
fio. Esse problema exige o uso de uma única fórmula, Lm ��� , onde m é a massa, � é a concentração 
linear e L é o comprimento. Substituindo-se os dados na fórmula e efetuando-se as operações indicadas 
na fórmula, obtém-se o resultado. Ante, nos entanto, é conveniente transformar a unidade de 
comprimento do fio (ou da concentração). Neste caso, temos L = 10 cm = 0,10 m, e a massa será m= 12 
g/m . 0,10 m = 1,2 g. 
 
 A Física fornece apenas as equações que devem ser aplicadas. A manipulação das equações, os 
cálculos, etc, são, na verdade, operações matemáticas. Algumas dessas operações podem ser 
complicadas, envolvendo operações com gráficos, ou derivação e integração, ou resolução de equações 
diferenciais (não em Física Básica, é claro). Mas, em Física, propriamente, a única dificuldade que 
pode existir em problemas diretos é recordar a fórmula necessária, ou encontrá-la em algum lugar 
(livro, caderno, apostila, etc); e identificar os dados com os símbolos da equação. 
 
 
conhece uma equação que permite calcular a incógnita mas osdados fornecidos não correspondem às 
grandezas que se precisaria empregar na equação. Exemplo: o primeiro problema citado logo acima é 
um problema indireto. Deseja-se calcular a carga elétrica total da placa e conhece-se a concentração de 
carga. A fórmula Sq ��� , onde q é a carga total, � é a concentração superficial de carga e S é a área, 
permite calcular a incógnita. Mas o problema não fornece a área. É necessário calculá-la. Para isso, 
usa-se outra fórmula, S = a.b, onde S é a área do retângulo e a e b são os lados do mesmo. Supondo-se 
que a placa seja retangular, pode-se encontrar S = 7 cm x 4 cm = 28 cm2. Agora, pode-se voltar à 
equação anterior e determinar a carga elétrica total da placa. Não é necessário efetuar transformação de 
unidades: 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
202 
 
q = 4,8 x 10-14 C/cm2 . 28 cm2 = 134 x 10-14 C 
= 1,34 x 10-12 C. 
 
 Portanto, nos problemas indiretos é preciso utilizar-se mais de uma equação (ou utilizar-se uma 
equação várias vezes) e realizar uma ou mais cálculos preliminares que, depois, permitirão calcular a 
incógnita do problema. No caso acima, o cálculo preliminar foi o cálculo da área da placa. 
 
 Pode-se, também, ao invés de ir efetuando cálculos intermediários, deduzir-se uma equação que 
relacione os dados à incógnita, a partir das equações conhecidas. No problema acima, por exemplo, 
pode-se unir as equações Sq ��� e baS �� para se obter a equação baq ���� , que relaciona 
diretamente a incógnita aos dados do problema. Muitas vezes é vantajoso utilizar-se esse processo. Mas 
como é mais abstrato, e todos costumam achar mais complicado, antes de se acostumarem, não 
insistiremos nesse tipo de processo. 
 
 Os erros e dificuldades que podem surgir na resolução de um problema, são: 
a) Não saber qual ou quais fórmulas utilizar. 
b) Não saber substituir os dados na fórmula, mesmo que ela seja fornecida. 
c) Não saber fazer transformações de unidades. 
d) Não conhecer valores de constantes. 
e) Não saber efetuar os cálculos pedidos na equação. 
 É claro que também haverá erros se a pessoa faz tudo o que se pede, mas faz de um modo 
errado (utiliza a fórmula errada, faz cálculos errados, etc). 
 
 Quando se sente dificuldades na resolução de um problema, é importante reconhecer qual é o 
tipo de falha existente, e empregar alguma técnica que permita eliminar aquela falha. O estudo desta 
etapa servirá principalmente para mostrar algumas técnicas úteis na resolução de problemas, e que se 
destinam especificamente a cada um dos erros e dificuldades citados acima. 
 
 
 Nesta quinta etapa de Física Básica, serão utilizadas um conjunto de técnicas e atitudes úteis na 
solução de problemas. 
 Esperamos que tais técnicas e atitudes sejam definitivamente incorporadas a seu 
comportamento. Como, no entanto, nunca tornamos nosso um comportamento que não sintamos 
necessário ou útil, cuidaremos nessa primeira aula, de levá-lo a sentir necessidade de uma modificação 
no seu modo de enfocar e trabalhar com problemas. Para tanto, apresentamos a seguir, uma lista de dez 
problemas, construídos com fatos e elementos já estudados por você, em etapas anteriores. Não 
apresentamos a solução dos problemas, nem o professor dará qualquer orientação em classe que possa 
ajudá-lo a resolvê-los, ou saber se seus métodos estão certos ou errados. Eles ficarão inteiramente a seu 
cargo e obter a solução será sua principal tarefa. Se conseguir, com facilidade, nossos parabéns, você 
provavelmente já possui uma grande quantidade de técnicas e atitudes de que iremos falar-lhe. Se, no 
entanto, você não conseguir resolvê-los, ou o fizer com dificuldade, preste o máximo de atenção às 
outras aulas dessa etapa. Elas lhes serão de grande utilidade. 
 
 
 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
203 
 
 
DÉCIMO TERCEIRO TEXTO 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS: 
 
 
1) A uma distância de 15 cm de uma esfera, de raio igual a 0,069 mm, de um material radioativo, 
colocado no vácuo, a intensidade de radiação beta é 0,12 r/h. Qual será o número de grãos produzidos 
em uma chapa fotográfica retangular, de lados 2 cm e 3 cm, colocada no vácuo, a 45 cm de distância de 
uma esfera de mesmo material que a anterior e raio igual a 0,138 mm? Sabe-se que o tempo total de 
exposição foi de 10 minutos. 
 
