Apostila de Concreto Armado - Capítulo 5 e 6 - Dimensionamento ELU

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Capítulo 5 
DIMENSIONAMENTO NO ESTADO-LIMITE ÚLTIMO 
Solicitações Normais 
 
 
5.1 - Introdução 
 
 Solicitações normais são as que causam tensões normais nas seções transversais dos 
elementos estruturais. Essas solicitações são momento fletor e força normal e ocorrem em peças 
sujeitas a flexão simples (vigas e lajes em geral) ou composta (pilares). 
As relações tensão-deformação do concreto e do aço, apresentadas nos capítulos 2 e 3, 
são aqui consideradas para o desenvolvimento da teoria geral sobre a qual se baseiam os métodos 
de análise e dimensionamento no estado limite último de peças sujeitas a solicitações normais. 
Essa teoria será aplicada a vigas e pilares nos próximos capítulos. 
 Antes de iniciarmos o estudo, necessário relembrar alguns conceitos. 
 
 Flexão pura é quando atua momento fletor, sem esforço cortante. 
 Flexão simples é quando atua momento fletor, sem esforço normal. 
 Flexão composta, quando atuam simultaneamente momento fletor e esforço 
normal. 
 
5.2 – O comportamento de uma viga de concreto armado 
 
Seja a viga de concreto armado da figura a seguir, sob a ação de duas cargas concentradas, 
de igual intensidade simétricas. Os diagramas de esforços estão mostrados abaixo, sendo que no 
trecho BC há flexão pura, sem esforço cortante. 
 
 
Figura 5.1 - Viga sob carregamento (Süssekind) 
 
Para um estágio inicial de carregamento, os momentos fletores máximos são pequenos, e 
são resistidos pela seção de concreto e aço, sem fissurar (as tensões máximas de tração, no bordo 
inferior, ainda não superam a resistência do concreto à tração). Esta fase se denomina Estádio I. 
No Estádio I, o concreto ainda resiste às tensões de tração decorrentes dos momentos fletores, e 
os materiais atendem à lei de Hooke (tensões são proporcionais às deformações). 
 
 
36 
 
Figura 5.2 - Viga no Estádio I (Süssekind) 
 
 
Figura 5.3 - Tensões na seção transversal no Estádio I (Montoya) 
 
Nesta fase do carregamento, a estrutura comporta-se de forma semelhante à estudada na 
Resistência dos Materiais. Observar o fluxo de tensões principais, indicando, em cada trecho da 
viga, as direções principais de tração e de compressão. 
O momento fletor é resistido por um binário (resultante de compressão, resultante de 
tração, e braço de alavanca “z”). 
Se aumentarmos o carregamento, os momentos fletores também aumentarão, e num 
determinado momento as tensões de tração na borda inferior da seção ultrapassarão a resistência 
do concreto à tração. Neste momento o concreto vai apresentar um princípio de fissuração no 
trecho central da viga, onde os momentos são máximos (fissuras verticais). Diz-se que este trecho 
da viga está trabalhando no Estádio II. A viga vai ter, nesta fase do carregamento, um trecho no 
Estádio I e outro no Estádio II. No primeiro trecho, os momentos são inferiores ao momento que 
gera a fissuração, e no segundo, são superiores. A figura a seguir ilustra tal situação. 
 
Figura 5.4 - Viga com as primeiras fissuras de flexão (Leonhardt) 
 
Figura 5.5 - Tensões na seção transversal no Estádio II (Montoya) 
 
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No trecho que está no Estádio II, o concreto já não resiste às tensões de tração decorrentes 
dos momentos fletores, a força de tração do binário provém exclusivamente pela armadura 
tracionada. Mas os materiais ainda atendem à lei de Hooke (concreto comprimido e armadura 
tracionada). 
Os estados-limites de serviço são, geralmente, verificados para as combinações de carga 
em serviço (quase permanentes, frequentes e raras), e, para estas combinações, a estrutura estará 
possivelmente trabalhando no domínio II. 
Se aumentarmos ainda mais o carregamento, até chegar próximo ao colapso, a viga estará 
praticamente toda fissurada. Na região central, onde há flexão pura, as fissuras permanecem 
verticais. Nas regiões onde o momento diminui e surge o esforço cortante, as fissuras são 
inclinadas, e podem não atingir o bordo inferior (fissuras de cisalhamento). 
 
 
Figura 5.6 - Viga no Estádio III (Süssekind) 
 
 
Figura 5.7 - Tensões na seção transversal no Estádio III (Montoya) 
 
No Estádio III, as seções ainda permanecem planas, mas os materiais já não atendem à 
lei de Hooke (concreto e aço na fase plástica). 
No dimensionamento das estruturas em concreto armado, que é feito no estado limite 
último, a estrutura estará trabalhando no domínio III. 
 
A figuras a seguir mostram, em cada um dos três estádios, os diagramas de deformações 
(𝜀) e de tensões normais (𝜎). 
 
Estádio I Estádio II Estádio III 
Figura 5.8 - Deformações e tensões nos Estádios I, II e III (Montoya) 
 
 
 
 
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5.3 – Hipóteses de cálculo 
 
 As hipóteses para o cálculo no estado limite último nos casos de flexão simples e 
composta, normal ou oblíqua, e de tração e compressão uniforme são: 
 
1) As seções transversais permanecem planas: os vários casos possíveis de domínios de 
deformação correspondentes ao estado limite último são os mostrados na Figura 5.9. 
2) Aderência perfeita entre o aço e o concreto, ou seja, a deformação num determinado ponto de 
uma barra da armadura é igual à do concreto neste ponto. 
3) Encurtamento de ruptura do concreto 
 Concretos até classe C50 
 c = 3,5‰ em seções não inteiramente comprimidas (domínios 3, 4 e 4a) 
 2‰ < c < 3,5‰ na borda mais comprimida em seções inteiramente comprimidas 
(domínio 5) 
 c = 2‰ na compressão uniforme 
 
 
 
Figura 5.9 - Distribuição de deformações na seção transversal no Estado Limite 
Último (concretos de classe até C50) 
 
4) Alongamento máximo da armadura 
s = 10‰ (domínios 1 e 2) 
5) Distribuição das tensões no concreto 
A distribuição das tensões na seção se faz de acordo com as relações tensão-deformação do 
concreto apresentadas no capítulo 2 (Fig. 2.12 e 2.13, diagrama parabólico-retangular). A 
resistência à tração do concreto é desprezada. 
6) Distribuição das tensões na armadura 
A tensão na armadura é obtida em função das relações tensão-deformação dos aços 
apresentadas no capítulo 3, Figura 3.1.b. 
 
 
 O diagrama de distribuição de deformações mostrado na Figura 5.9 era o previsto na 
NBR 6118/2003, e é válido para concretos até a classe C50 (50 MPa). A nova versão da norma, 
NBR 6118/2014, inovou, introduzindo concretos de resistência mais elevada: concretos do grupo 
II, com resistências de até 90 MPa. Para estes concretos as deformações máximas do concreto 
devem ser alteradas, e passam a ser função da sua resistência (assunto já estudado, ver itens 2.8 
e 2.10). Desta forma, para concretos do grupo II o diagrama de deformações da Figura 5.9 já não 
 
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se aplica, devendo ser usado o diagrama da Figura 5.10. Mudam somente as deformações 
máximas do concreto, passando a valer as enunciadas a seguir: 
 
3a) Encurtamento de ruptura do concreto 
 
 Concretos classes C55 a C90 (expressões de c2 e de cu apresentadas no item 2.10, Figura 
2.13) 
 c = cu em seções não inteiramente comprimidas (domínios 3, 4 e 4a) 
 c2 < c < cu na borda mais comprimida em seções inteiramente comprimidas (domínio 
5) 
 c = c2 na compressão uniforme 
 
 
 
 
Figura 5.10 - Distribuição de deformações na seção transversal no Estado Limite 
Último (concretos de todas as classes – até C90) 
 
Os valores de deformações máximas no concreto, aplicáveis à Figura 5.10, para as 
diferentes classes de resistência do concreto, estão mostrados na Tabela 5.1. 
 
 
Tabela 5.1 – Valores de (𝜺𝒄𝟐, 𝜺𝒄𝒖, posição C) 
Classe de 
Resistência 
C20 até C50 C55 C60 C65 C70 C75 C80 C85 C90 
𝜀𝑐2 (
o/oo) 2,00 2,20 2,29 2,36 2,42 2,47 2,52 2,56 2,60 
𝜀𝑐𝑢 (
o/oo) 3,50 3,12 2,88 2,74 2,66 2,62 2,60 2,60 2,60 
Posição C 3h/7 = 0,43h 0,29h 0,20h 0,14h 0,09h 0,06h 0,03h 0,02h 0,00 
 
 
Os domínios de deformação indicados nas Figuras 5.9 e 5.10 ocorrem nos seguintes casos de 
solicitações: 
 Domínio 1 - Tração uniforme e flexo-tração com pequena excentricidade 
 Domínio2, 3 e 4 – Flexão simples e flexão composta (força normal de tração ou compressão) 
com grande excentricidade 
 Domínios 4a e 5 – Flexo-compressão com pequena excentricidade e compressão uniforme 
 
 
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5.4 – Equações de equilíbrio e de compatibilidade 
 
O cálculo de uma seção de concreto armado sujeita a solicitações normais é feito por 
meio de equações de equilíbrio e de equações de compatibilidade, com base nas hipóteses de 
cálculo apresentadas anteriormente. O caso mais geral está mostrado na Figura 5.11, que 
representa uma seção sujeita a uma força de compressão aplicada fora dos eixos principais da 
seção (flexão composta oblíqua). A partir das informações dadas na figura, as equações de 
equilíbrio podem ser escritas na forma 
 
  
ccA
sisicccd AdAN  Eq. 5.1 
 
  
ccA
isisicccxdxd xAxdAeNM  Eq. 5.2 
 
  
ccA
isisicccydyd yAydAeNM  Eq. 5.3 
 
As equações de compatibilidade são equações que relacionam as deformações nas barras da 
armadura com as deformações no concreto, escritas a partir da hipótese das seções planas, i.e., a 
variação das deformações ao longo da altura da seção é linear. Nos exemplos que se seguem, 
essas equações serão desenvolvidas para alguns casos específicos. 
 
