Derivadas parciales (Clase)

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DIFERENCIACIÓN PARCIAL.
Funciones de varias variables.
En el cálculo de una sola variable, nos interesan las funciones que van de ℝ a ℝ , llamadas a veces
“funciones reales de una variable”, lo cual significa que la “entrada” es un solo número real y la salida
es de igual modo un solo número real. Ahora vamos a considerar funciones de varias variables, es
decir, varias variables de entrada, funciones f :ℝn→ℝ . Estudiaremos principalmente funciones con
n=2 y a un menor grado con n=3 ; en realidad, muchas de las técnicas que discutiremos pueden
aplicarse a valores de n más grandes también.
Una función f :ℝ2→ℝ mapea un par de valores (x , y ) a un solo número real. El sistema coordenado
tridimensional que ya hemos usado es una manera conveniente de visualizar tales funciones: arriba de
cada punto (x , y ) en el plano x y graficamos el punto (x , y , z) , donde por supuesto, z=f (x , y ) .
Ejemplo.
Considere f (x , y )=3 x+4 y−5 . Escribiendo esa expresión como z=3 x+4 y−5 y entonces
3 x+4 y−z=5 , reconocemos en seguida la ecuación de un plano. En la forma f (x , y )=3 x+4 y−5 el
énfasis ha cambiado: Ahora pensamos en x y y como variables independientes y z como una variable
dependiente de ellas, sin embargo, la geometría no cambia.
Ejemplo.
Hemos visto que x2+ y2+z2=4 representa una esfera de radio 2. No podemos escribir esto en la forma
f (x , y ) , puesto que para cada x y y en el disco x2+ y2<4 hay dos puntos correspondientes en la
esfera. Así como en la ecuación de un círculo, podemos resolver esta ecuación en dos funciones,
f (x , y )=√4−x2− y2 y f (x , y )=−√4−x2− y2 , que representan los hemisferios superior e inferior.
Cada uno de estos es un ejemplo de una función con un dominio restringido: solo ciertos valores de x y
de y tienen sentido (es decir, aquellos para los cuales x2+ y2⩽4 ) y las gráficas de estas funciones están
limitadas a una pequeña región del espacio.
Ejemplo.
Considere f (x , y )=√ x+√ y . Esta función se define solamente cuando ambas x y y son no negativas.
Cuando y=0 obtenemos f (x , y )=√x , la conocida función raíz cuadrada en el plano x z , y cuando
x=0 obtenemos la misma curva en el plano y z . Hablando en términos generales, vemos que
comenzando desde f (0,0)=0 esta función se hace cada vez más grande en cada dirección,
aproximadamente de la misma manera en que crece la función raíz cuadrada. Por ejemplo, si
restringimos la atención a la recta x= y , obtenemos f (x , y )=2√x y a lo largo de la recta y=2 x
tenemos f (x , y )=√x+√2 x=(1+√2)√x .
Un programa de computadora que grafique tales superficies puede ser muy útil, puesto que a menudo
es difícil tener una buena idea de su apariencia (ver figura más abajo). Sin embargo, es de valor poder
visualizar superficies relativamente simples sin tales ayudas. Como en el ejemplo previo, a menudo es
una buena idea examinar la función en subconjuntos restringidos del plano, especialmente líneas rectas.
Puede también ser útil identificar aquellos puntos (x , y ) que compartan un valor de z en común.
1
Ejemplo.
Considere la función f (x , y )=x2+ y2 . Cuando x=0 esta se convierte en f = y2 , una parábola en el
plano y z ; cuando y=0 obtenemos la “misma” parábola f =x2 en el plano x z . Ahora considere la
recta y=k x . Si sencillamente reemplazamos y por k x obtenemos f (x , y )=(1+k2) x2 la cual es
una parábola, pero no “representa” realmente la sección transversal a lo largo de y=k x , porque la
sección transversal tiene la recta y=k x donde debería estar el eje horizontal. Para pretender que esta
recta sea el eje horizontal, necesitamos escribir la función en términos de la distancia desde el origen, la
cual es √ x2+ y2=√x2+k2 x2 . Ahora bien f (x , y )=x2+k2 x2=(√ x2+k 2 x2)2 . Así que la sección
transversal es la “misma” parábola que la de los planos x z y y z , a saber, la altura es siempre la
distancia desde el origen al cuadrado. Esto significa que f (x , y )=x2+ y2 puede formarse comenzando
con z=x2 y rotando esta curva alrededor del eje z .
Finalmente, escogiendo un valor z=k , ¿para cual punto f (x , y )=k ? Esto significa x2+ y2=k , lo 
cual reconocemos como la ecuación de un círculo de radio √k . Así, la gráfica de f (x , y ) tiene 
secciones transversales parabólicas, y dondequiera que tenga la misma altura forma círculos 
concéntricos con centro en el origen.