2) Quando incide uma dose de radiação igual a 1 r, sobre 1 cm3 de ar, submetido a uma pressão de 760 
mmHg, são formados 2 x 109 íons. Qual será a carga produzida em 4 cm3 de ar, submetido a uma 
pressão de 1.520 mmHg, quando a dose de radiação é 14 r? (Admita que a carga de cada íon é igual à 
carga do elétron). 
 
3) Se, sobre 25 cm3 de argônio, a uma pressão de 1 atmosfera, aplicarmos uma dose de radiação igual a 
1,2 r, formar-se-ão 2,5 x 10-4 íons por centímetro cúbico. Qual será o número de íons formados por 
centímetro cúbico, quando se submete igual volume de hidrogênio a uma dose de radiação igual a 0,3 r, 
se o hidrogênio está a uma pressão de 380 mmHg? 
 
4) Um dos vidros amarelos de um eletroscópio de Hurmuzescu é substituído por uma placa de alumínio 
de 0,4 cm de espessura. O eletroscópio é carregado até que suas folhas tenham uma divergência de 9o. 
A 12 cm da placa de alumínio coloca-se um pequeno bloco de sulfato duplo de uranila e potássio. 
Verifica-se que, após 3 s, o ângulo entre as folhas do eletroscópio é 6o. Supondo-se que após atravessar 
a placa de alumínio a intensidade de radiação se mentém constante e sabendo-se que quando atingidas 
por uma intensidade de radiação igual a 0,02 r/s, as folhas do eletroscópio levam 16 s para variarem o 
ângulo entre elas de 6o, calcule qual é a intensidade de radiação medida a 4 cm do bloco de sulfato 
duplo. Admite-se que todo o conjunto descrito encontra-se no vácuo. 
 
5) Sobre um certo volume de ar, à pressão e temperatura normais, incide-se uma dose de radiação igual 
a 0,8 r. A seguir, varia-se a pressão do ar e deixa-se em repouso durante 10 minutos. Após este tempo 
verifica-se que o número de íons existentes por unidade de volume é 2,8 x 103. Para quanto foi variada 
a pressão? 
 
6) Aplicou-se sobre um gás, no qual incide uma intensidade de radiação constante, uma diferença de 
potencial igual a 1 volt, obtendo-se uma intensidade de corrente não saturada, igual a 0,2 x 10-10 A. 
Aumentando-se a diferença de potencial para 4,2 volts, a corrente que passou através do gás foi 0,6 x 
10-10 A. Qual será o número de íons formados na unidade de tempo, no gás, se a diferença de potencial 
for aumentada para 12 volts? 
 
7) No fundo de um recipiente cilíndrico, de raio da base igual a 2,0 cm e altura igual a 10 cm, foi 
colocada uma placa de sulfato duplo de uranila e potássio, que cobria perfeitamente o fundo do 
recipiente. A seguir, por cima da placa foram colocadas sucessivas camadas de líquidos de diferentes 
densidades. O gráfico abaixo mostra a variação da intensidade de radiação, em função da distância 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
204 
 
percorrida dentro do cilindro. Qual seria a intensidade de radiação inicial do líquido 4, se a taxa de 
variação da intensidade com a distância, do líquido 3, fosse a mesma do líquido 2? 
 
 
 
8) A 1,2 cm de um grande paralelepípedo de material emissor de radiação alfa, foi colocado um 
capacitor cuja distância entre placas é igual à altura do paralelepípedo. Nessas condições, observa-se 
que a carga que é produzida no gás, entre as placas do capacitor, é de 5,8 C. Se substituirmos o 
paralelepípedo citado por um outro exatamente semelhante a ele, mas de volume 27 vezes menor, e 
reduzirmos em 9 vezes a distância entre as placas do capacitor, qual será a carga produzida após o 
mesmo tempo necessário à produção da carga anterior? Admita que a distância de 1,2 cm é muito 
pequena comparada com as dimensões dos paralelepípedos.9) O número de grãos produzidos em uma certa chapa fotográfica, de dimensões 6,0 cm por 12 cm, é 
720 x 104, quando a chapa é colocada a 5,0 cm de uma fonte emissora de radiação alfa, constituída de 
pequenas partículas de sal de urânio. Sabendo que o tempo de exposição da chapa fotográfica foi de 20 
s, calcule qual é a intensidade de corrente que passa através de um volume unitário de um gás, colocado 
entre as placas de um capacitor situado a 60 cm de distância das partículas radioativas. Sabe-se que a 
intensidade de corrente que passa por unidade de volume do gás, quando ele é atingido por 1 r/s, é 2 
ampères. 
 
RESPOSTAS AOS PROBLEMAS: 
 
1) 10,2 x 105 grãos. 
2) 35,8 x 10-9 C. 
3) 14,3 x 10-6 íons. 
4) 8,2 x 10-2 r/s. 
5) 1.520 mmHg. 
6) 0,75 x 109 ions/s. 
7) zero. 
8) 5,8 C. 
9) 0,4 x 10-1 A. 
 
 
 
 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
205 
 
PLANEJAMENTO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
 
podem auxiliá-lo na resolução de problemas. O objetivo 
deste material é mostrar-lhe algumas dessas técnicas. Mas precisamos avisá-lo de duas coisas: 1o 
Como em qualquer outro caso, essas técnicas podem lhe parecer uma complicação inútil, inicialmente 
(até que você as domine), do mesmo modo como uma régua de cálculo parece inútil para quem não 
sabe manejá-la. Em segundo lugar, as técnicas não garantem que você chegará ao fim do problema, 
mas podem auxiliá-lo. Pode-se afirmar que elas aumentarão a probabilidade de que você resolva 
problemas, mas não se pode garantir que elas funcionarão sempre. Além disso, é claro que uma pessoa 
pode se sair muito bem sem aplicar essas técnicas. 
 
 Talvez você não se sinta muito interessado em aprender essas técnicas por achar que, com elas, 
vai demorar muito mais tempo do que sem elas. Isso talvez seja verdade, como já dissemos, durante o 
aprendizado. Mas para incentivá-lo, vamos desde já dizer que, na próxima avaliação de Física Básica 
você poderá obter uma nota dez sem completar problema algum. O que interessa, nessa etapa, é utilizar 
as técnicas; não interessa resolver os problemas de qualquer maneira. 
 
