Aula 17a Teoria Cinética dos Gases para imprimir

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S
B
 
Nesta aula abordaremos alguns conceitos 
da Teoria Cinética dos Gases. Vamos usar 
um modelo microscópico bastante 
rudimentar suficiente para esse estudo, 
não vamos discutir a estrutura do átomo 
nem da matéria condensada o que 
necessitaria da Física Quântica. 
 
Física Geral II – Aula 17a 
 
 Qual a principal motivação para estudar a 
teoria cinética dos gases? 
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Quando consideramos um gás contido em um 
recipiente podemos analisá-lo de uma maneira 
global usando a Termodinâmica, e calcular as 
suas propriedades macroscópicas tais como 
temperatura, pressão, volume e etc. Por outro 
lado, se quisermos entender os porquês do 
comportamento macroscópico, devemos analisar 
os constituintes deste gás, como eles interagem 
entre si e como interagem com as paredes do 
volume que os contém. Antes de avançar nesse 
estudo vamos fazer um breve apanhado das 
ideias que levaram a teoria atômica. 
Leucipo de Mileto (nascido 
em 500 a C.) e seu discípulo 
Demócrito de Abdera (460 
a.C.) são geralmente 
apresentados juntos porque 
seus pensamentos constituem 
uma única doutrina reunida 
em vários textos conhecidos 
como a obra da escola de 
Abdera. Essa obra refere-se 
ao que chamamos de 
atomismo. 
Pág. 3 de 78 
A phýsis (natureza) é composta por um número ilimitado 
de átomos. Os átomos podem existir de formas variadas e 
habitam uma outra forma de infinitude: o vazio. Neste, os 
átomos se agregam, se desagregam, se deslocam, 
formando os seres que percebemos pelos sentidos 
(movimento). Significa dizer que segundo a teoria 
atomística, só existem átomos e vazio. Significa também 
que nossos sentidos percebem uma realidade transitória, 
mutável, mas ilusória, porque mesmo que apreendamos as 
mutações das coisas, no fundo, os elementos primordiais 
que constituem essa realidade jamais se alteram. Assim, a 
mudança, a mutação, as transformações são explicadas 
pela agregação ou desagregação de elementos primordiais 
que somente conseguimos conhecer pelo pensamento. Foi 
a partir da releitura desses pensadores que as pesquisas 
que culminaram com a descoberta do átomo pelos 
cientistas do século XIX (John Dalton e a seguir os 
modelos de Rutherford-Bohr) foram iniciadas. Pág. 4 de 78 
Pág. 5 de 78 
Até o século 17, prevaleceu a ideia 
elaborada na Grécia antiga dos 
“quatro elementos primordiais” 
(água, fogo, terra e ar), e os 
alquimistas medievais procuravam 
transmutar substâncias em ouro 
“adicionando fogo”. 
O curioso que 
ainda hoje, após 
a teoria atômica 
moderna e a 
física quântica, 
ainda há 
pessoas falando 
dos quatro 
elementos da 
natureza. 
 A primeira definição mais 
próxima da atual de 
“elementos” foi dada por 
Robert Boyle em seu livro “ O 
Químico Céptico” ... “ O que 
entendo por elementos ... São 
certos corpos primitivos e 
simples, perfeitamente sem 
mistura, os quais, não sendo 
formados de quaisquer outros 
corpos, nem uns dos outros, são 
os ingredientes dos quais todos 
os corpos perfeitamente 
misturados são feitos e nos 
quais podem finalmente ser 
analisados ...” 
Pág. 6 de 78 
2 
 Os elementos são substâncias puras que não podem ser 
decompostas em outras por qualquer transformação 
química. Sabemos hoje que o que caracteriza um 
elemento químico é o número atômico, ou seja, o número 
de prótons no núcleo atômico. 
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A Lei da Conservação 
das Massas foi 
publicada pela primeira 
vez 1760, em um ensaio 
de Mikhail Lomonosov. 
No entanto, a obra não 
repercutiu na Europa 
Ocidental, cabendo ao 
francês Antoine 
Lavoisier o papel de 
tornar mundialmente 
conhecido o que hoje se 
chama Lei de Lavoisier. 
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Lei da conservação das massas ou Lei de Lavoisier 
metano oxigênio água + 
4 g 16 g 9 g 
reagentes produto 
4 g 16 g 20 g + = 
gás carbônico + 
11 g 
11 g 9 g 20 g + = 
NUMA REAÇÃO QUÍMICA A MASSA TOTAL DOS REAGENTES 
É IGUAL À MASSA TOTAL DOS PRODUTOS 
NA NATUREZA, NADA SE PERDE, NADA SE CRIA; 
TUDO SE TRANSFORMA 
ou ainda 
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Em 1799, o químico 
francês Joseph Louis 
Prost formulou, baseado 
em suas experiências, a 
lei das proporções 
definidas, segundo a 
qual, quando dois ou 
mais elementos se 
combinam para formar 
um composto, essa 
combinação sempre se 
dá em proporções bem 
definidas de peso. 
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Lei das proporções constantes ou Lei de Proust 
hidrogênio oxigênio água + 
4 g 32 g 36 g 
1ª experiência: 
2ª experiência: 
2 g 16 g 18 g 
1ª experiência: 
2 g 
16 g 
