Eurocodigo 8- SISMO

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OE – Seminário – Aplicação do Eurocódigo 8 ao Projecto de Edifícios 
Projecto de estruturas para resistência aos 
sismos 
 
EC8-1 
 
 Exemplo de aplicação 2 
António Costa 
Ordem dos Engenheiros 
Lisboa – 11 de Novembro de 2011 
Porto – 18 de Novembro de 2011 
 OE – Seminário – Aplicação do Eurocódigo 8 ao Projecto de Edifícios 
EXEMPLO – EDIFÍCIO COM ESTRUTURA DE PAREDES 
Laje fungiforme maciça : 0,22 m 
Vigas: 0,3 m x 0,45 m 
Pilares centrais: 0,65 m x 0,65 m 
Pilares de canto: 0,35 m x 0,35 m 
Paredes Y : 5,5 m x 0,3 m 
Paredes acopladas X: 2.0 m x 0,3 m 
Vigas de acoplamento: 0,3 m x 0,8 m 
 
Materiais: C35 
 A 500 NR SD 
PLANTA 
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ESTRUTURA 
ALÇADO CORTE PELO EIXO 2 
Elementos sísmicos primários: 
 Paredes 
 Vigas de acoplamento 
 
Elementos sísmicos secundários: 
 Sistema pilar-laje 
 Sistema pilar-viga 
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ACÇÕES 
Acções gravíticas 
Peso próprio da estrutura 
Lajes: rcp = 2,5 kN/m2; sc = 4,0 kN/m2 
Vigas de bordo: rcp (paredes no contorno do edifício) = 5,0 kN/m 
Acção sísmica 
O edifício está localizado em Portugal Continental nas zonas sísmicas 1.2 (agR = 2,0 m/s
2) e 2.3 
(agR = 1,7 m/s
2). 
O solo de fundação é constituído por uma areia muito compacta classificável como um 
terreno do tipo B de acordo com o EC8-1. 
O edifício é classificado como pertencendo à classe de importância II, à qual está associado 
um coeficiente de importância I = 1,0: ag = agR 
Coeficiente de comportamento: Direcção X - q = 3,6 Direcção Y - q = 3,0 
A estrutura será dimensionada como estrutura de ductilidade média DCM 
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ACÇÕES 
Espectros de resposta de cálculo 
Direcção X 
(q=3,6) 
Espectros de resposta de cálculo 
Direcção Y 
(q=3,0) 
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
S
d
 [
m
/s
2
] 
T [s] 
Sismo 1
Sismo 2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
S
e
 [
m
/s
2
] 
T [s] 
Sismo 1
Sismo 2
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ANÁLISE ESTRUTURAL 
Método de referência do EC8 - análise modal por espectro de resposta considerando um 
modelo elástico linear da estrutura e o espectro de resposta de projecto 
A estrutura foi analisada recorrendo a um modelo tridimensional constituído por barras que 
simulam os pilares, paredes, vigas e lajes. 
A rigidez de flexão e de corte destes elementos estruturais foi considerada igual a metade 
da rigidez elástica 
Dois modelos estruturais: 
 modelo global da estrutura tem por objectivo : 
• mostrar que o sistema pilar-viga e o sistema pilar-laje podem ser considerados como sistemas 
secundários; 
• determinar os esforços para a situação de projecto sísmica para efeito do dimensionamento 
dos elementos sísmicos secundários. 
 modelo da estrutura primária constituída pelas paredes e vigas de acoplamento 
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ANÁLISE ESTRUTURAL 
Modelo global tridimensional da estrutura 
(estrutura modelada acima do piso 0) 
A estrutura é classificada como regular em altura e em planta 
(a classificação da regularidade deve ser realizada considerando a estrutura global) 
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ANÁLISE ESTRUTURAL 
A percentagem da força de corte obtida em cada tipo de elemento e a relação entre a força de 
corte nos elementos secundários e primários é a seguinte: 
Direcção X 
Pilares de canto: 2,3 % 
Pilares centrais: 3,9 % 
Paredes (5.5 m x 0,3 m): 5,2 % 
Paredes (2,0 m x 0,3 m): 88,6 % 
 = 11,4 / 88,6 = 0,129 < 0,15 
Direcção Y 
Pilares de canto: 1,6 % 
Pilares centrais: 2,2 % 
Paredes (2,0 m x 0,3 m): 3,4 % 
Paredes (5,5 m x 0,3 m): 92,8 % 
 = 7,2 / 92,8 = 0,078 < 0,15 
A contribuição dos elementos sísmicos secundários para a rigidez lateral da estrutura não deve 
ser superior a 15% da dos elementos primários. 
 (controlar a redução da aceleração espectral por via da diminuição da rigidez da estrutura) 
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ANÁLISE ESTRUTURAL 
Modelo da estrutura primária 
Necessário verificar se as paredes ligadas por vigas constituem 
uma parede acoplada. 
O EC8 impõe que o acoplamento deve ser capaz de reduzir em 
pelo menos 25 % a soma dos momentos flectores obtidos na 
base de cada parede se cada uma funcionasse separadamente 
Momentos flectores e esforços axiais na base das paredes devidos 
à acção sísmica na direcção X : 
Momentos na base da parede acoplada: My = 2 x 1847 = 3694 kNm 
Esforço axial nas paredes: N = 2434kN 
Momento total: My = 3694 + 2434 x 6 = 18298 kNm 
 