 Nas páginas seguintes, há uma lista de atividades que você pode treinar e que podem lhe 
auxiliar na resolução de problemas. Leia a lista com muito cuidado, tentando identificar o significado 
de cada uma das atividades. Depois, tome alguns (2 ou 3) problemas e examine-os, utilizando essas 
técnicas (ou uma parte delas). Não se preocupe em chegar à resposta do problema. Talvez seja 
interessante, para começar, utilizar um problema que você já tenha resolvido. 
 
 
1) Exame do enunciado: 
 
a) Identificar a (ou as) incógnita (s): o quê o problema está pedindo? que tipo de grandeza é? (carga, 
tempo, intensidade de radiação, distância, etc); qual é a unidade que pode ser utilizada para essa 
incógnita? que símbolo pode ser utilizado para ela? 
 
b) Identificar os dados numéricos fazer uma lista ordenada das grandezas citadas; atribuir um símbolo 
a cada uma delas; anotar valores e unidades; escrever em palavras o que é cada uma dessas grandezas. 
 
c) Identificar as condições: Fazer uma lista das condições do enunciado, tais como: o objeto A está no 
vácuo; a distância d é muito maior do que a distância d`; etc. As condições podem incluir também 
equações. 
 
d) Fazer um diagrama da situação: Desenhar os objetos e entes invisíveis envolvidos no enunciado; 
representar as condições e dados, e tudo o que puder ser representado. Vá lendo o enunciado, e 
colocando no diagrama tudo o que conseguir. Idealmente, após identificar a incógnita, os dados, as 
condições, e fazer um diagrama, você deve ser capaz de resolver o problema sem olhar novamente para 
o enunciado. 
 
2) Exame de relações (sem equações): 
 
a) Quais dos dados influem na incógnita? Essa relação é crescente ou decrescente? Esboce um gráfico 
dessa relação. 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
206 
 
 
b) De quais grandezas, não citadas no enunciado, depende a incógnita? Faça uma lista das grandezas, e 
diga o tipo de relação, como acima. 
 
c) Quais as grandezas, além da incógnita, que poderiam ser calculadas a partir dos dados, ou que 
dependem dos dados? Faça uma lista e esboce um gráfico das relações. 
 
d) Dizer se o problema ficaria diferente se alguma das condições for alterada, e especificar qual seria a 
diferença (em palavras). 
(Sugestão: Para facilitar este tipo de trabalho, faça uma lista de definições de todas as grandezas 
estudadas, e de relações). 
 
 
3) Exame de relações (equações): 
 
a) Quais as equações (se existirem) que relacionam os dados com a incógnita?. Verifique, consultando 
os textos de Física Básica, se existem mesmo essas relações. 
 
b) Quais as equações que relacionam os dados entre si, ou que permitam relacionar os dados a alguma 
grandeza que não esteja contida no enunciado do problema? 
 
c) Quais as equações que você conhece que permitiriam calcular a incógnita, a partir de grandezas que 
não estejam contidas no enunciado? 
 
d) Verificar se essas relações podem ser aplicadas no caso do problema estudado, examinando se as 
condições do problema são satisfeitas. 
 
4) Exame das constantes e unidades: 
 
a) As constantes que aparecem nas equações são conhecidas? Podem ser calculadas a partir dos dados 
do problema? 
 
b) As unidades de todos os dados e constantes são coerentes? É preciso efetuar alguma transformação 
de unidades? 
 
 Todos sabem que, durante a resolução de um problema, há dois passos importantes: descobrir as 
equações necessárias e utilizá-las. De acordo com essa visão simplificada do processo de resolução, ele 
poderia ser representado pelo seguinte diagrama de blocos: 
 
Esse diagrama é válido, com algumas ressalvas: 
 
a) Após obter-se a resposta, é importante criticá-la e rever o problema. As técnicas de revisão e críticas 
serão estudadas na próxima etapa. 
descobrir as 
equações 
necessárias 
aplicar 
as 
equações 
 
resposta 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
207 
 
 
b) Nem sempre se consegue descobrir, desde o início do problema, quais serão as equações necessárias. 
Em geral, as pessoas descobrem uma ou duas equações, começam a aplicá-las, e só depois pensam nas 
outras. É claro que o ideal é descobrir todas as equações em primeiro lugar, a fim de se ter uma idéia 
clara sobre o quê tem de ser feito, evitando-se cálculos inúteis. Mas, se depois de tentar durante algum 
tempo, não for possível descobrir todas as equações necessárias, deve-se começar a trabalhar com as 
que foram determinadas. Depois disso, poderá surgir alguma idéia nova. 
 
 O diagrama de blocos a seguir é mais realístico e leva em conta essas duas ressalvas: 
 
 
 
 Esquecendo-se, por enquanto, a revisão do problema (que é algo muito importante e que poucas 
pessoas fazem), o esquema acima representa aquilo que todos fazem ao resolver um problema. 
Precisamos, no entanto, especificar detalhadamente como se faz cada uma dessas coisas e, também, 
como se evitar erros em cada um desses passos. 
 
 É claro que não se começa um problema escrevendo equações. Começa-se lendo o enunciado 
do problema e tentando entendê-lo. Se não se utiliza um certo tempo tentando entender bem o 
enunciado, é provável que não se consiga recordar nenhuma equação, ou que se recorde de alguma 
equação errada, ou que não é aplicável ao problema. E, depois que a pessoa começa a fazer o problema 
de um modo errado, dificilmente volta atrás e recomeça do zero. Por isso, é importante não começar 
errando. Então, antes de começar a escolher equações, é preciso estudar cuidadosamente o enunciado e 
entender o que está acontecendo. 
 