2
f (x , y )=√ x+√ y
f (x , y )=x2+ y2
Tal como en este ejemplo, los puntos (x , y ) tales que f (x , y )=k usualmente forman una curva,
llamada curva de nivel de la función. Una gráfica de tales curvas de nivel puede dar una idea de la
forma de la superficie; se parece mucho a un mapa topográfico de la superficie. En la figura que se
muestra arriba se muestran tanto la superficie como sus curvas de nivel asociadas. Observe que, tal
como en un mapa topográfico, las alturas correspondientes a las curvas de nivel están uniformemente
espaciadas, de modo que donde las curvas parecen más cercanas, la superficie es más empinada.
Las funciones f :ℝn→ℝ se comportan de manera muy parecida a las funciones de dos variables;
discutiremos en ocasiones funciones de tres variables. La principal dificultad con tales funciones es
visualizarlas, puesto que no encajan en las tres dimensiones con las cuales estamos familiarizados. Hay
varias maneras de interpretar funciones de tres variables de modo que sean más fáciles de entender. Por
ejemplo, f (x , y , z ) podría representar la temperatura en el punto (x , y , z) , o la presión, o la fuerza de
un campo magnético. Resulta útil considerar aquellos puntos en los cuales f (x , y , z )=k , donde k es
algún valor constante. Si f (x , y , z ) es la temperatura, el conjunto de puntos (x , y , z) tales que
f (x , y , z )=k es la colección de puntos en el espacio con temperatura k ; en general, este es llamado
un conjunto de nivel; para tres variables, un conjunto de nivel es típicamente una superficie llamada
superficie de nivel.
Ejemplo.
Suponga que la temperatura en el punto (x , y , z) es T (x , y , z )=e−(x
2+ y2+z2 ) . Esta función tiene un
valor máximo de 1 en el origen, y tiende a 0 en todas direcciones. Si k es positivo y a lo sumo 1, el
conjunto de puntos para los cuales T ( x , y , z )=k es aquellos puntos que satisfacen la ecuación
x2+ y2+z2=−ln(k ) , una esfera con centro en el origen. Las superficies de nivel son las esferas
concéntricas con centro en el origen.
Ejercicios sobre funciones de varias variables.
1) Sea f (x , y )=(x− y)2 . Determine las ecuaciones y formas de las secciones transversales 
cuando x=0 , y=0 , x= y , y describa las curvas de nivel. Use una herramienta de graficación
tridimensional para dibujar la superficie.
2) Sea f (x , y )=∣x∣+∣y∣ . Determine las ecuaciones y formas de las secciones transversales cuando
x=0 , y=0 , x= y , y describa las curvas de nivel. Use una herramienta de graficación 
tridimensional para dibujar la superficie.
3) Sea f (x , y )=e−(x
2+ y2) sen(x2+ y2) . Determine las ecuaciones y formas de las secciones 
transversales cuando x=0 , y=0 , x= y , y describa las curvas de nivel. Use una herramienta 
de graficación tridimensional para dibujar la superficie.
4) Sea f (x , y )=sen (x− y ) . Determine las ecuaciones y formas de las secciones transversales 
cuando x=0 , y=0 , x= y , y describa las curvas de nivel. Use una herramienta de graficación
tridimensional para dibujar la superficie.
5) Sea f (x , y )=(x2− y2)2 . Determine las ecuaciones y formas de las secciones transversales 
cuando x=0 , y=0 , x= y , y describa las curvas de nivel. Use una herramienta de graficación
tridimensional para dibujar la superficie.
6) Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones de dos variables:
3
a) √9−x2+√ y2−4
b) arcsen(x2+ y2−2)
c) √16 – x2– 4 y2
7) Abajo se muestran dos conjuntos de curvas de nivel. Una es para un cono, la otra es para un 
paraboloide. ¿cuál es de cuál? Explique.
Límites y continuidad.
Para desarrollar el cálculo de una variable, necesitabamos aprender el concepto de límite, el cual a su
vez necesitabamos para entender las funciones continuas y para definir la derivada. Los límites que
envuelven funciones de dos variables pueden ser considerablemente más difíciles que los de una
variable; afortunadamente la mayoría de las funciones con las que nos encontramos son bastante fáciles
de entender.
La dificultad potencial es en buena medida debido al hecho de que hay muchas maneras de
aproximarse a un punto en el plano xy. Si queremos decir que lim
(x , y)→(a , b)
f (x , y )=L , necesitamos
capturar la idea de que a medida que (x , y ) se acerca a (a , b) entonces f (x , y ) se acerca a L . Para
funciones de una variable, f (x) , hay solo dos maneras en que x puede acercarse a a : desde la
izquierda o desde la derecha.
Pero hay un número infinito de maneras de acercarse a (a ,b) : a lo largo de cualquiera de un número
infinito de líneas rectas, o un infinito número de parábolas, o un infinito número de curvas senoidales, y
así sucesivamente. Podríamos esperar que no es realmente tan malo. Suponga por ejemplo, que a lo
largo de cada posible línea recta que pasa a través de (a ,b) , el valor de f (x , y ) se acerca a L ;
seguramente esto significa que “ f (x , y ) se acerca a L a medida que (x , y ) se acerca a (a , b) “.
