Relatorio Julia

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS 
CAMPUS II – BELO HORIZONTE 
MESTRADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
TRABALHO PRÁTICO 1 
MODELAGEM DE SISTEMAS A PARTIR DE DADOS 
ENTRADA-SAÍDA 
 
 
 
 
 
JÚLIA MARIA DE CARVALHO VALE 
 
 
 
 
 
 
BELO HORIZONTE – MG 
JUNHO DE 2014 
INTRODUÇÃO: 
 
O trabalho consiste de controlar a temperatura de um forno, recorrendo-se as ferramentas da 
teoria de controle, que requerem o uso de um modelo matemático em tempo discreto do 
sistema em análise. A modelagem fenomenológica das relações de entrada e saída do forno é 
uma tarefa complexa, envolvendo equações com derivadas parciais de difícil manipulação. 
Uma alternativa é recorrer à modelagem empírica, ou identificação de sistemas, que é um ramo 
da ciência que se ocupa em encontrar relações matemáticas entre uma série de valores de 
entrada e uma série de valores de saída de um sistema, sem que haja conhecimento prévio do 
seu funcionamento interno (identificação caixa-preta). Tal conhecimento prévio pode 
evidentemente ser utilizado, quando disponível, para melhorar a qualidade dos modelos 
identificados, chamando-se esse procedimento de identificação caixa-cinza. 
 
Os sistemas analisados são lineares, invariantes e causais. Todos foram analisados em malha 
aberta. 
 
OBJETIVO: 
 
Os dados disponibilizados com a proposta do trabalho estão registrados em formato texto e 
contém o registro de tempo, o sinal de entrada e de saída, respectivamente em cada coluna. 
Os conjuntos de dados glass.txt e dryer2.txt são oriundos do MATLAB. Os arquivos na pasta 
compactada forno contem dados de temperatura em ensaios de aquecimento e 
desaquecimento para distintas condições de operação. O conjunto tord refere-se a um sistema 
SIMO (single input, multiple output). 
 
A partir da manipulação dos conjuntos de dados no MATLAB/ SIMULINK, pede-se: 
 
1. Obtenha um modelo matemático que representar a dinâmica subjacente aos dados. 
Para tanto, defina a estrutura do modelo, estime os parâmetros e faça a validação do 
modelo em simulação livre. A estrutura do modelo é determinada pela ordem das 
máximas derivadas (ou atrasos) em termos de entrada e saída, o atraso de transporte 
e o modelo de ruído. Na simulação livre, a saída é determinada utilizando apenas o 
conhecimento das entradas e das condições iniciais. 
2. A partir das equações do item anterior, determine a representação do sistema em 
espaço de estados. 
 
Importante: antes da modelagem propriamente dita, é necessário ajustar o período de 
amostragem para evitar correlações espúrias, filtrar os dados para minimizar o efeito do ruído 
de medição. Outras etapas de pré-processamento podem ser necessárias em casos 
específicos. Em seguida, você deve avaliar se a dinâmica pode ser adequadamente 
aproximada por um modelo linear ou é necessário utilizar modelos não lineares para descrever 
os dados. 
 
Discuta, também, a respeito dos potenciais e limitações da metodologia utilizada para obter os 
modelos em questão. Em seguida, indique, com a devida justificativa, como você trataria os 
seguintes problemas: 
 
1. Obter modelo para sistema variante no tempo. 
2. Utilizar a modelagem para estimar parâmetros físicos não mensuráveis. 
3. Obter modelos em tempo contínuo (equações diferenciais). 
 
 
IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS: 
 
Para a identificação de sistemas é necessário os seguintes passos: 
 
1. Coleta de dados: entrada e saída os quais já foram disponibilizados pelo professor. A 
coleta foi feita em malha aberta. 
• Variável de estudo; 
• Tamanho da amostra; 
• Coletar e anotar as observações na mesma ordem em que o fenômeno está 
ocorrendo, para permitir a análise de correlação; 
• “outlieres” ou valores discrepantes; 
• Histograma: utilizado para identificar qual a distribuição a ser ajustada aos 
dados coletados ou é utilizado diretamente dentro do modelo de simulação. 
 
2. Pré- processamento: 
• Filtragem/ suavização; 
• Ajuste do período de amostragem; 
• Escolha dos sinais de entrada. 
 
3. Seleção de estrutura: no trabalho foi utilizado a estrutura autoregressivo com média 
móvel e entradas exógenas – modelo ARMAX (do inglês AutoRegressive Moving 
Average with eXogenous inputs). 
 
O modelo ARMAX (figura 1) é obtido pela equação: 
 
 
Figura 1 - Modelo ARMAX 
 
4. Estimação de parâmetros: uma vez definida a estrutura de um modelo, passa-se à 
etapa de estimação de parâmetros, que consiste em determinar os valores dos 
parâmetros de uma equação, com base em dados de entrada e saída do sistema real. 
 
5. Validação de Modelos. 
 
 
ESCOLHA DO PERÍODO DE AMOSTRAGEM: 
 
O período de amostragem (Ts) de um sistema corresponde ao intervalo de tempo decorrido 
entre duas amostras e sua escolha tem grande impacto na qualidade dos modelos 
identificados. Um período de amostragem muito grande significa que ao amostrar um sinal, 
uma parte da dinâmica do sistema não está sendo registrada. Já um período de amostragem 
muito pequeno resulta em mal condicionamento numérico no problema de identificação. Logo, 
o período de amostragem escolhido foi Ts=0,01s. 
 
