Aula Dimensionamento de Vigas 2

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Estruturas de concreto I Estruturas de concreto I 
DIMENSIONAMENTO DE VIGASDIMENSIONAMENTO DE VIGAS
PROFª. GLEICY LOUVAIN
Domínios de deformação Domínios de deformação 
d' As1 
0 2 ‰ 3,5 ‰ 
B 
3 
7 h 
 
 
 
 
Os domínios são representações das deformações que ocorrem na seção
transversal dos elementos estruturais. As deformações são de alongamento
e de encurtamento, oriundas de tensões de tração e compressão,
respectivamente.
x2lim
x3lim
As2 
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
R
e
t
a
 
a
 
d h 
10 ‰ ε yd 0 2 ‰ 
R
e
t
a
 
b
 
Alongamento Encurtamento
2
Domínios de deformação Domínios de deformação 
• Para determinar a resistência de cálculo de uma seção
transversal, é preciso saber primeiramente em qual domínio esta
situado o diagrama de deformações específicas de cálculo dos
materiais ( aço e concreto);
• A reta a e os domínios 1 e 2 correspondem ao estado-limite
último por deformação plástica excessiva ( aço com alongamento
máximo); o outros domínios correspondem ao estado-limite último
por ruptura convencional (ruptura do concreto por encurtamento
limite).
3
Domínios de deformação Domínios de deformação 
x2lim
x3lim
d' As1 
As2 
0 2 ‰ 3,5 ‰ 
B 
3 
7 h 
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
R
e
t
a
 
a
 
 
 
 
d h 
 
 
 
 
 
ε
R
e
t
a
 
b
 
1) Reta a: tração uniforme (ou tração axial).
2) Domínio 1: tração não uniforme (ou tração excêntrica).
3) Domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do
concreto (εc≤ εcu).
4) Domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à
compressão do concreto com escamento do aço (εs≥εyd).
5) Domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou flexão composta com
ruptura à compressão do concreto sem o aço atingir o escoamento (εs<εyd).
6) Domínio 4a: flexão composta com armadura comprimida.
7) Domínio 5: compressão não uniforme.
8) Reta b: compressão uniforme (ou compressão axial).
10 ‰ ε yd 0 2 ‰ 
Alongamento Encurtamento
 
 
4
Domínios de deformação Domínios de deformação 
x2lim
x3lim
d' As1 
As2 
0 2 ‰ 3,5 ‰ 
B 
3 
7 h 
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
R
e
t
a
 
a
 
d h 
10 ‰ εyd 0 2 ‰ 
R
e
t
a
 
b
 
O ELU pode ocorrer por
deformação plástica
excessiva da armadura
(reta a e domínios 1 e 2)
ou por encurtamento
excessivo do concreto
(domínios 3, 4, 4a, 5 e
reta b).Alongamento Encurtamento
 
 
A capacidade resistente da peça é admitida esgotada quando se atinge o
alongamento máximo convencional de 10 ‰ na armadura tracionada ou
mais tracionada, ou, de outro modo, correspondente a uma fissura com
abertura de 1 mm para cada 10 cm de comprimento da peça.
reta b).
5
Domínios de deformação Domínios de deformação 
x2lim
x3lim
d' As1 
As2 
0 2 ‰ 3,5 ‰ 
B 
3 
7 h 
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
R
e
t
a
 
a
 
d h 
10 ‰ ε yd 0 2 ‰ 
R
e
t
a
 
b
 
Os diagramas valem
para todos os elementos
estruturais que
estiverem sob
solicitações normais,
como a tração e a
compressão uniformesAlongamento Encurtamento
10 ‰ ε yd 
O desenho dos diagramas de domínios pode ser visto como uma peça sendo
visualizada em vista ou elevação, constituída com duas armaduras longitudinais
próximas às faces superior e inferior da peça.
A posição da linha neutra é dada pelo valor de x, contado a partir da fibra
mais comprimida ou menos tracionada da peça. No caso específico, x é contado a
partir da face superior. Em função dos vários domínios possíveis, a linha neutra
estará compreendida no intervalo entre - ∞ (lado superior do diagrama no
desenho) e + ∞ (lado inferior do diagrama). Quando 0 ≤ x ≤ h, a linha neutra
estará passando dentro da seção transversal.
compressão uniformes
e as flexões simples.
6
RETA ARETA A
x2lim
x3lim
d' As1 
As2 
0 2 ‰ 3,5 ‰ 
B 
3 
7 h 
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
R
e
t
a
 