 
 
Figura 5.11 - Tensões e deformações numa seção sujeita a flexão composta oblíqua 
 
A partir destes conceitos básicos, poderemos dimensionar quaisquer seções submetidas 
a solicitações normais. Dependendo da situação, poderemos ter uma solução exata, a partir das 
equações, ou uma solução por tentativas. Poderemos ainda nos valer de tabelas ou ábacos para o 
dimensionamento. 
No prosseguimento do estudo do dimensionamento à flexão trabalharemos somente com 
concretos de classe de resistência até C50. 
 
x
c
y
c
si
si
ccA
Asi
ccdA
Nd
y
x
xe
ye
 
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Capítulo 6 
FLEXÃO NORMAL SIMPLES 
 
6.1 – Introdução 
 
Neste capítulo estudaremos a flexão normal simples, as demais possibilidades serão 
estudadas mais adiante. 
A flexão pode ser normal ou oblíqua. Na flexão normal, há simetria da seção transversal 
em relação ao plano de flexão (plano do carregamento), o que não ocorre na flexão oblíqua 
(Figura 6.1). A flexão oblíqua é o caso geral, sendo a flexão normal um caso particular da 
oblíqua. 
 
 
(a) Flexão normal simples (b) Flexão oblíqua simples 
Figura 6.1 - Flexão simples, normal e oblíqua, em seção retangular 
 
 
Na flexão normal simples (onde só atua um momento fletor Md) haverá sempre uma 
parte da seção comprimida e outra tracionada. O momento solicitante (Md) é resistido por um 
momento resistente, formado por um binário de duas forças iguais (Rcd, de compressão no 
concreto, e Rsd, de tração na armadura) separadas por um braço de alavanca “z” (Figura 6.2). 
 
 
Figura 6.2 - Binário resistente Rcd . z = Rsd . z = Md 
 
 
Tendo em vista que a solicitação restringe-se ao momento fletor (Md), a seção 
necessariamente terá uma parte comprimida e outra tracionada. Logo, o equilíbrio entre 
solicitação e esforços internos resistentes só é possível se a seção trabalhar nos domínios de 
deformações com tais características (domínios 2, 3 ou 4), em que a linha neutra corta a seção, 
como mostrado na Figura 6.3, válida para concretos de classe até C50. 
 
 
42 
 
 
 
Figura 6.3 – Domínios de deformações na flexão simples (concretos até C50) 
 
 
Neste caso, poderíamos nos situar em uma das três situações a seguir: 
 
 Domínio 2: 
 
A armadura (As1) tem alongamento (𝜀𝑠 = 𝜀𝑠𝑢 = + 10º/oo), e o concreto tem encurtamento 
(0 < [𝜀𝑐] < | 𝜀𝑐𝑢| = |-3,5º/oo|) inferior ao máximo, ou seja, há ruptura convencional por 
deformação plástica excessiva da armadura tracionada As1 (sem que haja esmagamento 
do concreto). Observar na Figura 6.4.a que, no domínio 2, a linha representativa das 
deformações sempre passa no ponto A (𝜀𝑠 = 𝜀𝑠𝑢 = + 10º/oo). 
 
No limite entre os domínios 1 e 2, temos: 
𝜀𝑠 = 𝜀𝑠𝑢 = + 10º/oo e 𝜀𝑐 = 0,00 º/oo 
 
No limite entre os domínios 2 e 3, temos: 
𝜀𝑠 = 𝜀𝑠𝑢 = + 10º/oo e 𝜀𝑐 = - 3,5º/oo 
 
Logo, a profundidade de linha neutra no limite entre os domínios 2 e 3 é: 
𝒙𝟐
𝟑
= 
𝟑, 𝟓
𝟑, 𝟓 + 𝟏𝟎, 𝟎
 . 𝒅 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟗 . 𝒅 
 
 
(a) Domínio 2 (Montoya) (b) Domínio 3 (Montoya) 
Figura 6.4 – Domínios 2 e 3 de deformações

 
43 
 
Domínio 3: 
 
A armadura (As1) tem alongamento (𝜀𝑦 < 𝜀𝑠 < 𝜀𝑠𝑢 = + 10º/oo), e o concreto tem 
encurtamento ( 𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑢 = - 3,5º/oo) igual ao máximo, ou seja, há ruptura convencional 
por encurtamento limite do concreto (esmagamento do concreto), mas a armadura 
tracionada está em escoamento (𝜀𝑠 > 𝜀𝑦). Observar na Figura 6.4.b que, no domínio 3, 
a linha representativa das deformações sempre passa no ponto B ( 𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑢 = - 3,5º/oo). 
 
No limite entre os domínios 3 e 4, temos: 
𝜀𝑠 = 𝜀𝑦𝑑 e 𝜀𝑐 = - 3,5º/oo 
 
Para cada tipo de aço temos um valor de (𝜀𝑦𝑑) diferente, como mostrado na tabela a 
seguir. Logo, a profundidade de linha neutra no limite entre os domínios 2 e 3 será: 
𝒙𝟑/𝟒 = 𝒙𝟑,𝒍𝒊𝒎 = 
𝟑, 𝟓
𝟑, 𝟓 + 𝜺𝒚𝒅
 . 𝒅 
𝑓𝑦𝑑 = 
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠 = 
⁄
𝑓𝑦𝑘
1,15 
⁄ 𝐸𝑠 = 210 GPa 𝜖𝑦𝑑 = 
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
⁄ 
 
Tabela 6.1 – Limite entre os domínios 3 e 4 
AÇO 𝝐𝒚𝒅 𝒇𝒚𝒌(MPa) 𝒇𝒚𝒅(MPa) x3,lim 
CA-25 1,04 o/oo 250,0 217,4 0,771 . d 
CA-50 2,07 o/oo 500,0 434,8 0,628 . d 
CA-60 2,48 o/oo 600,0 521,7 0,585 . d 
 
Nos dois domínios acima descritos (2 e 3), quando se chega próximo ao estado limite 
último, a armadura tracionada já está em escoamento (𝜀𝑠 > 𝜀𝑦𝑑), ou seja, há grandes 
deformações e intensa fissuração da peça, fenômenos que dão sinais indicativos de que a 
estrutura está se aproximando do colapso. Neste caso diz-se que ocorre uma ruptura com aviso. 
 
 Domínio 4: 
 
A armadura (As1) tem alongamento (𝜀𝑠 < 𝜀𝑦), e o concreto tem encurtamento ( 𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑢 
= - 3,5º/oo) igual ao máximo, ou seja, há ruptura convencional por encurtamento limite 
do concreto (esmagamento do concreto), e a armadura tracionada NÃO está em 
escoamento (𝜀𝑠 < 𝜀𝑦). Observar que, no domínio 4, a linha representativa das 
deformações sempre passa no ponto B (Figura 6.5). 
 
 Figura 6.5 – Domínio 4 (adaptado de Montoya) 
 
 
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Esta forma de alcançar o estado limite último (no domínio 4) deve ser evitada, pois 
quando há ruptura do concreto ( 𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑢 = - 3,5º/oo) sem que a armadura tenha atingido a tensão 
de escoamento (𝜀𝑦 > 𝜀𝑠), ocorre uma ruptura frágil da seção, sem aviso prévio (item 17.2.3 
da norma). 
 
 
Foto 6.1 - Queda do elevado da Av. Paulo de Frontin – nov/1971 
 
 
Foto 6.2 - Queda do elevado da Av. Paulo de Frontin – nov/1971 
 
Para evitar trabalhar no domínio 4 (ruptura sem aviso prévio), algumas soluções 
alternativas podem ser tomadas pelo projetista: 
 Aumentar as dimensões da seção transversal, preferencialmente a altura “h”. 
 Usar concreto de maior resistência. 
 Manter os parâmetros iniciais, mas usar uma armadura comprimida (denominada 
A’s, ou As2), colocada próxima ao bordo superior, de modo a auxiliar o concreto 
na resistência aos esforços de compressão, o que leva a uma redução da 
profundidade da linha neutra “x”, até que a peça deixe de trabalhar no domínio 4 
e passe (pelo menos) para o domínio 3. 
 
E, finalmente, no limite entre os domínios 4 e 4a, temos: 
𝜀𝑠 = 0,0 e 𝜀𝑐 = - 3,5º/oo 
 
Logo, a profundidade de linha neutra no limite entre os domínios 4 e 4a é: 
𝒙𝟒/𝟒𝒂 = 𝒅 
 
45 
Neste ponto, em que a armadura inferior deixa de estar tracionada (limite entre os 
domínios 4 e 4a), já não se pode trabalhar na flexão simples, pois já não é mais possível obter 
um binário capaz de combater o momento fletor atuante na seção. 
 
 
6.2 – Diagrama retangular simplificado de tensões no concreto 
 
A norma NBR 6118/2003 previa, para efeito de cálculo da força no concreto,a 
possibilidade de se substituir o diagrama parabólico-retangular por um diagrama retangular 
simplificado, como mostrado na Figura 6.6, o que facilita sobremaneira o dimensionamento 
(item 17.2.2.e da norma). Trata-se de um diagrama de tensões constantes, de intensidade 
(0,85.fcd), e de altura (y = 0,8.x). 
 