 
ENSAIOS DE AQUECIMENTO E DESAQUECIMENTO DE UM FORNO: o sistema é linear e 
discreto no tempo. 
 
1. F0307.dat 
A figura 2 ilustra as 10 primeiras amostras (total de 250 amostras) do primeiro conjunto de 
dados. A figura 3 mostra o gráfico dos dados, onde se pode observar que os dados 
VarName1=u1 é a entrada do sistema e os dados VarName2=y1 é a saída do sistema. 
 Figura 2 - Dados F0307 
 
 
Figura 3 – Gráfico: dados F0307 
 
 
1) Modelo Matemático: para encontrar o modelo do sistema, os dados foram divididos em 
avaliação e validação (cada uma com 125 amostras). A figura 4 é o gráfico dos dados 
divididos. 
Figura 4 - Gráfico: Dados: Avaliação e validação 
 
 
>> %F0307.dat 
>> armax(aval,[2 2 2 1]) 
ans = 
Discrete-time ARMAX model: A(z)y(t) = B(z)u(t) + C(z)e(t) 
 A(z) = 1 - 1.279 z^-1 + 0.3044 z^-2 
 
 B(z) = 0.08809 z^-1 + 0.0007316 z^-2 
 
 C(z) = 1 + 0.2172 z^-1 + 0.1023 z^-2 
 
Sample time: 0.01 seconds 
 Parameterization: 
 Polynomial orders: na=2 nb=2 nc=2 nk=1 
 Number of free coefficients: 6 
 Use "polydata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties. 
Status: 
Estimated using ARMAX on time domain data "aval". 
Fit to estimation data: 91.26% (prediction focus) 
FPE: 0.3222, MSE: 0.2913 
Logo, o modelo matemático do primeiro conjunto de dados (F0307) é: 
���� = 1.279��� − 1� − 0.3044��� − 2� − 0.08809��� − 1� − 0.0007316��� − 2�
− 0.2172��� − 1� − 0.1023��� − 2� + ���� 
 
Onde � é denominado resíduo ou erro cometido pelo modelo ao tentar modelar y(n), ou seja, é 
o erro de estimação. O resíduo � é uma variável aleatória, o que torna o modelo ARMAX 
estocástico. 
 
OBS: no comando iddata do Matlab utiliza-se: saída - VarNam2, entrada - VarNam1, período 
de amostragem). Já o comando armax pede a entrada de Na: máximo atraso na saída, Nb: 
máximo atraso na entrada, Nc: máximo atraso em e1 e Nk: delay. 
 
2) Comparação de sinais: avaliados X validados. 
 
• Estrutura ARMAX (figura 5): 
 
>> compare(ans,val) 
Figura 5 – ARMAX: avaliados X validados - F0307 
 
 
Onde “ans” é o resultado do modelo ARMAX e “val” são os dados divididos anteriormente para 
a validação do modelo. Observa-se que a estrutura ARMAX não é a ideal para este conjunto de 
dados, logo seria necessário o uso de outras estruturas.• Estrutura ARX (figura 6): 
>> arx(aval, [2 2 1]) 
>> compare(ans,val) 
Figura 6 - ARX: avaliados X validados - F0307 
 
 
Outra estrutura escolhida para este conjunto de dados foi o modelo ARX, porém ela foi utilizada 
apenas para comparação, todo o trabalho foi feito com a estrutura ARMAX. 
 
3) Diagrama de Bode (figura 7): 
>> bodeplot(ans) 
Figura 7 - Diagrama de Bode: F0307 
 
 
4) Estimação de Parâmetros: 
 
Te = 
 
 -1.0743 
 0 
 0.2680 
 0.6683 
 0 
 0 
 
5) Representação no espaço de estados: 
 
A representação no espaço de estados é normalmente utilizada para modelar relações entre 
variáveis internas ao sistema, e é um modelo matemático que permite a análise mais direta da 
influência de múltiplas entradas e modos internos em uma ou mais saídas do sistema. Esse 
tipo de representação é mais conveniente para representar sistemas não lineares e 
multivariáveis do que a função de transferência. 
 
 
 
Na equação de espaço de estados, x representa a variável de estado, u representa a entrada e 
y representa a saída. 
 
Existe uma relação direta entre o modelo em espaço de estados e a função de transferência de 
um sistema. É importante observar, no entanto, que, enquanto um sistema possui uma única 
representação em termos de sua função de transferência, este mesmo sistema possui 
inúmeras representações em variáveis de estado, dependendo de que variáveis de estado são 
escolhidas. Para um caso comum onde D=0, obtém-se: 
 
 
 
Utilizando a função ssdata do Matlab temos: 
>> [A B C D]=ssdata(ans) 
A = 
 1.2785 -0.6088 
 0.5000 0 
B = 
 0.2500 
 0 
C = 
 0.3524 0.0059 
D = 
 0 
 