Verifica-se que a redução do momento flector na base é da ordem 
de 80% pelo que as paredes ligadas por vigas constituem uma 
parede acoplada. 
Período fundamental de vibração nas direcções principais: 
TX = 1,71 s; TY = 1,98 s 
O modo de vibração de torção: TRZ = 1,24 s 
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ANÁLISE ESTRUTURAL 
Sendo o edifício regular em altura e em planta o valor máximo do coeficiente de comportamento é 
dado por: 
 q = qo Kw com Kw =1,0 {Kw = (1+ a0)/3 = (1+ 35/5,5) / 3 = 2,45 ≤ 1.0} 
 
direcção X: qo = 3,0 αu/α1 com αu/α1 =1,2 por se tratar de um sistema de paredes acopladas. 
 q = qo = 3 x 1,2 = 3,6 
 
direcção Y: q = qo = 3,0 por se tratar de um sistema de paredes não acopladas 
COEFICIENTE DE COMPORTAMENTO 
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ANÁLISE ESTRUTURAL 
Os efeitos acidentais da torção são determinados considerando ao nível dos pisos a actuação de 
momentos torsores Mai obtidos pela seguinte expressão: 
 Mai = eai Fi 
em que: 
eai =  0,05 Li  eaiX =  0,05 x 12 =  0,60 m ; eaiY =  0,05 x 18 =  0,90 m 
Fi - força horizontal actuante ao nível do piso i 
 
 
 
