Método das Forças

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Teoria das Estruturas II 
Método das Forças
Noções Iniciais
Formulação Geral e Matricial
Enga Civil Ananda C. Pertile
Balneário Camboriú, dezembro de 2016
Método das Forças
Conceitos necessários
Para que seja possível formular e compreender o Método das Forças são necessários os conceitos de:
Cálculo de deformações em estruturas
Princípio dos Trabalhos Virtuais;
Fórmula de Mohr;
Combinação de diagramas reais e virtuais.
Hiperestaticidade
Hiperestaticidade interna;
Hiperestaticidade externa;
Hiperestaticidade total;
Grau de hiperestaticidade.
Métodos das Forças 
Condições para solução de estruturas hiperestáticas
Solução de uma estrutura = Calcular esforços internos e deslocamentos
Solução de estrutura hiperestática
Condições de equilíbrio
Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações
Comportamento do material
Método das Forças
Noções iniciais
Método das Forças: Série de soluções básicas que satisfazem as condições de as condições de equilíbrio, mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para, na superposição de efeitos, restabelecer as condições de compatibilidade.
Método das Forças
Noções iniciais – Bases do método
Considerar a estrutura hiperestática abaixo:
Figura 01 – Pórtico hiperestático
Método das Forças
Noções iniciais – Bases do método
Considerar a estrutura hiperestática abaixo:
Figura 02 – Reações de apoio do pórtico
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Método das Forças
Noções iniciais – Bases do método
Incógnitas: 
Reações de apoio: Va, Ha, Ma, Vb, Hb e Mb
6 incógnitas
Equações disponíveis:
Equações universais da estática: 
	 ; ; 
3 equações
Número de equações da estática é insuficiente para resolver o problema!
Método das Forças
Noções iniciais – Bases do método
Romper vínculos para solucionar a estrutura:
Figura 03 – Pórtico hiperestático: Sistema principal (SP)
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Método das Forças
Noções iniciais – Bases do método
Hiperestáticos X1, X2 e X3 permanecem sendo incógnitas e a obtenção de seus valores implica na resolução da estrutura.
O Método das Forças determina o valor que hiperestático deve ter para recompor o vínculo eliminado no sistema principal.
Método das Forças
Noções iniciais – Bases do método
São liberadas, na estrutura, deformações que não existem. Então, deve-se impor ao SP que os deslocamentos nas direções dos hiperestáticos sejam nulos.
Solução do problema: Sistema de equações onde cada equação exprime a condição que o deslocamento seja nulo na direção de cada hiperestático.
Método das Forças
Formulação geral
Solução do sistema: utilizando o princípio da superposição de efeitos.
Efeito do carregamento externo;
Efeito de cada um dos hiperestáticos
Mas os hiperestáticos são desconhecidos. Como proceder?
Arbitram-se valores para cada um deles. Por simplicidades, geralmente se adotam o valores unitários.
Método das Forças
Formulação geral
Os valores unitários devem, então, serem multiplicados pelos fatores escala X1, X2 e X3, tais que façam com que os deslocamentos finais nas direções dos hiperestáticos sejam nulos.
Método das Forças
Formulação geral
Vamos aplicar a metodologia na estrutura:
Figura 04 – Efeito do carregamento externo na estrutura.
Método das Forças
Formulação geral
Vamos aplicar a metodologia na estrutura:
Figura 05 – Efeito do hiperestático X1=1 na estrutura.
Método das Forças
Formulação geral
Vamos aplicar a metodologia na estrutura:
Figura 06 – Efeito do hiperestático X2=1 na estrutura.
Método das Forças
Formulação geral
Vamos aplicar a metodologia na estrutura:
Figura 07 – Efeito do hiperestático X3=1 na estrutura.
Método das Forças
Formulação geral
Assim, podemos assumir:
Figura 08 – Superposição dos efeitos 
Método das Forças
Formulação geral
Então:
 Xi
SP com carregamento externo e hiperestáticos
SP com carregamento externo
SP com hiperestático Xi =1
Método das Forças
Formulação matricial
Podemos escrever a equação em sua forma matricial:
			 
SP com carregamento externo e hiperestáticos
Método das Forças
Formulação matricial
Reestabelecendo as condições de compatibilidade:
		
		
	 
Os deslocamentos são nulos nas direções dos hiperestáticos
Método das Forças
Formulação matricial
Assim, a formulação geral do Método das Forças na forma matricial é:
	 	 
Vetor dos hiperestáticos
Matriz de flexibilidade: transforma os hiperestáticos {X} nas deformações que eles provocam [δ]{X}
Vetor dos termos de carga
Método das Forças
Formulação matricial
Desenvolvendo o sistema de equações:
 
				↘
A solução do sistema apresentado fornece os valores dos hiperestáticos.
Método das Forças
Formulação matricial
Para a solução do sistema, é necessário o cálculo das deformações δ. Isso pode ser feito por meio do Princípio dos Trabalhos Virtuais, aplicando as integrações ou combinações de diagramas devidas.
Com os valores dos hiperestáticos é possível resolver a estrutura, obtendo-se os esforços atuantes nesta.
Método das Forças
Referências
Sussekind, J. C., Curso de análise estrutural, Volume II – Deformações em estruturas. Método das forças. Editora Globo, Porto Alegre, 1980, 310 p.
Martha, L. F., Métodos básicos da análise de estruturas. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil.
Obrigada!
Ananda C. Pertile
Enga Civil
ananda.pertile@gmail.com