Cálculo 1 - capitulo 06 Limite de Funções - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 6
Limite de Func¸o˜es
6.1 O conceito de limite
No Cap´ıtulo 5, determinamos a inclinac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y = f(x) = a x2+b x+c num ponto (x0, f(x0)).
O me´todo empregado consistiu em obter esta inclinac¸a˜o a partir das declividades das retas secantes que passam pelos
pontos (x0, f(x0))e (x0 + h, f(x0 + h)), tomando valores arbitrariamente pequenos para h, isto e´, fazendo h tender
a zero. Este me´todo pode ser empregado para uma func¸a˜o f qualquer. De fato, para determinar a declividade da
reta tangente a uma curva qualquer y = f(x) basta estudar o comportamento do quociente f(x0+h)−f(x0)h , quando h
se aproxima de zero ou, usando notac¸a˜o matema´tica, precisamos calcular o
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
Para que isso seja poss´ıvel, e´ preciso aprofundar um pouco mais o estudo do conceito matema´tico de limite.
Comec¸aremos este estudo de maneira intuitiva, por meio de alguns exemplos.
Exemplo 1
Vamos estudar o comportamento da func¸a˜o f definida por f(x) = x2 − x+ 2 para valores de x pro´ximos de 2. A
primeira tabela a seguir mostra os valores de f(x) quando x se aproxima de 2 por valores menores do que 2. Neste
caso, dizemos que x se aproxima de 2 pela esquerda. A segunda mostra os valores de f(x) quando x se aproxima de
2 por valores maiores do que 2, isto e´, quando x se aproxima de 2 pela direita.
x f(x)
1.0 2.0
1.5 2.75
1.8 3.44
1.9 3.71
1.95 3.8525
1.99 3.9701
1.995 3.985025
1.999 3.997001


x f(x)
3.0 8.0
2.5 5.75
2.2 4.64
2.1 4.31
2.05 4.1525
2.01 4.0301
2.005 4.015025
2.0001 4.003001

Veja este comportamento ilustrado no gra´fico abaixo:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
1 2 3 4
x
Tanto as tabelas acima quanto o gra´fico da para´bola mostram que a` medida que x se aproxima de 2 quer pela
direita, quer pela esquerda, f(x) se aproxima de 4, ou seja, podemos fazer f(x) ficar ta˜o perto de 4 quanto quisermos,
bastando para isso tomarmos x suficientemente pro´ximo de 2. Para descrever este comportamento matematicamente,
usamos a notac¸a˜o
lim
x→2
(x2 − x+ 2) = 4
(Leˆ-se: o limite de f(x), quando x tende a 2, e´ 4).
71
72 Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
De um modo geral, dizer que
lim
x→x0
f(x) = L
significa que, a` medida que x se aproxima de x0, os valores de f(x) ficam pro´ximos de L, e, mais do que isso, podemos
melhorar cada vez mais esta aproximac¸a˜o, isto e´, podemos tornar a diferenc¸a entre f(x) e L, em valor absoluto, ta˜o
pequena quanto quisermos, bastando para isso escolher x suficientemente pro´ximo de x0.
• Usando as tabelas constru´ıdas neste exemplo, verifique qua˜o pro´ximo x deve estar de 2, para que | f(x)−4 | < 0, 01.
Na definic¸a˜o de limite, dizer que “x se aproxima de x0” significa que, para o ca´lculo de limites, podemos tomar
x bem pertinho de x0, sem que x seja igual a x0. De fato, para o ca´lculo de limites na˜o interessa o valor da func¸a˜o
no ponto x = x0, mas somente como a func¸a˜o f se comporta perto deste ponto. Este fato e´ ilustrado nos gra´ficos a
seguir. No primeiro deles, f na˜o esta´ definida em x = 1; no terceiro, f(1) 6= 2; nos dois casos temos que lim
x→1
f(x) = 2.
–1
0
1
2
3
–2 –1 1 2
x
–1
0
1
2
3
–2 –1 1 2
x
–1
0
1
2
3
–2 –1 1 2
x
–1
0
1
2
3
–2 –1 1 2
x
Exemplo 2
Nesse exemplo estudaremos o comportamento da func¸a˜o f(x) = x3 para valores de x pro´ximos de −2.
Graficamente temos:
–16
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
0
Para observar numericamente o comportamento dessa func¸a˜o, estude as tabelas dadas a seguir. Na primeira, a
func¸a˜o f e´ calculada para uma sequ¨eˆncia de valores de x se aproximando de −2, pela direita. Na segunda, calculamos
f(x) quando x se aproxima de −2, pela esquerda.
x x3
−1.500000000 −3.375000000
−1.750000000 −5.359375000
−1.875000000 −6.591796875
−1.937500000 −7.273193359
−1.968750000 −7.630828857
−1.984375000 −7.813961029
−1.992187500 −7.906615734
−1.996093750 −7.953216493
−1.998046875 −7.976585381
−1.999023438 −7.988286971


x x3
−2.500000000 −15.62500000
−2.250000000 −11.39062500
−2.125000000 −9.595703125
−2.062500000 −8.773681641
−2.031250000 −8.380889893
−2.015625000 −8.188968658
−2.007812500 −8.094116688
−2.003906250 −8.046966612
−2.001953125 −8.023460396
−2.000976563 −8.011724473

W.Bianchini, A.R.Santos 73
O gra´fico e as tabelas acima sugerem que
lim
x→(−2)
x3 = −8.
Exerc´ıcio 1
Considere a func¸a˜o f(x) = x3.
1. Usando o me´todo descrito acima, tente achar um prova´vel valor para lim
x→2
x3.
2. Determine qua˜o pro´ximo x deve estar de 2 para que
∣∣x3 − 8 ∣∣ < .0001.
Exemplo 3
Vamos estudar agora o comportamento da func¸a˜o g, cuja definic¸a˜o e gra´ficos sa˜o dados abaixo a` esquerda, para
valores de x pro´ximos de 1. Observe, graficamente, o que ocorre com essa func¸a˜o nas proximidades do ponto 1 no
gra´fico a` direita.
> g:=piecewise(x<1,x-2,x>=1,x+1);
g :=
{
x− 2 x < 1
x+ 1 1 ≤ x
–4
–3
–2
–1
1
2
3
x
–4
–3
–2
–1
1
2
3
x
Observe separadamente o comportamento desta func¸a˜o quando x se aproxima de 1 pela esquerda (primeiro gra´fico)
e pela direita (segundo gra´fico).
–4
–3
–2
–1
1
2
3
x
–4
–3
–2
–1
1
2
3
x
Observe, agora, numericamente, esse comportamento. Na primeira tabela, x se aproxima de 1 pela direita. Na
segunda, pela esquerda.
x g(x)
1.500000000 2.500000000
1.250000000 2.250000000
1.125000000 2.125000000
1.062500000 2.062500000
1.031250000 2.031250000
1.015625000 2.015625000
1.007812500 2.007812500
1.003906250 2.003906250
1.001953125 2.001953125
1.000976563 2.000976563


x g(x)
.5000000000 −1.500000000
.7500000000 −1.250000000
.8750000000 −1.125000000
.9375000000 −1.062500000
.9687500000 −1.031250000
.9843750000 −1.015625000
.9921875000 −1.007812500
.9960937500 −1.003906250
.9980468750 −1.001953125
.9990234375 −1.000976563

Notamos, nesse caso, que o comportamento de g(x) difere daquele dos exemplos anteriores, pois a func¸a˜o assume
diferentes valores quando x se aproxima de 1 pela direita ou pela esquerda. As tabelas acima sugerem que quando x
se aproxima de 1 pela direita a func¸a˜o g(x) se aproxima de 2 e, quando x se aproxima de 1 pela esquerda, g(x) se
aproxima de −1. A notac¸a˜o matema´tica para essa situac¸a˜o e´
lim
x→1+
g(x) = 2 e lim
x→1−
g(x) = −1.
74 Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
(Leˆ-se: o limite de g(x) quando x tende a 1 pela direita e´ 2 e o limite de g(x) quando x tende a 1 pela esquerda e´ −1.)
Esses limites sa˜o chamados, respectivamente, limite lateral a` direita e limite lateral a` esquerda. Quando, como
nesse caso, os limites laterais sa˜o diferentes, dizemos que a func¸a˜o na˜o tem limite no ponto x = x0.