1 g 
8 g 
= 
massa de hidrogênio 
massa de oxigênio 
= 
2ª experiência: 4 g 
32 g 
1 g 
8 g 
= 
massa de hidrogênio 
massa de oxigênio 
= 
QUALQUER QUE SEJA O MÉTODO DE OBTENÇÃO DE UMA 
SUBSTÂNCIA, ELA É SEMPRE FORMADA PELOS MESMOS 
ELEMENTOS QUÍMICOS COMBINADOS NUMA MESMA PROPORÇÃO 
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Em linguagem moderna a Lei de Proust diz: 
Exemplo: 
massa de H2O (g) massa H2 (g) massa de O2 (g) 
Exp. 1 18 2 16 
Exp. 2 36 4 32 
Exp. 3 72 8 64 
Verificando a Lei de Proust: 
8/64 = 1/8 72/64 = 9/8 72/8 = 9 Exp. 3 
4/32 = 1/8 36/32 = 9/8 36/4 = 9 Exp. 2 
2/16 = 1/8 18/16 = 9/8 18/2 = 9 Exp. 1 
massa de H2O 
massa de H2 
massa de H2O 
massa de O2 
massa de H2 
massa de O2 
H2O(l) H2(g) O2(g) + 2 2 
Pág. 12 de 78 
3 
John Dalton, 
frequentemente 
chamado de o “pai da 
teoria atômica”, 
publicou sua obra “Um 
novo sistema de 
Filosofia Química” em 
1808 – 1810, onde 
expunha as seguintes 
ideias básicas: 1) a 
existência de átomos, 
sssss 
Pág. 13 de 78 
indivisíveis e imutáveis (ou seja, não podendo 
ser transmutado uns nos outros por processos 
ss 
químicos, como queriam os alquimistas); 2) Todos os 
átomos de um mesmo elemento são idênticos; 3) 
Compostos químicos são formados por combinações de 
átomos, como C + O  CO. 
Pág. 14 de 78 
Dalton chama de “átomo 
composto” o que hoje 
chamamos de molécula. 
A interpretação de 
Dalton da Lei das 
proporções definidas foi 
que essas proporções em 
peso dos diferentes 
elementos num 
composto representam 
os diferentes pesos 
atômicos dos elementos. 
Essa interpretação também 
permitia explicar a lei das 
proporções múltiplas, 
proposta em 1803 também 
por Dalton. Segundo essa 
quando o mesmo par de 
elementos pode dar origem 
a mais de um composto, os 
pesos de um deles que se 
combinam com um peso 
fixo de outro para formar 
compostos diferentes estão 
sss 
Pág. 15 de 78 
entre si em razões dadas por números inteiros 
pequenos. 
LEI DAS PROPORÇÕES MÚLTIPLAS 
ou 
LEI DE DALTON 
hidrogênio oxigênio água + 
4 g 64 g 68 g 
1ª experiência: 
4 g 32 g 36 g 
Quando dois elementos reagem formando substâncias diferentes, se a 
massa de um dos dois permanecer constante, a massa do outro irá 
variar segundo valores múltiplos ou submúltiplos 
= 
hidrogênio oxigênio água oxigenada + 2ª experiência: 
32 g 
64 g 
32 g 
64 g 
: 
: 
32 
32 
= 
1 
2 
A proporção é de 1 : 2 
Pág. 16 de 78 
Em linguagem moderna, a 
interpretação de Dalton 
deste resultado era que a 
fórmula química da 
molécula de água era H2O 
e a da molécula de água 
oxigenada era H2O2. 
Entretanto, tomando por 
base apenas estas leis, 
existia considerável 
ambiguidade na 
determinação da fórmula 
sss 
Pág. 17 de 78 
química de um composto, e o critério de Dalton de 
adotar a formula mais simples nem sempre 
conduzia ao resultado correto, assim a fórmula de 
Dalton para água era HO. 
Resumindo: as principais leis ponderais são: 
Lei da conservaçãodas massas 
ou 
Lei de Lavoisier 
Lei das proporções constantes 
ou 
Lei de Proust 
Lei das proporções múltiplas 
ou 
Lei de Dalton 
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4 
Em 1808, estudando 
reações químicas entre 
gases, em igualdade de 
condições de temperatura 
e pressão, Joseph Louis 
Gay-Lussac descobriu a 
lei das combinações 
volumétricas: Os volumes 
de gases que se combinam 
nessas condições guardam 
entre si proporções 
simples (dadas por 
números inteiros 
pequenos). 
Pág. 19 de 78 
Na reação entre os gases hidrogênio e oxigênio 
foi medidos os seguintes volumes: 
hidrogênio oxigênio água + 
6 L 3 L 6 L 
Simplificando-se esses valores teremos a seguintes 
relação 2 : 1 : 2 
que é uma relação de números inteiros e pequenos 
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Na reação entre os gases hidrogênio e oxigênio 
foi medidos os seguintes volumes: 
nitrogênio hidrogênio amônia + 
1 L 3 L 2 L 
Simplificando-se esses valores teremos a seguintes 
relação 1 : 3 : 2 
que é uma relação de números inteiros e pequenos 
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Na reação entre os gases hidrogênio e cloro, foram medidos 
os seguintes volumes: 
hidrogênio cloro gás clorídrico + 
15 L 15 L 30 L 
Simplificando-se esses valores teremos a seguintes 
relação 1 : 1 : 2 
que é uma relação de números inteiros e pequenos 
Pág. 22 de 78 
Confrontando estes resultados com a ideia de 
Dalton de que compostos químicos são formados 
por combinações de átomos, eles sugerem que, à 
mesma temperatura e pressão, volumes iguais de 
todos os gases contêm o mesmo número de 
partículas. Assim, o último exemplo sugere que 
há o mesmo número de “partículas” de H e Cl em 
volumes iguais desses gases. 
Pág. 23 de 78 
2 Volume de 
Hidrogênio 
+ 
1 Volume de Oxigênio 
  