 
 
No diagrama de blocos apresentado acima, mostramos também que, à medida que se vai 
entendendo o enunciado, vai-se descobrindoalgumas equações; e que, depois de obter-se algumas 
equações, pode-se entender melhor o enunciado e descobrir novas equações. 
 
 A página 204 acima, contém instruções que podem auxiliar justamente na obtenção dos dois 
primeiros passos: compreensão do enunciado e obtenção de equações. Sugere-se primeiramente 
examinar o enunciado e identificar as grandezas envolvidas, as condições, os dados, e fazer um 
diagrama. Nesse exame, avalia-se o enunciado; isto é, decompõe-se o mesmo em partes e sistematiza-
problema, é preciso entender quais são as ligações entre elas. Isso corresponde ao exame de relações 
entender 
bem o 
enunciado 
descobrir 
algumas 
equações 
aplicar 
as 
equações 
obter 
a 
resposta 
rever 
o 
problema 
descobrir algumas 
equações 
aplicar as 
equações 
obter a 
resposta 
rever o 
problema 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
208 
 
(sem equações) descrito no material anterior. Se você conseguir fazer uma análise do enunciado e um 
exame de relações sem falhas, é muito provável que consiga descobrir as equações necessárias 
(supondo-se, é claro, que elas sejam previamente conhecidas; se você não conhecê-las, não adianta 
ficar examinando o enunciado tem que procurar em algum livro ou material onde possa encontrar as 
informações necessárias). 
 
 
 Embora estejamos solicitando que você pratique cada uma dessas partes detalhadamente, isso 
não significa que, mais tarde, na resolução de todos os problemas que você encontre, seja necessário 
realizar sistematicamente todos esses passos. Pode ser que você resolva um problema sem utilizar nada 
disso. Ótimo. Mas, se estiver resolvendo um problema e sentir dificuldades, sugerimos que faça o 
seguinte: consulte esses esquemas que estamos apresentando, descubra o que está tentando fazer; isto é, 
em que passo da resolução você está (se está examinando as relações, ou se está aplicando equações, 
etc). Se você está em uma determinada fase e não está conseguindo realizá-la corretamente, volte à 
etapa anterior. Por exemplo: se você está tentando obter as equações do problema e não consegue, volte 
ao exame das relações entre as grandezas. Se não conseguir também realizar o exame das relações entre 
as grandezas, volte à análise do enunciado. Na prática, portanto, não é preciso começar pela análise do 
enunciado. Você pode começar a resolver o problema desordenadamente, ou sem um plano prévio. 
Mas, se tiver dificuldades, planifique o seu trabalho. 
 
 
Por enquanto, no entanto, como é importante praticar todos os passo de resolução de problemas, 
é melhor sempre começar o problema pela análise do enunciado e ir seguindo todos os passos, 
sistematicamente. 
 
 Algo semelhante pode ser aplicado ao seu estudo. O estudo de Física Básica, ou de qualquer 
disciplina, é seqüencial; isto é, utiliza uma certa ordem. Você pode passar na disciplina sem ter 
entendido bem algumas partes. Mas se, ao estudar algum ponto, sentir dificuldades, você deve parar 
para pensar sobre sua dificuldade e planejar seu estudo. Examine o ponto em que está. Pense nos pré-
requisitos; isto é, naquilo que deveria saber para compreender aquilo que está estudando. Volte então a 
começa 
a 
resolver 
o 
problema 
examina o 
passo em 
que está 
sente 
dificuldades? volta ao 
passo 
anterior 
continua 
a resolver 
Sim 
Não 
análise 
do 
enunciado 
exame 
das 
relações 
descobrir 
algumas 
equações 
... 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
209 
 
estudar esses pré-requisitos. Quando não sentir mais dificuldades, volte ao ponto onde estava. Se 
continuar a sentir dificuldades, deve faltar-lhe algum outro pré-requisito. Procure-o. Se, ao estudar o 
pré-requisito, sentir dificuldades, estude o pré-requisito do pré-requisito. 
 
 
Antes de prosseguirmos e explicarmos mais alguma coisa sobre técnicas de resolução de 
problemas, é necessário explicar um ponto que você provavelmente não notou. 
 
Estamos tentando ensiná-lo a planejar a resolução de problemas (e não só problemas de Física 
Básica, como qualquer outro problema de Física ou outro campo; e até mesmo problemas como 
problemas. Acreditamos que você acredita que tudo o que estamos dizendo sobre planejamento seja 
válido. Apesar disso tudo, pode ser que você não utilize nada do que dizemos. Pode não adquirir a 
atitude de planejar o seu trabalho. Se você realmente concorda com o que acabamos de dizer, deve 
importante, quando sentir dificuldades em seu estudo, examinar o ponto em que está, e estudar o pré-
requisito, faça uma projeção dess
no estudo vou examinar o ponto em que eu estou e, em seguida, vou estudar os pré-
uma projeção. A projeção é o ato pelo qual resolvemos executar um plano. 
 
Considere 
importantes. Vou sublinhá-las e projetá-
Você concorda com a utilidade disso? Se concordar, faça a projeção dessa idéia; isto é, resolva que vai 
executá-la, repita a frase, e execute-a. 
 
A projeção de planos e idéias é um dos meios mais poderosos de influirmos em nosso futuro. Se 
sempre que encontrar 
alguma idéia que me pareça importante para minha vida, vou parar, pensar sobre ela e realizar sua 
 
 
 Pode-
colocando-o em um lugar onde, no futuro, possa encontrá-lo de vez em quando. Se fizer isso, é 
rar esse papel, vou 
lê- 
 
 Talvez você consiga bons resultados sem realizar projeções. Mas quando exprimimos um plano 
ou idéia em uma frase, ganhamos uma força enorme. Observe-se que isso não é uma auto-sugestão. A 
começa 
a 
estudar 
examina o 
ponto em 
que está 
sente 
dificuldade? 
estuda 
o pré- 
requisito 
Sim 
continua 
a 
estudar 
Não 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
210 
 
auto-sugestão consistiria em repetir muitas vezes uma idéia em que não acreditamos, inicialmente. 
Aqui, trata-se de resolver fazer alguma coisa, claramente. Você pode também utilizar auto-sugestão; 
mas não é isso o que estamos explicando. 
 