Desafortunadamente, esto no es así.
Ejemplo
Considere f (x , y )= x y
2
x2+ y4
. Cuando x=0 o y=0 , f (x , y ) es 0, de modo que el límite de f (x , y )
cuando (x , y ) se aproxima al origen ya sea a lo largo del eje x o del eje y es 0. Además, a lo largo de
4
la línea y=m x , f (x , y )= m
2 x3
x2+m4 x4
. A medida que x se aproxima a 0 esta expresión se aproxima a 0
también. Así, a lo largo de cada línea recta que pasa a través del origen f (x , y ) se aproxima a 0. Ahora
suponga que nos acercamos al origen a lo largo de x= y2 . Entonces
f (x , y )= y
2 y2
y 4+ y4
= y
4
2 y4
=1
2
así que el límite es 1/2. Mirando en la figura que se muestra abajo, es evidente que hay una cresta arriba
de x= y2 . Al acercarnos al origen a lo largo de una línea recta, atravesamos la cresta y luego
descendemos hacia 0, pero aproximándonos a lo largo de la cresta la altura es una constante ½. Así que
no hay límite en (0, 0) .
Afortunadamente, podemos definir el concepto de límite sin necesidad de especificar como
aproximarnos a un punto particular. En realidad, en la definición de límite de una función de una
variable, no necesitábamos el concepto de “aproximación”. Más o menos, esa definición dice que
cuando x está cerca de a entonces f (x) está cerca de L ; no hay mención de “como” nos acercamos a
a . Podemos adaptar esa definición a dos variables de manera bastante fácil:
Definición de límite: Suponga que f (x , y ) es una función. Decimos que lim
(x , y)→(a , b)
f (x , y )=L
si para cada ε>0 existe un δ>0 tal que si 0<√(x−a)2+( y−b)2<δ entonces ∣f (x , y )−L∣<ε .
Esto dice que podemos hacer
∣f (x , y )−L∣<ε , no importa que
tan pequeño sea ε , haciendo la
distancia de (x , y ) a (a , b)
“suficientemente pequeña”.
Ejemplo
Demostremos que
lim
(x , y)→(0,0)
3 x2 y
x2+ y2
=0 . 
Suponga que ε>0 . Entonces
∣3 x2 yx2+ y2∣= x
2
x2+ y2
3∣y∣
Observe que x
2
x2+ y2
⩽1 y que
∣y∣=√ y2⩽√ x2+ y2<δ . 
5
f (x , y )= x y
2
x2+ y4
Así
x2
x2+ y2
3∣y∣<1⋅3⋅δ
Queremos forzar a que esto sea menor que ε escogiendo δ “suficientemente pequeño”. Si escogemos
δ= ε
3
 entonces
∣3 x2 yx2+ y2∣<1⋅3⋅ε3
Recuerde que una función f (x) es continua en x=a si lim
x→a
f (x )=f (a) ; esto nos dice que no hay
“agujeros” ni “saltos” en x=a . Podemos decir exactamente lo mismo de las funciones de dos
variables.
Definición: f (x , y ) es continua en (a , b) si lim
(x , y)→(a , b)
f (x , y )= f (a , b) .
Ejemplo.
La función f (x , y )= 3x
2 y
x2+ y2
 no es continua en (0,0) porque f (0,0) no está definida. Sin embargo,
sabemos que lim
(x , y)→(0,0)
f ( x , y)=0 , así que podemos “resolver” el problema, extendiendo la definición
de f de modo que f (0,0)=0 . Esta superficie se muestra en la figura de abajo:
6
f (x , y )= 3 x
2 y
x2+ y2
Observe que en contraste con este ejemplo, no podemos “arreglar” la función f (x , y )= x y
2
x2+ y4
 del
primer ejemplo en (0,0) porque el límite no existe. No importa que valor tratemos de asignar a f en
(0,0) , la superficie tendrá un “salto” allí.
Afortunadamente, las funciones que examinaremos típicamente serán continuas casi en todas partes.
Normalmente esto se sigue fácilmente del hecho de que funciones estrechamente relacionadas de una
sola variable son continuas. Tal como con las funciones de una sola variable, dos clases de funciones
son particularmente útiles y fáciles de describir. Un polinomio en dos variables es una suma de
términos de la forma a xm y n , donde a es un número real y m y n son enteros no negativos. Una
función racional es un cociente de polinomios.
Teorema: Los polinomios son continuos en todo su dominio. Las funciones racionales son continuas
dondequiera que estén definidas. 
Ejercicios.
Determine si cada límite existe. Si existe, encuentre el límite y pruebe que efectivamente lo es; si no 
existe, explique como lo sabe.
7
13. ¿Tiene discontinuidades la función f (x , y )= x− y
1+x+ y
? ¿Qué hay de f (x , y )= x− y
1+x2+ y2
? 