2 Volume de água 
 
1 Volume de 
Nitrogênio 
+ 3 Volume de hidrogênio  2 Volume de amônia 
1 Volume de 
Hidrogênio 
+ 1 Volume de cloro  
2 Volume de ácido 
clorídrico 
Entretanto, do ponto de vista de Dalton, para 
quem a fórmula química devia ser a mais simples 
possível, isto levaria a uma dificuldade: ele 
interpretava a última reação acima como 
Pág. 24 de 78 
2 Volume de 
Hidrogênio 
+ 
1 Volume de Oxigênio 
  
2 Volume de água 
 
1 Volume de 
Nitrogênio 
+ 3 Volume de hidrogênio  2 Volume de amônia 
1 Volume de 
Hidrogênio 
+ 1 Volume de cloro  
2 Volume de ácido 
clorídrico 
HClClH 
e isto deveria levar ao mesmo número de 
“partículas” de HCl, ou seja, somente 1 volume!?! 
5 
A dificuldade estava em perceber que “as 
partículas” de que é formado o gás hidrogênio, 
por exemplo, não precisam ser átomos de 
hidrogênio: podem ser formadas de mais de um 
átomo. De fato, como sabemos, o hidrogênio é 
um gás diatômico, e a molécula de hidrogênio é 
H2, e não H. 
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2 Volume de 
Hidrogênio 
+ 
1 Volume de Oxigênio 
  
