Método das Forças- passos

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Análise de Estruturas - MÉTODO DAS FORÇAS
Sistematização de aplicação do Método das Forças - estruturas planas
1. Identificação do grau de hiperestatia da estrutura (α = número de
incógnitas excedentes ao número das equações de equilíbrio).
2. Constituição do Sistema Base (SB): obtenção de um sistema estrutural
isostático, através da eliminação de ligações internas e/ou externas e
a introdução das incógnitas hiperstáticas correspondentes as ligações
eliminadas. A escolha do SB é arbitrária!
3. Cálculo do sistema base para acções unitárias em correspondência
com as incógnitas hiperstáticas. Obtenção dos diagramas mi, ni e vi para
à acção isolada das cargas Xi = 1. (Condições de equilíbrio satisfeitas.)
4. Cálculo dos deslocamentos no sistema base correspondentes as
incógnitas hiperstáticas para cada uma das cargas unitárias (utilizando
o PTV e os sistemas equilibradas obtidas – relações constitutivas
satisfeitas).
δij =
∑
nb
∫ l
0
(
ninj
EA
+
vivj
GA⋆
+
mimj
EI
)
dl +
∑
ml
ninj
k
+
∑
mθ
mimj
kθ
onde (ml) representa o numero das molas de translação e (mθ) as molas
de “rotação” presentes na estrutura.
(δij) é o deslocamento (flexibilidade) no SB correspondente a incógnita
hiperstática i devido a uma carga unitária aplicada em j.
5. Cálculo do sistema base para as acções consideradas. Obtenção dos
diagramas M0, N0 e V0 (Condições de equilíbrio satisfeitas).
6. Cálculo dos deslocamentos no SB correspondentes as incógnitas
hiperstáticas para as acções consideradas (PTV + sistemas equilibradas
obtidas na alínea anterior – relações constitutivas satisfeitas).
∆i0 =
∑
nb
∫ l
0
(
N0ni
EA
+
V0vi
GA⋆
+
M0mi
EI
)
dl −
∑
∆k
rki∆
k
0 +
+
∑
nb∆t
∫ l
0
(
αt0ni + α
∆t
h
mi
)
dl +
∑
ml
niN0
k
+
∑
mθ
miM0
kθ
(∆i0) é o deslocamento (descontinuidade) no SB correspondente a
incógnita hiperstática i devido a solicitação externa.
1 Ildi Cismasiu - 2014/2015
Análise de Estruturas - MÉTODO DAS FORÇAS
7. Imposição dos valores dos deslocamentos pretendidos em
correspondência com as incógnitas hiperstáticas, utilizando o princípio
da sobreposição dos efeitos. (Condições de compatibilidade).
∆i0 + δi1X1 + δi2X2 + · · ·+ δiαXα = ∆i
Equação do Método das Forças - forma matricial:
F[δij] X[Xi] =∆[∆i]−∆0[∆i0]
8. Resolução do sistema de equações:


δ11X1 + δ12X2 + · · ·+ δ1αXα = ∆1 −∆10
δ21X1 + δ22X2 + · · ·+ δ2αXα = ∆2 −∆20
· · · · ··
δα1X1 + δα2X2 + · · ·+ δααXα = ∆α −∆α0
9. Determinação das restantes grandezas que interessam S(x)
(deslocamentos dos outros pontos, reacções, esforços/diagramas, etc.):
por sobreposição dos efeitos
S(x) = S0(x) + s1(x)X1 + s2(x)X2 + · · ·+ sα(x)Xα
ou ainda, a partir do SB resolvendo a estrutura isostática aplicando
em simultâneo as “forças” obtidas na alínea anterior e o carregamento
considerado.
Exemplo: Calculo de deslocamentos em estruturas hiperstáticas:
di =
nb∑
i
∫ li
0
(
niNf
EA
+
viVf
GA⋆
+
miMf
EI
)
dl +
∑
ml
niNf
k
+
∑
mθ
miMf
kθ
+
+
∑
nb∆t
∫ l
0
(
αt0ni + α
∆t
h
mi+
)
dl −
∑
∆k
rki∆
k
onde as grandezas mi, ni e vi, correspondentes ao sistema equilibrado,
podem ser obtidas numa estrutura isostática.
2 Ildi Cismasiu - 2014/2015
Análise de Estruturas - MÉTODO DAS FORÇAS
Cálculo de deslocamentos aplicando o PTVC (forças virtuais)
1. Obter o sistema compatível (REAL) - diagramas de esforços N,M, V ,
deformadas, etc...
2. Obter o sistema equilibrado (VIRTUAL) - diagramas de esforços n,m, v
devido a um carregamento virtual unitária em correspondência com o
deslocamento pretendido.
3. Calcular o deslocamento di aplicando o PTVC (forças virtuais):
1× di +
∑
∆k
rki∆
k =
∑
nb
∫ l
0
(
niN
EA
+
viV
GA⋆
+
miM
EI
)
dl +
+
∑
ml
nmli N
ml
kml
+
∑
mr
mmri M
mr
kmr
+
+
∑
nbt
∫ l
0
(
niαt0 +mi α
∆t
h
)
dl
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