MEDIDAS CARACTERÍSTICAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO - Arango

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MEDIDAS CARACTERÍSTICAS
DE UMA DISTRIBUIÇÃO
MÓDULO 3: BIOESTATÍSTICA
INTEGRALIZAÇÃO A PRÁTICA 
FARMACÊUTICA
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• A busca de valores típicos de uma população é uma tentativa de melhorar o 
entendimento do receptor da informação;
• Podem ser classificadas em moda, média e mediana.
MÉDIA ARITMÉTICA
• A média aritmética simples de um conjunto pode ser obtida através da 
seguinte expressão:
MÉDIA ARITMÉTICA
•No caso de um conjunto com diferentes valores, {x1,x2, ..., xn}, que 
aparecerem no conjunto com frequências iguais a f1, f2, ..., fm, a média pode 
ser calculada usando a seguinte expressão:
EXEMPLO 1
Dado o número de casos de certa moléstia nas idades i1, i2, i3 com diferentes 
frequências, o cálculo correto da idade média de incidência deverá 
considerar o peso do número de casos verificados em cada uma das 3 idades. 
Se x1 = 20, x2 = 21 e x3 = 22, com f1 = 5, f2 = 3 e f3 = 2, a média das idades resulta 
então:
MÉDIA PONDERADA
• Em alguns casos, quando um dos dados do conjunto possui particular 
importância, adota-se um peso diferente (maior) para esse dado, em relação 
aos outros. A média calculada com pesos diferentes é denominada média 
ponderada, e pode ser calculada, fazendo:
EXEMPLO 2
Um estudante de ensino médio realizou o ENEM 2017 quis ingressar no curso de 
química no IFCE Maracanaú, ao se inscrever no Sisu, se deparou com os seguintes pesos 
para suas notas:
Sabendo que suas notas foram 600 (Linguagens e códigos), 650 (Matemática), 650 
(Ciências humanas), 650 (Ciências da natureza) e 900 (Redação), qual será média desse 
aluno?
PROPRIEDADE DA MÉDIA ARITMÉTICA 
SIMPLES
A soma algébrica dos desvios de um conjunto X com n números em relação à 
média aritmética, x, é sempre igual a zero. Em termos matemáticos:
EXEMPLO 3
MÉDIA GEOMÉTRICA
Outro critério de cálculo da média é o que leva à denominada Média 
Geométrica, G. A Média Geométrica pode ser calculada, empregando-se as 
expressões:
resumidamente
MÉDIA HARMÔNICA
Um outro conceito da média é o da Média Harmônica, H, que pode ser 
calculada:
EXEMPLO 4
Considere que uma lesão provocada por um determinado tipo de bactéria
tenha se ampliado em 10 centímetros a partir da origem da lesão. Suponha
que até atingir os primeiros 5 cm, deslocou-se a uma velocidade de 1 cm/dia
e, a partir desse local, a lesão começa a se ampliar a uma velocidade de 2
cm/dia. Qual seria a velocidade média de crescimento da lesão na área
afetada?
EXEMPLO 4
MODA
•Moda é o valor que aparece um maior número de vezes.
MODA
CLASSIFICAÇÃO
MEDIANA
•Mediana é uma medida de caráter central.
EXEMPLO 1
EXEMPLO 2
Suponha que os dados referentes ao número de cáries em sete crianças de 
idade pré-escolar obtidos a partir de uma amostra em uma escola pública 
foram os que constam no quadro a seguir:
Considerando seu valor médio e mediano, qual valor é mais representativo 
neste caso?
Aluno 1 2 3 4 5 6 7
Cáries 2 0 1 1 0 0 10
OUTRAS MEDIDAS BASEADAS NO 
CONCEITO DE ORDEM
Separatriz
• Quartil
• Decil
• Percentil
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU 
VARIABILIDADE
Classificação:
TRATAMENTO PARA DADOS SIMPLES
Amplitude Total 
Desvantagens:
• A amplitude total não considera a totalidade dos dados do conjunto e, sim, apenas 
dois desses (o maior e o menor). Desta forma, o indicador não é sensível à posição 
que os “n-2” valores restantes ocupam no conjunto.