Força de corte basal Fb: 
 Fb = Sd(T1) m  
Fi = Fb . 
zi . mi
 zj . mj
 
Acelerações espectrais de cálculo nas duas direcções ortogonais principais: 
TC < T < TD SdX = ag.S.2,5/q.(TC/TX) = 2 x 1,23 x 2,5/3,6 x (0,6/1,71) = 0,60 m/s
2 
 Sdy = 2 x 1,23 x 2,5/3,0 x (0,6/1,98) = 0,62 m/s
2 
TORÇÃO ACIDENTAL 
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ANÁLISE ESTRUTURAL 
Piso FiX [kN] FiY [kN] MaiX [kNm] MaiY [kNm] 
1 28.4 29.3 17.0 26.4 
2 56.8 58.7 34.1 52.8 
3 85.1 88.0 51.1 79.2 
4 113.5 117.3 68.1 105.6 
5 141.9 146.6 85.1 132.0 
6 170.3 176.0 102.2 158.4 
7 198.7 205.3 119.2 184.8 
8 227.1 234.6 136.2 211.2 
9 255.4 263.9 153.3 237.6 
10 283.8 293.3 170.3 263.9 
Forças de inércia Fi e momentos torsores Mai 
m = 3060 t ;  = 0,85 
FbX = 0,60 x 3060 x 0,85 = 1561 kN ; FbY = 0,62 x 3060 x 0,85 = 1613 kN 
Massas dos pisos: mi = 306 t 
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VERIFICAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 
Dado que o edifício incorpora paredes de alvenaria é necessário limitar o deslocamento relativo 
entre pisos a 0,005 h: 
 dr / h  0,005 
dr deslocamento relativo entre pisos (dr = ds,i – ds,i-1, com ds = qd de) 
Direcção Y Direcção X 
REQUISITO DE LIMITAÇÃO DE DANOS 
 = 0,40 (acção sísmica tipo 1) coeficiente de redução que tem em conta o mais baixo período de retornoda acção sísmica 
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VERIFICAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 
Piso de [mm] ds [mm] dr [mm]  dr / h 
1 3.0 10.8 10.8 0.0012 
2 9.1 32.8 22.0 0.0025 
3 16.5 59.4 26.6 0.0030 
4 24.2 87.1 27.7 0.0032 
5 31.6 113.8 26.6 0.0030 
6 38.7 139.3 25.6 0.0029 
7 45.3 163.1 23.8 0.0027 
8 51.2 184.3 21.2 0.0024 
9 56.4 203.0 18.7 0.0021 
10 60.8 218.9 15.8 0.0018 
Direcção X 
Piso de [mm] ds [mm] dr [mm]  dr / h 
1 1.8 5.4 6.8 0.0008 
2 6.3 18.9 13.5 0.0015 
3 12.9 38.7 19.8 0.0023 
4 21.3 63.9 25.2 0.0029 
5 31.1 93.3 29.4 0.0034 
6 41.9 125.7 32.4 0.0037 
7 53.6 160.8 35.1 0.0040 
8 65.7 197.1 36.3 0.0041 
9 78.1 234.3 37.2 0.0043 
10 90.7 272.1 37.8 0.0043 
Direcção Y 
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VERIFICAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 
Verificação da necessidade de se considerar os efeitos 2ª ordem no dimensionamento dos 
elementos estruturais calculando o coeficiente de sensibilidade  
 = Ptot dr / Vtot h 
Coeficientes de sensibilidade  > 0,10  é necessário considerar os efeitos de 2ª ordem 
no dimensionamento da estrutura nas direcções X e Y 
Piso Ptot VtotX VtotY drX [mm] drY [mm] X Y 
1 30019 1561 1613 10.8 6.8 0.059 0.036 
2 27017 1533 1583 22.0 13.5 0.111 0.066 
3 24015 1476 1525 26.6 19.8 0.124 0.089 
4 21013 1391 1437 27.7 25.2 0.120 0.105 
5 18011 1277 1319 26.6 29.4 0.107 0.115 
6 15009 1135 1173 25.6 32.4 0.097 0.118 
7 12008 965 997 23.8 35.1 0.084 0.121 
8 9006 766 792 21.2 36.3 0.071 0.118 
9 6004 539 557 18.7 37.2 0.060 0.115 
10 3002 284 293 15.8 37.8 0.048 0.111 
EFEITOS DE 2ª ORDEM 
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DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES 
Os efeitos de 2ª ordem podem ser considerados de forma simplificada multiplicando os esforços 
sísmicos de 1ª ordem pelo factor 1/(1 - ) 
Direcção X: 1/(1 - 0,124) = 1,141 
Direcção Y: 1/(1 - 0,121) = 1,138 
Actuação simultânea das componentes horizontais do sismo nas duas direcções: 
 edifício regular em que as paredes nas duas direcções horizontais são os únicos 
elementos sísmicos primários 
 considera-se que a acção sísmica actua separadamente segundo as direcções ortogonais 
principais 
(metodologia conservativa mas que conduz a uma 
distribuição de esforços equilibrada) 
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DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES 
Parede dos alinhamentos A e D (5,5 m x 0,3 m) 
Esforços na base da parede obtidos na análise estrutural: 
Sismo EY: N = 0; Mx = 18487 kNm; Vy = 972 kN 
Consideração dos efeitos de 2ª ordem: 
 N = 0; Mx = 18487 x 1,138 = 21038 kNm; Vy = 972 x 1,138 = 1106 kN 
g + 2 q: N = -3650 kN 
O esforço axial reduzido na parede é: 
 d = NEd /Ac fcd = 3650 /(5,5x0,30x23,33x10
3) = 0,094 
Valor inferior ao limite regulamentar de 0,4. 
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DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES 
A zona de encastramento na base da parede deve ser considerada como zona crítica com altura 
hcr acima da secção de encastramento calculada da seguinte forma: 
hcr = max {lw ; hw/6} = max {5,5 ; 35/6} = 5,83 m 
 