Assim, o limite de uma func¸a˜o em um ponto x0 existe, quando os limites laterais existem e sa˜o iguais.
• Confirme essa afirmac¸a˜o para as func¸o˜es estudadas nos exemplos anteriores.
Exerc´ıcio 2
Estude o comportamento da func¸a˜o f(x) =
|x |
x
para valores de x pro´ximos de zero, isto e´, calcule lim
x→0+
f(x) e
lim
x→0−
f(x) e conclua se existe o lim
x→0
f(x). Como nos exemplos anteriores, fac¸a uma ana´lise gra´fica e nume´rica.
Sugesta˜o: Qual o valor de f(x) para x > 0? E para x < 0?
Exemplo 4: Uma aplicac¸a˜o
Retornemos, agora, ao problema estudado no cap´ıtulo anterior, de encontrar a inclinac¸a˜o da reta tangente a`
para´bola y = f(x) = x2 no ponto x0 = 1. Como vimos, este problema e´ equivalente a estudar o comportamento da
func¸a˜o g(x) =
f(x)− f(x0)
x− x0 , quando x seaproxima de x0.
Como nos exemplos anteriores, faremos uma ana´lise gra´fica e nume´rica. As tabelas a seguir mostram o com-
portamento desta func¸a˜o quando x se aproxima de 1. A tabela da esquerda mostra o comportamento do quociente
g(x) =
x2 − 1
x− 1 quando x se aproxima de 1 pela esquerda, isto e´, por valores menores que 1. A outra tabela mostra
este mesmo comportamento quando x se aproxima de 1 pela direita, ou seja, por valores maiores que 1. Nos dois
casos, a` medida que x se aproxima de 1 os valores do quociente
x2 − 1
x− 1 se aproximam de 2. Observa-se este mesmo
comportamento no gra´fico da func¸a˜o g mostrado ao lado.
x
x2 − 1
x− 1
.5000000000 1.500000000
.7500000000 1.750000000
.8750000000 1.875000000
.9375000000 1.937500000
.9687500000 1.968750000
.9843750000 1.984375000
.9921875000 1.992187500
.9960937500 1.996093750
.9980468750 1.998046875
.9990234375 1.999023438


x
x2 − 1
x− 1
1.500000000 2.500000000
1.250000000 2.250000000
1.125000000 2.125000000
1.062500000 2.062500000
1.031250000 2.031250000
1.015625000 2.015625000
1.007812500 2.007812500
1.003906250 2.003906250
1.001953125 2.001953125
1.000976563 2.000976563
 –1
0
1
2
3
–2 –1 1 2
x
As tabelas e o gra´fico sugerem que lim
x→1
g(x) = 2. Neste exemplo, este limite representa a declividade da reta
tangente a` curva f(x) = x2 no ponto x0 = 1. Repare, uma vez mais, que ao estudarmos o limite de uma func¸a˜o num
ponto x0, estamos interessados em conhecer o que acontece com os valores dessa func¸a˜o nas proximidades do ponto
x0. Este comportamento independe do valor da func¸a˜o em x0, visto que esta func¸a˜o, como neste exemplo, nem ao
menos precisa estar definida nesse ponto! O ponto (1, 2) aparece no gra´fico anterior marcado por um pequeno disco
para enfatizar que o ponto x = 1 na˜o pertence ao domı´nio da func¸a˜o g. Para x 6= 1, temos que g(x) = x + 1 pois,
nesse caso, podemos simplificar a expressa˜o que define g e obter
x2 − 1
x− 1 =
(x+ 1) (x− 1)
x− 1 = x+ 1.
A notac¸a˜o lim
x→1
g(x) = 2 significa que a` medida que os valores de x se aproximam de 1 quer pela direita, quer
pela esquerda, os valores de g se aproximam de 2, e que podemos tornar a diferenc¸a | g(x) − 2 | ta˜o pequena quanto
quisermos, bastando para isso escolhermos x suficientemente pro´ximo de 1, sem nunca, no entanto, alcanc¸ar este valor.
Repare a mensagem emitida pelo Maple quando tentamos calcular a func¸a˜o g no ponto x = 1.
> g(1);
Error, (in g) division by zero
W.Bianchini, A.R.Santos 75
Neste exemplo:
- Qua˜o pro´ximo x deve estar de x0 para que a distaˆncia de g(x) a 2 seja menor que 1/100?
- Qua˜o pro´ximo x deve estar de x0 para que a distaˆncia de g(x) a 2 seja menor que 1/1000?
No exemplo acima, vimos que embora g(x) na˜o esteja definida em x0 = 1, os valores de g(x) se aproximam de 2 a`
medida que x se aproxima de 1, e se quisermos tornar a diferenc¸a entre g(x) e 2 menor que 1/10 basta tornarmos a
diferenc¸a entre x e x0 menor que 1/10; se quisermos que | g(x)− 2 | < 1100 , basta fazermos |x− x0 | < 1100 . Experimente!
Exemplo 5: Limites infinitos
Considere agora a func¸a˜o y = f(x) = 1x2 . Pode-se concluir imediatamente que y sempre sera´ positivo e que y na˜o
esta´ definido quando x = 0. Mas o que acontece quando x se aproxima de zero?
Observe as tabelas a seguir. A da esquerda mostra o comportamento desta func¸a˜o para valores de x positivos e se
aproximando de zero. A da direita, mostra o comportamento desta func¸a˜o para valores negativos de x se aproximando
de zero.
x
1
x2
.5000000000 4.
.2500000000 16.
.1250000000 64.
.06250000000 256.
.03125000000 1024.
.01562500000 4096.
.007812500000 16384.
.003906250000 65536.
.001953125000 262144.
.0009765625000 .1048576 107


x
1
x2
−.5000000000 4.
−.2500000000 16.
−.1250000000 64.
−.06250000000 256.
−.03125000000 1024.
−.01562500000 4096.
−.007812500000 16384.
−.003906250000 65536.
−.001953125000 262144.
−.0009765625000 .1048576 107

Neste caso, notamos que a` medida que x se aproxima de zero, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores
correspondentes de f(x) “explodem”, isto e´, crescem, sem limite, em valor absoluto. Dizemos, enta˜o, que quando x
tende a zero a func¸a˜o tende a +∞ . Em notac¸a˜o matema´tica escrevemos lim
x→0
f(x) =∞ ou f(x)→∞ quando x→ 0.
Observe esse comportamento no seguinte gra´fico (Veja o texto eletroˆnico):
0
20
40
60
80
100
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Note que, neste exemplo, a` medida que x se aproxima de zero, os valores de f(x) na˜o se aproximam de nenhum
nu´mero, portanto o lim
x→0
f(x) na˜o existe. A notac¸a˜o lim
x→0
f(x) =∞ serve, somente, para indicar que podemos tornar os
valores de f(x) arbitrariamente grandes, bastando para isso tomarmos x suficientemente pro´ximo de zero. Na notac¸a˜o
usada acima para indicar este comportamento, na˜o estamos considerando ∞ como um nu´mero, nem afirmando que o
limite existe. Ela serve somente para indicar a maneira especial como a func¸a˜o se comporta perto do zero.
• Voceˆ e´ capaz de dar outros exemplos de func¸o˜es que apresentem este mesmo comportamento?
• Considere a func¸a˜o g(x) = − 1x2 e analise o seu comportamento quando x se aproxima de zero. Voceˆ podera´ verificar
que g(x) decresce sem limite, isto e´, tende a −∞. Neste caso escrevemos lim
x→0
g(x) = −∞.
Nos dois casos acima, quando x se aproxima de zero o gra´fico da func¸a˜o se aproxima da reta x = 0. A reta x = 0
e´ chamada de ass´ıntota vertical ao gra´fico da func¸a˜o y = g(x).
Exemplo 6: Limites no infinito
76 Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
Considerando novamente a func¸a˜o f(x) = 1x2 , vamos agora observar o que acontece com os seus valores quando x
cresce em valor absoluto e se torna muito grande.