 Após essa interrupção, voltemos às técnicas de resolução de problemas. 
 
 Pode ocorrer que, mesmo tendo analisado o enunciado e examinado as relações entre as 
grandezas, você não consiga se lembrar de equações que possa aplicar ao problema, ou não consiga se 
lembrar de todas. Isso pode ocorre por dois motivos: ou você não estudou a parte do material que 
contém as equações necessárias; ou estudou e, por algum motivo, não se lembra das equações. Você 
pode procurar no material de estudos algo semelhante, se acha que não estudou tudo; ou pode ser que 
você saiba que estudou tudo, mas não consegue se lembrar. Nesse caso, ocorreu um fenômeno que é 
com os psicanalistas, os bloqueios ocorrem quando não queremos nos recordar daquilo. Quando uma 
informação está relacionada a algum sentimento desagradável, é difícil nos lembrarmos daquela 
informação. Pode ter ocorrido que, numa prova, você tenha utilizado aquela equação e que ela não era 
válida e, por isso, você errou uma questão. Nesse caso, por exemplo, a equação está relacionada a um 
sentimento desagradável e vai ser mais difícil recordá-la do que se isso não tivesse ocorrido. Se você 
tivesse aplicado a equação a uma questão da prova, e tivesse acertado, seria muito mais fácil recordá-la. 
Isso pode lhe dar uma idéia da influência dos fatores emocionais na resolução de problemas e, em 
geral, em qualquer coisa. Outro exemplo: se você se sente realmente mal, ao estudar um determinado 
assunto, pode ter certeza de que vai ter muita dificuldade em aplicar aquilo que estudou. 
 
 Se o bloqueio for provocado por um fato passado, ele poderia ser eliminado, em princípio, 
descobrindo-se o motivo pelo qual é desagradável pensar naquela equação, ou naquele assunto. Mas 
isso não é fácil; exige um treino muito grande em introspecção. 
 
 Algunstipos de bloqueio, produzidos por uma sensação de insegurança ou medo ante a 
dificuldade do problema podem ser eliminados pela utilização de algumas regras simples: 
 
a) Pense em algum problema semelhante (com dados parecidos, ou com a mesma incógnita) que você 
já tenha resolvido. Procure esse problema e leia-o com atenção. Depois, volte ao seu problema. 
 
b) Simplifique o problema: elimine alguns dos dados, ou invente dados que estejam faltando, ou altere 
as condições de modo a obter um problema mais simples, que você saiba resolver. Escreva esse 
problema. Resolva-o, ou faça um plano de resolução. Depois volte ao problema inicial. 
 
c) Utilize os dados para alguma coisa: você sabe calcular alguma coisa, a partir dos dados? (pode ser 
algo que não tenha relação alguma com a incógnita) não tenha medo de fugir do problema, durante 
algum tempo. Depois, retorne ao problema. 
 
d) Você conhece alguma equação que permita calcular a incógnita (mesmo que essa equação não tenha 
nada a ver com o problema)? Tome essa equação, invente dados, e calcule a incógnita ou faça um 
plano de como calcularia a incógnita se tivesse aqueles dados. Depois, volte ao problema. 
 
 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
211 
 
 
 
 
 Se conhecermos todas as equações necessárias e as relações entre as grandezas, poderemos 
fazer um plano de resolução do problema. Para isso, é interessante construir um diagrama que mostre 
as ligações entre as grandezas dadas, a incógnita (ou incógnitas), e outras grandezas auxiliares. 
 Vamos utilizar como exemplo o problema 1 da lista de problemas desta 5a etapa. Abaixo 
aparece uma lista dos dados do problema, e das equações que podem ser utilizadas: 
 
Dados 
 
Equações 
 
d1 = 15 cm SN ��� 
r1 = 0,069 mm Ra ��
�
� 
I1 = 0,12 r/h 21.llS � 
d2 = 45 cm tIR �� 
r2 = 0,138 mm 2/ daI
dI
� 
l1 = 2 cm VaI IV �� 
l2 = 3 cm 3raV ��� 
t = 10 min 
 
Incógnita 
 
N = ? (grãos) 
 
 
O diagrama abaixo mostra a dependência das grandezas no problema. A seta indica que a 
primeira grandeza precisa ser utilizada para calcular a outra; ou seja, que a segunda depende da 
primeira. 
não consegue 
descobrir 
as equações 
utilizar 
técnicas de 
desbloqueio 
conhece 
o assunto? 
 
estudar 
Não 
Sim 
já analisou o enunciado e 
as relações? 
voltar ao 
problema 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
212 
 
 
 
 Este diagrama mostra as relações entre todas as grandezas, partindo sempre dos dados e 
chegando por fim à incógnita. A constante 
�
a não é dada, mas é conhecida ou pode ser facilmente 
determinada. 
 
 Um diagrama desse tipo mostra claramente dois tipos importantes de ligações entre as 
grandezas: há casos em que uma grandeza depende de duas ou mais grandezas diferentes e 
independentes entre si (por exemplo: a dose de radiação depende da intensidade de radiação e do 
tempo); e outros casos em que uma grandeza depende de duas ou outras mais que não são 
independentes (por exemplo: a intensidade de radiação depende do raio da esfera e depende do volume, 
mas essas duas grandezas dependem uma da outra, não são independentes). É preciso, em cada 
problema, examinar se as grandezas dependem uma da outra ou não, pois os processos de cálculo serão 
bastante diferentes, nos dois casos. 
 