EXEMPLO 1
A = {1,7,7,8,8,8,9,9,12,15}
B = {3,3,4,4,8,11,13,13,14,14}
A análise dos conjuntos A e B, segundo o critério da amplitude total, leva a concluir 
que a dispersão em A é maior que em B. De fato,
Dispersão[A] = AT a = 15 – 1 = 14
Dispersão[B] = AT b = 14 – 3 = 11
DESENHO DOS CONJUNTOS EM UMA 
ESCALA GRADUADA
SOMA DOS DESVIOS SIMPLES
EXEMPLO NA LOUSA
DESVIO MÉDIO
A SOMA DOS QUADRADOS DOS DESVIOS
A VARIÂNCIA E O DESVIO PADRÃO
CÁLCULOS ABREVIADOS PARA 
VARIÂNCIA E PARA DADOS AGRUPADOS
UMA MEDIDA DE VARIABILIDADE 
NORMALIZADA: O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Recém-
nascido
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Comprimento 
(cm)
52 48 45 49 51 54 47 50 46 51
Peso (g) 3.300 3.200 2.950 3.150 3.350 3.450 2.900 3.300 3.150 3.250
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Voltando ao exemplo anterior
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
Assimetria a direita ou
Assimetria positiva
Assimetria a esquerda ou
Assimetria negativa
COEFICIENTE DE ASSIMETRIA DE 
PEARSON
[ASSIMETRIA] = [MÉDIA – MODA]
• Quando a distribuição é simétrica, MODA = MÉDIA e. portanto, P = 0
• Quando a distribuição é à esquerda MÉDIA < MODA e. portanto, P < 0
• Quando a distribuição é à direita MODA< MÉDIA e. portanto, P > 0
EXEMPLO 1 
OUTRAS FORMAS DE CALCULAR A 
ASSIMETRIA
Coeficiente quartílico de 
assimetria
Coeficiente do momento de 
assimetria
COEFICIENTE DO MOMENTO DE 
ASSIMETRIA
EXEMPLO 2
EXEMPLO 2
Usando o coeficiente quartílico de assimetria:
EXEMPLO 2
Usando o coeficiente do momento de assimetria:
CURTOSE
• Conceito: o conceito de curtose busca identificar se a curva que representa 
uma distribuição de frequência apresenta um formato "achatado" ou 
"alongado".
•Medidas de curtose são úteis para se precaver contra erros ao estabelecer a 
suposição de populações distribuídas normalmente.
• O que significa analisar um conjunto quanto à Curtose? Significa apenas 
verificar o “grau de achatamento da curva”. Ou seja, saber se a Curva de 
Frequência que representa o conjunto é mais “afilada” ou mais “achatada”.
CURTOSE
Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as 
seguintes possibilidades:
Logo, como vemos acima, uma curva (um conjunto) poderá ser, quanto à sua Curtose:
Mesocúrtica:“Meso” lembra meio, esta curva está no meio termo.
Platicúrtica: é a curva mais achatada.
Leptocúrtica: é a curva mais afilada
MEDIDAS DE CURTOSE
Uma medida de curtose baseada no conceito de ordem é o coeficiente 
percentílico de curtose, que pode ser calculado a partir da expressão:
Em que: ASQ=amplitude semi-interquartílica; AEP10-90= amplitude entre os percentis 10 e 90;
Q3= terceiro quartil; Q1 = primeiro quartil; P90= nonagésimo percentil; P10= décimo percentil.
O valor de referência para K é de aproximadamente 0,263
CURTOSE
• Se K = 0,263 diz-se que a curva correspondente à distribuição de frequencia
mesocúrtica;
• Se K > 0,263 diz-se que a curva correspondente à distribuição de frequencia
platicúrtica;
• Se K < 0,263 diz-se que a curva correspondente à distribuição de frequencia
leptocúrtica;
CURTOSE
• A curtose pode ser também avaliada pelo coeficiente do momento de curtose, que é 
uma medida semelhante ao coeficiente do momento de assimetria, porém baseada no 
quarto momento em relação à média. Portanto:
Assim, valores de a4 maiores que 3 indicam distribuições leptocúrticas (alongadas) e 
menores do que 3, distribuições platicúrticas, ou achatadas. 
EXEMPLO 1
EXERCÍCIO 1
A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de 
cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.
Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média 
da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de 
maior média anual. 
As empresas que este investidor escolhe comprar são:
EXERCÍCIO 2
Os níveis de ácido úrico, em (mg/100 ml), encontrados nos exames bioquímicos de 
sangue de 10 pacientes do Laboratório de Pesquisas clínicas do Hospital Escola da FMIt, 
são os seguintes:
Paciente AJF CHJ WT APC FGS MD HS SEG RM CR
Ácido úrico(mg%) 4,0 5,2 6,5 5,0 4,5 9,0 5,5 4,5 6,0 7,0
Com base nessas informações, pede-se:
a) Calculara taxa média de ácido úrico no sangue dos dez pacientes;
b) Calcular a mediana dos valores referidos no quadro;
c) Calcular a moda das taxas de ácido úrico;
d) Qual das três MTC poderia ser convenientemente adotada como valor típico ou 
referencial do grupo de pacientes ? Por quê?