a
 
d h 
ε
R
e
t
a
 
b
 
Alongamento Encurtamento
O caso de solicitação da reta a é a tração uniforme com a força normal de
tração aplicada no centro de gravidade da seção transversal. A linha neutra
encontra-se no - ∞, e todos os pontos da seção transversal, inclusive as
armaduras, estão com deformação de alongamento igual à máxima de 10 ‰. As
duas armaduras, portanto, estão com a mesma tensão de tração, a de início de
escoamento do aço, fyd.
10 ‰ ε yd 0 2 ‰ 
7
Domínio 1Domínio 1
x2lim
x3lim
d' As1 
As2 
0 2 ‰ 3,5 ‰ 
B 
3 
7 h 
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
R
e
t
a
 
a
 
d h 
10 ‰ ε yd 0 2 ‰ 
R
e
t
a
 
b
 
O domínio 1 ocorre
quando a força normal de
tração não é aplicada no centro
de gravidade da seção
transversal, isto é, existe uma
excentricidade da força normal
em relação ao centro de
gravidade. Neste domínio
ocorre a tração não uniforme, e
a seção ainda está inteiramente
10 ‰ ε yd 
Alongamento Encurtamentoa seção ainda está inteiramente
tracionada, embora com
deformações diferentes. A deformação de alongamento na
armadura mais tracionada é fixa e vale
10 ‰. A linha neutra é externa à seção
transversal, podendo estar no intervalo
entre – ∞ (reta a) e zero (limite entre
os domínios 1 e 2). A capacidade
resistente da seção é proporcionada
apenas pelas armaduras tracionadas,
pois o concreto encontra-se
inteiramente fissurado.
a) b) 
LN 
x (-) 
 
 
A s2 
LN (x = 0) 
εs1 
A s1 
εs1
 
 
e 
CG 
F 
 εs2 εs2 
0 0 
10 ‰ 10 ‰ 
8
Domínio 1Domínio 1
x2lim
x3lim
d' As1 
As2 
0 2 ‰ 3,5 ‰ 
B 
3 
7 h 
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
R
e
t
a
 
a
 
d h 
ε
R
e
t
a
 
b
 
1) Domínio 1: tração não uniforme (ou tração excêntrica).
10 ‰ ε yd 0 2 ‰ 
Alongamento Encurtamento
9
Domínio 2Domínio 2
x2lim
x3lim
d' As1 
As2 
0 2 ‰ 3,5 ‰ 
B 
3 
7 h 
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
R
e
t
a
 
a
 
d h 
ε
R
e
t
a
 
b
 
Ocorrem a solicitação
de flexão simples,
tração excêntrica com
grande excentricidade
ou compressão
excêntrica com grande
excentricidade. A seção
transversal tem parte
tracionada e parte
10 ‰ ε yd 0 2 ‰ 
Alongamento Encurtamento
 
 
Caracterizado pela deformação de alongamento fixada em 10 ‰ na
armadura tracionada. Em função da posição da linha neutra, que pode
variar de zero a x2lim (0 ≤ x ≤ x2lim), a deformação de encurtamento na
borda mais comprimida varia de zero até 3,5 ‰. Quando a linha neutra
passar por x2lim, ou seja, x= x2lim, as deformações na armadura
tracionada e no concreto da borda comprimida serão os valores últimos, 10
‰ e 3,5 ‰, respectivamente.
tracionada e parte
comprimida .
10
Domínio 2Domínio 2
No domínio 2 diz-se que a armadura tracionada (As2) é aproveitada ao máximo,
com εsd = 10 ‰, mas o concreto comprimido não, com εcd ≤ 3,5 ‰.
O domínio 2 é subdividido em 2a e 2b em função da deformação máxima de
encurtamento no concreto comprimido. No domínio 2a considera-se a deformação
variando de zero a 2 ‰ e no domínio 2b de 2 ‰ a 3,5 ‰.
A seção resistente é composta por aço tracionado e concreto comprimido.
A s1 x (+) εs1 
LN 
M 
OU 
A s2 εs2 
 
