3° AVALIANDO

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Frequencia Relativa e o conceito de probabilidade: 
Se um experimento (observação/mensuração) é repetido um 
grande numero de vezes e o evento E ocorre 30% das vezes, 
então 0,30 poderá ser uma boa aproximação da probabilidade do 
evento E. 
Evento: 
Uma coleção de posiveis resultados de um experimento. 
Resultados: 
Cada resultado possivel de um simples experimento. 
Experimento Resultado Evento 
Lançar moeda Cara (H)Coroa (T) Cara 
Lançar moeda 5vezes HHHHH ou No minimo 
 HTTHT … 3 coroas 
Selecionar peso de um individuo Peso peso < 50kg 
Frequencia Relativa e Probabilidade 
1 
Estimando Probabilidades 
Peso Altura
43,5 1,76
45,2 1,90
48,4 1,86
51,8 1,83
53,0 1,61
55,2 1,53
57,2 1,81
59,3 1,90
61,0 1,90
61,4 1,85
63,4 1,98
65,2 1,53
65,6 1,96
67,8 1,86
68,0 1,75
68,3 1,85
68,5 1,81
76,2 1,82
76,3 1,87
84,7 1,88
Experimento Basico : Medidas individuais de Peso e 
Altura. 
Peso e Altura são variaveis aleatorias – seus valores 
variam de individuo para individuo. Nós usamos os 
simbolos P e A para representar as variaveis aleatorias. 
Estimando as seguintes probabilidades. 
P(P > 60kg) = 12/20 = .60 
P( 50 < P < 60) = 5/20 = .25 
P(A < 1.8m) = 5/20 = .25 
P( P > 60kg e A < 1.8m) = 2/20 = .1 
A probabilidade pode ser sempre maior do que 1.0? 
A probabilidade pode ser sempre menor do que 0.0? 
2 
Evento A: No minimo tres caras H nos cinco lances. 
Evento B: No minimo tres coroas T nos cinco lances. 
A ocorrencia de um dos eventos exclui a possibilidade de 
ocorrencia de outro evento. 
Eventos Mutuamente Exclusivos 
Evento A implica 
 3,4 ou 5 caras o que implica em 2,1, ou 0 coroas. 
 Experimento Basico: 5 lances de uma moeda. 
Evento B implica 
 3,4 or 5 coroas o que implica em 2,1 or 0 caras 
Assim, se o evento A ocorre (e.g. nos obtemos 3 caras) então 
o Evento B não pode ocorrer (e.g nos não podemos obter 3 
coroas). 
3 
Eventos Mutuamente Exclusivos (cont) 
Evento A: Um peso observado maior do que 60 kg. (P >60) 
Evento B: Um peso observado maior do que 50 kg. (P >50) 
Experimento Basico : Medidas de peso e altura. 
A e B são mutuamente exclusivos. Nos poderemos observar um 
peso de 61 kg que poderia satisfazer ambos eventos. 
Evento C: Um peso observado menor do que 50 kg. (P <50) 
Evento D: Um peso observado maior do que 60 kg. (P >60) 
C e D são mutuamente exclusivos. Se nos observamos um peso 
de menos do que 50kg nos não podemos simultaneamente 
observar um peso, digo de 61kg. 
Se dois eventos C e D são mutuamente, então a probabilidade de 
que que ambos eventos ocorram é P(C ou D) = P(C) + P(D). 
4 
Eventos Mutuamente 
Exclusivos - Probabilidades 
P(P <50)=3/20 = .15, 
P(P >60)=12/20 = .60, 
Peso Altura
43,5 1,76
45,2 1,90
48,4 1,86
51,8 1,83
53,0 1,61
55,2 1,53
57,2 1,81
59,3 1,90
61,0 1,90
61,4 1,85
63,4 1,98
65,2 1,53
65,6 1,96
67,8 1,86
68,0 1,75
68,3 1,85
68,5 1,81
76,2 1,82
76,3 1,87
84,7 1,88
então P(P<50 ou P>60) = .15 + .60 = .75 
 =(3+12)/20 
P(C ou D) = P(C) + P(D) 
5 
Eventos Complementares 
Evento A: Um peso observado menos do que 60 kg. (P <60) 
Evento B: Um peso observado de no minimo 60 kg. (P 60) 
Experimento Basico : Medida de peso de uma pessoa 
Eventos A e B são mutuamente exclusivos. Mas, os dois eventos 
são complementares então não existirá outras opções. 
P(P<60)=.40, 
P(P 60)=.60, 
P(P< 60 ou P 60) = .40 + .60 = 1.00 
6 
TTTTT 
TTTTH 
TTTHT 
TTTHH 
TTHTT 
TTHTH 
TTHHT 
TTHHH 
THTTT 
THTTH 
THTHT 
THTHH 
THHTT 
THHTH 
THHHT 
THHHH 
HTTTT 
HTTTH 
HTTHT 
HTTHH 
HTHTT 
HTHTH 
HTHHT 
HTHHH 
HHTTT 
HHTTH 
HHTHT 
HHTHH 
HHHTT 
HHHTH 
HHHHT 
HHHHH 
32 possiveis resultados. 
P(C) =(5 +10)/32 = 15/32 
P(C ou D)= 30/32 
P(D) =(5 +10)/32 = 15/32 
Computando 
Probabilidades 
 Experimento Basico : Lançar uma moeda 5 vezes. 
P(3-5 Caras H em 5 lances) =16/32 
Evento A: no minimo 3 caras 
P(2-5 Coroas T em 5 lances) 
 =26/32 
Evento B: No minimo 2 coroas T 
Evento C: 1 ou 2 Coroas 
Evento D: 1 ou 2 Caras 
Mutuamente Exclusivo 
Conte para ter certeza . 
Não Mutuamente 
Exclusivo 
Evento C: 3 ou 4 Caras 
Evento D: 3 ou 4 Coroas 
7 
Se dois eventos, A e B são mutuamente exclusivos, então 
P(A) e P(B) devem satisfazer as seguintes propriedades. 
1)()(1)()(
)()()ou(
1)(01)(0



