calculo diferencial e integral. preciso de ajuda

Como o ponto (2,3) não causa interminação na função para calcular o limite é só aplicar o valor diretamente.

lim (x,y)→(2,3) (xy+3x+y²)/(x+y)

lim (x,y)→(2,3) (2x3+3x2+3²)/(2+3)

lim (x,y)→(2,3) (6+6+9)/(5) = 21/5

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Vamos calcular o seguinte limite:

\[L=\lim\limits_{(x,y)\to(2,3)}\dfrac{xy+3x+y^2}{x+y}\]

A forma mais simples de se calcular limite de duas variáveis é usando coordenadas polares. Vamos começar por transladar o limite de forma que estudemos a origem:

\[(X,Y)=(x-2,y-3)\]

Assim, temos:

\[L=\lim\limits_{(X,Y)\to(0,0)}\dfrac{(X+2)(Y+3)+3(X+2)+(Y+3)^2}{(X+2)+(Y+3)}\]

\[L=\lim\limits_{(X,Y)\to(0,0)}\dfrac{(XY+2Y+3X+6)+(3X+6)+(Y^2+6Y+9)}{(X+2)+(Y+3)}\]

\[L=\lim\limits_{(X,Y)\to(0,0)}\dfrac{XY+8Y+6X+Y^2+21}{X+Y+5}\]

Vamos agora mudar para coordenadas polares:

\[(X,Y)=(r\cos\phi,r\sin\phi)\]

Então:

\[L=\lim\limits_{r\to }\dfrac{r^2\sin\phi\cos\phi+8r\sin\phi+6r\cos\phi+r^2\sin^2\phi+21}{r\cos\phi+r\sin\phi+5}\]

Substituindo \(r=0\) na expressão, temos:

\[L=\dfrac{21}5\]

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Como o resultado independe da direção \(\phi\) de aproximação, o limite existe e resulta em:

\[\boxed{\lim\limits_{(x,y)\to(2,3)}\dfrac{xy+3x+y^2}{x+y}=\dfrac{21}5}\]