10 ‰ 
A s1 
 
 
 
A s2 
F 
e 
εcd 
OU 
A s1 
 
 
 
A s2 e
F
11
Domínio 3Domínio 3
x2lim
x3lim
d' As1As2 
0 2 ‰ 3,5 ‰ 
B 
3 
7 h 
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
R
e
t
a
 
a
 
d h 
10 ‰ ε yd 0 2 ‰ 
R
e
t
a
 
b
 
10 ‰ ε yd 
Alongamento Encurtamento
Os casos de solicitação são os mesmos do domínio 2, ou seja, flexão
simples, tração excêntrica com grande excentricidade ou compressão excêntrica
com grande excentricidade. A seção transversal tem parte tracionada e parte
comprimida .
O domínio 3 é caracterizado pela deformação de encurtamento máxima
fixada em 3,5 ‰ no concreto da borda comprimida. A deformação de
alongamento na armadura tracionada varia da deformação de início de
escoamento do aço (εyd) até o valor máximo de 10 ‰, o que implica que a
tensão na armadura é a máxima permitida, fyd.
12
Domínio 3Domínio 3
A posição da linha neutra pode variar, desde o valor x2lim até x3lim (x2lim
≤ x ≤ x3lim), que delimita os domínios 3 e 4. A deformação de
encurtamento na armadura comprimida é menor mas próxima a 3,5 ‰, por
estar próxima à borda comprimida, onde a deformação é 3,5 ‰.
Na situação última a ruptura do concreto comprimido ocorre
simultaneamente com o escoamento da armadura tracionada. Situação ideal
pois os dois materiais atingem sua capacidade resistente máxima.pois os dois materiais atingem sua capacidade resistente máxima.
 
 
 
A s2 
 3,5 ‰ 
A s1
εcd = 3,5 ‰ 
εs1 
M 
LN 
OU 
 
εs2 
A s1 
 
 
 
A s2 
F 
e 
OU 
εyd ≤ εsd ≤ 10 ‰ 
A s1 
 
 
 
A s2 e 
F 
13
Domínio 3Domínio 3
14
Domínio 4Domínio 4
x2lim
x3lim
d' As1 
As2 
0 2 ‰ 3,5 ‰ 
B 
3 
7 h 
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
R
e
t
a
 
a
 
d h 
10 ‰ ε yd 0 2 ‰ 
R
e
t
a
 
b
 
Alongamento Encurtamento
 
 
Os casos de solicitação do
domínio 4 são a flexão simples
e a flexão composta.
A seção transversal tem
parte tracionada e parte
comprimida
O domínio 4 é
caracterizado pela deformação
de encurtamento máxima
fixada em 3,5 ‰ no concretofixada em 3,5 ‰ no concreto
da borda comprimida.
A deformação de
alongamento na armadura
tracionada varia de zero até a
deformação de início de
escoamento do aço (εyd), o que
implica que a tensão na
armadura é menor que a
máxima permitida, fyd.
A posição da linha neutra
pode variar de x3lim até a
altura útil d.
A s1 
εcd = 3,5 ‰ 
εs1 
M x 
OU LN 
A s2 εs2 
 3,5 ‰ 
0 ≤ εsd ≤ εyd 
A s1 
 
 
 
A s2 
F 
e 
15
Domínio 4Domínio 4
16
Domínio 4aDomínio 4a
x2lim
x3lim
d' As1 
As2 
0 2 ‰ 3,5 ‰ 
B 
3 
7 h 
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
R
e
t
a
 
a
 
d h 
ε
R
e
t
a
 
b
 
No domínio 4a a
solicitação é de flexão
composta (flexo-
compressão). A seção
transversal tem uma
pequena parte tracionada e
a maior parte comprimida.
10 ‰ ε yd 0 2 ‰ 
Alongamento Encurtamento
O domínio 4a também é caracterizado pela
deformação de encurtamento máxima fixada em 3,5
‰ no concreto da borda comprimida. A linha neutra
ainda está dentro da seção transversal, na região de
cobrimento da armadura menos comprimida (As2), ou
seja, d ≤ x ≤ h.
Ambas as armaduras encontram-se
comprimidas, embora a armadura próxima à linha
neutra tenha tensões muito pequenas.
εcd = 3,5 ‰ 
εs1 
x 
LN
3,5 ‰ 
F 
A s1 
 