Explique.
Derivadas Parciales.
Tenemos claro lo que significa la derivada de una función de ℝ a ℝ . Sin embargo, en el caso de las
funciones de ℝ2 a ℝ , las cosas son un poco más difíciles de entender. Si pensamos en una función de
dos variables en términos de su gráfica, una superficie, hay una pregunta más o menos obvia al estilo
de la derivada que podemos hacer, a saber, cuán “inclinada” es la superficie. Pero no está claro que esto
tenga una respuesta simple, ni como podríamos proceder. Comenzaremos con lo que parecen ser muy
pequeños pasos hacia el objetivo; sorprendentemente, resulta que estas ideas simples contienen las
claves para una comprensión más general.
Imagine un punto particular sobre una superficie; ¿qué podríamos ser capaces de decir en cuanto a cuan
inclinada es? Podemos limitar la pregunta para hacerla más familiar: ¿cuán inclinada es la superficie en
una dirección particular? ¿qué incluso es el significado de esto? Aquí tenemos una manera de pensar en
ello: suponga que estamos interesados en el punto (a ,b , c) . Tome una línea recta en el plano xy a
través del punto (a ,b ,0) , luego extienda la línea verticalmente dentro de un plano. Observe la
intersección del plano con la superficie. Si prestamos atención solamente al plano, vemos que la línea
recta que escogimos donde normalmente estaría el eje x, y la intersección con la superficie aparece
como una curva en el plano. La Figura 1 muestra una superficie parabólica, exponiendo su sección
transversal arriba de la línea x+ y=1 .
8
Figura 1: f (x , y )=x2+ y2 , cortada por el plano x+ y=1
En principio, este es un problema que sabemos como resolver: encuentre la pendiente de una curva en
un plano. Comencemos mirando algunas líneas particularmente fáciles: aquellas paralelas a los ejes x o
y. Suponga que estamos interesados en la sección transversal de f (x , y ) arriba de la línea y=b . Si
sustituimos b por y en f (x , y ) , obtenemos una función en una variable, que describe la altura de la
sección transversal como una función de x. Debido a que y=b es paralela al eje x, si la vemos desde
un lugar estratégico sobre el eje y negativo,veremos lo que parece ser simplemente una curva ordinaria
en el plano xz.
Considere de nuevo la superficie parabólica f (x , y )=x2+ y2 . La sección transversal arriba de la recta
y=2 consiste en todos los puntos (x ,2, x2+4) . Observando esta sección transversal desde algún
lugar sobre el eje y negativo, vemos lo que parece ser solo la curva f (x)=x2+4 . En cualquier punto
sobre la sección transversal, (a , 2,a2+4 ) , la inclinación de la superficie en la dirección de la línea
y=2 es simplemente la pendiente de la curva f (x)=x2+4 , a saber, 2x . La Figura 2 muestra la
misma superficie parabólica que antes, pero ahora cortada por el plano y=2 . La gráfica izquierda
muestra la superficie cortada, la derecha muestra la sección transversal, mirándola desde el eje y
negativo hacia el origen.
Si, digamos, estamos interesados en el punto (−1,2,5) en la superficie, entonces la pendiente en la
dirección de la recta y=2 es 2x=2(−1)=−2 . Esto significa que comenzando en (−1,2, 5) y
moviéndose en la superficie, arriba de la línea y=2 , en la dirección de valores de x crecientes, la
9
Figura 2: f (x , y )=x2+ y2 , cortada por el plano y=2
superficie desciende; por supuesto, moviéndose en la dirección opuesta, hacia valores decrecientes de
x, la superficie asciende.
Si estamos interesados en alguna otra línea y=k , no hay realmente cambios en el cálculo. La ecuación
de la sección transversal arriba de y=k es x2+k2 con derivada 2x . Podemos ahorrarnos el esfuerzo,
pequeño como es, de sustituir k por y: todo lo que en efecto estamos haciendo es asumir temporalmente
que y es constante. Bajo este supuesto, la derivada d
dx
(x2+ y2)=2x . Para enfatizar que solo estamos
temporalmente asumiendo que y es constante, usamos una notación ligeramente diferente:
∂
∂ x
(x2+ y2)=2 x ; la ∂ nos recuerda que hay más variables que la x, pero que solo la x se está tratando
como variable. Leemos la ecuación como “la derivada parcial de x2+ y2 con respecto a x es 2x ”. Una
notación alternativa conveniente para la derivada parcial de f (x , y ) con respecto a x es f x (x , y ) .
Ejemplo.
La derivada parcial con respecto a x de x3+3 x y es 3 x2+3 y . Observe que la derivada parcial incluye
la variable y , a diferencia del ejemplo x2+ y2 . Es poco usual que la derivada parcial dependa de una
sola variable; este ejemplo es más típico.