2 Volume de água 
 
1 Volume de 
Nitrogênio 
+ 3 Volume de hidrogênio  2 Volume de amônia 
1 Volume de 
Hidrogênio 
+ 1 Volume de cloro  
2 Volume de ácido 
clorídrico 
Em 1811, o físico italiano 
Amedeo Avogrado 
enunciou duas hipóteses 
básicas: 1) As partículas 
constituintes de um gás 
“simples” (elemento) não 
são necessariamente 
formadas por um único 
ssss 
Pág. 26 de 78 
átomo, mas podem conter um certo número 
de átomos ligados entre si; 2) Nas mesmas 
condições de temperatura e pressão, volumes 
iguais de todos os gases contém o mesmo 
número de partículas. 
Pág. 27 de 78 
Assim, as moléculas de hidrogênio, oxigênio, nitrogênio e 
cloro são todas diatômicas: H2, O2, N2 e Cl2 e as reações 
acima se escrevem 
Fornecendo ao mesmo tempo as fórmulas moleculares dos 
compostos, e reconciliando todas as leis acima. 
Em linguagem moderna, podemos enunciar a lei de 
Avogadro: Volumes iguais de todos os gases, nas mesmas 
condições de temperatura e pressão, contêm o mesmo 
número de moléculas. 
HClClH
NHHN
OHOH
2
23
22
22
322
222



