Provas de Cálculo IV - 2013-02 UEA

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Escola Superior de Tecnologia - EST
1a Avaliac¸a˜o Parcial de Ca´lculo IV - Engenharia de Automac¸a˜o e Controle
Aluno (a):
Matr´ıcula: Prof. Msc. Jefferson Silva Data: 04/11/2013
Observac¸o˜es: Anexe a esta todas as folhas com resoluc¸o˜es e ca´lculos. Os ca´lculos podem ser feitos a la´pis e a resposta final
deve ser apresentada de caneta azul ou preta.
Questo˜es
Questa˜o 1. [valor 1, 5 pontos] Considere a equac¸a˜o
ty′′ − (2 + t2)y′ + 3ty = 0.
Mostre que y1(t) = t
3 e y2(t) = t
2|t| sa˜o soluc¸o˜es linearmente independentes desta equac¸a˜o,
qualquer que seja t ∈ R. No entanto, W (y1, y2)(t) = 0, para todo t ∈ R.
(Dica: As relac¸o˜es |t| =
√
t2 e
1
|t| =
|t|
t2
podem ser u´teis, quando usadas adequadamente.)
Questa˜o 2. [valor 2, 0 pontos] Resolver as seguintes equac¸o˜es diferenciais:
(a) [valor 0, 5 ponto] y′′ − 6y′ + 8y = 0;
(b) [valor 0, 75 ponto] y′′ + 8y′ + 41y = 0;
(c) [valor 0, 75 ponto] y′′ − 2y′ + y = 0.
Questa˜o 3. [valor 2, 5 pontos] Determinar a soluc¸a˜o da seguinte equac¸a˜o diferencial:
d5y
dx5
+
dy
dx
= x4 − x3 + x2 − 2x + 1.
Questa˜o 4. [valor 2, 0 pontos] Resolver, pelo me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros, a seguinte
equac¸a˜o:
y′′ − 2y′ + y = x−1ex.
Questa˜o 5. [valor 2, 0 pontos] Um circuito em se´rie consiste em um resistor com resisteˆncia
20Ω, um indutor com induntaˆncia L = 1H, um capacitor com capacitaˆncia 0, 002F e uma
bateria de E(t) = 12 sin 10tV volts. Se a carga inicial e a corrente forem iguais a 0, encontre
a carga no instante t.
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