As tabelas seguintes mostram os valores de f calculados para valores positivos de x, sucessivamente crescentes e
para valores de x sucessivamente decrescentes, respectivamente:
x
1
x2
1024. .9536743164 10−6
2048. .2384185791 10−6
4096. .5960464478 10−7
8192. .1490116119 10−7
16384. .3725290298 10−8
32768. .9313225746 10−9
65536. .2328306437 10−9
131072. .5820766091 10−10
262144. .1455191523 10−10
524288. .3637978807 10−11
.1048576 107 .9094947018 10−12


x
1
x2
−1024. .9536743164 10−6
−2048. .2384185791 10−6
−4096. .5960464478 10−7
−8192. .1490116119 10−7
−16384. .3725290298 10−8
−32768. .9313225746 10−9
−65536. .2328306437 10−9
−131072. .5820766091 10−10
−262144. .1455191523 10−10
−524288. .3637978807 10−11
−.1048576 107 .9094947018 10−12

Veja no texto eletroˆnico a animac¸a˜o gra´fica correspondente.
Nesse caso dizemos que o limite da func¸a˜o e´ zero quando x tende para +∞ ou −∞, isto e´, quando x cresce sem
limite (x→ +∞) ou quando x decresce sem limite (x→ −∞). Em notac¸a˜o matema´tica escrevemos:
lim
x→∞ f(x) = 0 e limx→−∞ f(x) = 0
Novamente, os s´ımbolos +∞ e −∞ na˜o sa˜o nu´meros. Estes s´ımbolos indicam somente que estamos considerando
valores de x cada vez maiores, em valor absoluto.
Observe tambe´m que, quando x cresce em valor absoluto, isto e´, x → +∞ ou x → −∞, o gra´fico da func¸a˜o se
aproxima da reta y = 0. Nesse caso, a reta y = 0 e´ chamada de ass´ıntota horizontal ao gra´fico da func¸a˜o f .
6.1.1 Ass´ıntotas ao gra´fico de uma func¸a˜o
Pelos dois exemplos anteriores, intuitivamente podemos concluir que uma reta e´ uma ass´ıntota ao gra´fico de uma
func¸a˜o quando, a` medida que um ponto se move ao longo da curva, a distaˆncia desse ponto a` reta se aproxima de zero
indefinidamente, sem nunca chegara zero.
As definic¸o˜es a seguir expressam as ide´ias de ass´ıntotas verticais e horizontais ao gra´fico de uma func¸a˜o y = f(x)
em termos matema´ticos mais precisos:
Ass´ıntota vertical
Dizemos que uma reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical ao gra´fico de uma func¸a˜o y = f(x) se uma das condic¸o˜es se
verifica:
lim
x→a+
f(x) =∞, lim
x→a+
f(x) = −∞, lim
x→a−
f(x) =∞ ou lim
x→a−
f(x) = −∞.
Ass´ıntota horizontal
Dizemos que uma reta y = a e´ uma ass´ıntota horizontal ao gra´fico de uma func¸a˜o y = f(x) se
lim
x→∞ f(x) = a ou se limx→−∞ f(x) = a
. • Voceˆ e´ capaz de definir uma condic¸a˜o que permita determinar quando uma reta y = mx + b e´ uma ass´ıntota
inclinada ao gra´fico de uma func¸a˜o y = f(x)? (Veja Problema 9 da Sec¸a˜o Problemas Propostos).
• E´ poss´ıvel determinar uma condic¸a˜o que permita afirmar quando uma func¸a˜o f(x) se aproxima de uma outra func¸a˜o
qualquer, na˜o necessariamente uma reta, quando x → +∞ ou quando x → −∞? (Veja Projeto: Ass´ıntotas e outras
func¸o˜es limitantes).
W.Bianchini, A.R.Santos 77
6.1.2 Exerc´ıcios
1. Para a func¸a˜o f cujo gra´fico e´ dado a seguir, estime o valor dos seguintes limites, caso existam:
(a) lim
x→1+
f(x)
(b) lim
x→1−
f(x)
(c) lim
x→1
f(x)
(d) lim
x→2+
f(x)
(e) lim
x→2−
f(x)
(f) lim
x→2
f(x)
(g) lim
x→0+
f(x)
(h) lim
x→0−
f(x)
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
2. Para a func¸a˜o f cujo gra´fico e´ dado a seguir, estime os seguintes limites, caso existam:
(a) lim
x→−pi2 +
f(x)
(b) lim
x→−pi2 −
f(x)
(c) lim
x→−pi2
f(x)
(d) lim
x→pi2 +
f(x)
(e) lim
x→pi2 −
f(x)
(f) lim
x→pi2
f(x)
–6
–4
–2
0
2
4
6
y
–6 –4 –2 2 4 6x
Determine as equac¸o˜es das ass´ıntotas verticais.
3. (a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o g(x) =

2− x se x < −1
x se −1 ≤ x < 1
4 se x = 1
4− x se x > 1
(b) Use o gra´fico esboc¸ado no item anterior para estimar o valor dos seguintes limites, caso existam:
i. lim
x→−1−
g(x)
ii. lim
x→1−
g(x)
iii. lim
x→−1+
g(x)
iv. lim
x→1+
g(x)
v. lim
x→−1
g(x)
vi. lim
x→1
g(x)
4. Considere a func¸a˜o y = 1x .
(a) Qual o seu domı´nio?
(b) Quais suas ass´ıntotas?
(c) Qual o comportamento da func¸a˜o quando x se aproxima de zero pela direita? E quando x se aproxima de
zero pela esquerda?
(d) Esboce o gra´fico dessa func¸a˜o escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais caracter´ısticas.
5. Considere a func¸a˜o y = xx−1 .
(a) Qual o seu domı´nio?
(b) Quais suas ass´ıntotas?
(c) Descreva o comportamento da func¸a˜o no ponto x = 1.
(d) Esboce o gra´fico dessa func¸a˜o escolhendo uma janela adequada que mostre as suas principais caracter´ısticas.
6. (a) Determine o domı´nio, a imagem e as ass´ıntotas da func¸a˜o y = x+ 1x .
(b) Qual o comportamento desta func¸a˜o no ponto x = 0?
(c) Esboce o seu gra´fico.
78 Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
6.2 Definic¸o˜es
Na sec¸a˜o anterior, “calculamos” intuitivamente limites de func¸o˜es por meio da ana´lise dos seus gra´ficos e tambe´m
pela observac¸a˜o de tabelas que listavam valores de pontos do tipo (x, f(x)). Essas pesquisas gra´ficas e/ou nume´ricas
sa˜o u´teis para obter informac¸o˜es preliminares e nos ajudar a prever um valor para o limite procurado. Embora, na
maioria das vezes sugiram o valor correto do limite (veja nas atividades de laborato´rio alguns exemplos onde este
procedimento conduz a concluso˜es erradas), na˜o constituem uma demonstrac¸a˜o no sentido em que os matema´ticos a
entendem.
Para obtermos uma demonstrac¸a˜o, no sentido matema´tico do termo, de uma afirmac¸a˜o envolvendo limites, torna-se
necessa´rio definir com rigor e precisa˜o o que significam expresso˜es do tipo “a` medida que x se aproxima de xo, os
valores de f(x) se aproximam de L” ou “podemos tornar a diferenc¸a entre f(x) e L, em valor absoluto, ta˜o pequena
quanto quisermos, bastando para isso considerar x bastante pro´ximo de xo, sem no entanto nunca atingir esse valor”.
Na verdade, o significado preciso de expresso˜es do tipo acima foi alvo de discusso˜es acaloradas e acirradas entre
os matema´ticos durante se´culos. Foi somente no final do se´culo XIX que o matema´tico alema˜o Karl Weierstrass
(1815-1897) formulou a definic¸a˜o de limite que usamos nos dias de hoje e que apresentamos a seguir.
6.2.1 Definic¸a˜o 1: Limite de uma func¸a˜o em um ponto
Na sec¸a˜o anterior, conclu´ımos que, dada uma func¸a˜o y = f(x), dizemos que L e´ o limite de f(x) quando x se aproxima
de x0 ou quando x tende a x0, se pudermos tornar a diferenc¸a entre f(x) e L ta˜o pequena quanto quisermos, bastando
para isso considerar x suficientemente pro´ximo de x0. Nesse caso escrevemos
lim
x→x0
f(x) = L.