 
Figura 6.6 – Diagrama de tensões retangular para o concreto (até C50) 
 
Com a nova versão da NBR 6118/2014, alguns parâmetros foram alterados, 
principalmente para concretos de classe de resistência do grupo II, a saber (item 17.2.2e): 
 
a) Quanto à altura do bloco de compressão a ser adotada: 
 
 Para concreto até classe C50: y = 0,8.x 
 Para concreto de classe acima de C50: y = 𝜆 . x 
 
𝜆 = [0,8 − 
(𝑓𝑐𝑘−50 )
400
] 
 
b) Quanto à tensão no bloco de compressão a ser adotada: 
 
 Valor de tensão máxima: 𝛼𝑐 . 𝑓𝑐𝑑 
𝛼𝑐 = 0,85 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑎𝑡é 𝐶50 
 
𝛼𝑐 = 0,85 . [1,0 − 
(𝑓𝑐𝑘 − 50)
200
⁄ ] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝐶50 
 
 
c) Redução da tensão no bloco de compressão, em determinados casos: 
 
 
46 
 Quando a largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a 
partir desta para a borda comprimida, a tensão vale: 
 
𝛼𝑐 . 𝑓𝑐𝑑 
 
 
 Caso contrário (seções circulares, triangulares, trapezoidais): 
 
0,9 . 𝛼𝑐 . 𝑓𝑐𝑑 
 
Tabela 6.2 - Valores de (𝝀, 𝜶𝒄 𝒆 𝟎, 𝟗. 𝜶𝒄) 
Classe de 
Resistência 
C20 até C50 C55 C60 C65 C70 C75 C80 C85 C90 
𝜆 0,80 0,79 0,77 0,76 0,75 0,74 0,72 0,71 0,70 
𝛼𝑐 0,85 0,83 0,81 0,79 0,76 0,74 0,72 0,70 0,68 
0,9. 𝛼𝑐 0,76 0,75 0,73 0,71 0,68 0,67 0,65 0,63 0,61 
 
 
 
Figura 6.7 – Distribuição das tensões numa seção (até C50) 
 
 
47 
 
Figura 6.8 – Distribuição das tensões numa seção (C55 até C90) 
 
Logo, para concreto de classe até C50 podemos usar uma altura de bloco de compressão 
igual a (0,8.x) e tensão de 0,85.fcd (ou 0,76 .fcd, dependendo da situação da largura média da 
seção). 
 
 
6.3 – Cálculo da armadura de flexão – seção retangular com armadura 
simples, com uso das equações de equilíbrio 
 
 
No problema mais comum, são conhecidas as grandezas: Md, b, h, d, e deseja-se obter a 
armadura tracionada (As, ou As1) 
 
 
Figura 6.9 – Flexão em seção retangular com armadura simples 
 
O cálculo é feito a partir das equações de equilíbrio de esforços atuantes na seção, como 
mostrado a seguir. 
 
∑ 𝑀𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 − 𝑅𝑐𝑑 . 𝑧 = 𝑀𝑑 − 𝑅𝑐𝑑 . (𝑑 − 0,4 . 𝑥) = 0 Eq. 6.1 
 
∑ 𝐹𝐻 = 𝑅𝑠𝑑 − 𝑅𝑐𝑑 = 0 Eq. 6.2 
 
 
48 
Mas 
𝑅𝑐𝑑 = 0,85 . 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏 . 0,8 . 𝑥 Eq. 6.3 
 
Logo 
𝑀𝑑 − 0,85 . 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏 . 0,8 . 𝑥 . (𝑑 − 0,4 . 𝑥) = 0 
 
Expressão da qual resulta uma equação do 2º grau em “x”, profundidade da linha neutra. 
(0,272 . b.fcd.x
2 – 0,68b.d.fcd.x + Md = 0 Eq. 6.4 
 
Equação do 2º grau, do tipo a . x2 + b . x + c = 0 (duas raízes) 
 
A profundidade da linha neutra será então (solução válida dentre as duas raízes): 
𝑥 = {1,25 − √1,565 − 3,67647 
𝑀𝑑
𝑏.𝑑2.𝑓𝑐𝑑
2
} . 𝑑 Eq. 6.5 
 
Conhecida a profundidade da linha neutra, pode era calculada a armadura necessária: 
 
𝐴𝑠1 = 
𝑀𝑑
𝑧 .𝜎𝑠𝑑
 Eq. 6.6 
 
Como já visto, uma seção submetida a flexão simples poderá trabalhar nos domínios 2, 3 
e 4 de deformação. Caso a seção esteja nos domínios 2 ou 3, a deformação na armadura é superior 
à de escoamento (𝜀𝑦 ≤ 𝜀𝑠 ≤ 𝜀𝑠𝑢 = + 10º/oo), e, sendo assim, a tensão na armadura será igual a 
fyd. A seção de aço necessária ficará então: 
 
𝐴𝑠1 = 
𝑀𝑑
𝑧 .𝑓𝑦𝑑
 Eq. 6.7 
 
Resolvamos um exemplo. 
 
EXEMPLO 1 
Seja uma seção de 20 x 40 cm2, solicitada por um momento fletor Mk = 60 kN.m. Calcular a 
armadura de flexão usando as equações de equilíbrio. 
Outros dados: 
Concreto C30 Aço CA-50 
 
SOLUÇÃO 
𝑓𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐 = ⁄
𝑓𝑐𝑘
1,4 ⁄ = 30.000 / 1,4 = 21.429 kN/m
2 
Numa primeira aproximação, pode-se adotar (d = 0,9 . h = 0,9 . 0,40 = 0,36 m) 
 
Momento de cálculo: Md = 𝛾𝑓 . Mk = 1,4 x 60 = 84 kN.m 
 
Equação em “x”: 
 0,272 . b.fcd.x
2 – 0,68b.d.fcd.x + Md = 0 
 
0,272 . 0,20 . 21.429 . x2 – 0,68 . 0,20 . 0,36 . x + 84 = 0 (desnecessário) 
 
A profundidade da linha neutra será então: 
𝑥 = {1,25 − √1,565 − 3,67647 
𝑀𝑑
𝑏. 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑
2
} . 𝑑 
 
49 
𝑥 = {1,25 − √1,565 − 3,67647 
84
0,20 .0,362.21.429
2
} . 0,36 = 0,246x0,36 = 0,088 m = 8,8 cm 
 
A linha neutra entre os domínios 2 e 3 é de: 
x2/3 = 0,259.d (> 0,246.d) 
 
Logo, a seção trabalha no domínio 2, e a armadura está escoando, ou seja, a tensão na armadura 
é (𝑓𝑦𝑑 = 43,48 kN/cm
2). O braço de alavanca será: 
z = (d-0,4x) = 0,36 – 0,4 . 0,088 = 0,32 m 
 
𝐴𝑠 = 
𝑀𝑑
𝑧 .𝑓𝑦𝑑
= 
84
0,32 .43,48
 = 6,04 cm2 
 
Podemos determinar as deformações na borda comprimida do concreto e na armadura 
tracionada: 
(𝜀𝑠 = 𝜀𝑠𝑢 = + 10º/oo), 
 
( 𝜀𝑐 = 𝜀𝑠 .
0,246 .𝑑
 (1− 0,246 )𝑑
= 10º/oo . 
0,246 . 0,36
(1− 0,246 ).0,36
 = - 3,26 º/oo) 
 
 
 
 
6.4 – Elaboração de tabela adimensional para cálculo de armaduras de flexão 
em seções retangulares, válida para flexão simples e para flexão composta com 
grande excentricidade 
 
A partir das equações de equilíbrio de esforços atuantes na seção, e dos domínios de 
deformação vistos anteriormente, podem ser elaboradas tabelas para o dimensionamento de 
seções retangulares submetidas a flexão normal simples. As tabelas variam de acordo com os 
diferentes autores de livros, mas uma destas tabelas, a mais utilizada, é a tabela de KMD, 
proposta por Benjamin Ernani Diaz. O termo de entrada da tabela é feito variar, de 0,000 a 0,408 
(intervalos podem ser a cada 0,010): 
 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀𝑑
𝑏 .𝑑2 .𝑓𝑐𝑑
 Eq. 6.8 
 
A partir do valor de KMD pode-se obter a posição da linha neutra “x”: 
 
𝑥 = {1,25 − √1,565 − 3,67647 
𝑀𝑑
𝑏.𝑑2.𝑓𝑐𝑑
2
} . 𝑑 = {1,25 − √1,565 − 3,67647 𝐾𝑀𝐷
2
} . 𝑑 
 
KX = x/d = {1,25 − √1,565 − 3,67647 𝐾𝑀𝐷2 } Eq. 6.9 
 
z = d – 0,4.x KZ = z/d = (1 – 0,4.KX) Eq. 6.10 
 
Conhecido “KX”, a partir do diagrama de deformações determina-se em que domínio está a 
seção, e se tiram os valores de deformações (𝜀𝑐1, 𝜀𝑠1 𝑒 𝜀𝑠2) e de tensões nas armaduras 
(𝜎𝑠1𝑑 𝑒 𝜎𝑠2𝑑), os quais são reproduzidos na tabela. 
 