Ou seja, para o conjunto de dados F0307 temos o seguinte espaço de estados: 
�� = �1.2785 −0.60880.5000 0 � � + �
0.2500
0 � � 
� = �0.3524 0.0059�� 
6) Função de transferência: 
>> [b,a]=ss2tf(A, B, C,D) 
b = 
 0 0.0881 0.0007 
a = 
 1.0000 -1.2785 0.3044 
���� = 0.0881� + 0.0007�² − 1.2785� + 0.3044 
2. F0407.dat 
A figura 8 mostra as 10 primeiras amostras (total de 250 amostras) do segundo conjunto de 
dados. 
Figura 8 - Dados F0407 
 
1) Modelo matemático: 
 
ans = 
Discrete-time ARMAX model: A(z)y(t) = B(z)u(t) + C(z)e(t) 
 A(z) = 1 - 0.5044 z^-1 - 0.4112 z^-2 
 
 B(z) = 0.1341 z^-1 + 0.09393 z^-2 
 
 C(z) = 1 + 1.338 z^-1 + 0.6895 z^-2 
 
Logo, o modelo matemático do segundo conjunto de dados (F0407) é: 
���� = 0.5044��� − 1� + 0.4112��� − 2� − 0.1341��� − 1� − 0.09393��� − 2�
− 1.338��� − 1� − 0.6895��� − 2� + ���� 
 
2) Comparação de sinais: avaliados X validados. 
 
• Estrutura ARX (figura 9): 
Figura 9 - ARX: avaliados X validados - F0407 
 
 
• Estrutura ARMAX (figura 10): 
Figura 10 - ARMAX: avaliados X validados - F0407 
 
 
3) Diagrama de Bode (figura 11): 
 
Figura 11 - Diagrama de Bode: F0407 
 
 
4) Estimação de Parâmetros: 
Te = 
 
 -0.4321 
 0 
 -0.0277 
 0.6325 
 0 
 0 
 
5) Representação no espaço de estados: 
 
A = 
 
 0.5044 0.8224 
 0.5000 0 
 
B = 
 
 0.5000 
 0 
 
C = 
 
 0.2681 0.3757 
 
D = 
 
 0 
Ou seja, para o conjunto de dados F0407 temos o seguinte espaço de estados: 
�� = �0.5044 0.82240.5000 0 � � + �
0.5000
0 � � 
� = �0.2681 0.3757�� 
6) Função de transferência: 
>> [b,a]=ss2tf(A, B, C,D) 
 
b = 
 0 0.1341 0.0939 
a = 
 1.0000 -0.5044 -0.4112 
���� = 0.1341� + 0.0939�² − 0.5044� − 0.4112 
 
 
3. F0707.dat 
 
A figura 8 ilustra as 10 primeiras amostras (total de 250 amostras) do terceiro conjunto de 
dados. 
Figura 12 - Dados F0707 
 
 
1) Modelo Matemático: 
ans = 
Discrete-time ARMAX model: A(z)y(t) = B(z)u(t) + C(z)e(t) 
 A(z) = 1 - 1.001 z^-1 + 0.05206 z^-2 
 
 B(z) = 0.1389 z^-1 + 0.08498 z^-2 
 
 C(z) = 1 + 0.2978 z^-1 + 0.4494 z^-2 
 
 
Logo, o modelo matemático do terceiro conjunto de dados (F0707) é: 
 
���� = 1.001��� − 1� − 0.05206��� − 2� − 0.1389��� − 1� − 0.08498��� − 2�
− 0.2978��� − 1� − 0.4494��� − 2� + ���� 
 
 
2) Comparação de sinais: avaliados X validados. 
 
• Estrutura ARX (figura 13): 
Figura 13 - ARX: avaliados X validados - F0707 
 
 
• Estrutura ARMAX (figura 14): 
 
Figura 14 - ARMAX: avaliados X validados - F0707 
 
 
3) Diagrama de Bode (figura 15): 
Figura 15 - Diagrama de Bode: F0707 
 
 
4) Estimação de Parâmetros: 
Te = 
 
 1.6717 
 -0.0471 
 0 
 -0.1442 
 0 
 0 
 
5) Representação no espaço de estados: 
 
A = 
 
 1.0007 -0.2083 
 0.2500 0 
 
B = 
 
 0.5000 
 0 
 
C = 
 
 0.2779 0.6798 
 
D = 
 
 0 
 
Ou seja, para o conjunto de dados F0707 temos o seguinte espaço de estados: 
�� = �1.0007 −0.20830.2500 0 � � + �
0.5000
0 � � 
� = �0.2779 0.6798�� 
6) Função de transferência: 
>> [b,a]=ss2tf(A, B, C,D) 
b = 
 
 0 0.1389 0.0850 
 
a = 
 
 1.0000 -1.0007 0.0521 
 
���� = 0.1389� + 0.0850�² − 1.0007� + 0.0521 
 
 
4. F13072.dat 
 
A figura 16 mostra as 10 primeiras amostras (total de 232 amostras) do quarto conjunto de 
dados. 
Figura 16 - Dados F13072 
 
 
1) Modelo Matemático: 
 ans = 
Discrete-time ARMAX model: A(z)y(t) = B(z)u(t) + C(z)e(t) 
 A(z) = 1 - 1.84 z^-1 + 0.8404 z^-2 
 
 B(z) = 0.09441 z^-1 - 0.09323 z^-2 
 
 C(z) = 1 - 1.336 z^-1 + 0.3533 z^-2 
 
Logo, o modelo matemático do quarto conjunto de dados (F13072) é: 
 
���� = 1.84��� − 1� − 0.8404��� − 2� − 0.09441��� − 1� + 0.09323��� − 2�
+ 1.336��� − 1� − 0.3533��� − 2� + ���� 
 
2) Comparação de sinais: avaliados X validados. 
 