O ponto central nessa ide´ia e´ o de que podemos obter estimativas do valor limite e que estas estimativas, para
qualquer propo´sito pra´tico, podem estar ta˜o pro´ximas quanto se queira do valor exato.
Para isso comec¸amos com uma func¸a˜o m(x) que nos da´ uma famı´lia de estimativas. Imagine, por exemplo, uma
func¸a˜o m que, para cada valor de x, nos deˆ uma estimativa para a declividade da reta tangente a` curva y = f(x) no
ponto x0 = 0, 5. Neste caso,
m(x) =
f(x)− f(0, 5)
x− 0, 5
que e´ a declividade da reta secante que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x, f(x)).
Existe um valor ideal que gostar´ıamos que x assumisse. Neste exemplo, a declividade exata da reta tangente seria
obtida quando o segundo ponto (x, f(x)), coincidisse com o primeiro (x0, f(x0)) e, consequ¨entemente, a reta secante
coincidisse com a reta tangente. Este valor ideal na realidade, e´ imposs´ıvel de ser atingido. Verifique no exemplo
dado, que a func¸a˜o m na˜o esta´ definida para x = 0, 5.
Na maioria das aplicac¸o˜es pra´ticas, na˜o necessitamos da resposta exata, mas de uma resposta aproximada com um
certo erro permitido. A letra grega ε e´, tradicionalmente, usada para denotar este erro permitido. Dependendo da
situac¸a˜o o erro ε pode ser grande ou muito, muito pequeno.
Para cada erro permitido, existe uma toleraˆncia, de tal maneira que se x dista do valor ideal x0 menos do que a
toleraˆncia, enta˜o a estimativa esta´ dentro do padra˜o de erro tolerado, isto e´, a diferenc¸a entre o valor exato e o valor
aproximado encontrado, em valor absoluto, e´ menor do que o erro permitido.
Colocando estas ide´ias em termos matema´ticos precisos, temos a definic¸a˜o abaixo.
Definic¸a˜o: A expressa˜o
lim
x→x0
f(x) = L
significa que para todo erro permitido ε > 0, na˜o importa qua˜o pequeno ele seja, existe uma toleraˆncia δ > 0, tal que
se 0 < |x− x0 | < δ enta˜o | f(x)− L | < ε.
A figura a seguir ilustra essa definic¸a˜o:
W.Bianchini, A.R.Santos 79
y = f(x)
L
L + ε
εL -
xo xo +δδxo -
Os pontos do gra´fico de y = f(x) que satisfazem a desigualdade | f(x)− L | < ε sa˜o os pontos que esta˜o entre as
duas retas horizontais y = L − ε e y = L + ε (por queˆ?). Este e´ o afastamento (erro) permitido do valor exato L.
Da mesma forma, os pontos desse gra´fico que satisfazem a desigualdade |x− x0 | < δ sa˜o aqueles que esta˜o entre as
retas verticais x = x0 − δ e x = x0 + δ. Esta e´ a faixa de toleraˆncia. Dessa maneira, a definic¸a˜o de limite nos diz que:
sendo dadas duas retas horizontais y = L − ε e y = L + ε (ε > 0), faixa de erro permitido, e´ poss´ıvel escolher duas
retas verticais x = x0 − δ e x = x0 + δ (δ > 0), faixa de toleraˆncia, de tal maneira que se x estiver dentro da faixa de
toleraˆncia, f(x) estara´ dentro da faixa de erro permitido. (Veja a animac¸a˜o no texto eletroˆnico.)
Repare ainda que na˜o importa qua˜o pro´ximas estejam as retas horizontais (isto e´, qua˜o pequeno seja ε, o erro
permitido), sempre sera´ poss´ıvel determinar duas retas verticais – faixa de toleraˆncia – tais que sempre que x estiverdentro da faixa de toleraˆncia, f(x) estara´ dentro da faixa de erro permitido. Observe a veracidade desta afirmac¸a˜o
ilustrada no diagrama a seguir. Execute a animac¸a˜o correspondente no texto eletroˆnico.
Esta´ claro, agora, para voceˆ o significado geome´trico da frase: podemos tornar a distaˆncia | f(x)− L | ta˜o pequena
quanto quisermos, bastando para isso considerar x suficientemente pro´ximo de x0?
Repare, mais uma vez, que o valor do limite de uma func¸a˜o f(x) em um ponto x0 na˜o tem necessariamente relac¸a˜o
com o valor desta func¸a˜o neste ponto. Este e´ um importante aspecto do estudo de limites. Uma func¸a˜o na˜o precisa
estar necessariamente definida no ponto x0 para que exista o limite de f(x) em x0, basta apenas que a func¸a˜o f esteja
definida em alguma vizinhanc¸a restrita de x0, isto e´, em um conjunto obtido de um intervalo aberto contendo x0,
excluindo-se esse ponto. Por exemplo, para estudar o lim
x→x0
f(x) basta que f esteja definida em intervalos abertos do
tipo (x0 − 0.5, x0) e (x0, x0 + 0.5) ou (x0 − 0.1, x0) e (x0, x0 + 0.1) ou equivalentes.
Exemplo 1
Vamos usar a definic¸a˜o acima para provar rigorosamente que lim
x→3
3x− 4 = 5.
Para isso e´ preciso descobrir um modo de achar um valor de δ (toleraˆncia) que torne verdadeira a implicac¸a˜o existente
na definic¸a˜o de limite, qualquer que seja o valor de ε (erro permitido) dado. O me´todo de achar δ depende da func¸a˜o
f e dos valores de x0 e de L.
Dado ε > 0, deve-se achar δ > 0 tal que
| (3x− 4)− 5 | < ε se 0 < |x− 3 | < δ.
Ora,
| (3x− 4)− 5 | = | 3x− 9 | = 3 |x− 3 | .
Assim, se tomarmos δ = ε3 , teremos que a desigualdade |x− 3| < ε3 implicara´ que
| (3x− 4)− 5 | = |3x− 9| = 3 |x− 3 | < 3ε
3
= ε,
como quer´ıamos.
80 Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
Logo, qualquer que seja o nu´mero ε > 0 dado a priori, basta escolher δ = ε3 para obtermos as desigualdades
desejadas. Este exemplo ilustra tambe´m o fato de que o nu´mero δ e´, em geral, escolhido em func¸a˜o do nu´mero ε.
Exerc´ıcio 1
Tendo em vista a relac¸a˜o obtida acima para o valor de δ, calcule qua˜o perto x deve estar de 3 para que 3x− 4
diste de 5 menos do que 110000 .
Exemplo 2
Vamos provar que lim
x→2
3x2 + 5 = 17.
Para isso, dado ε > 0, precisamos achar δ > 0 tal que
∣∣ (3x2 + 5)− 17 ∣∣ < ε toda vez que tivermos 0 < |x− 2 | < δ.
Como
∣∣ (3x2 + 5)− 17 ∣∣ = 3 ∣∣x2 − 4 ∣∣ = 3 |x+ 2 | |x− 2 |, a ide´ia e´ provar que 3 |x+ 2 | |x− 2 | pode tornar-se
ta˜o pequeno quanto se queira, desde que se escolha |x− 2 | suficientemente pequeno.
Para isso, basta observar que se |x− 2 | e´ suficientemente pequeno, o valor de |x+ 2 | = | (x− 2) + 4 | ≤ |x− 2 |+4
na˜o pode ser muito grande.
Assim, por exemplo, se |x− 2 | < 1, enta˜o |x+ 2 | < 5, portanto,
|x− 2 | < 1⇒ ∣∣ (3x2 + 5)− 17 ∣∣ < 15 |x− 2 | (∗)
Por sua vez, para tornarmos essa u´ltima expressa˜o menor do que ε, basta escolhermos |x− 2 | < ε15 . Assim,
escolhendo δ como o menor dentre os dois nu´meros 1 e ε15 , teremos que,
se 0 < |x− 2 | < δ, enta˜o ∣∣ (3x2 + 5)− 17 ∣∣ < 15 |x− 2 | < ε,
como quer´ıamos demonstrar. Note que a primeira desigualdade vale porque δ < 1 e portanto (*) e´ verdadeira e a
u´ltima desigualdade vale porque δ < ε15 , portanto, |x− 2 | < ε15 .
Exerc´ıcio 2
Tendo em vista a demonstrac¸a˜o anterior, calcule δ para que 3x2 + 5 diste de 17 menos do que 13000 .