Por supuesto, podemos hacer la misma clase de cálculos para rectas paralelas al eje y. Podemos
mantener temporalmente a x constante, lo cual nos da la ecuación de la sección transversal arriba de
una línea x=k . Podemos entonces calcular la derivada con respecto a y; esto medirá la inclinación de
la curva en la dirección y.
Ejemplo.
La derivada parcial con respecto a y de f (x , y )=sen (x y )+3 x y es
f y (x , y )= ∂∂ y
(sen (x y )+3 x y )=cos (x y ) ∂
∂ y
(x y)+3 x=x cos(x y)+3 x .
Hasta ahora, sin usar nuevas técnicas, hemos tenido éxito en medir la pendiente de una superficie en
dos direcciones bastante especiales. Para funciones de una variable, la derivada está estrechamente
vinculada con la noción de recta tangente. Para las superficies, la idea análoga es el plano tangente, un
plano que solo toca a una superficie en un punto, y tiene la misma “inclinación” que la superficie en
todas direcciones. Aún cuando todavía no nos hemos imaginado como calcular la pendiente en todas
direcciones, tenemos suficiente información para encontrar planos tangentes. Suponga que queremos
encontrar el plano tangente a una superficie en un punto particular (a , b , c) . Si calculamos las dos
derivadas parciales de la función para ese punto, obtenemos suficiente información para determinar dos
rectas tangentes a la superficie, tanto a través de (a , b ,c ) como tangentes a la superficie en sus
respectivas direcciones. Estas dos rectas determinan un plano, esto es, hay exactamente un plano que
contiene las dos rectas: el plano tangente. La Figura 3 muestra (parte de) dos rectas tangentes en un
punto, y el plano tangente que las contiene.
¿Cómo podemos encontrar una ecuación para este plano tangente? Conocemos un punto sobre el plano,
(a , b , c) ; necesitamos un vector normal al plano. Si podemos encontrar dos vectores, uno paralelo a
cada una de las rectas tangentes que sabemos como encontrar, entonces el producto cruz de estos
vectores proporcionará el vector normal requerido.
10
¿Cómo podemos encontrar vectores paralelos a las rectas tangentes? Considere primero la recta
tangente a la superficie arriba de la recta y=b . Un vector 〈u , v ,w 〉 paralelo a esta recta tangente
debe tener como componente y a v = 0, y podemos también tomar la componente x como u=1 . La
razón de la componente z a la componente x es la pendiente de la recta tangente, precisamente lo que
sabemos como calcular. La pendiente de la recta tangente es f x (a ,b) , de modo que
f x (a ,b)=
w
u
=w
1
=w
En otras palabras, un vector paralelo a esta recta tangente es 〈1,0, f x (a ,b)〉 , como se muestra en la 
Figura 4
11
Figura 3: Rectas tangentes y plano tangente.
Figura 4: Un vector tangente
Si repetimos el razonamiento para la recta tangente arriba de x = a, obtenemos el vector 〈0,1, f y(a ,b)〉
Ahora bien, para obtener el vector normal requerido calculamos el producto cruz:
〈0,1, f y 〉×〈1,0, f x 〉=〈 f x , f y ,−1 〉
De nuestra discusión previa de planos, podemos escribir la ecuación que buscamos:
f x (a ,b) x+ f y (a ,b) y – z=k , y k como de costumbre, puede calcularse por medio de sustituir un
punto conocido: f x (a ,b)(a)+ f y (a ,b)(b)– c=k . Hay varias manera más o menos gratas de escribir el
resultado:
Ejemplo.
Encuentre el plano tangente a x2+ y2+z2=4 en (1,1,√2) . Este punto está en el hemisferio superior,
así que usamos f (x , y )=√4 – x2− y2 . Entonces f x (x , y )=−x (4−x2− y2)−1/2 y
f y (x , y )=− y (4−x
2− y2)−1/2 , así f x (1,1)=f y (1, 1)=−1 /√2 y la ecuación del plano es
z=− 1
√2
(x−1)− 1
√2
( y−1)+√2
El hemisferio y su plano tangente se muestran en la Figura 3.
Así que parece que para encontrar un plano tangente, solo necesitamos dos derivadas ordinarias
bastante simples, a saber f x y f y . Esto es verdad si el plano tangente existe. Desafortunadamente, no
siempre es el caso que si f x y f y existen, hay un plano tangente. Considere la función
f (x , y )= x y
2
x2+ y4
, que se analizó en una sección anterior. Esta función tiene valor 0 cuando x=0 o
y=0 , y podemos “llenar el agujero” definiendo f (0,0)=0 . Ahora bien, es claro que
f x (0,0)=f y (0, 0)=0 , porque en las direcciones x y y la superficie es simplemente una recta
horizontal. Pero también es claro de la gráfica que esta superficie no tiene algo que merezca ser
llamado un “plano tangente” en el origen, ciertamente no el plano xy que contiene estas dos rectas
tangentes.