• Estrutura ARX (figura 17): 
Figura 17 - ARX: avaliados X validados - F13072 
 
 
• Estrutura ARMAX (figura 18): 
Figura 18 - ARMAX: avaliados X validados - F13072 
 
 
3) Diagrama de Bode (figura 19): 
 
Figura 19 - Diagrama de Bode: F13072 
 
 
4) Estimação de Parâmetros: 
Te = 
 
 0 
 0.9476 
 0.0684 
 0.1918 
 0 
 0 
 
5) Representação no espaço de estados: 
 
A = 
 
 1.8400 -0.8404 
 1.0000 0 
 
B = 
 
 0.5000 
 0 
 
C = 
 
 0.1888 -0.1865 
 
D = 
 
 0 
 
Ou seja, para o conjunto de dados F13072 temos o seguinte espaço de estados: 
�� = �1.8400 −0.84041.0000 0 � � + �
0.5000
0 � � 
� = �0.1888 −0.1865�� 
6) Função de transferência: 
>> [b,a]=ss2tf(A, B, C,D) 
b = 
 
 0 0.0944 -0.0932 
 
a = 
 
 1.0000 -1.8400 0.8404 
 
���� = 0.0944� − 0.0932�2 − 1.8400� + 0.8404 
 
5. Dryer.txt 
 
A figura 20 mostra as 10 primeiras amostras (total de 1000 amostras) do conjunto de dados 
dryer, onde a coluna 1 é o registro de tempo, coluna 2 é o sinal de entrada e a coluna 3 é o 
sinal de saída. 
Figura 20 - Dados Dryer 
 
 
7) Modelo Matemático: 
ans = 
Discrete-time ARMAX model: A(z)y(t) = B(z)u(t) +C(z)e(t) 
 A(z) = 1 - 1.641 z^-1 + 0.6945 z^-2 
 
 B(z) = 0.00872 z^-1 + 0.04269 z^-2 
 
 C(z) = 1 - 0.2806 z^-1 - 0.4948 z^-2 
 
Logo, o modelo matemático do conjunto de dados (Dryer) é: 
 
���� = 1.641��� − 1� − 0.6945��� − 2� − 0.00872��� − 1� − 0.04269��� − 2�
+ 0.2806��� − 1� + 0.4948��� − 2� + ���� 
 
8) Comparação de sinais: avaliados X validados. 
 
• Estrutura ARX (figura 21): 
Figura 21 - ARX: avaliados X validados - Dryer 
 
 
• Estrutura ARMAX (figura 22): 
Figura 22 - ARMAX: avaliados X validados - Dryer 
 
 
9) Diagrama de Bode (figura 23): 
 
Figura 23 - Diagrama de Bode: Dryer 
 
 
10) Estimação de Parâmetros: 
 
Te = 
 
 0.5708 
 0 
 0.3211 
 0.1600 
 0 
 0 
 
11) Representação no espaço de estados: 
 
A = 
 
 1.6414 -0.6945 
 1.0000 0 
 
B = 
 
 0.2500 
 0 
 
C = 
 
 0.0349 0.1708 
 
D = 
 
 0 
 
Ou seja, para o conjunto de dados Dryer temos o seguinte espaço de estados: 
 
�� = �1.6414 −0.69451.0000 0 � � + �
0.2500
0 � � 
� = �0.0349 0.1708�� 
12) Função de transferência: 
>> [b,a]=ss2tf(A, B, C,D) 
b = 
 
 0 0.0087 0.0427 
 
a = 
 
 1.0000 -1.6414 0.6945 
 
���� = 0.0087� − 0.0427�2 − 1.6414� + 0.6945 
 
6. Segord.dat 
 
A figura 24 mostra as 10 primeiras amostras (total de 500001 amostras) do conjunto de dados 
Segord, onde a coluna 1 é o registro de tempo, coluna 2 é o sinal de entrada e a coluna 3 é o 
sinal de saída. 
Figura 24 - Dados Segord 
 
 
1) Modelo Matemático: 
ans = 
Discrete-time ARMAX model: A(z)y(t) = B(z)u(t) + C(z)e(t) 
 A(z) = 1 - 2 z^-1 + z^-2 
 
 B(z) = 2.087e-07 z^-1 - 8.677e-09 z^-2 
 
 C(z) = 1 - 2 z^-1 + z^-2 
 
Logo, o modelo matemático do conjunto de dados (Segord) é: 
 
���� = 2��� − 1� − ��� − 2� − 2.087 ∗ 10� ��� − 1� + 8.677 ∗ 10�!��� − 2� + 2��� − 1�
− 1��� − 2� + ���� 
 
2) Comparação de sinais: avaliados X validados. 
 