Dimensionamento à flexão 
A armadura longitudinal deve ser concentrada junto às extremidades da secção da parede nos 
elementos de extremidade. 
Comprimento mínimo dos el. de extremidade: 
lc = max {0,15 lw; 1,5 bw} = 0,83 m 
O EC8 obriga a considerar a armadura vertical de alma no cálculo da resistência à flexão das 
secções de parede. A armadura mínima na alma da parede é dada por (EC2): 
v  0,002  As  6,0 cm
2/m 
Adopta-se na alma em ambas as faces  10 // 0,20 (As/s = 7,86 cm
2/m) 
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DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES 
O momento resistente associado a esta armadura para o nível de esforço axial actuante é: 
 MRd = 21300 kNm > MEd = 21038 kNm 
A taxa de armadura no elemento de extremidade é:  = 0,018, valor superior à taxa mínima 
igual a 0,005 e inferior à taxa máxima igual a 0,04. 
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DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES 
Uma vez que o esforço axial reduzido na parede d é inferior a 0,15 não seria obrigatório calcular a 
armadura de confinamento nos elementos de extremidade podendo a armadura transversal ser 
determinada de acordo com os requisitos do EC2 relativos aos pilares. 
Ilustra-se, todavia, o dimensionamento do 
confinamento dos elementos de extremidade: 
 
 = 2 q0 – 1 = 2 x 3,0 - 1 = 5,0 
v = (Asv / lw bc) fyd /fcd 
Asv = (5,5 – 2 x 0,83) x 7,86 = 30,2 cm
2 
v = 30,2 / (550 x 30) x 435/23,33 = 0,034 
d = 0,094 
αwd ≥ 30 x 5 x (0,094 + 0,034) x 2,175 x 10
-3 x 0,30/0,22 - 0,035 = 0,022 
(wd)min = 0,08 
awd  30  (d + v) sy,d bcbo - 0,035 
Comportamento da parede sem confinamento 
Verificação da ductilidade local - Zona crítica 
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
M
o
m
e
n
to
 [
kN
m
] 
 Ø x 10-3 [m-1] 
  5 
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DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES 
O confinamento deve ser prolongado horizontalmente no comprimento lc até ao ponto onde o betão 
não confinado possa destacar-se devido a grandes extensões de compressão: c > cu2 = 0,0035 
Cálculo de lc: 
lc = xu (1-cu2 /cu2,c) 
 
 
 Xu = (0,094 + 0,034) x 5,5 x 0,3 / 0,22 = 0,96 m 
cu2,c = 0,0035 + 0,1awd 
 = 0,0035 + 0,1 x 0,51 x 0,08 = 0,0076 
lc = 0,96 x (1 – 0,0035 / 0,0076) = 0,52 m 
Valor inferior ao mínimo anteriormente calculado pelo que será adoptado um comprimento lc = 0,83 m 
coerente com a disposição da armadura longitudinal na extremidade 
xu = (d + v) 
lw bc
bo
 