¿Cuando una superficie realmente tiene un plano tangente en un punto particular? Lo que realmente
queremos de un plano tangente, así como de una recta tangente, es que el plano sea una “buena”
aproximación de la superficie cerca del punto. Aquí tenemos como hacer eso de manera precisa:
Definición: Sean Δ x=x−x0 , Δ y= y− y0 y Δ z=z−z0 donde z0=f (x0, y0) . La función
z=f (x , y ) es diferenciable en (x0, y0) si 
Δ z=f x(x0, y0)Δ x+ f y (x0, y0)Δ y+ϵ1Δ x+ϵ2Δ y
y tanto ϵ1 como ϵ2 se acercan a 0 a medida que (x , y ) se acerca a (x0, y0) .
12
Ejercicios sobre Derivadas Parciales.
1) Encuentre f x y f y donde f (x , y )=cos (x
2 y )+ y3 .
2) Encuentre f x y f y donde f (x , y )=
x y
x2+ y
.
3) Encuentre f x y f y donde f (x , y )=e
x2+ y2 .
4) Encuentre f x y f y donde f (x , y )=x y ln (x y ) .
5) Encuentre f x y f y donde f (x , y )=√1−x2− y2 .
6) Encuentref x y f y donde f (x , y )=x tan( y ) .
7) Encuentre f x y f y donde f (x , y )=
1
x y
.
8) Encuentre una ecuación para el plano tangente a 2 x2+3 y2 – z2=4 en (1,1,−1) .
9) Encuentre una ecuación para el plano tangente a f (x , y )=sen(x y) en (π ,1/2,1) .
10) Encuentre una ecuación para el plano tangente a f (x , y )=x2+ y3 en (3 ,1,10) .
11) Encuentre una ecuación para el plano tangente a f (x , y )=x ln(x y ) en (2 ,1 /2,0) .
12) Encuentre una ecuación para el plano tangente a x2+4 y2=2 z en (2 ,1, 4 ) .
13) Explique con sus propias palabras por que, cuando calculamos una derivada parcial de una
función de múltiples variables, podemos tratar las variables sin denotarlas como constantes.
14) Considere una función diferenciable f (x , y ) . Proporcione interpretaciones físicas de los
significados de f x (a ,b) y f y (a ,b) en cuanto a su relación con la gráfica de f .
15) De una manera muy parecida a la que usábamos la recta tangente para aproximar el valor de
una función del cálculo de una sola variable, podemos usar el plano tangente para aproximar
una función del cálculo de varias variables. Considere el plano tangente que se encontró en el
ejercicio 11. Use este plano para aproximar f (1.98,0.4) .
16) Suponga que uno de sus colegas ha calculado las derivadas parciales de una función dada, y le
reportó que f x (x , y )=2 x+3 y y que f y (x , y )=4 x+6 y . ¿Le creería? ¿Por qué sí o por qué
no? Si su respuesta es no, ¿que respuesta podría usted aceptar para f y ?
17) Suponga que f (t) y g(t) son funciones derivables de una sola variable. Encuentre ∂ z /∂ x y
∂ z /∂ y para cada una de las siguientes funciones de dos variables:
a) z=f (x) g( y )
b) z=f (x y )
c) z=f (x / y)
13
La Regla de la Cadena.
Considere la superficie z=x2 y+x y2 , y suponga que x=2+t4 y y=1−t3 . Podemos pensar que las
últimas dos ecuaciones describen como x y y cambian en relación con, digamos, el tiempo. Entonces
z=x2 y+x y2=(2+ t4)2(1−t3)+(2+t 4)(1−t 3)2
nos dice explícitamente como la coordenada z del punto correspondiente sobre la superficie depende
de t . Si queremos conocer dz /dt podemos calcularla más o menos directamente – es realmente un
poco más simple usar la regla de la cadena:
dz
dt
=x2 y '+2x x ' y+x 2 y y '+x ' y2
=(2 x y+ y2)x '+( x2+2 x y ) y '
=(2(2+t4)(1−t 3)+(1−t 3)2)(4 t3)+((2+t 4)2+2(2+ t 4)(1−t3))(−3 t 2)
Si observamos cuidadosamente el paso intermedio dz /dt=(2x y+ y2) x '+(x2+2x y ) y ' , notamos que
2 x y+ y2 es ∂ z /∂ x , y que x2+2 x y es ∂ z /∂ y . Esto resulta ser cierto en general, y nos da una
nueva regla de la cadena:
Teorema. Suponga que z=f (x , y ) , f es diferenciable, x=g(t ) , y y=h (t) . Suponiendo que las
derivadas existen, 
dz
dt
= ∂ z
∂ x
dx
dt
+ ∂ z
∂ y
dy
dt
Podemos escribir la regla de la cadena de una manera que es un tanto cercana a la regla de la cadena de
una sola variable:
df
dt
=〈 f x , f y 〉⋅〈 x ' , y ' 〉
o (aproximadamente) las derivadas de la función exterior “por” las derivadas de las funciones
interiores. No es sorprendente que la misma regla de la cadena se cumpla para funciones de más de dos
variables, por ejemplo, dada una función de tres variables f (x , y , z ) , donde cada una de las x, y y z es
una función de t,
df
dt
=〈 f x , f y , f z〉⋅〈 x ' , y ' , z ' 〉
Podemos incluso extender la idea un poco más. Suponga que f (x , y ) es una función y x=g(s , t ) y
y=h (s ,t ) son funciones de dos variables s y t. Entonces f es “realmente” una función de s y t
también, y
∂ f
∂ s
=f x gs+ f y hs 
∂ f
∂ t
= f x gt+ f y ht
14
La extensión natural de esto a f (x , y , z ) se cumple también.