• Estrutura ARX (figura 25): 
Figura 25 - ARX: avaliados X validados - Segord 
 
 
• Estrutura ARMAX (figura 26): 
Figura 26 - ARMAX: avaliados X validados - Segord 
 
 
3) Diagrama de Bode (figura 27): 
 
Figura 27 - Diagrama de Bode: Dryer 
 
 
4) Estimação de Parâmetros: 
 
Te = 
 
 1.0e+10 * 
 
 -1.9807 
 1.9807 
 0.0445 
 0 
 0 
 0 
 
5) Representação no espaço de estados: 
 
A = 
 
 1.9998 -0.9998 
 1.0000 0 
 
B = 
 
 1.0e-03 * 
 
 0.4883 
 0 
 
C = 
 
 1.0e-03 * 
 0.4274 -0.0178 
 
D = 
 
 0 
 
Ou seja, para o conjunto de dados Segord temos o seguinte espaço de estados: 
 
�� = �1.9998 −0.99981.0000 0 � � + �
0.4883" − 03
0 � � 
� = �0.4274" − 03 −0.0178�� 
6) Função de transferência: 
>> [b,a]=ss2tf(A, B, C,D) 
b = 
 
 1.0e-06 * 
 
 0 0.2087 -0.0087 
 
a = 
 
 1.0000 -1.9998 0.9998 
 
���� = 0.2087� − 0.0087�2 − 1.9998� + 0.9998 
 
7. Glass.txt 
 
A figura 28 mostra as 10 primeiras amostras (total de 2700 amostras) do conjunto de dados 
Glass, onde a coluna 1 é o registro de tempo, coluna 2 é o sinal de entrada e a coluna 3 é o 
sinal de saída. 
Figura 28 - Dados Glass 
 
 
1) Modelo Matemático: 
ans = 
Discrete-time ARMAX model: A(z)y(t) = B(z)u(t) + C(z)e(t) 
 A(z) = 1 - 0.9135 z^-1 - 0.08596 z^-2 
 
 B(z) = 0.008053 z^-1 - 0.007803 z^-2 
 
 C(z) = 1 - 0.5372 z^-1 - 0.4533 z^-2 
 
Logo, o modelo matemático do conjunto de dados (Glass) é: 
 
���� = 0.9135��� − 1� + 0.08596��� − 2� − 0.008053��� − 1� + 0.007803��� − 2�
+ 0.5372��� − 1� + 0.4533��� − 2� + ���� 
 
2) Comparação de sinais: avaliados X validados. 
 
• Estrutura ARX (figura 29): 
Figura 29 - ARX: avaliados X validados - Glass 
 
 
• Estrutura ARMAX (figura 30): 
Figura 30 - ARMAX: avaliados X validados - Glass 
 
 
OBS: nenhuma estrutura estudada foi adequada ao sistema. 
 
3) Diagrama de Bode (figura 31): 
 
Figura 31 - Diagrama de Bode: Glass 
 
 
4) Estimação de Parâmetros: 
 
Te = 
 
 -0.5895 
 -2.2681 
 1.7477 
 0 
 0 
 0 
 
5) Representação no espaço de estados: 
 
A = 
 
 0.9135 0.3438 
 0.2500 0 
 
B = 
 
 0.2500 
 0 
 
C = 
 
 0.0322 -0.1249 
 
D = 
 
 0 
 
Ou seja, para o conjunto de dados Glass temos o seguinte espaço de estados: 
 
�� = �0.9135 0.34380.2500 0 � � + �
0.2500
0 � � 
� = �0.0322 −0.1249�� 
6) Função de transferência: 
>> [b,a]=ss2tf(A, B, C,D) 
b = 
 
 0 0.0081 -0.0078 
 
a = 
 
 1.0000 -0.9135 -0.0860 
 
���� = 0.0081� − 0.0078�# − 0.9135� − 0.0860 
 
8. Ordem1.dat 
 
A figura 32 mostra as 10 primeiras amostras (total de 2494 amostras) do conjunto de dados 
Ordem1, onde a coluna 1 é o registro de tempo, coluna 2 é o sinal de entrada e a coluna 3 é o 
sinal de saída. 
Figura 32 - Dados Ordem1 
 
 
1) Modelo Matemático: 
ans = 
Discrete-time ARMAX model: A(z)y(t) = B(z)u(t) + C(z)e(t) 
 A(z) = 1 - 1.108 z^-1 + 0.1173 z^-2 
 
 B(z) = 0.028 z^-1 - 0.02263 z^-2 
 
 C(z) = 1 - 0.1417 z^-1 + 0.003267 z^-2 
 
Logo, o modelo matemático do conjunto de dados (Ordem1) é: 
 
���� = 1.108��� − 1� − 0.1173��� − 2� − 0.028��� − 1� + 0.02263��� − 2�
+ 0.1417��� − 1� − 0.003267��� − 2� + ���� 
 
2) Comparação de sinais: avaliados X validados. 
 