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DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES 
O espaçamento máximo das cintas na direcção longitudinal nos elementos de extremidade: 
s = min {b0/2 ; 175 ; 8dbl} = min {220/2; 175; 8x20} = 110 mm 
h0 = 83 cm; b0 = 22 cm; s = 10 cm 
Adoptando uma cinta de contorno  8 e no interior 4R  8, tem-se: 
wd = w fyd /fcd ; w = 2 min(w,x; w,y) 
w,x = Asw,x / b0s ; w,y = Asw,y / h0s 
w,x = (2 x 0,5) / (22 x 10) = 0,0045 
w,y = (6 x 0,5) / (83 x 10) = 0,0036 
w = 2 x 0,0036 = 0,0072  wd = 0,0072 x 435 / 23,33 = 0,134 > 0,08 
an = (1 – bi
2 / 6h0b0) = 1 – (10 x 16
2 + 2 x 192)/ (6 x 83 x 22) = 0,70 
as = (1 - s / 2b0) (1 - s / 2h0) = (1 – 10 / (2 x 22)) x (1 – 10 / (2 x 83)) = 0,73 
a = 0,70 x 0,73 = 0,51 
a wd = 0,51 x 0,134 = 0,068 > 0,022 (a wd = 0,068   ≈ 9) 
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DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES 
Dimensionamento ao esforço transverso 
 VEd =  V’Ed = 1,5 x 1106 = 1659 kN 
Na zona crítica na base da parede irá formar-se a rótula plástica pelo que no dimensionamento 
ao esforço transverso considera-se prudente tomar um ângulo  = 45º para a inclinação do 
campo de compressões. 
Vrd,max = 0,6 (1 – fck / 250) fcd b z sen cos 
 = 0,6 (1 – 35 / 250) x 23,33x103 x 0,3 x 4,7 x sen 45º x cos 45º = 8488 kN >> VEd 
Asw /s = VEd /(z cotg fyd) = 1659 / (4,7 x 43,5) = 8.1 cm
2/m (2R  10 // 0,20) 
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DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES 
3,5 
31,5 
21038 
2338 
1659 
1258 
456 829,5 
11,57 
Dimensionamento da parede acima da zona crítica com base em diagramas envolventes dos 
momentos e esforços transversos de cálculoOE – Seminário – Aplicação do Eurocódigo 8 ao Projecto de Edifícios 
DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES 
Paredes acopladas 
[M] [V] [N] [M] 
Esforços da análise estrutural EX 
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DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES 
Esforços na base da parede 
 Sismo EX: N = 2434 kN; My = 1847 kNm; Vx = 392 kN 
Consideração dos efeitos de 2ª ordem multiplicando os esforços obtidos na análise pelo 
coeficiente 1/(1 - ): 
 N = 2434 x 1,141 = 2777 KN 
 Mx = 1847 x 1,141 = 2107 kNm; Vy = 392 x 1,141 = 447 kN 
Esforço devido à carga quase permanente: 
g + 2 q: N = -2479 kN 
Verificação do esforço axial máximo 
O esforço axial reduzido máximo para a combinação sísmica 
 d = NEd /Ac fcd = (2777 + 2479) /(2,0x0,30x23,33x10
3) = 0,375 
Valor inferior ao limite regulamentar de 0,4. 
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DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES 
Altura hcr acima da secção de encastramento: 
 hcr = max {lw ; hw/6} = max {2,0 ; 35/6} = 5,83 m 
Dimensionamento à flexão 
Comprimento mínimo dos elementos de extremidade: 
 lc = max {0,15 lw; 1,5 bw} = 0,45 m 
A armadura necessária para resistir ao momento actuante deve ser calculada para o esforço axial 
mínimo: 
 N = -2479 + 2777 = 298 kN 
O confinamento dos elementos de extremidade da parede deve ser calculado para o esforço axial 
máximo: 
 N = -2479 - 2777 = -5256 kN 
  = 2 q0 – 1 = 2 x 3,6 - 1 = 6,2 
 αwd ≥ 30 x 6,2 x (0,375 + 0,037) x 2,175 x 10
-3 x 0,30/0,22 - 0,035 = 0,187 
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DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES 
Vigas de acoplamento (0,3 m x 0,8 m) 
As vigas de acoplamento apresentam uma relação l/h = 4/0,8 = 5 > 3, pelo que neste caso 
verifica-se que o modo de rotura por flexão é preponderante face ao modo de rotura por 
esforço transverso  o dimensionamento é idêntico ao das vigas correntes 
Os esforços máximos devidos à acção sísmica ocorrem no piso 3. 
Esforços obtidos na análise estrutural: 
Sismo EX: My = 690 kNm; (Vx = 345 kN) 
Consideração dos efeitos de 2ª ordem: 
 Mx = 690 x 1,141 = 787 kNm; 
g + 2 q: My = -32 kNm; Vx = 42 kN (esforços nas secções de extremidade) 
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DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS SECUNDÁRIOS 
Sistema de laje fungiforme 
Pilares 
De acordo com o EC2 a armadura mínima em pilares é: 
 As,min = max {0,002 Ac ; 0,10 NEd / fyd} 
Nos pilares centrais no piso 0 o esforço axial máximo relativo à combinação fundamental de 
acções (1,35 g + 1,5 q) é NEd = -8152 kN pelo que a armadura mínima é dada por: 
 As,min = max {0,002 x 65
2 ; 0,10 x 8152 / 43,5 } = 18,7 cm2 
Pormenorização de armaduras : (4  20 + 4  16) distribuída uniformemente no contorno 
Momentos resistentes do pilar: 
 NEd = -8152 kN ; MRd = 556 kNm combinação fundamental 
 NEd = -4607 kN ; MRd = 953 kNm combinação sísmica 
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DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS SECUNDÁRIOS 
O momento resistente do pilar associado ao esforço axial relativo à combinação sísmica é 
elevado pelo que o dimensionamento do sistema de laje fungiforme em ductilidade é inviável. 
Esta situação requereria a formação das rótulas plásticas nos pilares e traduzir-se-ia na 
transmissão à laje, na zona de ligação aos pilares, de um momento total: 
 
