CONTINUIDADE E LIMITES DE DUAS VARIAVEIS

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CURSO: ENGENHARIA CIVIL – 2014.2 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
PROF. Ms. Miguel Aquino de Lacerda Neto 
▶AULA: CONTINUIDADE E LIMITES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 1. LIMITE E CONTINUIDADE EM FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 
 Se f é uma função contínua de duas variáveis, podem interessar-nos as mudanças nos valores funcionais 
 quando varia no domínio D e . Como ilustração física, suponha que uma chapa metálica 
plana tenha a forma da região D da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A cada ponto 
),( yx
da chapa corresponde uma temperatura 
),( yxf
, que é registrada em um 
termômetro representado pelo eixo-w. Quando o ponto 
),( yx
 se move na chapa, a temperatura pode 
aumentar diminuir ou permanecer constante, portanto, o ponto do eixo-w que corresponde a 
),( yxf
se 
moverá numa direção positiva, ou numa direção negativa, ou permanecerá fixo, respectivamente. Se a 
temperatura 
),( yxf
se aproxima de um valor fixo L quando 
),( yx
 se aproxima de um ponto fixo (a,b) 
utilizamos a seguinte notação: 
 
 ),(),(),(),(),(lim ),(),( bayxquandoLyxfouyxfyxfbayx 
 
 
Se isso ocorrer, dizemos que o limite é contínuo no ponto dado. Caso não ocorra, dizemos que o limite não é 
contínuo. 
▶Propriedades 
•A soma de n funções contínuas em um ponto é uma função contínua no ponto. 
 
•O produto de n funções contínuas em um ponto é uma função contínua no ponto (portanto, como 
consequência, toda função polinomial é contínua). 
 
 
REGRA DOS CAMINHOS: 
 Se dois caminhos diferentes para um ponto (a, b) resulta em dois limites diferentes, então 
 não existe. Devemos escolher um eixo para resolver o limite. 
 
▶EXEMPLOS: 
1. Verifique a continuidade da função no ponto (2; 1) 
 
2. Verifique se a função 
 
 
 é contínua no ponto (0; 0) 
 
2 
 
3. Verifique se a função {
 
 
 
 
 em (0; 0). 
 
4. Seja a função definida por 
 
 
 . Calcule o limite de quando tende a ( 0; 0) ao 
longo dos seguintes caminhos: 
a) eixo dos x; 
 
b) eixo dos y; 
 
c) a reta y = x; 
 
d) a parábola . 
 
 2. LIMITES DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 •Definição de Limite: Se uma função de duas variáveis definida em todo o interior de um círculo de 
centro 
),( ba
, exceto possivelmente no próprio 
),( ba
. A afirmação
Lyxf
bayx


),(lim
),(),(
 significa que, para todo 
0
, existe um 
0
 tal que se  22 )()(0 byax então  Lyxf ),( , o mesmo já estudado 
no Cálculo 1. Usaremos algumas regras básicas do Cálculo 1 para resolver esses limites. Vamos lá: 
 
▶LIMTES EXPONENCIAIS (REGRAS BÁSICAS) 
 
 1) ( 
 
 
)
 
 2) 
 
 3) 
 
 
 
 4) ( 
 
 
)
 
 5) 
 
 
 6) 
 
 
 
 
▶LIMITES INFINITOS (REGRAS BÁSICAS) 
 
1) 
 
 
 2) 
 
 
 3) 
 
 
 
 
▶LIMITE FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: Calcule os seguintes limites: 
a) 
)754(lim 23
)3,2(),(


yxyx
yx
 c)
yxyxx
yxy
yx 22
lim
2)2,1(),( 


 
 
b) 
22
22
)4,3(),(
lim
yx
yx
yx 


 d) 
( )