• Estrutura ARX (figura 33): 
Figura 33 - ARX: avaliados X validados – Ordem1 
 
 
• Estrutura ARMAX (figura 34): 
Figura 34 - ARMAX: avaliados X validados – Ordem1 
 
 
 
3) Diagrama de Bode (figura 35): 
 
Figura 35 - Diagrama de Bode: Ordem1 
 
 
4) Estimação de Parâmetros: 
 
 
Te = 
 
 0 
 0 
 1 
 0 
 0 
 0 
 
5) Representação no espaço de estados: 
 
A = 
 
 0.9186 0.2946 
 0.2500 0 
 
B = 
 
 2 
 0 
 
C = 
 
 0.4030 -1.5969 
 
D = 
 
 0 
 
Ou seja, para o conjunto de dados Ordem1 temos o seguinte espaço de estados: 
 
�� = �0.9186 0.29460.2500 0 � � + �
2
0� � 
� = �0.4030 −1.5969�� 
6) Função de transferência: 
>> [b,a]=ss2tf(A, B, C,D) 
b = 
 
 0 0.8059 -0.7984 
 
a = 
 
 1.0000 -0.9186 -0.0737 
 
���� = 0.8059� − 0.7984�# − 0.9186� − 0.0737 
 
9. Ordem3.dat 
 
A figura 36 mostra as 10 primeiras amostras (total de 2494 amostras) do conjunto de dados 
Ordem3, onde a coluna 1 é o registro de tempo, coluna 2 é o sinal de entrada e a coluna 3 é o 
sinal de saída. 
Figura 36 - Dados Ordem3 
 
 
1) Modelo Matemático: 
ans = 
Discrete-time ARMAX model: A(z)y(t) = B(z)u(t) + C(z)e(t) 
 A(z) = 1 - 0.8965 z^-1 - 0.09707 z^-2 
 
 B(z) = 0.01128 z^-1 - 0.007652 z^-2 
 
 C(z) = 1 + 0.08491z^-1 - 0.0001235 z^-2 
 
Logo, o modelo matemático do conjunto de dados (Ordem3) é: 
 
���� = 0.8965��� − 1� + 0.09707��� − 2� − 0.01128��� − 1� + 0.007652��� − 2�
− 0.08491��� − 1� + 0.0001235��� − 2� + ���� 
 
2) Comparação de sinais: avaliados X validados. 
 
• Estrutura ARX (figura 37): 
Figura 37 - ARX: avaliados X validados – Ordem3 
 
 
• Estrutura ARMAX (figura 38): 
Figura 38 - ARMAX: avaliados X validados – Ordem3 
 
 
 
3) Diagrama de Bode (figura 39): 
 
Figura 39 - Diagrama de Bode: Ordem3 
 
 
4) Estimação de Parâmetros: 
 
 
Te = 
 
 0 
 0 
 1 
 0 
 0 
 0 
 
5) Representação no espaço de estados: 
 
A = 
 
 0.8965 0.3883 
 0.2500 0 
 
B = 
 
 0.2500 
 0 
 
C = 
 
 0.0451 -0.1224 
 
D = 
 
 0 
 
Ou seja, para o conjunto de dados Ordem3 temos o seguinte espaço de estados: 
 
�� = �0.8965 0.38830.2500 0 � � + �
0.2500
0 � � 
� = �0.0451 −0.1224�� 
6) Função de transferência: 
>> [b,a]=ss2tf(A, B, C,D) 
b = 
 
 0 0.0113 -0.0077 
 
a = 
 
 1.0000 -0.8965 -0.0971 
 
���� = 0.0113� − 0.0077�# − 0.8965� − 0.0971 
 
10. Ordem5.dat 
 
A figura 40 mostra as 10 primeiras amostras (total de 2494 amostras) do conjunto de dados 
Ordem5, onde a coluna 1 é o registro de tempo, coluna 2 é o sinal de entrada e a coluna 3 é o 
sinal de saída. 
Figura 40 - Dados Ordem5 
 
 
1) Modelo Matemático: 
ans = 
Discrete-time ARMAX model: A(z)y(t) = B(z)u(t) + C(z)e(t) 
 A(z) = 1 - 0.01564 z^-1 - 0.9814 z^-2 
 
 B(z) = 0.0007227 z^-1 + 0.003219 z^-2 
 
 C(z) = 1 + 0.4323 z^-1 - 0.5532 z^-2 
 
Logo, o modelo matemático do conjunto de dados (Ordem5) é: 
 
���� = 0.01564��� − 1� + 0.9814��� − 2� − 0.0007227��� − 1� − 0.003219��� − 2�
− 0.4323��� − 1� + 0.5532��� − 2� + ���� 
 
2) Comparação de sinais: avaliados X validados. 
 
• Estrutura ARX (figura 41): 
Figura 41 - ARX: avaliados X validados – Ordem5 
 
 
• Estrutura ARMAX (figura 42): 
Figura 42 - ARMAX: avaliados X validados – Ordem5 
 
 
 
3) Diagrama de Bode (figura 43): 
 
Figura 43 - Diagrama de Bode: Ordem5 
 
 
4) Estimação de Parâmetros: 
 
 
Te = 
 
 -75.8617 
 75.3930 
 0 
 0.4687 
 0 
 0 
 
5) Representação no espaço de estados: 
 
A = 
 
 0.0156 0.9814 
 1.0000 0 
 
B = 
 
 0.0625 
 0 
 
C = 
 
 0.0116 0.0515 
 
D = 
 
 0 
 
Ou seja, para o conjunto de dados Ordem5 temos o seguinte espaço de estados: 
 