50 
 
São parâmetros fixados nas tabelas, o que requer atenção na escolha da tabela a ser utilizada: 
 Classe de concreto (qualquer, até C50) 
 𝛾𝑠 = 1,15 
 d’/d (este só importa quando há armadura comprimida – A’s ou As2) 
 
Delimitação do limite entre os domínios 2 e 3 
𝒙𝟐
𝟑
= 
𝟑,𝟓
𝟑,𝟓+𝟏𝟎,𝟎
 . 𝒅 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟗 . 𝒅 KMD2/3 = 0,158 
 
Tabela 6.3 - Delimitação do limite entre os domínios 3 e 4 
AÇO 𝝐𝒚𝒅 𝒇𝒚𝒅(MPa) KX3,lim = x3,lim / d KMDlim 
CA-25 1,04 o/oo 217,4 0,771 0,363 
CA-50 2,07 o/oo 434,8 0,629 0,320 
CA-60 2,48 o/oo 521,7 0,585 0,305 
 
 
 Em anexo, são apresentadas três tabelas de flexão, para concretos até classe 
C50, com três diferentes relações d’/d (0,05, 0,10 e 0,15). 
 
 Passemos então à resolução de questões de flexão simples com o uso das 
tabelas de KMD. 
 
 
6.5 - Cálculo da armadura de flexão – seção retangular com armadura 
simples, com uso das tabelas de KMD (tabela adimensional) 
 
São conhecidas as grandezas: Md, b, h, d. 
 
Figura 6.10 – Flexão em seção retangular com armadura simples 
 
Parâmetro de entrada na tabela (momento reduzido, adimensional): 𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀𝑑
𝑏 .𝑑2 .𝑓𝑐𝑑
 
 
51 
 
 
 
 
Com o valor calculado de KMD, verifica-se o domínio de dimensionamento, e obtém-se os 
valores de braço de alavanca e de tensão na armadura tracionada, a partir dos quais calcula-se a 
área de armadura tracionada. 
 
Braço de alavanca z = KZ x d 
Profundidade da LN x = KX x dAltura do bloco de compressão y = 0,8 . x 
Deformações de interesse 𝜀𝑐1, 𝜀𝑠1 𝑒 𝜀𝑠2 
Tensões nas armaduras 𝜎𝑠1𝑑 𝑒 𝜎𝑠2𝑑 
 
Como já visto, uma seção submetida a flexão simples poderá trabalhar nos domínios 2, 3 
e 4 de deformação. Caso a seção esteja nos domínios 2 ou 3, a deformação na armadura é superior 
à de escoamento (𝜀𝑦 ≤ 𝜀𝑠 ≤ 𝜀𝑠𝑢 = + 10º/oo), e, sendo assim, a tensão na armadura será igual a 
fyd. A seção de aço necessária ficará então: 
 
 
𝐴𝑠1 = 
𝑀𝑑
𝑧 . 𝜎𝑠𝑑
 
Na tabela 𝜎𝑠𝑑 é o 𝜎𝑠1𝑑 
 
 
 
EXEMPLO 2 (= EXEMPLO 1) 
Calcular a armadura de flexão para uma seção de 20 x 40 cm2, solicitada por um momento fletor 
Mk = 60 kN.m. Usar as tabelas de KMD. 
Outros dados: 
Concreto C30 Aço CA-50 
 
 
SOLUÇÃO 
𝑓𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐 = ⁄
𝑓𝑐𝑘
1,4 ⁄ = 30.000 / 1,4 = 21.429 kN/m
2 
Numa primeira aproximação, pode-se adotar (d = 0,9 . h = 0,9 . 0,40 = 0,36 m) 
Momento de cálculo: Md = 𝛾𝑓 . Mk = 1,4 x 60 = 84,0 kN.m 
Tabela de KMD: 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀𝑑
𝑏 . 𝑑2 . 𝑓𝑐𝑑
 = 
84,0
0,2 . 0,362 . 21429
= 0,151 (𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 2) 
Da tabela, tira-se 
 
Concreto até classe C50 CA-25 CA-25 CA-50 CA-50 CA-60 CA-60 
KMD KX KZ εc1 εs1 εs2 σS1 σS2 σS1 σS2 σS1 σS2 
0,150 0,245 0,902 -3,24 10,00 -1,91 21,74 -21,74 43,48 -40,17 52,17 -40,17 
0,158 0,259 0,896 -3,50 10,00 -2,15 21,74 -21,74 43,48 -43,48 52,17 -45,14 Lim 2/3 
 
 
52 
 
 
Braço de alavanca (interpolando) z = KZ x d = 0,901 x 0,36 = 0,32 m 
Tensão na armadura tracionada 𝜎𝑠1𝑑 = 43,48 kN/cm
2 
 
𝐴𝑠1 = 
𝑀𝑑
𝑧 .𝑓𝑦𝑑
 = 
84,0
0,32 . 43,48
= 6,04 cm2 
 
Podemos ainda obter na tabela as deformações na borda comprimida do concreto e na armadura 
tracionada: 
 ( 𝜀𝑐1 = - 3,27 º/oo - valor interpolado) 
(𝜀𝑠1 = 𝜀𝑠𝑢 = + 10º/oo) 
 
 
6.6 - Cálculo da armadura de flexão – seção retangular com armadura dupla, 
com uso da tabela de KMD 
 
No problema mais comum, são conhecidas as grandezas: Md, b, h, d, e d’, e deseja-se 
obter as armaduras (As1, tracionada, e As2, comprimida). 
 
 
Figura 6.11 – Flexão em seção retangular com armadura dupla 
 
Parâmetro de entrada na tabela (momento reduzido, adimensional): 𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀𝑑
𝑏 .𝑑2 .𝑓𝑐𝑑
 
 
Se (𝑲𝑴𝑫 > 𝑲𝑴𝑫𝒍𝒊𝒎) se estaria no domínio 4, dimensionamento que deve ser evitado 
(ruptura frágil, sem aviso). 
 
 
É necessário adotar uma solução que não leve a uma ruptura frágil, sem aviso prévio, o 
que se consegue, por exemplo, com uma das alternativas a seguir: 
 Aumentar as dimensões da seção transversal, preferencialmente a altura “h”. 
 Usar concreto de maior resistência. 
 Manter os parâmetros iniciais, mas usar uma armadura comprimida (denominada 
A’s, ou As2), colocada próxima ao bordo superior, de modo a auxiliar o concreto 
na resistência aos esforços de compressão, o que leva a uma redução da linha 
 
53 
neutra “x”, até que a peça deixe de trabalhar no domínio 4 e passe para o domínio 
3. 
 
No caso, para não alterar demais dados do projeto, se usa armadura dupla, de modo que 
a profundidade da linha neutra diminua, e a seção passe a trabalhar fora do domínio 4. Uma das 
soluções possíveis, e que é geralmente a mais utilizada, é trabalhar-se no limite entre os domínios 
3 e 4, ou seja, usando uma profundidade de linha neutra (x = x3,lim , ou seja 𝐾𝑀𝐷 = 𝐾𝑀𝐷𝑙𝑖𝑚). 
 
 
Para dimensionar no limite entre os domínios 3 e 4, entra-se na tabela, com o valor de 𝐾𝑀𝐷𝑙𝑖𝑚 
(para o tipo de aço usado), e obtém-se KZ e 𝜎𝑠2𝑑 
 
Calcula-se z = KZ x d 
 
Parcela do momento resistida pelo concreto: 
Md,c = KMDlim x b x d
2 x fcd Eq. 6.11 
 
A parcela do momento resistido pela armadura comprimida será: 
∆𝑀𝑑 = 𝑀𝑑 − 𝑀𝑑,𝑐 Eq. 6.12 
 
A armadura comprimida será calculada pela expressão: 
𝐴𝑠2 = 
∆𝑀𝑑
(𝑑− 𝑑′) .𝜎𝑠2𝑑
 Eq. 6.13 
 
E a armadura tracionada: 
𝐴𝑠1 = 
1
𝑓𝑦𝑑
 (
𝑀𝑑,𝑐
𝑧
+ 
∆𝑀𝑑
(𝑑− 𝑑′)
) Eq. 6.14 
 
ATENÇÃO: 
Quando se usa a tabela de KMD apresentada, onde está fixada a relação (d’/d), há que se respeitar 
este parâmetro (0,05, 0,10 ou 0,15), para a obtenção de (𝜀𝑠2 e 𝜎𝑠2𝑑) diretamente da tabela. Caso 
o valor da relação (d’/d) seja diverso, (𝜀𝑠2 e 𝜎𝑠2𝑑) devem ser calculados por regra de três, a partir 
das deformações conhecidas na seção, como mostrado a seguir. 
 
𝜀𝑠2 = 𝜀𝑐1 
𝑥3,𝑙𝑖𝑚− 𝑑
′
𝑥3,𝑙𝑖𝑚
 Eq. 6.15 
 
𝜎𝑠2𝑑 = 𝜀𝑠2 . 𝐸𝑠 ≤ 𝑓𝑦𝑑 Eq. 6.16 
 
Es = 210 GPa 
 
 
 
 
EXEMPLO 3 
Seja uma seção de 25 x 60 cm2, solicitada por um momento fletor Mk = 370 kN.m. Calcular a 
armadura de flexão. Usar as tabelas de KMD. 
Outros dados: 
 
54 
Concreto C25 Aço CA-50 
 
SOLUÇÃO 
𝑓𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐 = ⁄
𝑓𝑐𝑘
1,4 ⁄ = 25.000 / 1,4 = 17.857 kN/m
2 
Numa primeira aproximação, pode-se adotar (d = 0,9 . h = 0,9 . 0,60 = 0,54 m) 
 
Momento de cálculo: Md = 𝛾𝑓 . Mk = 1,4 x 370 = 518,0 kN.m 
 
Tabela de KMD: 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀𝑑
𝑏 . 𝑑2 . 𝑓𝑐𝑑
 = 
518,0
0,25 . 0,542 . 17857
= 0,398 (𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 4) 
 
 
Concreto até classe C50 CA-25 CA-50 CA-60 
KMD KX KZ εc1 εs1 εs2 σS1 σS2 σS1 σS2 σS1 σS2 
0,390 0,891 0,643 -3,50 0,43 -3,11 8,97 -21,74 8,97 -43,48 8,97 -52,17 
0,400 0,947 0,621 -3,50 0,20 -3,13 4,13 -21,74 4,13 -43,48 4,13 -52,17 
 
 
 
Da tabela, tira-se, com aço CA-50 (KMDlim = 0,320 KZ = 0,749) 
 
 
Concreto até classe C50 CA-25 CA-25 CA-50 CA-50 CA-60 CA-60 
KMD KX KZ εc1 εs1 εs2 σS1 σS2 σS1 σS2 σS1 σS2 
0,320 0,629 0,749 -3,50 2,07 -2,94 21,74 -21,74 43,48 -43,48 43,41 -52,17 CA-50 
 
 
 
Vamos dimensionar a seção com armadura dupla e no limite entre os domínios 3 e 4. 
 