Pág. 28 de 78 
 Assim, há uma nova maneira de ver os Gases? 
Sim. Os gases são constituídos de pequenas entidades, que 
podem ser átomos, moléculas ou ambos. Ele será um gás 
monoatômico quando composto apenas de átomos (ou seja: 
moléculas monoatômicas) ou um gás poliatômico, 
dependendo das suas características moleculares. As 
moléculas interagem entre elas, e essa interação acontece 
aos pares, ou seja elas interagem duas a duas. Se neste gás 
existirem N moléculas cada molécula interage com todas 
as outras N-1 moléculas. Cada molécula deve ter o seu 
movimento governado pela segunda lei de Newton, e 
portanto temos N equações referentes a aplicação dessa 
lei, uma para cada molécula. Como cada molécula interage 
com as restantes, o seu movimento irá interferir no 
movimento de todas as outras, e dizemos então que essas 
equações estão acopladas uma as outras. O número de 
equações resultante deste modelo torna a sua solução 
numérica impossível, mesmo usando os melhores 
computadores contemporâneos. Pág. 29 de 78 
 Mas quantas moléculas existem em uma amostra 
macroscópica de uma dada substância? 
Pág. 30 de 78 
Vamos definir uma grandeza adequada para lidar com 
moléculas, é o mol. Um mol é o número de moléculas que 
existem em 12g de carbono-12. Experimentalmente se 
determina quantas moléculas existem em um mol, e esse é 
o chamado número de Avogadro NA, 
moléculas 1002,6 23AN
Desse modo, já podemos relacionar número de moles n e 
número de moléculas N, ou seja: 
A
A
N
N
nNnN 
6 
Pág. 31 de 78 
 Em aulas passadas vimos que: 
Pág. 32 de 78 
À temperatura 
constante o volume de 
um gás é inversamente 
proporcional à 
pressão, preconiza a 
lei de Boyle-Mariotte. 
Pág. 33 de 78 
A Lei de Charles e Gay-
Lussac (I) é uma lei 
dos gases ideais que 
estabelece que sob 
uma pressão e quantidade de 
gás constantes, o volume 
é diretamente proporcional à 
temperatura. 
Pág. 34 de 78 
Lei de Charles e Gay-Lussac (II) 
 A pressão de um gás é 
diretamente proporcional a sua 
temperatura absuluta (a volume e 
quantidade de matéria fixa) 
P  T (a n e V ctes) 
P = k.T 
Transformação isocórica 
P
 (
a
tm
) 
T (K) 
Pág. 35 de 78 
Um interpretação que segue imediatamente das 
hipóteses de Avogadro é: 
 Outra observação importante de Avogadro foi de 
que o volume é diretamente proporcional ao 
número de partículas de gás, ou seja, quanto maior 
for o número de moles do gás, maior será o seu 
volume, nas mesmas T e p. Isso sabemos desde 
criança, ao encher um balão de festa, por exemplo: 
a cada soprada, mais gás entra no balão e este fica 
mais cheio, com maior volume. 
Pág. 36 de 78 
7 
Pág. 37 de 78 
Em 1738, o físico matemático Daniel Bernoulli, publicou 
Hidrodinâmica, a base para a teoria cinética dos gases. 
Nesse trabalho, Bernoulli posicionou seu argumento, 
ainda sólido até a atualidade, que os gases consistem em 
um grande número de moléculas se movendo em todas 
as direções, onde elas colidem entre si e esse impacto 
causa uma pressão na superfície de contato que podemos 
sentir. 
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 Quais são as hipóteses simplificadoras 
adotadas no modelo microscópico do gás 
perfeito? 
Pág. 39 de 78 
1a - As moléculas realizam movimentos aleatórios 
sem direção preferencial. 
2a - As dimensões das moléculas são desprezíveis 
em comparação com os espaços vazios. 
3a - As forças de ação à distância entre as 
moléculas são desprezíveis. Serão apenas 
consideradas as forças desenvolvidas nos choques 
entre moléculas e entre moléculas e as paredes do 
recipiente que contém o gás. 
4a - Os choques realizados pelas moléculassão 
perfeitamente elásticos. 
Modelo Molecular para a Lei de Avogadro 
V = K n (a T e P ctes) 
A adição de mais partículas provoca um aumento dos choques contra as 
paredes, o que conduz à um aumento de pressão, que desloca o embolo 
até que seja igualado com a pressão externa. O processo global supõe 
um aumento do volume do gás. 
Teoría cinética dos gases 
Pág. 40 de 78 
Modelo Molecular para a Lei de Boyle e Mariotte 
V = K /P (a n e T ctes) 
O aumento de pressão exterior origina uma diminução do volume, que 
supõe o aumento de choques das partículas com as paredes do recipiente, 
aumentando assim a pressão do gás. 
Teoría cinética de los gases 
Pág. 41 de 78 
Modelo Molecular para a Lei de Charles e Gay-Lussac 
V = K T (a n e P ctes) 
Ao aumentar a temperatura aumenta a velocidade média das partículas, e 
com isso o número de choques com as paredes. Isso provoca um aumento 
da pressão interior que desloca o embolo até que se iguala com a pressão 
externa, o que supõe um aumento do volume do gás. 
Teoría cinética dos gases 
Pág. 42 de 78 
8 
 Mas posso tirar conclusões quantitativa da 
expressão da pressão? 
Pág. 43 de 78 
Não, todas os comentários que fizemos até aqui 
são muito qualitativos. Para que tenhamos um 
maior entendimento de como podemos obter as 
relações das grandezas macroscópicas como 
pressão, temperatura, etc e as grandezas 
microscópicas como velocidade molecular, por 
exemplo, precisamos aplicar quantitativamente as 
lei da mecânica ao estudo do gás. Assim, a título 
de exemplo, Vamos considerar N moléculas de um 
gás ideal em um recipiente em forma de um cubo 
de aresta L e considerar os eixos cartesianos 
paralelos as arestas, como na figura à seguir. 
Pág. 44 de 78 
As moléculas desse gás estão continuamente 
colidindo com as paredes do recipiente. Vamos 
analisar especificamente a colisão de uma 
molécula, que se dirige para colidir com a parede 
do recipiente paralela ao plano yz e que passa pela 
origem. 
Quando ela colide com a parede, não acontecerá 
mudança nas componentes y e z do momento 
linear, mas a componente x do momento linear 
mudará de sinal, acontecerá uma reversão neste 
movimento. Estamos considerando que as colisões 
são perfeitamente elásticas. 
Pág. 45 de 78 Pág. 46 de 78 
No esquema acima não acontecerá mudança nas 
componentes y e x do momento linear, mas a 
componente z do momento linear mudará de sinal. 
Pág. 47 de 78 
A variação do momento dever-se-á apenas a 
mudança da componente x 
xxxifx mvmvmvppp 2)( 
 Qual é a variação do momento linear da 
molécula ao se chocar com a parede paralela ao 
plano yz? 
Sejam A1 e A2 as paredes 
do cubo perpendiculares 
ao eixo x. A molécula vai 
colidir com a face A1 e 
levar um intervalo de 
tempo ∆t para colidir com 
a face oposta A2 e depois 
colidir novamente com 
A1. O tempo t necessário 
para essa molécula ir de 
uma face até outra é dado 
por t = L / vx, quando uma 
molécula se desloca de 2L 
podemos garantir que ela 
se chocou uma vez com a 
face do cubo contida no 
plano yOz, e desse modo: 
Pág. 48 de 78 
xv
L
tt
2
2 
9 
A variação do momento linear de uma molécula, num 
intervalo ∆t entre duas colisões com a mesma face do 
recipiente é dada por: 
Pág. 49 de 78 
L
mv
vL
mv
t
p x
x
xx
2
/2
2



A equação anterior nos dá a força que uma molécula 
exerce na face considerada. Para se encontrar a força 
total exercida por todas as moléculas, devemos 
considerar as contribuições de todas as N moléculas: 
 