 
 
A s2 
 
 
 
 
e 
a maior parte comprimida.
17
Domínio 5Domínio 5
x2lim
x3lim
d' As1 
0 2 ‰ 3,5 ‰ 
B 
3 
7 h 
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R
e
t
a
 
a
 
 
 
 
d h 
 
 
 
 
R
e
t
a
 
b
 
As2 
 
 A 
10 ‰ ε yd 0 2 ‰ 
Alongamento Encurtamento
 
 
No domínio 5 ocorre a compressão não uniforme ou
flexo-compressão com pequena excentricidade (flexão
composta). A linha neutra não corta a seção transversal, que
está completamente comprimida, embora com deformações
diferentes. As duas armaduras também estão comprimidas.
18
Domínio 5Domínio 5
A posição da linha neutra varia de h até + ∞ . O que caracteriza o domínio 5 é
o ponto C a 3/7 h . A linha inclinada do diagrama de deformações passa sempre por
este ponto no domínio 5. A deformação de encurtamento na borda mais comprimida
varia de 2 ‰ a 3,5 ‰ e na borda menos comprimida varia de 0 a 2 ‰, em função da
posição x da linha neutral.
A forma do diagrama de deformações será a de um trapézio.
2 ‰ ≤ εcd ≤ 3,5 ‰ 
εs1 
0 2 
A s1
3h 
7 
 F 
e C 
A s2 εs2 
LN 
19
Domínio 5Domínio 5
20
Reta BReta B
O caso de solicitação da reta b é a compressão uniforme (também
chamada compressão simples ou compressão axial), com a força normal
de compressão aplicada no centro de gravidade da seção transversal . A
linha neutra encontra-se no + ∞, e todos os pontos da seção transversal
estão com deformação de encurtamento igual a 2 ‰. As duas armaduras,
portanto, estão sob a mesma deformação e a mesma tensão de
compressão.
21
DETERMINAÇÃODETERMINAÇÃO DE xDE x2lim 2lim E xE x3lim3lim
22
DETERMINAÇÃODETERMINAÇÃO X3limX3lim
Como se observa nas Eq os valores de x3lim e ᵝx3lim dependem de
ɛyd, isto é, dependem da categoria do aço da armadura passiva.
23
DomíniosDomínios
� Elementos submetidos à flexão simples podem ser 
dimensionados apenas nos domínios 2,3 e 4. 
� Verifica-se que os domínios 2 e 3 representam deformadas 
correspondentes à ruptura dúctil enquanto o 4 à ruptura 
frágil.
24
RupturasRupturas
� Dúctil: É a ruptura que se processa pelo aço. Ultrapassa-se o ELU de 
alongamento excessivo da armadura tracionada. O colapso se dá com a 
peça experimentando deslocamentos (flechas) bem pronunciados e 
fissuração bastante exagerada.
� Frágil: É a ruptura que se dá pelo concreto. Ultrapassa-se o ELU de 
encurtamento do concreto comprimido. O colapso se dá com a peça 
apresentando deslocamentos e fissuração pouco visíveis.
25
RupturasRupturas
� Ou seja, a ruptura frágil mostra-se desvantajosa em relação
a dúctil, já que no caso de falha real da estrutura, esta se
daria sem aviso prévio e portanto podendo agravar
consequências de um eventual acidente.
26
Concreto Armado
Detalhamento da armadura longitudinal
Armaduras de flexão
As armaduras de flexão devem ser espaçadas de 2 cm ou de
uma distância igual ao seu diâmetro.
Sempre que possível adotar diâmetros menores de modo a ter-
se uma aderência mais favorável.
A disposição das camadas de armaduras deve ser executada
de modo a facilitar a concretagem (não coar o concreto e
permitir uma vibração adequada).
27
Concreto Armado
Armadura longitudinal mínima
Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas
28
Concreto Armado
Armadura de pele
alma,cpele,s A%,A 100=
Armadura longitudinal mínima
A armadura mínima lateral deve ser colocada em
cada face da alma da vigas para aços CA 50 e CA 60,cada face da alma da vigas para aços CA 50 e CA 60,
sendo no mínimo 5 cm2/m.
Essa armadura deve ser ancorada nos apoios.
Espaçamento ≤20 cm ou 15ϕL (armadura de pele
tracionada).
Para vigas com h≤60 cm essa armadura pode ser
dispensada.
As armaduras de tração e compressão não podem
ser computadas no cálculo da armadura de pele.
29
Concreto Armado
Detalhamento das armaduras longitudinais
dmáx,agreg= diâmetro
máximo do agregado
graúdo.
Espaçamento horizontal



≥ luvafeixebarrah ,,
mm
e
20
φφφ graúdo.