 Mtot ≈ 2 x 953 = 1906 kNm 
 
Esforço incomportável quer em termos de resistência à flexão quer em termos de resistência 
ao punçoamento da laje. 
Será necessário proceder ao dimensionamento deste sistema 
para os esforços associados às deformações máximas 
induzidas pelo sismo (q=1,0). 
Como dimensionar o sistema de laje fungiforme??? 
EX 
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DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS SECUNDÁRIOS 
Exemplifica-se o dimensionamento dos pilares do piso 3. 
Esforços no pilar relativos à acção sísmica obtidos no modelo global considerando q=1,0 
incluindo os efeitos da torção acidental. 
Pilar Piso Secção 
EX EY 
N [kN] Mx [kNm] My [kNm] N [kN] Mx [kNm] My [kNm] 
P2B 3 
base 
35,6 
5,0 294,5 
0 
275,7 0 
topo 3,2 244,4 148,3 0 
Estes esforços devem ser afectados dos seguintes coeficientes: 
 1/(1 - ) relativo aos efeitos de 2ª ordem 
 de1 /de2 relação entre os deslocamentos de1 obtidos no modelo da estrutura primária e de2 
 obtidos no modelo global para o espectro de resposta de projecto. 
Direcção X: 1/(1 - ) x de1 /de2 = 1,141 x (16,5/14,0) = 1,354 
Direcção Y: 1/(1 - ) x de1 /de2 = 1,138 x (12,9/11,7) = 1,255 
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DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS SECUNDÁRIOS 
Esforços associados à carga quase permanente (g + 2 q): 
 N = -3690 kN ; Mx = 0 ; My = 11,8 kNm 
Obtendo-se os seguintes esforços globais relativos à combinação sísmica: 
Pilar Piso Secção 
(g + 2 q) + EX (g + 2 q) + EY 
N [kN] Mx [kNm] My [kNm] N [kN] Mx [kNm] My [kNm] 
P2B 3 
base 
-3642 
-3737 
6,8 410,6 
-3690 
346,0 11,8 
topo 4,3 342,7 186,1 11,8 
Neste piso a armadura mínima do pilar é condicionada pelo esforço axial relativo à combinação 
fundamental de acções: As,min = 0,10 NEd /fyd = 0.10 x 6527/43,5 = 15 cm
2 
Realizável com 8  16 a que corresponde um momento resistente associado ao esforço axial 
mínimo para a combinação sísmica (NEd = -3642 kN): MRd = 880 kNm >> MEd 
O esforço transverso máximo actuante é: VEd = (410,6 + 342,7) / 3.5 = 215 kN, valor relativamente 
reduzido. A armadura transversal é pormenorizada de acordo com as disposições do EC2. 
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DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS SECUNDÁRIOS 
Dimensionamento da laje 
Exemplifica-se o dimensionamento da laje na direcção Y no piso 8 (piso e direcção onde ocorrem 
os maiores esforços) 
Momento flector na zona de ligação ao pilar obtido no modelo global (barra que simula a laje) para a 
acção sísmica EY considerando q =1,0, incluindo os efeitos da torção acidental: 
 Mx = 275,4 kNm. 
Este momento deve ser afectado do coeficiente: 
 1/(1 - ) x de1 /de2 = 1,138 x (65,7/49,3) = 1,516 
Esforços associados à carga quase permanente (g + 2 q): 
 Mx = - 210 kNm (na largura do espessamento igual a 2m); 
 V = 422 kN (esforço de punçoamento) 
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DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS SECUNDÁRIOS 
Esforços totais relativos à combinação sísmica 
na direcção Y (na largura de 2m): 
 M
-
Ed = -275,4 x 1,516 – 210 = - 627,5 kNm 
 M+Ed = 275,4 x 1,516 – 210 = 207,5 kNm 
 VEd = 422 kN 
Armadura necessária na zona do espessamento (2,0 m): 
 face superior  20//0,125 
 face inferior  12//0,15 