BPBPeAPAP
BPAPBAambosP
BPeAP
Algumas Propriedades 
Complementar de A 
 
Complementar de B 
A
B
Essas propriedades são mantidas para quaisquer eventos A e 
B, não necessariamente , mutuamente exclusivos, assim: 
8 
União e Interseção dos Eventos 
A INTERSEÇÃO de dois eventos A e B é o 
conjunto de todos os resultados que está 
incluido em ambos A e B, e dado como 
 A  B. (leia-se A e B) 
)()()()( BAPBPAPBAP 
A 
B 
AB 
AB 
Importante relembrar 
A UNIÃO de dois eventos A e B é o 
conjunto de todos os resultados que 
está incluido em A ou B (ou ambos) 
e é dado como ( A  B), leia-se A ou 
B. 
Regra Geral: 
Some as probabilidades e então subtraia a interseção, assim não estaremos 
fazendo dupla contagem. 9 
Peso Altura
43,5 1,76
45,2 1,90
48,4 1,86
51,8 1,83
53,0 1,61
55,2 1,53
57,2 1,81
59,3 1,90
61,0 1,90
61,4 1,85
63,4 1,98
65,2 1,53
65,6 1,96
67,8 1,86
68,0 1,75
68,3 1,85
68,5 1,81
76,2 1,82
76,3 1,87
84,7 1,88
União e Interseção 
Exemplo 
Experimento Basico : Altura e peso. 
)()()()( BAPBPAPBAP 
Qual é a probabilidade de 60<P<70 ou A>1.8) 
P(60<P<70  A>1.8) 
 =P(60<P<70) + P(A>1.8) –P(60<P<70  A>1.8) 
 = 9/20 + 15/20 – 7/20 = (9+15-7)/20 = 17/20 = .85 
Qual a probabilidade de P>60 e A<70) 
P(P>60  A<70) = P(P>60) + P(P<70) –P(A>60  P<70) 
 = 12/20 + 17/20 – 20/20 = (12+17-20)/20 = 9/20 = .45 
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B    
10 
Algebra - Probabilidade 
P(A  B) = P(A) + P(B) –P(A  B) 
P(A  B) + P(A  B) = P(A) + P(B) 
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 
Probabilidade é como qualquer 
simbolo algebrico, que nos 
podemos somar, subtrair, 
multiplicar e dividir. 
1= [P(A) + P(B) - P(A  B)]/ P(A  B) {assumindo P(A  B) 0} 
Se o evento A e B são complementares eles não se interceptam, 
 então P(A  B) = 0, e 
 P(A  B) = P(A) + P(B), asim, dado que A  B envolve todos possiveis 
 eventos, P(A  B)=1, então 1= P(A) + P(B) para eventos complementa- 
 res, ou (A) = 1-P(B) 
11 
Considere dois eventos A e B com probabilidades diferentes de zero, P(A) e P(B). 
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP


A probabilidade 
condicional de um evento 
A dado o evento B. 
)(
)(
)|(
AP
BAP
ABP


A probabilidade 
condicional de um evento 
B dado o evento A. 
Probabilidade Conditional 
Quando nos calculamos a probabilidade conditional nos estamos 
querendo saber a respeito da probabilidade de um evento sob uma 
restrição/conhecimento no qual o segundo evento tem ocorrido. 
Ex: P(P>50 dado que A>1.8) – Isto é , qual a probabilidade de encontrar 
alguem com um peso maior do que 50kg entre individuos que são 
maiores do que 1.8m? 
Note: Evento B deve 
ter probabilidade 
diferente de zero. 
Note: Evento A deve 
ter probabilidade 
diferente de zero. 
. 
12 
Probabilidade Condicional 
Exemplo 
Evento A: Peso (X) é maior doque 50 kg. 
Evento B: Altura (Y) é maior do que 1.8 m. 
Experimento Basico: Medindo o peso e altura 
em uma amostra. 
Peso Altura
43,5 1,76
45,2 1,90
48,4 1,86
51,8 1,83
53,0 1,61
55,2 1,53
57,2 1,81
59,3 1,90
61,0 1,90
61,4 1,85
63,4 1,98
65,2 1,53
65,6 1,96
67,8 1,86
68,0 1,75
68,3 1,85
68,5 1,81
76,2 1,82
76,3 1,87
84,7 1,88
P(X>50 e Y>1.8) = 13/20 
P(Y > 1.8) = 15/20 
)8.1(
)8.150(
)8.1|50(



YP
YXP
YXP
=(13/20)/(15/20) = 13/15 
Qual a probabilidade de observarmos um peso 
maior do que 50kg entre individuos maiores que 
1.8m? 
13 
( ) ( ) ( | )
( ) ( | )
P A B P A P B A
P B P A B
 

A probabilidade em que dois eventos ocorrem juntos 
Probabilidade da Interseção usando 
Probabilidade Condicional 
P(X>50 | Y>1.8) = 13/15 
P(Y>1.8) = 15/20 
P(X>50) = 17/20 
P(X>50 and Y>1.8) = P(Y>18)P(X>50 | Y>1.8) 
 =(15/20)(13/15) = 13/20 
Peso Altura
43,5 1,76
45,2 1,90
48,4 1,86
51,8 1,83
53,0 1,61
55,2 1,53
57,2 1,81
59,3 1,90
61,0 1,90
61,4 1,85
63,4 1,98
65,2 1,53
65,6 1,96
67,8 1,86
68,0 1,75
68,3 1,85
68,5 1,81
76,2 1,82
76,3 1,87
84,7 1,88
14 
Eventos Independentes 
Eventos A e B são ditos independentes se: 
)()()(ou ),()|(ou ),()|( BPAPBAPBPABPAPBAP 
(Probabilidade de um evento não depende do que 
acontece com o outro). 
Evento A: Peso (X) é maior do que 50 kg. 
Evento B: Altura (Y) é maior do que 1.8 m. 
 A e B são eventos independentes? 
Peso Altura
43,5 1,76
45,2 1,90
48,4 1,86
51,8 1,83
53,0 1,61
55,2 1,53
57,2 1,81
59,3 1,90
61,0 1,90
61,4 1,85
63,4 1,98
65,2 1,53
65,6 1,96
67,8 1,86
68,0 1,75
68,3 1,85
68,5 1,81
76,2 1,82
76,3 1,87
84,7 1,88
P(A) =P(P >50)= 17/20 = .85 
P(A|B) =P( P >50 |A >1.8)= 13/15 = .8667 
Proximos, mas Não , eles são dependentes 
15