Exerc´ıcio 3
Considere f(x) = x3. Dado ε = .0001 determine 0 < δ que satisfac¸a a definic¸a˜o de limite para x0 = 2, isto e´,
determine qua˜o pro´ximo x deve estar de 2 para que
∣∣x3 − 8 ∣∣ < .0001
Exerc´ıcio 4
Aplique a definic¸a˜o de limite para mostrar que:
(a) lim
x→a x
2 = a2 (b) Se a > 0, lim
x→a
√
x =
√
a. Sugesta˜o: Use a identidade |√x−√a| = |x−a|√
x+
√
a
.
6.2.2 Definic¸a˜o 2: Limites laterais
Da mesma forma, podemos definir em termos matema´ticos precisos as noc¸o˜es de limites laterais a` direita e a` esquerda.
Definic¸a˜o 2.1: Limite lateral a` direita
Suponha uma func¸a˜o f definida no intervalo aberto (x0, a), a > x0. Dizemos que o nu´mero L e´ o limite lateral a`
direita de f(x) no ponto x0, quando podemos fazer os valores de f(x) ta˜o perto de L quanto quisermos, bastando para
isso escolher x, no intervalo (x0, a), suficientemente pro´ximo de x0.
Em linguagem matema´tica, temos lim
x→x0+
f(x) = L, se, dado qualquer nu´mero ε > 0, na˜o importa qua˜o pequeno
ele seja, e´ sempre poss´ıvel achar um nu´mero δ > 0 tal que | f(x)− L | < ε para todo x que satisfizer as desigualdades
x0 < x < x0 + δ.
Veja a animac¸a˜o no texto eletroˆnico que ilustra essa definic¸a˜o.
Observamos, uma vez mais, que a func¸a˜o f(x) na˜o precisa estar definida em x0, mas apenas no intervalo (x0, a).
Definic¸a˜o 2.2: Limite lateral a` esquerda
Suponha uma func¸a˜o f definida no intervalo aberto (a, x0), a < x0. Dizemos que o nu´mero L e´ o limite lateral a`
esquerda de f(x) no ponto x0 quando podemos tornar os valores de f(x) ta˜o perto de L quanto quisermos, bastando
para isso escolher x, no intervalo (a, x0), suficientemente pro´ximo de x0.
W.Bianchini, A.R.Santos 81
Em linguagem matema´tica, dizemos que lim
x→x−0
f(x) = L se, dado qualquer nu´mero ε > 0, na˜o importa qua˜o
pequeno ele seja, e´ sempre poss´ıvel achar um nu´mero δ > 0 tal que | f(x)− L | < ε para todo x que satisfizer as
desigualdades x0 − δ < x < x0.
Observe a animac¸a˜o correspondente no texto eletroˆnico.
Como no caso anterior, a func¸a˜o f(x) na˜o precisa estar definida em x0, mas apenas no intervalo (a, x0).
Repare que quando os dois limites laterais no ponto x0 existem e sa˜o iguais, temos que dado qualquer nu´mero
ε > 0, na˜o importa qua˜o pequeno ele seja, e´ sempre poss´ıvel achar um nu´mero δ > 0 tal que |f(x)− L| < ε para
todo x que satisfizer as desigualdades x0 < x < x0 + δ e x0 − δ < x < x0 simultaneamente, isto e´, para todo x tal
que x0 − δ < x < x0 + δ. Esta u´ltima desigualdade e´ equivalente a |x− x0 | < δ, portanto, obtemos a definic¸a˜o de
lim
x→x0
f(x) = L. Por isso, a existeˆncia e igualdade dos limites laterais e´ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para a
existeˆncia do limite no ponto. Veja a animac¸a˜o no texto eletroˆnico que ilustra essa afirmac¸a˜o.
Como vimos na sec¸a˜o anterior, quando os limites laterais num ponto x0 qualquer sa˜o diferentes, na˜o existe o
lim
x→x0
f(x). Execute a animac¸a˜o do texto eletroˆnico para visualizar esta afirmac¸a˜o.
Exerc´ıcio 5
Se f(x) =
{
x+ 1 2 ≤ x
−x x < 2 , calcule f(2), limx→2+ f(x) e o limx→2− f(x).
Exerc´ıcio 6
(a) Calcule lim
x→0+
√
x.
(b) Existe o lim
x→0
√
x? Justifique sua resposta.
6.2.3 Definic¸a˜o 3: Limites Infinitos
Na sec¸a˜o anterior, vimos tambe´m que, dada uma func¸a˜o y = f(x), se f(x) cresce sem limite a` medida que x se aproxima
de x0, dizemos que
lim
x→x0
f(x) = +∞.
De um modo mais geral, dado qualquer nu´mero positivo N , ta˜o grande quanto quisermos, sempre podemos achar
um nu´mero positivo δ, tal que, se
0 < |x− x0 | < δ, enta˜o f(x) > N
Observamos novamente que a func¸a˜o na˜o precisa estar necessariamente definida no ponto x0, mas apenas em um
intervalo aberto contendo x0.
Exerc´ıcio 7
Calcule δ para que a func¸a˜o f(x) = 1x2 seja maior que 100000 toda vez que |x | < δ.
Exerc´ıcio 8
Defina em termos matema´ticos precisos o que entendemos por lim
x→x0
f(x) = −∞
Exerc´ıcio 9
O que significam precisamente as expresso˜es: lim
x→x+0
f(x) = −∞ e lim
x→x−0
f(x) = +∞. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o
que apresente esse comportamento no ponto x0 = 0 e de uma outra func¸a˜o que apresente este comportamento em um
ponto x0 qualquer.
6.2.4 Definic¸a˜o 4: Limites no infinito
Na sec¸a˜o anterior, vimos ainda alguns exemplos de func¸o˜es y = f(x), que se aproximavam de um valor L a` medida
que x crescia em valor absoluto. Em notac¸a˜o matema´tica escrevemos:
lim
x→∞ f(x) = L ou limx→−∞ f(x) = L.
Neste caso,a reta y = L e´ uma ass´ıntota horizontal ao gra´fico da func¸a˜o f .
De um modo mais geral, dado qualquer nu´mero positivo ε, ta˜o pequeno quanto quisermos, sempre podemos achar
um nu´mero positivo N , tal que:
82 Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
| f(x)− L | < ε sempre que |x | > N .
Exerc´ıcio 10
Calcule N para que a func¸a˜o f(x) = 1x diste de zero menos que
1
1000 , isto e´, diga qua˜o grande devemos considerar
x para que
∣∣ 1
x
∣∣ < 11000 .
6.3 Teoremas e propriedades operato´rias
Nas sec¸o˜es anteriores vimos que, para calcular limites, na˜o podemos nos basear, exclusivamente, em estimativas
nume´ricas que apenas sugerem o valor do limite e podem por vezes serem enganosas (veja exemplos desta afirmac¸a˜o
nas atividades de laborato´rio) nem em aplicac¸o˜es diretas da definic¸a˜o de limite para tentar provar o que tais estimativas
sugerem, porque essas definic¸o˜es sa˜o muito dif´ıceis para serem aplicadas comumente.
Para calcular limites com facilidade, precisamos de regras ou leis que simplifiquem o processo de ca´lculo de limites,
tornando-o mais simples. Essas regras sa˜o na realidade teoremas que sa˜o demonstrados a partir das definic¸o˜es rigorosas
de limite, dadas na sec¸a˜o anterior.
Uma vez demonstrados, podemos usar estes resultados apropriadamente para calcular limites, o que reduz esse
ca´lculo, como veremos a seguir, a manipulac¸o˜es alge´bricas, em geral simples.
Teorema 1: Unicidade do limite
Se lim
x→x0
f(x) = L1 e lim
x→x0
f(x) = L2, enta˜o L1 = L2.
A ide´ia da demonstrac¸a˜o e´ supor que L1 6= L2 . Se a partir dessa hipo´tese chegarmos a uma conclusa˜o absurda,
teremos provado que na˜o e´ poss´ıvel que L1 6= L2 e, portanto, L1 = L2.