 Suponhamos primeiramente o caso de uma grandeza que dependa de várias outras, 
independentes entre si. Sabe-se, por exemplo, que a corrente elétrica de saturação, em um capacitor, é 
diretamente proporcional à intensidade de radiação; sabe-se, também, que ela é diretamente 
proporcional à distância entre as placas do capacitor. Assim, 
 
Iai �� 1 
dai �� 2 
 
Sempre que as relações consideradas são, como no caso acima, compostas apenas por multiplicações 
e/ou divisões (sem conter adições ou subtrações), pode-se simplificar o problema: basta multiplicar-se 
as duas relações e utilizar uma nova constante. Assim, 
 
dIai ��� 3 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
213 
 
Esse processo é válido qualquer que seja o número de relações, desde que todas sejam do tipo 
especificado acima. Suponhamos, por exemplo, que uma grandeza y dependa de x, w e z, e que essas 
três grandezas sejam independentes. Suponhamos que as relações sejam: 
 
x
ky 1� 
wky .2� 
zaky �� 3 
 
Pode-se unir todas essas relações, obtendo-se 
 
za
x
wky ��� 4 . 
 
 Observe-se que isto não é, na realidade, o resultado do produto das três equações iniciais. Se 
elas fossem multiplicadas, obteríamos: 
 
za
x
wkkky ����� 321
3
 
 
e, no nosso caso, ao invés de y3, obtemos y; e a constante k4 não é igual ao produto k1.k2.k3. 
 
 No caso em que uma grandeza depende de várias outras, mas essas não são independentes, não 
se pode utilizar esse processo descrito acima. Sabe-se, por exemplo, que a intensidade de radiação beta 
emitida por uma pequena esfera depende de seu volume e depende do raio. Mas o volume e o raio não 
são independentes. Temos: 
 
VaI �� 1 
3
2 raV �� 
 
e, substituindo-se o valor de V, na primeira equação, por a2.r3, obtém-se 
 
3
3
3
21 raraaI ����� . 
 
Pode-se utilizar ou a relação VaI �� 1 ou a relação 33 raI �� . Não se pode escrever 
 
3
4 rVaI ��� , 
 
como seria feito se V e r fossem independentes. Se, nas condições do problema, duas grandezas 
dependem uma da outra, só se deve utilizar uma delas de cada vez. 
 
 
 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
214 
 
 
CUIDADOS PRÁTICOS: 
 
1) Não utilizar o mesmo símbolo para duas grandezas ou constantes diferentes. Se um mesmo 
símbolo tiver, no mesmo problema, dois significados diferentes, podem surgir grandes 
confusões. Por exemplo: estamos acostumados a utilizar a letra a como constante. Você pode 
fazer três coisas: 
 
a) Utilizar uma letra diferente para cada grandeza ou constante. 
b) Utilizar a mesma letra, mas com um índice (a1, a2 
c) Utilizar a mesma letra, com uma outra letra indicativa, embaixo (IA, IB, etc). 
 
A sugestão c, acima, é muito útil pois pode-se, dessa maneira, exprimir no símbolo muita coisa sobre o 
seu significado. I�, por exemplo, poderia ser a intensidade de radiação beta. A constante que relaciona a 
intensidade de radiação com a distância poderia ser representada como aId, por exemplo. 
 
2) Escrever equações de tudo. Mesmo que você saiba que duas grandezas são diretamente 
-la, você 
note que está errada. 
 
3) Utilizar símbolos para tudo. Invente um símbolo para representar cada grandeza que você deseja 
calcular, durante a resolução de um problema. Isso lhe permite lembrar com maior facilidade o 
significado de cada número. 
 
4) Colocar unidades em todos os valores encontrados durante a resolução do problema. Isso evita 
muitos erros. 
 
5) Resolva e escreva a resolução do problema com ordem. Se você fizer isso, poderá rapidamente rever 
tudo o que fez, e será mais fácil evitar erros. Além disso, a ordem no modo como se escreve a 
resolução influi também no modo como pensamos. Se procurarmos escrever ordenadamente, 
começaremos a pensar, também, de modo ordenado. 
 
cada parte do problema. Isso o ajudará a pensar sobre o que faz. Quanto mais você escrever, com 
palavras, durante a resolução do problema, mais claras ficarão suas idéias. Você já deve ter notado que, 
quando tentamos explicar a outra pessoa o modo como resolvemos um problema, as idéias ficam muito 
mais claras e passamos a entender melhor aquilo que fizemos. Se você escrever, no problema, aquilo 
que está fazendo, o efeito será o mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
215 
 
 O filósofo francês René Descartes,mais de trezentos anos atrás, estabeleceu par si mesmo 
quatro regras, para dirigir seu pensamento. Julgou que essas quatro regras seriam suficientes, 
 só vez de observá-
raciocinar de modo correto. Como essas normas tem uma grande relação com aquilo que 
estamos estudando, vale transcrevê-las: 
 
 
evidente; isto é, de evitar cuidadosamente a precipitação e a prevenção, e de nada incluir em 
meus raciocínios que não se apresentasse tão clara e distintamente a meu espírito, que eu não 
tivesse ocasião de pô- 
 
 Esta primeira norma estabelece que devemos ter certeza daquilo que utilizamos na resolução 
de um problema; e que, se achamos que algo está errado, ou que uma equação não pode ser 
aplicada ao problema, também precisamos ter certeza disso. 
 
 ldades que eu examinasse em tantas partes quantas 
possíveis, e quantas necessárias fossem para melhor resolvê- 
 
 A segunda regra nos lembra de tentar simplificar o problema: considerar uma parte de cada 
vez, não tentar chegar diretamente à resposta; dividir o problema em uma série de relações 
simples. 
 
 
simples e mais fáceis de conhecer para subir, pouco a pouco, como por degraus, até o 
conhecimento dos mais compostos, inventando uma ordem mesmo entre os que não têm uma 
 
 
 Depois de dividido o problema em muitas partes, e entendidas essas partes, é preciso 
estabelecer um plano, e uma ordem de trabalho. Em alguns casos, é fácil ver a ordem necessária, 
pois é preciso calcular uma grandeza antes de calcular uma outra. Mesmo que isso não ocorra, 
deve-se inventar uma ordem de resolução do problema, e ir passando das relações mais simples 
às mais complicadas. 
 
 m toda parte enumerações tão completas e revisões tão gerais, que eu 
 
 
 A quarta regra estabelece a necessidade de rever tudo o que foi feito, e fazer listas que 
permitam ordenar as idéias, e nada esquecer. 
 