Nxxxxx
vvvv
L
m
F 2
3
2
2
2
1
2  
A pressão que essas moléculas exercerão dependerá da 
força média e será dada por: 
Pág. 50 de 78 
onde estamos representando o valor médio de uma 
grandeza A por <A>. Como as moléculas não são 
distinguíveis, os valores médios das componentes x 
de cada uma das moléculas são iguais, ou seja: 
 
Nxxxx
x
vvvv
L
m
L
F
p 2
3
2
2
2
1
2
32
 
  22
3
2
2
2
1
2
xNxxxx
vNvvvv  
Como não há direção preferencial de movimento 
podemos admitir que num determinado instante 1/3 do 
número total de moléculas esteja em movimento na 
direção de cada eixo coordenado. 
Pág. 51 de 78 
Considerando que neste cubo não existe direção 
privilegiada (isotropia espacial), os valores médios 
das diversas componentes serão iguais, ou seja: 
2222222
3
1
3 vvvvvvv xxzyx 
Pág. 52 de 78 
e como temos N moléculas nesse gás ideal; 
2222
3
2
2
2
1
3
v
N
vNvvvv xxNxxx  
Assim, voltando a expressão da pressão 
 
Nxxxx
x
vvvv
L
m
L
F
p 2
3
2
2
2
1
2
32
 
Desse modo: 
  22
3
2
2
2
1
2
32 3
v
V
mN
vvvv
L
m
L
F
p
Nxxxx
x
 
onde consideramos que o volume do cubo é 
V = L3. Podemos ainda dizer que: 
Pág. 53 de 78 
2
3
v
mN
pV 
Mas N m é a massa total do gás pois: N é número 
de moléculas e m é a massa de cada molécula. Por 
outro lado, a massa total também pode ser expressa 
como n M pois: n é o número de moles e M é a 
massa molar. Portanto, usando a equação dos gases 
ideais: 
M
RT
vnRTv
nM
pV
3
3
22 
e se definirmos 
M
RT
vvRMS
32 
Pág. 54 de 78 
Para entenderes o que é o valor RMS (root mean 
square - raiz da média dos quadrados; também 
chamado de valor eficaz) vou te dar um exemplo 
numérico. Imagina que tenhamos os seguintes 
valores para uma determinada grandeza (essa 
grandeza poderia em um caso particular ser 
velocidade): -2; -1; 0; 1; 2. A média aritmética 
desses cinco valores é nula. O valor RMS desse 
conjunto é definido como "a raiz quadrada da 
média dos quadrados”, assim o valor RMS desse 
conjunto é 1,4 aproximadamente. Podemos 
escrever 
M
RT
vvRMS
32 
10 
de outro modo, lembrando que a massa molar M é 
igual ao número de Avogadro vezes a massa m de 
uma molécula M = NAm, e a constante universal dos 
gases pode ser escrita como R = NAkB, e desse modo 
teremos que: 
Pág. 55 de 78 
m
Tk
vv BRMS
32 
Como já foi mencionada, em um gás ideal as 
moléculas não interagem, portanto não existem 
energia potencial e o único tipo de energia possível 
é a energia cinética de translação. A energia 
cinética média de uma partícula é dada por: 
TkE
m
Tkm
v
m
mvE BC
B
C
2
33
222
1 22 
 É correto afirmar que a energia cinética da 
molécula de um gás é a mesma para todos os gases 
à mesma temperatura? 
Pág. 56 de 78 
Sim. A energia cinética de uma molécula de um gás 
é EC = 3 kBT / 2 onde kB (constante de Boltzmann 
kB = 1,38  10
−23 J/K) é uma constante universal, 
ou seja, tem o mesmo valor para todos os gases. A 
energia cinética de uma molécula tem 
consequentemente o mesmo valor para todos os 
gases à mesma temperatura. 
 É correto afirmar que as moléculas de maior 
massa possuem menor velocidade que as 
moléculas de menor massa à mesma temperatura? 
Sim, consideremos dois gases A e B cujas moléculas 
possuem massas mA e mB (sendo mA maior que mB) e 
velocidades vA e vB. Como a temperatura dos gases é a 
mesma as energias cinéticas das moléculas são iguais. 
Assim, como mA > mB a velocidade de vA < vB. 
Pág. 57 de 78 
 Qual seria a energia interna de um gás ideal 
monoatômico? 
Vamos considerar uma gás ideal monoatômico, ou seja 
as suas moléculas têm apenas um átomo. Ao nível 
dessa nossa descrição da Natureza, não estamos 
considerando a estrutura interna dos átomos e portanto 
eles podem ter apenas um tipo de energia: a energia 
associada ao seu movimento. Desse modo, a energiatotal das N moléculas monoatômicas que compõe 
esse gás terá a forma: 
A capacidade térmica a volume constante é 
definida como 
Pág. 58 de 78 
nRTTNkENU BC
2
3
2
3