Recuerde que usábamos la regla de la cadena para hacer diferenciación implícita. Podemos hacer lo
mismo con la nueva regla de la cadena.
Ejemplo.
x2+ y2+z2=4 Define una esfera, la cual no es una función de x y y, sin embargo puede verse como dos
funciones, los hemisferios superior e inferior. Podemos pensar en z como una de estas funciones, así
que realmente z=z (x , y ) , y podemos pensar en x y y como funciones particularmente simples de x y
y, y sea f (x , y , z )=x2+ y2+ z2 . Puesto que f (x , y , z )=4 , ∂ f /∂ x=0 , pero usando la regla de la
cadena:
0=∂ f
∂ x
=f x
∂ x
∂ x
+ f y
∂ y
∂ x
+ f z
∂ z
∂ x
=(2 x)(1)+(2 y )(0)+(2 z) ∂ z
∂ x
observando que puesto que y se mantiene temporalmente constante, su derivada es ∂ y /∂ x=0 .
Ahora podemos resolver para ∂ z /∂ x : 
∂ z
∂ x
=−2x
2 z
=− x
z
de manera similar podemos calcular ∂ z /∂ y=0 .
Ejercicios.
1) Use la regla de la cadena para calcular dz /dt para z=sen(x2+ y2) , x=t 2+3 , y=t 3 .
2) Use la regla de la cadena para calcular dz /dt para z=x2 y , x=sen(t) , y=t 2+1 .
3) Use la regla de la cadena para calcular ∂ z /∂ s y ∂ z /∂ t para z=x2 y , x=sen(s t) , y=t 2+s2
4) Use la regla de la cadena para calcular ∂ z /∂ s y ∂ z /∂ t para z=x2 y2 , x=s t , y=t 2−s2 .
5) Use la regla de la cadena para calcular ∂ z /∂ x y ∂ z /∂ y para 2 x2+3 y2−2 z2=9 .
6) Use la regla de la cadena para calcular ∂ z /∂ x y ∂ z /∂ y para 2x2+ y2+z2=9 .
7) Los estudiantes de química reconocerán la “ley del gas ideal”, dada por PV=n R T la cual 
relaciona la presión, el volumen y la temperatura de n moles de gas. (R es la constante del gas 
ideal). Así, podemos ver la presión, el volumen y la temperatura como variables, cada una 
dependiendo de las otras dos.
a) Si la presión de un gas se incrementa a razón de 0.2 Pa /min y la temperatura se incrementa 
a razón de 1 K /min , ¿a que rapidez cambia el volumen?
b) Si el volumen de un gas está decreciendo a razón de 0.3 L/min y la temperatura se está 
15
incrementando a razón de 0.5 K /min , ¿a qué rapidez cambia la presión?
c) Si la presión de un gas está disminuyendo a razón de 0.4 Pa /min y el volumen se está 
incrementando a razón de 3 L/min , ¿cuán rápido cambia la temperatura?
8) Verifique la siguiente identidad en el caso de la ley del gas ideal:
∂P
∂V
∂V
∂T
∂T
∂P
=−1
9) El ejercicio previo fue un caso especial del siguiente hecho, el cual debe verificar aquí: Si
F(x , y , z ) es una función de 3 variables, y la relación F( x , y , z )=0 define cada una de las 
variables en términos de las otras dos, a saber x=f ( y , z ) , y=g(x , z) y z=h(x , y) , entonces
∂ x
∂ y
∂ y
∂ z
∂ z
∂ x=−1
Derivadas de Orden Superior.
En el cálculo de una variable vimos que la segunda derivada es útil a menudo: en circunstancias
apropiadas mide la aceleración; puede usarse para identificar los puntos máximos y mínimos; nos dice
algo acerca de cuan agudamente curvado es un gráfico. No es sorprendente que las segundas derivadas
son también útiles en el caso multivariable, pero tampoco sorprende también, que las cosas sean un
poco más complicadas.
Es fácil ver de donde va a venir alguna complicación: con dos variables hay cuatro posibles segundas
derivadas. Para sacar una segunda derivada, debemos tomar una derivada parcial con respecto a x o
y , y hay cuatro maneras de hacerlo: x luego x , x luego y , y luego x , y luego y .
Ejemplo.
Calcule las cuatro derivadas de f (x , y )=x2 y2 .
Solución.