KZ = 0,749 z = 0,749 x 0,54 = 0,40 m 
𝜎𝑠2𝑑 = -43,48 kN/cm
2 (compressão, válida para d’/d = 0,10, ou seja, d’ = 5,4 cm) 
 
Parcela do momento resistida pelo concreto: 
Md,c = KMDlim x b x d
2 x fcd = 0,320 x 0,25 x 0,54
2 x 17857 = 416,5 kN.m 
 
A parcela do momento resistido pela armadura comprimida será: 
∆𝑀𝑑 = 𝑀𝑑 − 𝑀𝑑,𝑐 = 518,0 - 416,5 = 101,4 kN.m 
(d -d’) = 0,54 – 0,054 = 0,486 m 
 
A armadura comprimida será: 
𝐴𝑠2 = 
∆𝑀𝑑
(𝑑 − 𝑑′) . 𝜎𝑠2𝑑
 = 
101,4
0,486 . 43,48
= 4,8 𝑐𝑚2 
 (aço CA-50) 
E a armadura tracionada: 
 
55 
𝐴𝑠1 = 
1
𝑓𝑦𝑑
 (
𝑀𝑑,𝑐
𝑧
+ 
∆𝑀𝑑
(𝑑 − 𝑑′)
) = = 
1
43,48
 (
416,5
0,40
+ 
101,4
0,486
) 
As1 = 28,8 cm
2 (aço CA-50) 
 
Armadura total (positiva mais negativa): 
As,tot = As1 + As2 = 28,8 + 4,8 = 33,6 cm
2 (2,24% . Ac) 
 
 
Notas: 
1 - A solução para o dimensionamento de seções com armadura dupla não é única, ou seja, há 
uma infinidade de soluções possíveis. Isto se deve ao fato de que há mais incógnitas do que 
equações matemáticas aplicáveis. Assim como se pode dimensionar, usando armadura dupla, no 
limite entre os domínios 3 e 4, ou seja, com (𝑥3,𝑙𝑖𝑚), também se poderia fazer um 
dimensionamento em qualquer posição de linha neutra, seja no domínio 3, ou até no domínio 2. 
Entretanto, quanto menor for a profundidade de linha neutra adotada, maior será a quantidade de 
armadura comprimida (As2), e também, quase certamente, a quantidade de armadura total (As,tot 
= As1 + As2). Ou seja, via de regra, o dimensionamento (com armadura dupla) mais econômico 
estará próximo do adotado no exemplo acima, com (𝑥 = 𝑥3,𝑙𝑖𝑚). 
2 – Embora possível o dimensionamento de uma seção submetida a flexão simples com armadura 
dupla, não recomendamos tal situação. A necessidade de armadura dupla na flexão simples é um 
indicativo de que se está trabalhando com uma seção de concreto de altura reduzida, e que está 
solicita numa situação próxima do seu limite. Tal dimensionamento, além de gerar solicitações 
elevadas na seção, pode conduzir também a flechas indesejáveis, fissuração excessiva etc. Desta 
forma, só consideramos aceitável o dimensionamento de flexão simples com armadura dupla em 
situações muito especiais (limitação da altura da viga por imposições arquitetônicas,por 
exemplo). 
 
 
EXEMPLO 4 
Para a mesma seção e momento fletor do exemplo anterior, proceder ao dimensionamento 
fixando a posição de linha neutra no limite entre os domínios 2 e 3. 
 
SOLUÇÃO 
 
O início da solução é idêntico ao anterior, onde se chega a um KMD no domínio 4 (KMD=
0,398). 
 
Da tabela, tira-se, com (KMDlim = 0,158 KZ = 0,896) 
 
Concreto até classe C50 CA-25 CA-25 CA-50 CA-50 CA-60 CA-60 
KMD KX KZ εc1 εs1 εs2 σS1 σS2 σS1 σS2 σS1 σS2 
0,158 0,259 0,896 -3,50 10,00 -2,15 21,74 -21,74 43,48 -43,48 52,17 -45,14 Lim 2/3 
 
Vamos dimensionar a seção com armadura dupla e no limite entre os domínios 2 e 3. 
KZ = 0,896 z = 0,896 x 0,54 = 0,48 m 
𝜎𝑠2𝑑 = -43,48 kN/cm
2 (compressão, válida para d’/d = 0,10, ou seja, d’ = 5,4 cm) 
 
Parcela do momento resistida pelo concreto: 
Md,c = KMD2/3 x b x d
2 x fcd = 0,158 x 0,25 x 0,54
2 x 17857 = 205,7 kN.m 
 
56 
 
A parcela do momento resistido pela armadura comprimida será: 
∆𝑀𝑑 = 𝑀𝑑 − 𝑀𝑑,𝑐 = 518,0 – 205,7 = 312,3 kN.m 
(d -d’) = 0,54 – 0,054 = 0,486 m 
 
A armadura comprimida será: 
𝐴𝑠2 = 
∆𝑀𝑑
(𝑑 − 𝑑′) . 𝜎𝑠2𝑑
 = 
312,3
0,486 . 43,48
= 14,8 𝑐𝑚2 
 (aço CA-50) 
E a armadura tracionada: 
𝐴𝑠1 = 
1
𝑓𝑦𝑑
 (
𝑀𝑑,𝑐
𝑧
+ 
∆𝑀𝑑
(𝑑 − 𝑑′)
) = = 
1
43,48
 (
205,7
0,48
+ 
312,3
0,486
) 
As1 = 24,6 cm
2 (aço CA-50) 
 
Armadura total (positiva mais negativa): 
As,tot = As1 + As2 = 24,6 + 14,8 = 39,4 cm
2 (2,63% . Ac) 
 
A quantidade total de armadura aumentou. 
 
Pode-se observar que no exemplo 4 houve substancial aumento da armadura comprimida (As2), 
e uma pequena redução na armadura tracionada (As1). Elevando-se ainda mais a posição da linha 
neutra poderíamos chegar, por tentativas, a uma armadura simétrica (As1 = As2). A quantidade 
total de armadura seria, neste caso, ainda maior. 
 
 
6.7 - Seção T - cálculo das armaduras de flexão com uso da tabela de KMD 
 
Nos itens precedentes foram dimensionadas à flexão simples seções retangulares, que são 
as mais simples de se calcular. 
Muitas vezes, entretanto, nas edificações com sistema estrutural do tipo “lajes – vigas – 
pilares”, as lajes de piso (com espessura hf), embora tenham como função principal receber as 
cargas verticais aplicadas no pavimento, também auxiliam as vigas na resistência à flexão. 
Supondo-se a situação mais normal, em que a laje encontra-se monoliticamente ligada à viga, na 
sua parte superior, esta laje trabalha, dentro de certos limites, como uma mesa comprimida de 
viga T, aumentando substancialmente a largura da área de seção comprimida e o braço de 
alavanca “z”, e, consequentemente, a resistência da viga a momentos positivos (Figura 6.12). 
 
 
57 
 
 
 
 
 
Figura 6.12 – Seção retangular x Seção T 
 
Obs: A nomenclatura adotada para as dimensões da mesa da viga T (bf e hf) se devem à expressão 
“flange”. A largura da alma, bw, vem do inglês “web” (alma da viga). 
Estando a laje de piso ligada monoliticamente à viga, forçosamente contribuirá para a 
resistência da viga à flexão, por uma imposição da compatibilidade de deformações – mesmo 
que o projetista opte por não considerar a contribuição da mesa comprimida. 
Somente para fins de informação, caso esta mesma seção T estivesse submetida a 
momento fletor negativo, ela funcionaria como viga de seção retangular de largura (bw). A 
armadura tracionada, entretanto, poderia ser distribuída, em parte, na laje, como mostrado na 
figura a seguir. 
 
 
Figura 6.13 – Seção T com momento negativo 
 
Mas retornemos ao caso da seção T com momento positivo. Passemos ao cálculo da 
armadura de flexão simples em vigas T, com uso das tabelas de KMD. 
 
58 
Numa primeira avaliação, supõe-se a viga com largura (bf) e altura útil (d), e calcula-se 
o parâmetro de entrada na tabela. 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀𝑑
𝑏𝑓 .𝑑
2 .𝑓𝑐𝑑
 Eq. 6.17 
 
Profundidade da LN x = KX x d 
Altura do bloco de compressão y = 0,8 . x (concretos de classe até C50) 
 
 
Conhecida a profundidade da linha neutra (x), deve ser calculada a altura do bloco de 
compressão do concreto (y). 
y = 0,8 . x (concretos de classe até C50) 
 
Pode-se cair em duas situações distintas, em função do valor obtido de (y), estando as 
duas situações possíveis mostradas na Figura 6.14. 
 
 Se 𝑦 ≤ ℎ𝑓 o cálculo pode prosseguir, pois o bloco de compressão está todo na 
mesa da seção T. A seção será calculada como se fosse retangular de dimensões 
(bf x d). 
 