Para efeitos da verificação da capacidade resistente da laje considera-se que o momento devido 
à acção sísmica transmitido pelo pilar à laje se distribui numa largura de 2h para cada lado das 
faces do pilar (largura total de 2m) 
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DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS SECUNDÁRIOS 
Verificação da segurança ao punçoamento (EC2): 
 vEd =  VEd / (u1 x d) 
  = 1 + k (MEd / VEd).(u1 / w1) 
 u1 = 6,50 m; w1 = 4,24 m
2 ; k = 0,6 
 MEd = 2 x (275,4 x 1,516) = 835 kNm 
  = 1 + 0,6 x 835/422 x 6,5/4,24 = 2,82 
Valor muito alto devido à elevada relação entre o momento flector e o esforço vertical. 
vEd = 2,82 x 422 / (6,5 x 0,31) = 591 kN/m
2 
vRd,c = 0,12 k (100 l fck)
1/3 
k = 1,8; l =0,0081vRd,c = 658 kN/m
2 > vEd 
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DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS SECUNDÁRIOS 
Sistema pilar-viga 
Para exemplificar o dimensionamento dos pilares de canto considera-se o pilar do piso 6. 
Estes pilares podem ser dimensionados em ductilidade ou em “fase elástica”. 
Esforços associados à carga quase permanente: 
Pilar Piso Secção 
(g + 2 q) 
N [kN] Mx [kNm] My [kNm] 
P1A 6 
base 
-340 
-8,0 17,5 
topo 8,0 -17,5 
Esforços devidos ao sismo relativos ao espectro de reposta de projecto: 
(considerando os coeficientes de comportamento qX = 3,6 e qY = 3,0, incluindo os efeitos 
da torção acidental) 
Pilar Piso Secção 
EX EY 
N [kN] Mx [kNm] My [kNm] N [kN] Mx [kNm] My [kNm] 
P1A 6 
base 
75 
3,4 29,3 
235 
57,8 3,8 
topo 3,4 30,2 57,5 3,9 
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DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS SECUNDÁRIOS 
Factores de majoração: 
Direcção X: 1/(1 - ) x de1/de2 = 1,141 x (45,3/36,6) = 1,412 
Direcção Y: 1/(1 - ) x de1/de2 = 1,138 x (53,6/41,2) = 1,481 
Se o dimensionamento for realizado em “fase elástica” os esforços da acção sísmica indicados 
no quadro anterior devem ser multiplicados pelo coeficiente de comportamento q e pelos 
factores de majoração acima calculados. 
Indicam-se seguidamente os esforços a considerar nas duas metodologias. 
 Dimensionamento em “fase elástica”: 
Pilar Piso Secção 
(g + 2 q) + EX (g + 2 q) + EY 
N [kN] Mx [kNm] My [kNm] N [kN] Mx [kNm] My [kNm] 
P1A 6 
base +41 
-721 
-25,3 166,4 +655 
-1340 
-264,8 34,4 
topo 25,3 -171,0 263,5 -34,8 
Estes esforços conduziriam a armaduras muito elevadas no pilar, taxa da ordem de 0,06, 
superior ao limite regulamentar. 
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DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS SECUNDÁRIOS 
 Dimensionamento em ductilidade 
 Para os esforços devidos ao sismo de projecto multiplicados pelos factores de majoração: 
Pilar Piso Secção 
(g + 2 q) + EX (g + 2 q) + EY 
N [kN] Mx [kNm] My [kNm] N [kN] Mx [kNm] My [kNm] 
P1A 6 
base 
-234 
-446 
-12,8 58,9 +8 
-688 
-93,6 23,1 
topo 12,8 -60,1 93,2 -23,3 
Para a combinação mais desfavorável (g + 2 q) + EY a armadura necessária é constituída por: 
4  20 + 4  16 distribuída uniformemente no contorno a que corresponde uma taxa de armadura 
de 0,017. 
A armadura de confinamento nas zonas críticas é constituída por 
 cintas quadradas  8 //0,10 mais cintas em losango  6 // 0,10. 
Este tipo de dimensionamento conduz a armaduras adequadas.