≥
agreg,máx
luvafeixebarrah
d,
,,e
21
φφφ
Espaçamento vertical





≥
agreg,máx
luvafeixebarrav
d,
,,
mm
e
50
20
φφφ
30FLEXÃOFLEXÃO
� O cálculo da armadura necessária para resistir a um 
momento fletor é um dos pontos mais importantes 
no detalhamento das peças de concreto armado.
� O Dimensionamento é feito no estado-limite 
último de ruína, impondo que na seção mais 
O Dimensionamento é feito no estado-limite 
último de ruína, impondo que na seção mais 
solicitada sejam alcançadas as deformações limites 
específicas. 
� Ou seja, o estado-limite último pode ocorrer tanto 
pela ruptura do concreto comprimido quanto pela 
deformação excessiva da armadura tracionada.
31
� O estudo das seções de concreto armado tem por
objetivo comprovar que, sob solicitações de
cálculo, a peça não supera os estados-limite,
supondo que o concreto e o aço tenham, como
FLEXÃOFLEXÃO
supondo que o concreto e o aço tenham, como
resistências reais, as resistências características
minoradas ( resistência de cálculo). Assim, as
solicitações de cálculo são aquelas que, se
alcançadas, levarão a estrutura a atingir um estado-
limite, caracterizando a ruína.
32
Tipos de flexãoTipos de flexão
� Existem vários tipos de flexão, por enquanto, 
estudaremos a flexão simples e a pura.
FLEXÃO SIMPLES x FLEXÃO PURAFLEXÃO SIMPLES x FLEXÃO PURA
Ocorre quando 
não há esforço 
normal na seção 
(N=0)
Ocorre quando não há 
esforço cortante na 
seção, o momento é 
constante.
33
Ensaio de StuttgartEnsaio de Stuttgart
A construção do modelo de
dimensionamento de elementos fletidos
tem como ponto de partida este ensaio, no
qual a viga é conduzida à ruptura de fato,
pelo carregamento simétrico indicado napelo carregamento simétrico indicado na
figura. Neste ensaio faz-se a instrumentação
da seção central da viga, registrando a cada
acréscimo de carga as correspondentes
deformações e tensões nesta seção, até o
colapso do elemento estrutural pela
ruptura real da seção.
34
Ensaio de StuttgartEnsaio de Stuttgart
Os resultados deste
ensaio, demostram que
a seção passa por 3
fases sucessivas e
distintas, na medida em
que o carregamento
evolui de seu valor
inicial até o instante em
evolui de seu valor
inicial até o instante em
que o mesmo provoca
o colapso do elemento.
Estas fases são denominadas estádios I, II e III, destacando-se
o comportamento, as tensões e deformações em cada um
deles.
35
DIMENSIONAMENTO FLEXÃODIMENSIONAMENTO FLEXÃO
A seção retangular com armadura simples é caracterizada da seguinte 
forma:
� a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular;
� a barras que constituem a armadura está agrupada junto à borda 
tracionada e pode ser imaginada concentrada no seu centro de 
gravidadegravidade
36
DIMENSIONAMENTO FLEXÃODIMENSIONAMENTO FLEXÃO
37
DIMENSIONAMENTO FLEXÃODIMENSIONAMENTO FLEXÃO
38
DIMENSIONAMENTO FLEXÃODIMENSIONAMENTO FLEXÃO
39
DIMENSIONAMENTO FLEXÃODIMENSIONAMENTO FLEXÃO
40
DIMENSIONAMENTO FLEXÃODIMENSIONAMENTO FLEXÃO
41
DIMENSIONAMENTO FLEXÃODIMENSIONAMENTO FLEXÃO
42