dTCdQ VV 
Donde podemos escrever o calor trocado com 
a vizinhança em termo do calor específico 
molar 
V
vvV
dT
dQ
n
cdTncdQ 






1
Usando a primeira Lei da Termodinâmica 
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pdVdQdU 
e se considerarmos uma transformação 
isovolumétrica: 
VdQdU 
ou seja: 
VV
v
T
U
ndT
dQ
n
c 














11
Como para o gás ideal 
nRTENU C
2
3

Pág. 60 de 78 
Obtemos: 
RnRT
Tn
c
V
v
2
3
2
31















Lembrando que a capacidade térmica a 
pressão constante é definida como 
dTCdQ pp 
Donde podemos escrever o calor trocado com 
a vizinhança em termo do calor específico 
molar 
p
ppp
dT
dQ
n
cdTncdQ 






1
11 
Usando a primeira Lei da Termodinâmica 
Pág. 61 de 78 
pdVdQdU 
e se considerarmos uma transformação que 
envolva uma variação de temperatura, mas com o 
sistema mantido a pressão constante, temos que: 
ppp T
V
p
dT
dQ
T
U






















onde lembramos que d´Q não é uma diferencial 
exata, daí o aparente contrasenso ao envolver 
derivadas parciais e total, na equação anterior. 
Usando as definições de um gás ideal, temos que: 
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
























 
2
3
2
3
nR
T
V
p
p
nRT
V
nR
T
U
nRTENU
p
p
C
ou seja: 
RcnRncnR
T
V
p
dT
dQ
T
U
pp
ppp
2
5
2
3























Note que cp > cV e que é válida a relação de Mayer: 
cp − cV = 3R/2 − 3R/2 = R. Por que cp > cV? 
P
ro
f.
 L
u
iz
d
a
rc
y
 d
e
 M
a
to
s 
C
a
st
ro
 -
 D
C
E
/U
E
S
B
 
 
 Teoria Cinética dos 
Gases 
 
 O que diz o Teorema da Eqüipartição da 
energia? 
 Grosso modo, o teorema da 
eqüipartição da energia, utilizado desde as 
primeiras investigações sobre a teoria 
cinética dos gases, estabelece que cada termo 
quadrático na expressão da energia do 
sistema produz uma contribuição da forma 
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ro
f.
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d
a
rc
y
 d
e
 M
a
to
s 
C
a
st
ro
 -
 D
C
E
/U
E
S
B
 
 
 Teoria Cinética dos 
Gases 
 
kBT/2 para a energia interna do sistema. 
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 d
e
 M
a
to
s 
C
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ro
 -
 D
C
E
/U
E
S
B
 
 
 Teoria Cinética dos 
Gases 
 6) O Teorema da Eqüipartição explica a tabela 
abaixo? 
Gás cv (J/mol K) 
Monoatômico 
Ideal 12,47 
He 12,52 
Ar 12,45 
Diatômico 
Ideal 20,78 
N2 20,80 
CO 20,74 
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to
s 
C
a
st
ro
 -
 D
C
E
/U
E
S
B
 
 
 Teoria Cinética dos 
Gases 
 
 Sabemos que pelo teorema da equipartição da 
energia que cada termo quadrático na expressão da 
energia do sistema produz uma contribuição da 
forma kBT/2 para a energia interna do sistema. Se 
escrevemos cada contribuição de N partículas em 
termos do número de moles, temos: 
,
2
1
2
1
2
1
nRTTkNnTNk
R
BAB 

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12 
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 M
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to
s 
C
a
st
ro
 -
 D
C
E
/U
E
S
B
 
 
 Teoria Cinética dos 
Gases 
 
onde NA é o número de Avogadro, assim 
temos que cada termo quadrático na 
expressão do hamiltoniano clássico produz 
uma contribuição da forma RT/2 para a 
energia interna molar do sistema. 
 Para uma molécula monoatômica, 
temos energia cinética de translação ao 
longo dos eixos x, y e z, 
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y
 d
e
 M
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to
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C
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 -
 D
C
E
/U
E
S
B
 