�� = �0.0156 0.98141.0000 0 � � + �
0.0625
0 � � 
� = �0.0116 0.0515�� 
6) Função de transferência: 
>> [b,a]=ss2tf(A, B, C,D) 
b = 
 
 0 0.0007 0.0032 
 
a = 
 
 1.0000 -0.0156 -0.9814 
 
���� = 0.0007� + 0.0032�# − 0.0156� − 0.9814 
 
11. Ordem7.dat 
 
A figura 44 mostra as 10 primeiras amostras (total de 2494 amostras) do conjunto de dados 
Ordem7, onde a coluna 1 é o registro de tempo, coluna 2 é o sinal de entrada e a coluna 3 é o 
sinal de saída. 
Figura 44 - Dados Ordem7 
 
 
1) Modelo Matemático: 
ans = 
Discrete-time ARMAX model: A(z)y(t) = B(z)u(t) + C(z)e(t) 
 A(z) = 1 - 1.897 z^-1 + 0.8984 z^-2 
 
 B(z) = -0.006121 z^-1 + 0.006628 z^-2 
 
 C(z) = 1 - 0.9114 z^-1 + 0.009738 z^-2 
 
Logo, o modelo matemático do conjunto de dados (Ordem7) é: 
 
���� = 1.897��� − 1� − 0.8984��� − 2� + 0.006121��� − 1� − 0.006628��� − 2�
+ 0.9114��� − 1� − 0.009738��� − 2� + ���� 
 
2) Comparação de sinais: avaliados X validados. 
 
• Estrutura ARX (figura 45): 
Figura 45 - ARX: avaliados X validados – Ordem7 
 
 
• Estrutura ARMAX (figura 46): 
Figura 46 - ARMAX: avaliados X validados – Ordem7 
 
 
 
3) Diagrama de Bode (figura 47): 
 
Figura 47 - Diagrama de Bode: Ordem7 
 
 
4) Estimação de Parâmetros: 
Te = 
 
 0 
 0 
 1 
 0 
 0 
 0 
 
5) Representação no espaço de estados: 
 
A = 
 
 1.8965 -0.8984 
 1.0000 0 
 
B = 
 
 0.1250 
 0 
 
C = 
 
 -0.0490 0.0530 
 
D = 
 
 0 
 
Ou seja, para o conjunto de dados Ordem7 temos o seguinte espaço de estados: 
 
�� = �1.8965 −0.89841.0000 0 � � + �
0.1250
0 � � 
� = �−0.0490 0.0530�� 
6) Função de transferência: 
>> [b,a]=ss2tf(A, B, C,D) 
b = 
 
 0 -0.0061 0.0066 
 
a = 
 
 1.0000 -1.8965 0.8984 
 
���� = −0.0061� + 0.0066�# − 1.8965� + 0.8984 
 
12. tordprbs.dat 
 
A figura 48 mostra as 10 primeiras amostras (total de 3000 amostras) do conjunto de dados 
Tordprbs, onde a coluna 1 é o registro de tempo, coluna 2 é o sinal de entrada e as coluna 3 e 
4 são sinais de saída. Este é um sistema SIMO (single input, multiple output). 
Figura 48 - Dados Tordprbs 
 
 
7) Modelo Matemático: 
%saída1 
ans = 
Discrete-time ARMAX model: A(z)y(t) = B(z)u(t) + C(z)e(t) 
 A(z) = 1 - 1.872 z^-1 + 0.9362 z^-2 
 
 B(z) = 0.03096 z^-1 - 0.02846 z^-2 
 
 C(z) = 1 - 1.333 z^-1 + 0.4784 z^-2 
 
Logo, o modelo matemático do conjunto de dados (Tordprbs) é: 
 
���� = 1.872��� − 1� − 0.9362��� − 2� − 0.03096��� − 1� + 0.02846��� − 2�
+ 1.333��� − 1� − 0.4784��� − 2� + ���� 
%saída2 
ans = 
Discrete-time ARMAX model: A(z)y(t) = B(z)u(t) + C(z)e(t) 
 A(z) = 1 - 1.809 z^-1 + 0.8738 z^-2 
 
 B(z) = -0.008617 z^-1 + 0.02186 z^-2 
 
 C(z) = 1 - 1.38 z^-1 + 0.5056 z^-2 
 
Logo, o modelo matemático do conjunto de dados (Tordprbs) é: 
 
���� = 1.809��� − 1� − 0.8738��� − 2� + 0.008617��� − 1� − 0.02186��� − 2�
+ 1.38��� − 1� − 0.5056��� − 2� + ���� 
 
8) Comparação de sinais: avaliados X validados. 
 
• Estrutura ARX (figura 49: saída1 e figura 50: saída2): 
Figura 49 - ARX: avaliados X validados – Tordprbs: saída1 
 
 
Figura 50 - ARX: avaliados X validados – Tordprbs: saída2 
 
 
• Estrutura ARMAX (figura 51: saída1 e figura 52: saída2): 
Figura 51 - ARMAX: avaliados X validados – Tordprbs: saída1 
 
 
Figura 52 - ARMAX: avaliados X validados – Tordprbs: saída2 
 
 
9) Diagrama de Bode (figura 53: saída1 e figura 54: saída2): 
 
Figura 53 - Diagrama de Bode: Tordprbs: saída1 
 
Figura 54 - Diagrama de Bode: Tordprbs: saída2 
 
 
 
10) Estimação de Parâmetros: 
 
• Saída 1: Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 7.940058e-18. 
 