 Se 𝑦 > ℎ𝑓 o cálculo não pode prosseguir desta forma, pois o bloco de compressão 
estaria com uma altura superior à espessura da mesa (ℎ𝑓) da seção T, e se estaria 
computando tensões de compressão no concreto numa região onde ele não existe 
(duplo hachurado). 
 
 
Figura 6.14 – Seção T – situações obtidas teoricamente com uso da largura (bf) 
 
 
6.7.1 - Bloco de compressão todo na mesa (𝒚 ≤ 𝒉𝒇) 
 
Neste caso, estando o bloco de compressão situado todo ele na mesa, a seção, que é em 
forma de T, funciona como se fosse uma seção retangular de largura bf, como mostrado na figura 
a seguir 
 
 
59 
 
Figura 6.15 – Seção T funciona como se fosse seção retangular de largura bf 
 
Assim, pode-se calcular o braço de alavanca e a armadura tracionada necessária: 
𝑧 = (𝑑 − 0,4 . 𝑥) 
𝐴𝑠1 = 
𝑀𝑑
𝑧 . 𝜎𝑠𝑑
 
 
Como, em regra, a espessura da mesa (hf) é pequena, se estará dimensionando a seção 
nos domínios 2 ou 3, ou seja, haverá somente a armadura tracionada (As1) e ela estará com tensão 
de escoamento. 
𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 
 
 
6.7.2 - Bloco de compressão fora da mesa (𝒚 > 𝒉𝒇) 
 
Neste caso, estando o bloco de compressão situado fora da mesa no cálculo inicial (vide 
figura anterior, situação da direita), tal consideração mostra-se errônea. Para se proceder ao 
cálculo correto nesta situação, o momento atuante (Md) deve ser dividido em duas parcelas (Md 
= Md.f + Md,w), como mostrado na Figura 6.16. 
 
 
Figura 6.16 – Momento resistido pelas abas (Md,f) e pela alma (Md,w) da viga T 
 
Primeiro, é calculado o momento resistido pelas abas (flanges) da seção T. 
𝑀𝑑,𝑓 = 𝑅𝑐𝑑,𝑓 . 𝑧 = (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) . ℎ𝑓 . 0,85 . 𝑓𝑐𝑑 . (𝑑 − 
ℎ𝑓
2
⁄ ) Eq. 6.18 
 
O que falta para chegar ao momento (Md) deverá ser resistido pela alma da viga. 
 
𝑀𝑑,𝑤 = 𝑀𝑑 − 𝑀𝑑,𝑓 Eq. 6.19 
 
 
60 
 
 
Agora trata-se de dimensionamento de uma seção retangular (bw x d) com um momento 
atuante igual a (𝑀𝑑,𝑤), para a qual deve ser determinada a profundidade de linha neutra. 
 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀𝑑,𝑤
𝑏𝑤 .𝑑
2 .𝑓𝑐𝑑
 Eq. 6.20 
 
Profundidade da LN x = KX x d 
 
Conhecida a profundidade da linha neutra (x), deve ser verificado em que domínio se 
encontra a peça, e a solução pode se desdobrar em duas situações possíveis. 
 Se 𝑥 ≤ 𝑥3.𝑙𝑖𝑚 o cálculo pode prosseguir com armadura simples, pois a seção 
trabalha nos domínios 2 ou 3. 
 
 Se x > 𝑥3.𝑙𝑖𝑚 o cálculo não pode prosseguir com esta posição de linha neutra, 
pois haveria ruptura sem aviso prévio (domínio 4). Se mantidas as dimensões da 
seção transversal, é necessário dispor de uma armadura de compressão, de modo 
a diminuir a profundidade da linha neutra, e, com isso, ter a armadura tracionada 
alcançando a tensão de escoamento. 
 
Tabela 6.4 - Delimitação do limite entre os domínios 3 e 4 
AÇO 𝝐𝒚𝒅 𝒇𝒚𝒅(MPa) KX3,lim = x3,lim / d KMDlim 
CA-25 1,04 o/oo 217,4 0,771 0,363 
CA-50 2,07 o/oo 434,8 0,629 0,320 
CA-60 2,48 o/oo 521,7 0,585 0,305 
 
 
 
6.7.2.1 - Armadura simples – domínios 2 ou 3 
 
Com o valor da profundidade de linha neutra obtido acima, pode-se obter o braço de 
alavanca relativo à parcela de momento resistida pela alma da viga T. 
𝑧 = (𝑑 − 0,4 . 𝑥) 
Como a seção trabalha nos domínios 2 ou 3, a armadura tracionada (As1) estará com 
tensão de escoamento. 
𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 
A armadura tracionada será a soma de duas parcelas distintas, uma decorrente do 
momento resistidopelas abas, a outra pelo momento resistido pela alma da viga T. 
𝐴𝑠1 =
1
 𝑓𝑦𝑑
 . (
𝑀𝑑,𝑓
(𝑑− 
ℎ𝑓
2
⁄ ) 
+
𝑀𝑑,𝑤
𝑧
) Eq. 6.21 
 
 
 
 
 
 
61 
6.7.2.2 - Armadura dupla (quando se encontra x > 𝒙𝟑.𝒍𝒊𝒎) 
 
Para evitar ruptura brusca, sem aviso, adota-se armadura dupla. Geralmente dimensiona-
se a seção trabalhando no limite entre os domínios 3 e 4, ou seja, com (x= 𝒙𝟑.𝒍𝒊𝒎 𝒆 𝑲𝑴𝑫 =
 𝑲𝑴𝑫𝒍𝒊𝒎). 
A parcela do momento da alma (Md,w) resistido pelo concreto comprimido será (Mdw,c < 
Mdw): 
Mdw,c = 𝑲𝑴𝑫𝒍𝒊𝒎 . 𝑏𝑤 . 𝑑
2
 . 𝑓
𝑐𝑑
 Eq. 6.22 
 
Braço de alavanca (tabela, com 𝑲𝑴𝑫𝒍𝒊𝒎) z = KZ x d 
 
A parcela do momento resistido pela armadura comprimida será então: 
∆𝑀𝑑,𝑤 = 𝑀𝑑,𝑤 − 𝑀𝑑𝑤,𝑐 Eq. 6.23 
 
Com um braço de alavanca igual a (d – d’). 
 
 
Figura 6.17 – Parcela do momento resistida pela armadura dupla 
 
A partir de d’, podem ser calculadas a deformação e a tensão na armadura comprimida 
As2 (na tabela de KMD). Caso o valor de d’ não esteja de acordo com o valor fixado na tabela, a 
deformação e a tensão na armadura comprimida poderão ser obtidas por regra de três, a partir 
das deformações conhecidas na seção. 
A armadura comprimida será calculada pela expressão: 
𝐴𝑠2 = 
∆𝑀𝑑,𝑤
(𝑑− 𝑑′) .𝜎𝑠2𝑑
 Eq. 6.24 
 
E a armadura tracionada: 
𝐴𝑠1 =
1
 𝑓𝑦𝑑
 . (
𝑀𝑑,𝑓
(𝑑− 
ℎ𝑓
2
⁄ ) 
+
𝑀𝑑𝑤,𝑐
𝑧 
+ 
∆𝑀𝑑,𝑤
(𝑑− 𝑑′)
) Eq. 6.25 
 
Nota: 
Como já foi esclarecido para as seções retangulares, se deve evitar o dimensionamento com 
armadura dupla na flexão simples. Com muito mais razão, a mesma observação é válida para 
seções T. Logo, este cálculo mostrado acima, com uso de armadura dupla, deve ser pouco usual 
na prática. 
 
 
 
 
62 
 
 
EXEMPLO 5 
Seja a seção T abaixo descrita. Determinar o momento (Md) que faça com que o bloco de 
compressão (diagrama de concreto retangular simplificado) mantenha a mesa totalmente 
comprimida (e só a mesa), usando armadura simples. Calcular também a armadura necessária 
para esta situação. Usar tabela de KMD. Dados: 
bf = 0,8 m hf = 0,08 m 
bw = 0,25 m h = 0,6 m 
Concreto C30 Aço CA-50 
 
SOLUÇÃO 
𝑓𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐 = ⁄
𝑓𝑐𝑘
1,4 ⁄ = 30.000 / 1,4 = 21.428 kN/m
2 
d = 0,9 . h = 0,9 . 0,60 = 0,54 m) 
 
Para a posição do bloco de compressão proposta, teremos: 
y = 0,8 . x = ℎ𝑓 = 0,08 m Logo x = 0,08/0,8 = 0,10 m 
KX = x/d = 0,10 / 0,54 = 0,185 
 
Na tabela de KMD, com KX = 0,185, tira-se: 
 
Concreto até classe C50 CA-25 CA-25 CA-50 CA-50 CA-60 CA-60 
KMD KX KZ εc1 εs1 εs2 σS1 σS2 σS1 σS2 σS1 σS2 
0,110 0,174 0,930 -2,10 10,00 -0,89 21,74 -18,77 43,48 -18,77 52,17 -18,77 
0,120 0,191 0,924 -2,36 10,00 -1,13 21,74 -21,74 43,48 -23,64 52,17 -23,64 
 
 
KMD = 0,116 (interpolado) 
Logo, 
Md = 𝐾𝑀𝐷 . 𝑏𝑓 . 𝑑
2
 . 𝑓
𝑐𝑑
 = 0,116 x 0,8 x 0,542 x 21428 = 580 kN.m 
 
A armadura será (domínio 2): 
z = KZ x d = 0,927 x 0,54 = 0,50 m 
𝐴𝑠1 = 
𝑀𝑑
𝑧 .𝜎𝑠𝑑
 = 
580
0,50 .43,5
= 26,7 cm2 
 