Demonstrac¸a˜o
Se L1 6= L2, podemos considerar o nu´mero positivo ε = |L1−L2|2 . Como limx→x0 f(x) = L1, sabemos que existe um
nu´mero δ1 tal que se 0 < |x− x0 | < δ1, enta˜o | f(x)− L1 | < ε.
Ale´m disso, como lim
x→x0
f(x) = L2, sabemos que existe, tambe´m, um nu´mero δ2 tal que se 0 < |x− x0 | < δ2, enta˜o
| f(x)− L2 | < ε.
Seja δ = min(δ1, δ2), isto e´, seja δ o menor dentre os nu´meros δ1 e δ2. Enta˜o |f(x)− L1| < ε e |f(x)− L2| < ε,
portanto,
|L1 − L2| = |L1 − f(x) + f(x)− L2| ≤ |L1 − f(x)|+ |f(x)− L2| < ε+ ε = 2 ε.
Da´ı, temos
|L1 − L2 | < |L1 − L2 |
Como o nu´mero |L1 − L2| na˜o pode ser estritamente menor do que ele mesmo, chegamos a um absurdo, portanto,
a hipo´tese que fizemos (supor L1 6= L2) na˜o pode ser verdadeira. Assim, temos necessariamente que L1 = L2, o que
prova a unicidade do limite.
Teorema 2: Limite da func¸a˜o identidade
Se f(x) = x, enta˜o lim
x→x0
f(x) = x0.
Este teorema e´ inteiramente intuitivo e diz simplesmente que, a` medida que x se aproxima de x0, f(x) = x se
aproxima, como e´ o´bvio, do mesmo valor. Para demonstrar, rigorosamente, este teorema, basta tomar na definic¸a˜o de
limite δ = ε e a conclusa˜o segue trivialmente.
Teorema 3: Limite da func¸a˜o constante
Se f(x) = c, onde c e´ uma constante qualquer, enta˜o lim
x→x0
f(x) = c.
Este e´ outro resultado bastante intuitivo. Se a func¸a˜o, independente de qual seja o valor de x, sempre assume o
mesmo valor constante c , na˜o importa qua˜o pro´ximo x esteja de x0, o valor de f , e portanto o valor do limite, sera´
sempre igual a c.
Usando a definic¸a˜o formal de limite, precisamos mostrar que, para qualquer nu´mero positivo escolhido ε, e para
qualquer valor de δ (na˜o importa qua˜o pro´ximo x esteja de x0), se |x− x0 | < δ, enta˜o | f(x)− c | < ε.
Esta conclusa˜o e´ verdadeira qualquer que seja o nu´mero positivo ε, pois a diferenc¸a f(x)− c sera´ sempre zero.
Teorema 4: Limite da soma
W.Bianchini, A.R.Santos 83
Se lim
x→x0
f(x) = L e lim
x→x0
g(x) =M , enta˜o lim
x→x0
(f(x) + g(x)) = L+M .
Este teorema diz, simplesmente, que se f(x) esta´ perto de L, e se g(x) esta´ perto de M quando x esta´ perto de x0,
enta˜o f(x) + g(x) esta´ perto de L+M quando x esta´ perto de x0.
Demonstrac¸a˜o
Seja ε > 0. Como lim
x→x0
f(x) = L, existe um δ1 tal que
(i) se 0 < |x− x0 | < δ1, enta˜o | f(x)− L | < ε2 .
Ale´m disso, como lim
x→x0
g(x) =M , existe um δ2 tal que
(ii) se 0 < |x− x0 | < δ2, enta˜o | g(x)−M | < ε2 .
Considere agora δ = min(δ1, δ2), enta˜o, se 0 < |x− x0 | < δ, (i) e (ii) valem simultaneamente, e podemos concluir
que
| (f(x) + g(x))− (L+M) | ≤ | f(x)− L |+ | g(x)−M | < ε
2
+
ε
2
< ε ,
que e´ o resultado desejado.
Teorema 5: Limite da diferenc¸a
Se lim
x→x0
f(x) = L e lim
x→x0
g(x) =M , enta˜o lim
x→x0
(f(x)− g(x)) = L−M .
A demonstrac¸a˜o desse resultado e´ ana´loga a` anterior. Tente demonstra´-lo.
Teorema 6: Limite do produto
Se lim
x→x0
f(x) = L e lim
x→x0
g(x) =M , enta˜o lim
x→x0
(f(x) g(x)) = LM .
Este teorema afirma, simplesmente, que podemos fazer o produto f(x) g(x) ta˜o pro´ximo de LM quanto quisermos,
bastando para isso escolher x suficientemente pro´ximo de x0.
A demonstrac¸a˜o e´ baseada na observac¸a˜o de como os erros nas medidas do comprimento e da largura de um
retaˆngulo afetam a sua a´rea. Suponha que queremos construir um retaˆngulo cujo comprimento seja L e cuja largura
seja M . Consequ¨entemente, sua a´rea sera´ LM .
Se cometermos um erro ao medirmos o comprimento deste retaˆngulo e um outro erro ao medirmos a sua largura,
estes erros sera˜o propagados para a a´rea do retaˆngulo. Veja a figura a seguir, onde o erro total cometido na medida
da a´rea esta´ representado por linhas pontilhadas.
LMM
L
Como a figura sugere, o erro na a´rea pode ser dividido em treˆs partes. A primeira parte pode ser entendida como
o produto do erro cometido no comprimento pela a largura do retaˆngulo original; a segunda e´ o produto do erro
cometido na largura pelo comprimento do retaˆngulo original, finalmente, a terceira pode ser entendida como a a´rea de
um outro retaˆngulo cujas medidas dos lados sa˜o o erro cometido no comprimento e na largura do retaˆngulo original,
respectivamente. Como e´ poss´ıvel controlar a a´rea destes treˆs retaˆngulos, controlando o tamanho do erro cometido na
medida de L e M , podemos controlar o erro total cometido ao medirmos a a´rea do retaˆngulo original, isto e´, o erro
total cometido no produto LM .
84 Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
Demonstrac¸a˜o
Seja ε > 0 . Sabemos que existem nu´meros positivos δ1 , δ2 e δ3 tais que :
(i) se 0 < |x− x0 | < δ1, enta˜o |f(x)− L| < 1, o que implica |f(x)| < |L|+ 1
(ii) se |x− x0 | < δ2, enta˜o | g(x)−M | < ε
2 (|L|+ 1) .
(iii) se 0 < |x− x0 | < δ3, enta˜o | f(x)− L | < ε
2 (|M |+ 1) .
Considere agora δ = min(δ1, δ2, δ3), enta˜o, se 0 < |x− x0 | < δ, (i), (ii) e (iii) valem simultaneamente e podemos
concluir que
| (f(x) g(x))− (LM) | < | f(x) | | g(x)−M |+ (|M |+ 1) | f(x)− L |
<
ε
2
+
ε
2
< ε ,
o que demonstra o teorema.
Teorema 5: Limite do quociente
Se lim
x→x0
f(x) = L, lim
x→x0
g(x) =M e M 6= 0, enta˜o lim
x→x0
(
f(x)
g(x)
) =
L
M
.
Este teorema afirma que se f(x) esta´ pro´ximo de L e g(x) esta´ pro´ximo de M quando x esta´ pro´ximo de x0, enta˜o,
desde que M 6= 0, o quociente f(x)g(x) esta´ pro´ximo de LM quando x esta´ pro´ximo de x0.
Demonstrac¸a˜o
Tendo em vista o teorema anterior, como
f(x)
g(x)
= f(x)
1
g(x)
, basta provar que
lim
x→x0
1
g(x)
=
1
M
.
Para isso, devemos mostrar que qualquer que seja o nu´mero positivo ε, existe um nu´mero positivo δ, tal que
se 0 < |x− x0 | < δ, enta˜o
∣∣∣∣ 1g(x) − 1M
∣∣∣∣ = | g(x)−M ||M | | g(x) | < ε.
Como lim
x→x0
g(x) =M , sabemos que, desde que x esteja suficientemente pro´ximo de x0, podemos tornar a diferenc¸a
| g(x)−M | ta˜o pequena quanto quisermos.
A ide´ia, enta˜o, e´ mostrar que |g(x)| na˜o pode ser muito grande desde que |g(x)−M | seja pequena .
Sejam δ1 e δ2 nu´meros positivos tais que
(i) se 0 < |x− x0 | < δ1, enta˜o | g(x)−M | < |M |2 .