 
 
 
 
 
possuir 
conhecimentos 
seguros 
dividir o 
problema 
em partes 
unir as 
relações 
com ordem 
fazer 
revisões 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
216 
 
OBJETIVOS DA QUINTA ETAPA DE FÍSICA BÁSICA: 
 
 Ao final dessa quinta etapa, você deve ser capaz de: 
 
5.1) Fazer um exame do enunciado de um problema dado. 
 
5.2) Examinar (sem equações) as relações entre as grandezas envolvidas em um problema. 
 
5.3) Examinar as equações necessárias à resolução de um problema. 
 
5.4) Examinar as constantes e unidades de um dado problema. 
 
5.5) Fazer um plano de utilização das equações. 
 
5.6) Resolver as equações de um problema. 
 
 
 Os quatro primeiros itens acima já foram especificados claramente no material anterior. Os dois 
últimos estão explicados na página seguinte. O material fornecido em seqüência, é a resolução 
completa e detalhada de um problema duplo (com duas incógnitas), mostrando como se faz cada uma 
das atividades acima especificadas. 
 
 
5) Plano de utilização das equações: 
 
a) Fazer um esquema que mostre as relações entre todas as grandezas, indicando qual delas pode ser 
calculada a partir de outra (ou de quais outras). 
 
b) Verificar, no esquema, se todas as constantes e grandezas são conhecidas ou podem ser calculadas. 
 
c) Sempre que uma grandeza w depender de duas outras, x e z, ou de mais de duas, verifique se x e z 
são independentes ou dependentes. 
 
d) No esquema, escreva sobre cada grandeza desconhecida, a equação que permite calculá-la e, sobre 
as grandezas conhecidas, os seus valores. 
 
6) Resolução das equações: 
 
a) Calcular progressivamente os valores das grandezas desconhecidas, que estejam no esquema, até 
chegar à incógnita; ou 
 
a´) Associar progressivamente as equações entre si, até obter uma equação que relacione a incógnita 
com os dados; e calcular. 
 
 
 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
217 
 
Voltando para a 4a etapa: 
 
Questão no 22 
 
Sabe-se que a área de uma superfície esférica é dada pela fórmula 24 rS ��� � , onde r é o raio da 
esfera. Suponha que uma fonte radioativa está colocada, no vácuo, no centro de uma esfera de raio 
igual a 10 cm e que, a esta distância, a intensidade de radiação é de 12 r/h. Supondo-se que a 
radiação é de tipo beta, e que é emitida igualmente para todos os lados, determine a rapidez de 
enegrecimento de uma chapa fotográfica que fosse colocada a 10 cm da fonte (em grãos/mm2.min) e o 
número total de grãos que seria produzidos em uma hora, se toda a superfície esférica estivesse 
recoberta com placas fotográficas. 
 
RESOLUÇÃO 
 
1) Exame do enunciado: 
 
a) há duas incógnitas no problema: 
 rapidez de enegrecimento de uma chapa fotográfica colocada a 10 cm de distância de um 
material radioativo. 
 número total de grãos que seriam produzidos em uma hora se toda a superfície esférica estivesse 
recoberta com placas fotográficas 
(as palavras sublinhadas indicam o tipo de grandeza procurada) 
 
Pode-se escolher como símbolo para a primeira incógnita, 
�
E
 (o ponto sobre a letra indica que se trata 
de uma rapidez de variação; e a letra E se refere ao enegrecimento). A unidade pedida é 
grãos/mm2.min. 
 
A segunda incógnita pode ser representada por N, e será dada em grãos. 
 
b) dados numéricos do problema: 
-raio da esfera r = 10 cm 
-intensidade de radiação a 10 cm do material radioativo I = 12 r/h 
-distância entre a chapa fotográfica e o material radioativo (d = 10 cm) 
-tempo de exposição t = 1 h 
 
c) condições do problema: 
-
24 rS ��� � (a área de uma superfície esférica de raio r) 
-existe uma fonte radioativa no centro de uma superfície esférica 
-a fonte radioativa é pequena 
-a fonte radioativa está no vácuo 
-a radiação é do tipo � 
-a radiação é emitida igualmente para todos os lados 
-supor que toda a superfície esférica está recoberta com chapas fotográficas, ao calcular a segunda 
incógnita. 
 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
218 
 
 
d) diagrama da situação: 
 
 
2) Exame das relações: 
a) relações entre os dados e a incógnita 
 O raio da esfera não influi na rapidez de enegrecimento da chapa fotográfica, a não ser pela 
coincidência entre o raio e a distância entre a chapa e o material radioativo. Se o enunciado tivesse dito 
que a distância entre o material radioativo e a placa fotográfica era de 30 cm e que o raio da esfera é de 
30 cm, daria na mesma. 
 
 O raio da esfera influi no número total de grãos (2a incógnita). Pois quanto maior a área total 
atingida pela radiação, maior será o número de grãos. Se o número de grãos for proporcional à área, 
será proporcional ao quadrado do raio da esfera. 
 
 
 
 A intensidade da radiação influi na rapidez de enegrecimento: quanto maior for a intensidade da 
radiação, mais rapidamente a chapa fotográfica ficará escura. 
 
 
 
 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
219 
 
 
 
 
 A intensidade de radiação também influi no número total de grãos: quanto maior for a 
intensidade, maior será o número total de grãos. 
 