 
EXEMPLO 6 
Seja uma seção T, solicitada por um momento fletor Mk = 500 kN.m. Calcular a armadura de 
flexão, usando as tabelas de KMD. 
Outros dados: 
bf = 0,8 m hf = 0,08 m 
bw = 0,25 m h = 0,5 m 
Concreto C25 Aço CA-50 
 
SOLUÇÃO 
𝑓𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐 = ⁄
𝑓𝑐𝑘
1,4 ⁄ = 25.000 / 1,4 = 17.857 kN/m
2 
d = 0,45 m 
 
63 
Momento de cálculo: Md = 𝛾𝑓 . Mk = 1,4 x 500 = 700,0 kN.m 
Supondo que o bloco de compressão esteja na mesa, com a tabela: 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀𝑑
𝑏𝑓 . 𝑑2 . 𝑓𝑐𝑑
 = 
700
0,8 . 0,452 . 17.857
= 0,242 
 
Profundidade da LN x = KX x d = 0,430 x 0,45 = 0,19 m 
y = 0,8 . x = 0,8 x 0,19 = 0,155 m > 0,08 m bloco de compressão fora da mesa, hipótese inicial 
não confirmada. Devemos desmembrar o momento em parcela resistida pelas abas e parcela 
resistida pela alma. 
𝑀𝑑,𝑓 = 𝑅𝑐𝑑,𝑓 . 𝑧 = (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) . ℎ𝑓 . 0,85 . 𝑓𝑐𝑑 . (𝑑 − 
ℎ𝑓
2
⁄ ) 
= (0,80 − 0,25) . 0,08 . 0,85 . 17857 . (0,45 − 0,08 2⁄ ) = 273,8 𝑘𝑁. 𝑚 
 
𝑀𝑑,𝑤 = 𝑀𝑑 − 𝑀𝑑,𝑓 = 700,0 − 273,8 = 426,2 𝑘𝑁. 𝑚 
 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀𝑑,𝑤
𝑏𝑤 . 𝑑2 . 𝑓𝑐𝑑
= 
426,2
0,25 . 0,452 . 17857
= 0,471 (𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 4) 
 
Necessário usar armadura dupla – dimensionamento será feito no limite entre domínios 3 e 4 
(aço CA-50, 𝐾𝑀𝐷𝑙𝑖𝑚 = 0,320). 
Mdw,c = 𝑲𝑴𝑫𝒍𝒊𝒎 . 𝑏𝑤 . 𝑑
2 . 𝑓𝑐𝑑 = 0,320 𝑥 0,25 𝑥 0,45
2 𝑥 17857 = 289,2 𝑘𝑁. 𝑚 
 
Concreto até classe C50 CA-25 CA-25 CA-50 CA-50 CA-60 CA-60 
KMD KX KZ εc1 εs1 εs2 σS1 σS2 σS1 σS2 σS1 σS2 
0,320 0,629 0,749 -3,50 2,07 -2,94 21,74 -21,74 43,48 -43,48 43,41 -52,17 CA-50 
 
 
Braço de alavanca (tabela, com 𝑲𝑴𝑫𝒍𝒊𝒎) z = KZ x d = 0,749 x 0,45 = 0,337 m 
x = KX x d = 0,629 x 0,45 = 0,283 m 
 
A parcela do momento resistido pela armadura comprimida será então: 
∆𝑀𝑑,𝑤 = 𝑀𝑑,𝑤 − 𝑀𝑑𝑤,𝑐 = 426,2 – 289,2 = 137,0 kN.m 
 
Com um braço de alavanca igual a (d – d’ = 0,45 – 0,03 = 0,42 m). 
 
Tensão na armadura comprimida: d’/d = 0,03 / 0,45 = 0,067 
(tabela com d’/d = 0,10) 𝜎𝑠2𝑑 = 43,48
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
 𝜀𝑠2 = −2,94 
o/oo 
Armadura comprimida: 
𝐴𝑠2 = 
∆𝑀𝑑,𝑤
(𝑑 − 𝑑′) . 𝜎𝑠2𝑑
= = 
137,0
0,42 . 43,48
= 7,5 𝑐𝑚2 
 
Armadura tracionada: 
𝐴𝑠1 =
1
 𝑓𝑦𝑑
 . (
𝑀𝑑,𝑓
(𝑑− 
ℎ𝑓
2
⁄ ) 
+
𝑀𝑑𝑤,𝑐
(𝑑−0,4 .𝑥) 
+ 
∆𝑀𝑑,𝑤
(𝑑− 𝑑′)
) =
1
 43,48
 . (
273,8
(0,45− 0,08 2⁄ ) 
+
289,2
(0,45−0,4 .0,283) 
+ 
137,0
0,42
) = 42,6 cm2 
Obs: 
 
64 
A armadura tracionada poderia ser composta de (14 ∅ 20 mm) – haveria razoável dificuldade 
para disposição desta armadura numa alma de 25 cm de largura (4 ∅ 20 mm por camada), o que 
corrobora recomendação de se evitar armadura dupla em vigas T. Constata-se que a percentagem 
da armadura tracionada calculada em relação à alma da viga é de (42,6 / 25 x 50 = 3,4%), bastante 
elevada. 
 
 
6.8 - Largura colaborante da mesa da seção T (largura efetiva) 
 
Nos itens anteriores, estudamos o dimensionamento de seções T normais, submetidas a 
momento positivo, e conhecida a largura de mesa (bf). Aquela forma de seção é apenas uma das 
possibilidades de seção T. A figura a seguir mostra algumas outras possibilidades, seja em 
edificações, seja em obras de arte especiais, ou outras. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.18 – Situações possíveis de viga T (Süssekind) 
Obs: 
1 - Para a viga em L mostrada na figura, tendo em vista a assimetria da seção, já que a mesa 
ocorre somente em um dos lados da alma, para que o cálculo seja efetuado na forma prevista 
neste texto, a deformação horizontal e o giro da seção devem ser impedidos, caso contrário 
poderia surgir uma flexão oblíqua, ainda não estudada. 
2 – As seções que possuem mesas inferiores (casos de vigas invertidas, lajes rebaixadas, lajes 
duplas, e seção caixão, ou celular) trabalham como vigas T para momentos negativos. 
 
Um tema que precisa ser estudado é qual seria a largura de mesa (bf) de viga T razoável, 
para fins de dimensionamento à flexão. E a determinação deste valor razoável de (bf) depende 
de uma série de fatores, como será visto em seguida. 
A introdução de esforços de compressão na região da mesa comprimida se faz 
progressivamente, a partir da alma e no sentido da mesa. Se analisarmos a ligação alma-mesa, 
ao longo desta superfície surgem tensões cisalhantes, através das quais a compressão na mesa se 
instala, como mostrado na Figura 6.19. 
 
 
65 
 
Figura 6.19 – Transmissão de esforços de compressão para a mesa de viga T (Süssekind) 
 
As tensões de compressão na mesa são variáveis, diminuindo à medida que se afasta da 
alma da viga. Há uma largura de mesa bem grande, mas com tensões variáveis (Figura 6.20). 
 
 
Figura 6.20 – Variação das tensões de compressão na mesa à medida que 
a fibra se afasta da alma da viga T (Leonhardt) 
 
De modo a simplificar os cálculos, se usa uma largura efetiva de mesa (bf) de viga T 
reduzida, mas de tal forma que as tensões possamser consideradas constantes em toda esta 
largura, como se verá a seguir (item 14.6.2.2 da norma). 
Como se disse, as tensões começam a ser introduzidas na mesa a partir do apoio da viga 
(ver Figura 6.19). Tal situação é verdadeira se a viga é simplesmente apoiada; para outras 
situações o parâmetro de interesse para estudo é a distância entre pontos de momentos nulos na 
viga (a), que pode ser assumida como sendo: 
 
 Viga simplesmente apoiada: a = 1,0 ℓ; 
 Viga engastada e apoiada: a = 0,75 ℓ; 
 Viga biengastada: a = 0,60 ℓ; 
 Viga em balanço: a = 2,0 ℓ. 
 
A largura efetiva da mesa de viga T dependerá da dimensão (a), vista acima, e de outros 
fatores geométricos, como indicado na figura a seguir, onde estão mostrados os limites de b1 e 
b3. A espessura da mesa é (hf), espessura da laje. Os comprimentos b1 e b3 são definidos a partir 
 
66 
da face lateral da viga, exceto se houver mísula. Havendo mísula, se começa a contar a partir de 
uma distância “c” da face da viga, onde “c” é a menor dimensão da mísula (ver Figura 6.21). 
b3 - aba em balanço. 
b1 - aba intermediária. 
 
 0,5 . 𝑏2 
𝑏1 ≤ 
0,1 . 𝑎 
 
 
𝑏4 
𝑏3 ≤ 
 0,1 . 𝑎 
 
 
 
Figura 6.21 – Largura colaborante de mesa de viga T 
 
Montoya recomenda ainda o seguinte limite, de modo a evitar que a mesa comprimida possa 
ter problemas de flambagem: 
 
𝑏1 ≤ 8 ℎ𝑓 𝑏3 ≤ 8 ℎ𝑓 
 
As lajes são elementos estruturais bidimensionais com comportamento de placa. Na 
presente situação, funcionando como mesa comprimida de viga T, qual seria o comportamento 
estrutural da laje ? 
 
Caso a laje possua alguma abertura que possa interferir com o seu comportamento como 
mesa comprimida de viga T, tal situação deverá ser levada em conta no projeto, através da 
redução local da largura da mesa da viga T, como mostrado na figura seguinte. 
 