Para essesvalores de x, temos que |M |2 < |g(x)|, o que e´ equivalente a
1
|g(x)| <
2
|M | , portanto,
∣∣∣∣ 1g(x) − 1M
∣∣∣∣ =
2 | g(x)−M |
M2
.
(ii) se 0 < |x− x0 | < δ2, | g(x)−M | < ε |M |
2
2
.
Considere agora δ = min(δ1, δ2). Enta˜o, se 0 < |x− x0 | < δ, (i ) e (ii) valem simultaneamente e podemos concluir
que ∣∣∣∣ 1g(x) − 1M
∣∣∣∣ < 2 εM22M2 = ε ,
que e´ o resultado desejado.
W.Bianchini, A.R.Santos 85
Observe que este teorema na˜o afirma nada sobre o que acontece quando M = 0. De fato, se M = 0, qualquer coisa
pode acontecer, mesmo no mais simples dos casos.
Seja, por exemplo, f(x) = k x e g(x) = x, onde k e´ um nu´mero qualquer. Enta˜o f(x)g(x) =
k x
x = k para x 6= 0 e ale´m
disso, o lim
x→x0
f(x)
g(x)
= k, qualquer que seja o valor de x0. Veja esse fato ilustrado no diagrama a seguir para k = 2 e
a = 0.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
O disco neste gra´fico ressalta o fato de que a func¸a˜o na˜o esta´ definida neste ponto; no entanto, seu limite neste e
em todos os outros pontos e´ igual a k, que, nesse exemplo, foi tomado como sendo 2, mas poderia ser qualquer outro
nu´mero.
Ja´ estudamos uma situac¸a˜o semelhante a esta quando tentamos calcular a declividade m da reta tangente ao
gra´fico de uma func¸a˜o como o limite das declividades de retas secantes a` curva y = f(x), isto e´, quando calculamos
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 .
Nesse caso, quando x se aproxima de x0, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero. Este
teorema na˜o se aplica a essa situac¸a˜o e nada podemos afirmar quanto ao valor de limites deste tipo.
Para buscar soluc¸o˜es para situac¸o˜es como estas, basta observar que o numerador e o denominador desse quociente
teˆm x− x0 como fator comum, e como estamos interessados no comportamento da func¸a˜o quando os valores de x
se aproximam de x0, sem nunca chegar a atingir esse valor, podemos simplificar a expressa˜o que define o quociente
dividindo numerador e denominador pelo seu fator comum e, depois desta simplificac¸a˜o, calcular o valor do limite.
Repare, no exemplo abaixo, que o Maple faz essa simplificac¸a˜o automaticamente quando trac¸a o gra´fico de func¸o˜es
definidas por expresso˜es deste tipo.
> m:=x->(x^2-4)/(x-2);
m := x→ x
2 − 4
x− 2
> plot(m(x),x=-4..4);
–2
0
2
4
6
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
Exerc´ıcio 11
Qual o limite da func¸a˜o acima quando x→ 2?
Embora simplificac¸o˜es desse tipo sejam va´lidas e empregadas normalmente para o ca´lculo de limites, devemos
sempre lembrar que as func¸o˜es y = x+ 2 e m = x
2−4
x−2 na˜o sa˜o iguais, pois seus domı´nios sa˜o diferentes, embora esse
fato na˜o seja mostrado no gra´fico acima.
Exerc´ıcio 12
Se lim
x→x0
f(x) = L, lim
x→x0
g(x) = 0, o que se pode afirmar a respeito do lim
x→x0
(
f(x)
g(x)
)? Nesse caso, qual o comporta-
mento da func¸a˜o quociente quando x→ x0?
Teorema 6: Teorema do Sandu´ıche
Suponha que f(x) ≤ g(x) e que g(x) ≤ h(x) numa vizinhanc¸a restrita de x0 e que lim
x→x0
f(x) = L = lim
x→x0
h(x).
Enta˜o lim
x→x0
g(x) = L.
86 Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
Este teorema e´ chamado Teorema do Sandu´ıche, ou do Confronto, porque diz, simplesmente, que se uma func¸a˜o,
numa certa vizinhanc¸a de x0 onde estamos interessados em estudar o seu comportamento, esta´ comprimida entre
outras duas que tendem ao mesmo limite L, enta˜o o seu limite nesse ponto tambe´m deve ser L. Veja a ide´ia geome´trica
ilustrada a seguir:
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
–0.4 –0.3 –0.2 –0.1 0.1 0.2 0.3 0.4
x
Demonstrac¸a˜o
Seja ε > 0 e sejam δ1 e δ2 tais que :
(i) se 0 < |x− x0 | < δ1, enta˜o | f(x)− L | < ε, isto e´, L− ε < f(x) < L+ ε.
(ii) se 0 < |x− x0 | < δ2, enta˜o |h(x)− L | < ε, isto e´, L− ε < h(x) < L+ ε.
Dizer que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), numa vizinhanc¸a restrita de x0, significa dizer que existe um nu´mero p tal que
(iii) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x pertencente ao intervalo (x0 − p, x0 + p).
Seja δ = min(δ1, δ2, p). Enta˜o, se 0 < |x− x0| < δ, (i), (ii) e (iii) valem simultaneamente, e podemos concluir
que
L− ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L+ ε.
Estas u´ltimas desigualdades sa˜o equivalentes a afirmar que
| g(x)− L | < ε,
como quer´ıamos demonstrar.
Os resultados enunciados a seguir, sa˜o consequ¨eˆncia direta dos teoremas anteriores. Deixamos suas demonstrac¸o˜es
como exerc´ıcio para o leitor.
Corola´rio 1: Mostre que lim
x→a x
n = an.
Corola´rio 2: Se lim
x→a f(x) = L e C e´ uma constante qualquer, enta˜o
lim
x→a C f(x) = C L .
Corola´rio 3 Sejam a0, a1, a2, . . . , an constantes quaisquer.
Se f(x) = an x
n + an−1 x(n−1) + ...+ a1 x+ a0, enta˜o lim
x→a f(x) = f(a).
Corola´rio 4 Sejam a0, a1, a2, . . . , an e b0, b1, b2, . . . , bn constantes quaisquer. Considere
f(x) = an x
n + an−1 x(n−1) + ...+ a1 x+ a0,
g(x) = bn x
n + bn−1 x(n−1) + ...+ b1 x+ b0 e
h(x) =
f(x)
g(x)
.
Prove que se a pertence ao domı´nio de h, enta˜o limx→a h(x) = h(a).
Os teoremas enunciados nesta sec¸a˜o transformam, na maioria dos casos, o ca´lculo de limites em simples ca´lculos
alge´bricos. Exemplos de aplicac¸a˜o dos teoremas no ca´lculo de limites sa˜o mostrados na pro´xima sec¸a˜o.
W.Bianchini, A.R.Santos 87
6.4 Exemplos de aplicac¸o˜es dos teoremas no ca´lculo de limites
Exemplo 1 Calcule lim
x→3
x2 + 4x+ 4.
Soluc¸a˜o Aplicando a regra da soma, temos:
lim
x→3
x2 + 4x+ 4 = ( lim
x→3
x2) + ( lim
x→3
4x) + ( lim
x→3
4)
Pela regra do produto e da multiplicac¸a˜o por constante, temos que:
( lim
x→3
x2) + ( lim
x→3
4x) + ( lim
x→3
4) = ( lim
x→3
x) ( lim
x→3
x) + ( lim
x→3
4) ( lim
x→3
x) + 4
Logo, conclu´ımos que
lim
x→3
x2 + 4x+ 4 = 32 + 4 (3) + 4 = 25
o que transforma o ca´lculo desse limite num simples ca´lculo alge´brico.
Exemplo 2 Calcule lim
x→3
2x+ 5
x2 + 4x+ 4
.
Soluc¸a˜o No exemplo anterior, vimos que o lim
x→3
x2 + 4x+ 4 6= 0, portanto, podemos aplicar a regra do quociente
para afirmar que:
lim
x→3
2x+ 5
x2 + 4x+ 4
=
lim
x→3
2x+ 5
lim
x→3
x2 + 4x+ 4
=
2 (3) + 5
32 + 4 (3) + 4
=
11
25
.