• Saída2: Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 3.043688e-18. 
 
11) Representação no espaço de estados: 
 
• Saída 1: 
A = 
 
 1.8720 -0.9362 
 1.0000 0 
 
B = 
 
 0.2500 
 0 
 
C = 
 
 -0.1238 0.1138 
 
D = 
 
 0 
 
Ou seja, para a saída 1 do conjunto de dados Tordprbs temos o seguinte espaço de estados: 
 
�� = �1.8720 −0.93621.0000 0 � � + �
0.2500
0 � � 
� = �−0.1238 0.1138�� 
• Saída 2: 
A = 
 
 1.8092 -0.8738 
 1.0000 0 
 
B = 
 
 0.1250 
 0 
 
C = 
 
 -0.0689 0.1749 
 
D =0 
 
Ou seja, para a saída 2 do conjunto de dados Tordprbs temos o seguinte espaço de estados: 
 
�� = �1.8092 −0.87381.0000 0 � � + �
0.1250
0 � � 
� = �−0.0689 0.1749�� 
12) Função de transferência: 
 
• Saída 1: 
>> [b,a]=ss2tf(A, B, C,D) 
b = 
 
 0 -0.0310 0.0285 
 
a = 
 
 1.0000 -1.8720 0.9362 
 
���� = −0.0310� + 0.0285�# − 1.8720� + 0.9362 
 
• Saída 2: 
>> [b,a]=ss2tf(A, B, C,D) 
b = 
 
 0 -0.0310 0.0285 
 
a = 
 
 1.0000 -1.8720 0.9362 
 
���� = −0.0310� + 0.0285�# − 1.8720� + 0.9362 
 
OBS: Como no sistema SIMO tem-se uma única entrada, a função de transferência, em malha 
aberta, é única para ambas saídas. 
 
POTENCIAIS E LIMITAÇÕES DO MODELO ARMAX: 
O modelo ARX torna-se mais genérico considerando-se a equação de erro comportando-se 
como ruído branco, e assumindo-se sua média móvel para a determinação dos estados 
futuros. Desta forma, uma menor restrição à liberdade das propriedades dos distúrbios é 
conferida ao modelo, que recebe o nome de ARMAX devido à parte da média móvel (Moving 
Average) adicionada ao sistema ARX. Porém tais modelos não são adequados a todos os 
sistemas, como pode ser visto neste trabalho, logo é necessário o uso de outras estruturas 
para uma melhor identificação de alguns modelos não-lineares uma vez que a seleção de 
estrutura é a etapa crucial. 
 
DISCUSSÃO: 
1. Obter modelo para sistema variante no tempo: 
A identificação de sistemas foi inicialmente utilizada para desenvolver modelos matemáticos 
lineares para os sistemas em estudo. Entretanto, os sistemas reais são não-lineares e a 
representação linear de um sistema não-linear é limitada. Um modelo linear descreve a 
dinâmica de um sistema não-linear apenas na vizinhança de um ponto de operação 
(linearização do sistema original). Além disso, os modelos lineares não são capazes de 
reproduzir uma gama de comportamentos dinâmicos observados na natureza. Destacam-se 
entre esses comportamentos os regimes bilineares, os ciclos limite, as bifurcações e o caos. 
Apesar destas limitações, os modelos lineares identificados foram amplamente utilizados, pois 
os principais métodos de projeto, análise e controle da época assumiam a linearidade dos 
sistemas. Essa suposição decorria das restrições teóricas e 
computacionais vigentes, aliadas à vantajosa facilidade de manipular modelos lineares. 
Mesmo utilizando representações lineares para sistemas não-lineares, a teoria de sistemas 
progrediu bastante nas três últimas décadas. 
 
O interesse pela identificação de modelos não-lineares paramétricos surgiu no início da década 
de 80. Em grande parte, este interesse foi motivado pelo desenvolvimento de ferramentas 
matemáticas e computacionais que simplificavam a obtenção e manipulação de tais modelos. 
Atualmente, o crescente interesse pelo assunto é refletido pelo elevado número de trabalhos 
publicados em revistas especializadas. Obviamente, o desenvolvimento da teoria de 
identificação de modelos não-lineares deverá motivar a elaboração de novos métodos 
(algoritmos) para a análise e controle dos sistemas modelados. 
 
2. Utilizar a modelagem para estimar parâmetros físicos não mensuráveis: 
 
3. Obter modelos em tempo contínuo (equações diferenciais): 
Um modelo matemático é constituído por um conjunto de equações diferenciais (tempo 
contínuo) ou equações de diferenças (tempo discreto) que descrevem a variação temporal e/ou 
espacial das variáveis de interesse no sistema. 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
Aguirre, L. INTRODUÇÃO À IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS. UFMG, 2007. 
HELP. Matlab, 2013. 
Rodrigues, G. IDENTIFICAÇÃO DE SISTMAS DINÂMICOS NÃO-LINEARES UTILIZANDO 
MODELOS NARMAX POLINOMIAIS – APLICAÇÃO A SISTEMAS REAIS.