 
 Teoria Cinética dos 
Gases 
 
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C
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st
ro
 -
 D
C
E
/U
E
S
B
 
 
 Teoria Cinética dos 
Gases 
 
de forma que para a energia interna molar 
temos: 
,
2
3
2
1
2
1
2
1
RTRTRTRTu 
donde escrevemos 
./47,12
/31,8
2
3
2
3
2
3
molKJc
molKJRRT
TT
u
c
v
v
v


















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ro
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y
 d
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 M
a
to
s 
C
a
st
ro
 -
 D
C
E
/U
E
S
B
 
 
 Teoria Cinética dos 
Gases 
 
 A energia cinética de uma molécula 
diatômica, possui além desses graus de 
liberdades translacionais, dois graus de 
liberdades associados à rotação da molécula 
em torno dos eixos, x’ e y’, perpendiculares 
ao eixo da molécula: 
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 22222
yyxxzyx IImvmvmvK  
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rc
y
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 M
a
to
s 
C
a
st
ro
 -
 D
C
E
/U
E
S
B
 
 
 Teoria Cinética dos 
Gases 
 
de forma que 
,
2
5
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
RTRTRTRTRTRTu 
donde escrevemos 
./78,20
/31,8
2
5
2
5
2
5
molKJc
molKJRRT
TT
u
c
v
v
v


















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/U
E
S
B
 
 
 Teoria Cinética dos 
Gases 
 
7) Por que não consideramos a rotação em 
torno do eixo z’? 
 Excluímos a rotação em torno do eixo 
z’ admitindo ou que os átomos são pontos e 
o momento de inércia em torno desse eixo é 
portanto zero, ou que os átomos são esferas 
rígidas e lisas em cujo caso a rotação em 
torno desse eixo não se altera por colisões e 
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13 
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/U
E
S
B
 
 
 Teoria Cinética dos 
Gases 
 
portanto não participam 
na troca de energia. 
Quaisquer dessas 
hipóteses também 
exclui a possibilidade 
de rotação de uma 
molécula monoatômica. 
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/U
E
S
B
 
 
 Teoria Cinética dos 
Gases 
 Para um sólido, o calor específico molar 
também pode ser determinado pelo 
teorema da eqüipartição (pelo menos 
para altas temperaturas). Por exemplo, 
para o cobre o valor é 24, 5 J/mol K, o 
do ouro é 25,6J/mol K 
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 Teoria Cinética dos 
Gases 
 
 Na realidade, observa-se 
experimentalmente que a maior parte dos 
sólidos tem calor específico molar 
aproximadamente iguais a 3 R: 
./9,243 molKJRcv 
Este resultado é a lei de Dulong-Petit. 
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 Teoria Cinética dos 
Gases 
 
Para entender considere o modelopara o sólido: 
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 A energia total de um átomo num sólido 
é, então, 
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 222222 zkykxkmvmvmvE zyxzyx 
tomando uma aproximação harmônica para o 
potencial atrativo dos átomos na rede, de 
forma que 
,33
2
1
6 RTunRTnRTU 
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e 
 
./9,24
/31,8333
molKJc
molKJRRT
TT
u
c
v
v
v













P
ro
f.
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d
a
rc
y
 d
e
 M
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to
s 
C
a
st
ro
 -
 D
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E
S
B
 
REFERÊNCIAS 
Pág. 78 de 78 
[1] Sears, F. W.; Zemansky e Young – "Física", vol. 2. Livros 
Técnicos e Científicos – LTC, 1993. 
[2] Tipler, P. Física. LTC. 2O.Edição, Vol.1, 2000. 
[3] Hallyday, D., Resnick, R. Walker, J.; Fundamentos de 
Física. Vol. 2, LTC, 1993. 
[4] Sears, Francis W. e Salinger, Gerhard L. Termodinâmica, 
Teoria Cinética e Termodinâmica Estatística. 3ª Edição, Editora 
Guanabara Dois, 1979. 
[5] Chaves, A. S. Física: Mecânica. Reichmann & Affonso 
Editores, 2001. 
[6] Nussenzveig, H. M. Curso de Física Básica, Mecânica. 
Vol.1, Ed. Edgard Blücher LTDA, 1997.