 
 O tempo de exposição influi no enegrecimento total da chapa fotográfica mas não influi na 
rapidez de enegrecimento, se a intensidade de radiação for constante. 
 O tempo de exposição influi no número total de grãos: quanto maior for o tempo total de 
exposição, maior será o número de grãos. 
 
 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
220 
 
 
b) Outras grandezas que influem na incógnita: 
 A rapidez de enegrecimento, neste caso, só depende da intensidade de radiação que atinge a 
chapa fotográfica. 
 
 O número total de grãos depende da área e da dose de radiação que atingiu as chapas 
fotográficas. A dose, por sua vez, dependeda intensidade de radiação e do tempo. Pode-se também 
dizer que o número total de grãos depende da área e do número de grãos por mm2, e que o número de 
grãos por mm2 depende da dose, ou que depende da rapidez de enegrecimento e do tempo. Todas as 
relações são crescentes. 
 
c) Outras grandezas que dependem dos dados 
 dependem do raio da esfera: volume da esfera; área da superfície esférica; intensidade de 
radiação. 
 dependem da intensidade de radiação: número de íons formados em um gás; rapidez de 
descarga de um capacitor ou eletroscópio; corrente elétrica de saturação. 
 depende da distância entre a chapa fotográfica e o material radioativo: intensidade de radiação 
que atinge a chapa. 
 dependem do tempo total de exposição: dose de radiação; número de íons em um gás. 
 
d) Influência das condições: 
 se a fonte radioativa não estivesse no centro, a intensidade de radiação seria diferente para cada 
ponto da esfera. 
 se a fonte radioativa não fosse pequena, a relação entre distância e intensidade de radiação seria 
diferente. 
 se a fonte não estivesse no vácuo, a radiação seria absorvida, pelo menos em parte. 
 se a radiação não fosse do tipo beta, o número de grãos seria diferente. 
 se a radiação não fosse emitida igualmente para todos os lados, não seria possível calcular-se o 
número total de grãos. 
 se a superfície esférica não estivesse toda recoberta com as chapas fotográficas, não poderíamos 
calcular a área total das chapas. 
 
3) Exame das relações (equações): 
a) equações que ligam diretamente os dados à incógnita 
 não há, no material de Física Básica, equações que relacionam diretamente os dados à 
incógnita. 
 
b) equações que relacionam os dados entre si ou a outras grandezas 
 
24 rS ��� � (área da superfície esférica e raio) 
 
 tIR �� (dose, intensidade de radiação e tempo) 
(outras equações poderiam ser citadas, mas não vão interessar ao problema). 
 
c) equações que permitem calcular a incógnita 
 t
EE
�
��
�
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
221 
 
 
 SEN �� 
 
d) relendo-se as condições, não se nota incompatibilidade entre as equações e as condições do 
enunciado 
 
4) Exame das constantes e das unidades: 
a) não há constantes nas equações acima, a não ser as constantes numéricas usuais (4, � ). 
 
b) as unidades dos dados e incógnitas não são todos coerentes. As distâncias estão dadas em cm e pede-
se o número de grãos por mm2. Além disso, o tempo é dado em horas, a intensidade de radiação em r/h, 
e pede-se o enegrecimento por minuto. É preciso efetuar essas transformações de unidade. 
 
5) Plano de utilização das equações: 
a) esquema de relações entre as grandezas 
 
 
Para os cálculos das duas incógnitas, é preciso calcular o enegrecimento da chapa fotográfica. 
Esta relação ainda não foi citada: 
E = a.R 
(o enegrecimento é proporcional à dose e só depende dela) 
 
Os esquemas completos são: 
 
 
b) Todos os valores necessários para se calcular a segunda incógnita são conhecidos: r, I e t. 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
222 
 
a constante a da relação entre dose e enegrecimento pode ser calculada a partir da seguinte relação: um 
röntgen produz 106 grãos/mm2, no caso da radiação beta. 
 
 Para se calcular a 1a incógnita, conhecemos a (ver acima) e I. O intervalo de tempo t� é o 
tempo durante o qual a radiação atinge a chapa fotográfica, no caso da primeira incógnita. Esse tempo 
não é dado. Podem ocorrer vários casos: 
1) Qualquer que seja o tempo, o enegrecimento terá a mesma rapidez; isto é, o tempo não 
influi. Se isso for verdade, pode-se considerar um tempo qualquer, nas equações. 
2) O tempo pode ser calculado a partir de algum outro dado. Mas não há dados sobrando, 
todos já foram utilizados. 
 
Pode-se verificar se o tempo influi ou não de duas maneiras: ou experimenta-se resolver o problema 
utilizando valores diferentes de tempo e observa-se se o resultado é sempre o mesmo, ou se escreve as 
equações que relacionam os dados à incógnita e verifica-se se, na equação final, o tempo aparece ou 
não. 
 
c) grandezas dependentes e independentes: 
 Em todas as relações indicadas no esquema, as grandezas são independentes (exemplo: o tempo 
e a intensidade de radiação, que servem para se calcular a dose. São independentes entre si). 
 
d) Escrever no esquema, valores e equações: 
 
 
(2a incógnita) 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
223 
 
 
 
6) Resolução das equações: 
a) método numérico (calculando-se progressivamente as grandezas que aparecem no esquema) 
 
 
 
 
(Como já foi explicado, para se calcular a 1a incógnita serão experimentados dois valores para t� , a 
fim de verificar se o seu valor pode ser qualquer um, ou se ele influi) 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
224 
 
 
(como a rapidez de enegrecimento não dependeu do valor de �t, o valor calculado acima deve estar 
correto) 
 
a´) Método algébrico (associação de equações) 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Física Básica - QUINTA ETAPA - Texto 13 
 
225 
 
Após obter a equação, substitui-se os valores dos dados e calcula-se a incógnita: 
 
 
 
Verifica-se que, de fato, o valor de t� não aparece na equação final. Logo, esta grandeza não influi na 
primeira incógnita. Substituindo-se os dados, teremos: