Lista II de Exercícios – Probabilidades com a resulução

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Lista I de Exercícios – Probabilidades - GABARITO 
1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a 
probabilidade desta bola ser verde? 
Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, 
portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12. 
Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente 
podemos representar a resolução assim: 
 
Resposta: A probabilidade desta bola ser verde é 5/12 
 2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem 
com a mesma face para cima? 
Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de 
agrupamentos ao lançarmos três moedas. 
Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2.2.2 
resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso 
espaço amostral. 
Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas 
com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, 
então a probabilidade será dada por: 
 
Resposta: A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 
1/4, ou 0,25, ou ainda 25%. 
 3) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é 
de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? 
Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma 
decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou 
seja, é igual a 0,8. 
Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela 
não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de 
todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, 
então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não 
engravidar no mês, logo: 
 
0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%. Então: 
Resposta: A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 
10,24%. 
4) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única 
ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? 
Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada 
através da fórmula 
e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum 
aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar . 
Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o 
número total de elementos do espaço amostral. 
Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente 
exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que 
fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso 
então podemos utilizar a fórmula . 
Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos. 
O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 
elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha 
verde ocorrer é igual a 7/14: 
 
Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é 
igual a 2/14: 
Observe que poderíamos ter simplificado as probabilidades, quando então 7/14 passaria a 
1/2 e 2/14 a 1/7, no entanto isto não foi feito, já que para somarmos as duas 
probabilidades precisamos que elas tenham um denominador comum: 
 
Este exercício foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de dois eventos 
para que você tivesse um exemplo da utilização da mesma e pudesse aprender quando 
utilizá-la, mas se você prestar atenção ao enunciado, poderá ver que poderíamos tê-lo 
resolvido de uma outra forma, que em alguns casos pode tornar a resolução mais rápida. 
Note que a probabilidade de se obter ficha azul é 5 em 14, ou seja, 5/14. Então a 
probabilidade de não se obter ficha azul é 9 em 14, pois: 
 
O 1 que aparece na expressão acima se refere à probabilidade do espaço amostral. 
Note que utilizamos o conceito de evento complementar, pois se não tivermos uma ficha 
azul, só poderemos ter uma ficha verde ou uma ficha amarela, pois não há outra opção. 
Resposta: A probabilidade de ela ser verde ou amarela é 9/14. 
 
5) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 
pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma 
destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter 
pegado um pastel? 
A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas é igual 1/2. 
A probabilidade de escolhermos um pastel na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é 3/8 e 
como a probabilidade de escolhermos a primeira travessa é 1/2, temos: 
 
A probabilidade de escolhermos um pastel na segunda travessa é 4 em 6, isto é 4/6 e 
como a probabilidade de escolhermos a segunda travessa é igual a 1/2, temos: 
 
Então a probabilidade de escolhermos um pastel é igual a: 
 
Resposta – A probabilidade de se ter pegado um pastel é 25/48. 
 
6) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. 
Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de 
bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 
peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 
na sua face? 
Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3: 
A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) } 
Chamemos de B o evento da ocorrência de um 4: 
B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) } 
Veja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos, logo . 
Calculando as probabilidades de A, B e da intersecção, temos: 
   
 
Finalmente para o cálculo da probabilidade desejada vamos utilizar a fórmula da 
probabilidade da união de dois eventos: 
 
Repare que 13 é o número total de peças que possuem 3 ou 4, desconsiderando-se a 
ocorrência que se repete (o (4 ,3) da intersecção dos dois eventos). 
Resposta - A probabilidade de ela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face é 13/28. 
 
7) Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos sem reposição 4 
bolas desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas nas cores 
verde, azul, vermelha e branca? 
No evento E1 a probabilidade de tirarmos uma bola verde é de 4 em 16: 
 
Como não há reposição, a cada retirada o número de elementos do espaço amostral 
diminui em uma unidade. No evento E2 a probabilidade de tirarmos uma bola azul é de 4 
em 15: 
 
No evento E3 a probabilidade de tirarmos uma bola vermelha é de 4 em 14: 
 
No evento E4 a probabilidade de tirarmos uma bola branca é de 4 em 13: 
 
Finalmente a probabilidade de tirarmos as bolas conforme as restrições do enunciado é: 
 
Resposta - A probabilidade é 8/1365. 
 
8) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o 
curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de 
inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol? 
Chamemos de A o evento que representa o curso de espanhol e B o evento que 
representa o curso de inglês. 
Podemos calcular a probabilidade de ocorrer A tendo ocorrido B através da fórmula: 
 
Segundo o enunciado e , então:Note que no caso da probabilidade condicional, ao invés de calcularmos a probabilidade 
em função do número de elementos do espaço amostral, a calculamos em função do 
número de elementos do evento que já ocorreu. 
Resposta - A probabilidade do aluno também estar cursando o curso de espanhol é 2/5. 
 
9) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a 
probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4? 
Vamos representar por E3 o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 3: 
E3 = { 3, 6, 9, 12, 15 } 
E por E4 vamos representar o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 4: 
E4 = { 4, 8, 12 } 
O espaço amostral é: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } 
A probabilidade de sair uma bola divisível por 3 é: 
A probabilidade de sair uma bola divisível por 4 é: 
Como estamos interessados em uma ocorrência ou em outra, devemos somar as 
probabilidades, mas como explicado no tópico união de dois eventos, devemos subtrair a 
probabilidade da intersecção, pois tais eventos não são mutuamente exclusivos. Como 
podemos ver, o número 12 está contido tanto em E3 quanto em E4, ou seja: 
 
A probabilidade da intersecção é: 
 
Portanto: 
 
 
Resposta – A probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4 é 7/15.