67 
 
Figura 6.22 – Largura efetiva limitada por abertura na laje 
 
Encerrando a questão da ligação entre alma e mesa de viga T, importante saber que as 
tensões geradas pela introdução dos esforços de compressão na mesa obrigam à verificação da 
necessidade de uma armadura de costura “alma-mesa”, através da regra das costuras. Por uma 
questão de facilidade de execução, normalmente esta armadura, colocada horizontalmente na 
mesa, é perpendicular à superfície da ligação, como mostrado na Figura 6.23. A norma fixa uma 
armadura de costura mínima, de 1,5 cm2/m (item 18.3.7), permitindo considerar como 
colaborantes as armaduras de flexão da laje que cortem este plano de ligação, se devidamente 
ancoradas. 
 
 
Figura 6.23 – Armadura de costura “alma-mesa” da viga T 
 
 
 
 
 
6.9 - Armaduras mínima e máxima na flexão 
 
 
6.9.1 - Armadura mínima 
 
A fixação de uma armadura mínima na flexão tem como objetivo evitar a ruptura brusca 
da seção (sem aviso), que poderia ocorrer quando da abertura da fissura inicial, quando é atingida 
a resistência do concreto à tração (transição do estádio I para o estádio II). Faz-se necessário 
prever uma armadura tracionada mínima, capaz de suportar o mesmo momento que a seção de 
concreto simples resistiria. O momento fletor correspondente a esta situação é dado pela 
expressão (item 17.3.5.2.1 da norma): 
𝑀𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 0,8 . 𝑊0 . 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 Eq. 6.26 
 
68 
onde 
𝑊0 −é 𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜, 
𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 à 𝑓𝑖𝑏𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 (𝑊0 = b.h
2/6 - seção retangular). 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 1,3 . 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 1,3 . 0,3 √𝑓𝑐𝑘
23 (até classe de concreto C50) 
 
Além deste limite calculado, deve ainda ser respeitada uma taxa de armadura mínima 
absoluta de 0,15%. 
 Alternativamente, a armadura mínima pode ser considerada atendida se forem 
respeitadas as taxas mínimas da tabela a seguir. 
 
Tabela 6.5 - Taxa de armadura mínima (𝝆𝒎𝒊𝒏) de flexão em vigas retangulares 
CA-50, d/h = 0,8, 𝜸𝒄 = 𝟏, 𝟒, 𝜸𝒔 = 𝟏, 𝟏𝟓 
 
Obs: Os valores mostrados na tabela, variando de 20 a 90, referem-se à classe de concreto, C20 a C90. 
 
Em elementos estruturais superdimensionados (seção transversal existente muito 
superior à necessária, seja por motivos construtivos, funcionais, arquitetônicos etc), não é 
necessário atender à armadura mínim,a se as armaduras forem calculadas para um momento 
fletor igual ao dobro de Md. Tal situação não se aplica a elementos em balanço. Neste caso, a 
determinação dos esforços solicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as combinações 
possíveis de carregamento, assim como os efeitos de temperatura, deformações diferidas e 
recalques de apoio. Deve-se ainda ter especial atenção com o diâmetro e espaçamento das 
armaduras, de modo a atender a limitação da fissuração. 
Tais valores são aplicáveis também em seções T com a mesa comprimida. 
 
 
 
 
6.9.2 - Armadura máxima 
 
A armadura longitudinal máxima nas vigas tem por finalidade assegurar condições de 
ductilidade, e respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições de 
funcionamento do conjunto aço-concreto (item 17.3.5.1). 
Esta armadura máxima (a de tração mais a de compressão) não deve superar 4% da área 
de concreto (item 17.3.5.2.4), calculada na região fora da zona de emendas, devendo ser 
garantidas as condições de ductilidade requeridas no item 14.6.4.3. 
 
 
69 
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡 = (𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2) ≤ 4% 𝐴𝑐 Eq. 6.27 
 
Por outro lado, o descumprimento de tal limitação também ocasionaria uma quantidade 
excessiva de armação, dificultando uma boa concretagem da peça. 
 
 
6.10 - Ductilidade e capacidade de rotação dos elementos estruturais no estado 
limite último 
 
Já defendemos a posição de que o uso de armadura dupla mostra-se, até certo ponto, 
inconveniente, pois se está fazendo uso de um elemento estrutural cuja seção transversal é 
reduzida, podendo conduzir a flechas e aberturas de fissuras excessivas. 
Quando dimensionamos seções com armadura dupla, mostramos a possibilidade de 
infinitas soluções possíveis, pois o número de incógnitas supera o número de equações de 
equilíbrio. Assim, para uma determinada seção de concreto, e um mesmo valor de momento 
fletor atuante, se poderia dimensionar a seção: 
 No limite entre os domínios 3 e 4 (posição de KMDlim, e x3,lim). 
 Em qualquer posição, nos domínios 2 ou 3 de deformações. 
 Numa situação tal que conduza a armaduras simétricas, sendo uma comprimida, e a outra 
tracionada (As1 = As2). 
 
De todas estas possibilidades, tradicionalmente a mais utilizada sempre foi aquela do 
dimensionamento no limite entre os domínios 3 e 4, já que é, via de regra, aquela que conduz a 
uma quantidade menor de armadura total (𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡 = (𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2)). 
Todavia, é fato conhecido que a capacidade de rotação dos elementos estruturais 
submetidos à flexão é afetada pela profundidade da linha neutra, ou seja, quanto menor for (x/d), 
tanto maior será a capacidade de rotação. 
Assim, a norma NBR 6118/2003 passou a fixar valores mais conservadores do que 
aqueles que eram usados tradicionalmente para (x/d), de modo a garantir a adequada ductilidade 
em vigas e lajes, limitação esta que foi alterada na versão da norma de 2014 (item 14.6.4.3). Os 
valores recomendados pela norma em vigor são: 
 
 Para concretos até a classe C50: 𝑥 𝑑⁄ ≤ 0,45 Eq. 6.28 
 Para concretos de classe superior à C50: 𝑥 𝑑⁄ ≤ 035 Eq. 6.29 
Caso seja efetuada redistribuição de momentos, estes valores ainda devem ser mais 
reduzidos, de acordo com expressão fornecida na norma, em função do percentual de redução do 
momento fletor (𝛿𝑀): 
 
Concretos até C50 (𝑥 𝑑⁄ ≤ (𝛿 − 0,44) 1,25⁄ ) Eq. 6.30 
 
Concretos C55 a C90: (𝑥 𝑑⁄ ≤ (𝛿 − 0,56) 1,25⁄ ) Eq. 6.31 
 
Tabela 6.6 – Limites de profundidade de LN com redistribuição de momentos 
𝛿 90% 85% 80% 75% 
Até C50 (𝑥 𝑑⁄ ≤) 0,37 0,33 0,29 0,25 
C55a C90 (𝑥 𝑑⁄ ≤) 0,27 0,23 0,19 0,15 
 
70 
Voltamos a lembrar, entretanto, que o uso de armadura dupla, com profundidades de linha 
neutra muito inferiores à posição x3,lim conduz a um aumento no consumo de aço. Em 
contrapartida, reduz-se o volume de concreto, e só um estudo mais aprofundado poderia indicar 
qual a solução mais econômica (se uma maior altura da seção, com armadura simples, ou uma 
altura reduzida, associada ao uso de armadura dupla). 
 
 
EXEMPLO 7 
Para a mesma seção e momento fletor dos exemplos 3 e 4, proceder ao dimensionamento fixando 
a posição de linha neutra no limite previsto na norma para atender às condições de ductilidade.. 
 
SOLUÇÃO 
O início da solução é idêntico ao anterior, onde se chega a um KMD no domínio 4 (KMD=
0,398). 
 
Da tabela, tira-se, com (KX= 0,448 aprox = 0,45), tira-se: 
 KMD = 0,250 KZ = 0,821 
 
Concreto até classe C50 CA-25 CA-25 CA-50 CA-50 CA-60 CA-60 
KMD KX KZ εc1 εs1 εs2 σS1 σS2 σS1 σS2 σS1 σS2 
0,250 0,448 0,821 -3,50 4,31 -2,72 21,74 -21,74 43,48 -43,48 52,17 -52,17 
 
z = 0,821 x 0,54 = 0,44 m 
𝜎𝑠2𝑑 = -43,48 kN/cm
2 (compressão, válida para d’/d = 0,10, ou seja, d’ = 5,4 cm) 
 
Parcela do momento resistida pelo concreto: 
 
Md,c = KMD2/3 x b x d
2 x fcd = 0,250 x 0,25 x 0,54
2 x 17857 = 325,4 kN.m 
 
A parcela do momento resistido pela armadura comprimida será: 
 
∆𝑀𝑑 = 𝑀𝑑 − 𝑀𝑑,𝑐 = 518,0 – 325,4 = 192,6 kN.m 
(d -d’) = 0,54 – 0,054 = 0,486 m 
 
A armadura comprimida será: 
 
𝐴𝑠2 = 
∆𝑀𝑑
(𝑑 − 𝑑′) . 𝜎𝑠2𝑑
 = 
192,6
0,486 . 43,48
= 9,1 𝑐𝑚2 
 (aço CA-50) 
E a armadura tracionada: 
 
𝐴𝑠1 = 
1
𝑓𝑦𝑑
 (
𝑀𝑑,𝑐
𝑧
+ 
∆𝑀𝑑
(𝑑 − 𝑑′)
) = = 
1
43,48
 (
325,4
0,44
+ 
192,6
0,486
) 
 
As1 = 26,1 cm
2 (aço CA-50) 
 
Armadura total (positiva mais negativa): 
 
As,tot = As1 + As2 = 26,1 + 9,1 = 35,2 cm
2 (2,35% . Ac)