Usando una notación obvia, obtenemos:
f xx=2 y
2 f xy=4 x y f yx=4 x y f yy=2 x
2
Habrá notado que dos de estas derivadas son las mismas, las “derivadas mixtas” calculadas por medio
de sacar derivadas parciales con respecto a ambas variables en los dos posibles órdenes. Esto no es un
accidente. Siempre que la función sea razonablemente apropiada, esto será siempre cierto.
Teorema (de Clairaut).
Si las derivadas parciales mixtas son continuas, entonces son iguales.
Ejemplo.
Calcule las derivadas parciales mixtas de f (x , y )= x y
x2+ y2
.
16
Solución.
f x=
y3 – x2 y(x2+ y2)2
f x y=−
x4 – 6 x2 y2+ y4
(x2+ y2)3
Dejamos f y x como ejercicio.
Observaciones:
i) f xy significa (f x) y , es decir, la derivada con respecto a y de f x .
ii) Otra notación para representar f xx , f xy , f yx y f yy es 
∂2 f
∂ x2
, ∂
2 f
∂ y ∂ x
, ∂
2 f
∂ x∂ y
 y ∂
2 f
∂ y2
 
respectivamente.
Ejercicios.
1) Sea f (x , y )= x y
x2+ y2
; calcule f xx , f yx y f yy .
2) Encuentre todas las primeras y segundas derivadas parciales de f (x , y )=x3 y2+ y5 .
3) Encuentre todas las primeras y segundas derivadas parciales de f (x , y )=4 x3+x y2+10 .
4) Encuentre todas las primeras y segundas derivadas parciales de f (x , y )=x sen( y) .
5) Encuentre todas las primeras y segundas derivadas parciales de f (x , y )=sen (3 x)cos (2 y) .
6) Encuentre todas las primeras y segundas derivadas parciales de f (x , y )=ex+ y
2
.
7) Encuentre todas las primeras y segundas derivadas parciales de f (x , y )=ln√ x3+ y4 .
8) Encuentre todas las primeras y segundas derivadas parciales de z con respecto a x y y si
x2+4 y2+16 z2 – 64=0 .
9) Encuentre todas las primeras y segundas derivadas parciales de z con respecto a x y y si
x y+ y z+x z=1 .
10) Sean α y k constantes. Demuestre que la función u(x ,t )=e−α
2 k2 t sen (k x) es una solución a 
la ecuación de calor ut=α
2 uxx .
11) Sea α una constante. Demuestre que u=sen( x – a t )+ ln(x+a t ) es una solución de la 
ecuación de calor ut t=a
2ux x .
12) ¿Cuántas derivadas de tercer orden tiene una función de 2 variables? ¿Cuántas de éstas son 
distintas?
13) ¿Cuántas derivadas de n-ésimo orden tiene una función de 2 variables? ¿Cuántas de éstas son 
distintas?
17
ANEXO: Gráficas en 3D
1) Gráficas de f (x , y )=( x− y)2 .
18
-4
-2
 0
 2
 4
-4
-2
 0
 2
 4
 0
 20
 40
 60
 80
 100
z
(x-y) 2^
x
y
z
-4
-2
 0
 2
 4
-4
-2
 0
 2
 4
 0
 20
 40
 60
 80
 100
 100
 80
 60
 40
 20
-4
-2
 0
 2
 4
-4
-2
 0
 2
 4
 0
 20
 40
 60
 80
 100
 100
 80
 60
 40
 20
-4 -2 0 2 4
-4
-2
 0
 2
 4
2) Gráficas de f (x , y )=∣x∣+∣y∣
19
-4
-2
 0
 2
 4
-4
-2
 0
 2
 4
 0
 2
 4
 6
 8
 10
z
abs(y)+abs(x)
x
y
z
-4
-2
 0
 2
 4
-4
-2
 0
 2
 4
 0
 2
 4
 6
 8
 10
 10
 8
 6
 4
 2
-4
-2
 0
 2
 4
-4
-2
 0
 2
 4
 0
 2
 4
 6
 8
 10
 10
 8
 6
 4
 2
-4 -2 0 2 4
-4
-2
 0
 2
 4
3) Gráficas de f (x , y )=e−( x
2+ y2) sen( x2+ y2)
20
-4
-2
 0
 2
 4
-4
-2
 0
 2
 4
-0.05
 0
 0.05
 0.1
 0.15
 0.2
 0.25
 0.3
 0.35
z
%e (^-y^ 2-x^ 2)*sin(y^ 2+x^ 2)
x
y
z
-4
-2
 0
 2
 4
-4
-2
 0
 2
 4
 0
 0.05
 0.1
 0.15
 0.2
 0.25
 0.3
 0.3
 0.2
 0.1
 0
-4
-2
 0
 2
 4
-4
-2
 0
 2
 4
 0
 0.05
 0.1
 0.15
 0.2
 0.25
 0.3
 0.3
 0.2
 0.1
 0
-4 -2 0 2 4
-4
-2
 0
 2
 4
21