Exemplo 3 Calcule lim
x→1
[
(x2 − x)
1
3 + (x3 + x)
9
]
.
Soluc¸a˜o
lim
x→1
[
(x2 − x)
1
3 + (x3 + x)
9
]
= lim
x→1
(x2 − x)
1
3 + lim
x→1
(x3 + x)
9
=
[
lim
x→1
(x2 − x)
] 1
3
+
[
lim
x→1
(x3 + x)
]9
=
[
lim
x→1
x2 − lim
x→1
x
] 1
3
+
[
lim
x→1
x3 + lim
x→1
x
]9
= (12 − 1) 13 + (13 + 1)9 = 29 = 512
.
Observac¸a˜o Se f(x) = x2 + 4x + 4, enta˜o f(3) = 25 e, no Exemplo 1, poder´ıamos ter obtido o valor correto de
lim
x→3
f(x) calculando, simplesmente, f(3). Esta mesma observac¸a˜o vale para os Exemplos 2 e 3. As func¸o˜es dos
Exemplos 1 e 2 sa˜o polinoˆmios e func¸o˜es racionais (veja pro´ximo cap´ıtulo), respectivamente e, os Corola´rios 3 e 4
garantem que, se f(x) e´ um polinoˆmio ou uma func¸a˜o racional e a pertence ao domı´nio de f , enta˜o lim
x→a f(x) = f(a).
Func¸o˜es para as quais vale esta propriedade sa˜o chamadas de func¸o˜es cont´ınuas e sera˜o estudadas no Cap. 8.
Exemplo 4 Ache lim
x→1
x2 − 1
x− 1 .
Soluc¸a˜o Seja f(x) = x
2−1
x−1 . Neste caso, na˜o podemos calcular o limite simplesmente substituindo x = 1 na
expressa˜o que define f , pois f(1) na˜o esta´ definida. Nem podemos aplicar o teorema do Quociente, porque o limite do
denominador e´ zero. A ide´ia e´ trabalhar algebricamente com a expressa˜o dada, fazendo algum tipo de simplificac¸a˜o
antes de tentar calcular o limite pedido. Assim,
x2 − 1
x− 1 =
(x+ 1) (x− 1)
(x− 1) .
O numerador e o denominador teˆm o fator comum x−1. Quando x se aproxima de 1, temos que x 6= 1, enta˜o x−1 6= 0.
Logo, podemos cancelar o fator comum e calcular o limitecomo fazemos a seguir.
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1
(x+ 1) (x− 1)
(x− 1) = limx→1 (x+ 1) = 1 + 1 = 2 .
88 Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
Exemplo5 Ache o lim
x→1
g(x), onde g(x) =
{
x+ 1 se x 6= 1
pi se x = 1
Soluc¸a˜o Neste exemplo g esta´ definida em x = 1 e g(1) = pi, mas, para uma func¸a˜o qualquer, o valor do limite
em um ponto independe do valor da func¸a˜o neste ponto. Como g(x) = x+ 1 para x 6= 1,
lim
x→1
g(x) = lim
x→1
(x+ 1) = 2.
Note que as func¸o˜es dos Exemplos 4 e 5 sa˜o iguais, exceto quando x = 1, portanto, elas tendem para o mesmo limite
quando x→ 1. Veja os gra´ficos destas duas func¸o˜es, mostrados a seguir.
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
Exemplo 6 Calcule lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
.
Soluc¸a˜o Seja F (h) = (3+h)
2−9
h . Como no Exemplo 4, precisamos simplificar F (h) antes de calcular o limite.
Assim, temos
F (h) =
(9 + 6h+ h2)− 9
h
=
6h+ h2
h
= 6 + h.
(Lembre-se de que quando h→ 0 estamos considerando h 6= 0, portanto os ca´lculos alge´bricos acima esta˜o corretos.)
Em vista das igualdades acima, temos que
lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
= lim
h→0
(6 + h) = 6 .
Exemplo 7 Calcule lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
.
Soluc¸a˜o Na˜o podemos aplicar o teorema do quociente imediatamente porque o limite do denominador e´ zero.
Aqui, o algebrismo consiste em racionalizar o numerador para tentarmos algum tipo de simplificac¸a˜o. Assim,
√
t2 + 9− 3
t2
=
√
t2 + 9− 3
t2
·
√
t2 + 9 + 3√
t2 + 9 + 3
=
(t2 + 9)− 9
t2 (
√
t2 + 9 + 3)
=
1√
t2 + 9 + 3
.
As igualdades acima permitem concluir que
lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
= lim
t→0
1√
t2 + 9 + 3
=
1√
lim
t→0
(t2 + 9) + 3
=
1
3 + 3
=
1
6
Para calcular alguns limites, e´ preciso calcular, separadamente, os limites laterais a` esquerda e a` direita. Os
teoremas da sec¸a˜o anterior para limites, valem, tambe´m para limites laterais. Os dois exemplos abaixo ilustram casos
onde e´ necessa´rio o ca´lculo separado dos limites laterais.
Exemplo 8 Mostre que lim
x→0
|x | = 0.
Soluc¸a˜o Como |x | = x, para x > 0, tem-se
lim
x→0+
|x | = lim
x→0+
x = 0.
Como, |x | = −x, enta˜o
lim
x→0−
|x | = lim
x→0−
(−x) = 0.
W.Bianchini, A.R.Santos 89
Consequ¨entemente, como os limites laterais existem e sa˜o iguais, enta˜o
lim
x→0
|x | = 0.
Exemplo 9 Se f(x) =
{ √
x− 4 se x > 4
8− x se x < 4 . Determine, se existir, limx→4 f(x).
Soluc¸a˜o Como f(x) =
√
x− 4, para x > 4, temos que
lim
x→4+
f(x) = lim
x→4+
√
x− 4 = √4− 4 = 0.
Como f(x) = 8− x, para x < 4 temos que
lim
x→4−
f(x) = lim
x→4+
(8− x) = 4.
Como os limites laterais sa˜o diferentes, na˜o existe lim
x→4
f(x).
6.5 Atividades de laborato´rio
Usando um computador e o Maple, fac¸a as atividades propostas no arquivo lab2.mws da versa˜o eletroˆnica deste texto.
6.6 Exerc´ıcios
1. Se lim
x→a f(x) = 4, limx→a g(x) = −2 e limx→a h(x) = 0, calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→a (f(x)− g(x))
(b) lim
x→a
f(x)
g(x)
(c) lim
x→a (g(x))
2
(d) lim
x→a
h(x)
f(x)
(e) lim
x→a
1
(f(x) + g(x))2
.
2. (a) O que esta´ errado na identidade
x2 + x− 6
x− 2 = x+ 3?
(b) Tendo em vista o item anterior, explique por que a identidade
lim
x→2
x2 + x− 6
x− 2 = limx→2(x+ 3)
esta´ correta.
3. Se lim
x→a(f(x) + g(x)) = 2 e limx→a(f(x)− g(x)) = 1, calcule limx→a(f(x) g(x)).
6.7 Problemas propostos
1. Nos ı´tens a seguir, aplique as propriedades operato´rias de limites para calcular os limites que existam:
(a) lim
x→0
5x4 − 4x3 + 2x− 14
(b) lim
x→−1
2x− x4
(c) lim
x→−1
(x2 − 2)5
(d) lim
x→1
x+ 1
x2 − 2x− 2
(e) lim
x→3
x2 − 9
x− 3
(f) lim
y→3
1
y − 13
y − 3
(g) lim
t→−4
√
t+ 8
25− t2
(h) lim
x→0
√
x+ 4− 2
x
(i) lim
x→4
x− 4√
x− 2
(j) lim
x→1
x2 + x− 2
x2 − 4x+ 3
(k) lim
x→2
(x− 2)2
x4 − 16
(l) lim
x→0
√
1 + x−√1− x
x
2. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→0−
x
2− |x | (b) limx→0+
x
2− |x |
90 Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
(c) Tendo em vista os dois itens anteriores, o que se pode afirmar a respeito do lim
x→0
x
2− |x |?
(d) lim
x→3−
√
9− x2 (e) lim
x→2
2− x
|x− 2 | (f) limx→0 f(x), onde
{
f(x) = x2 se x ≤ 0
f(x) = −x se x > 0
3. Para cada uma das seguintes func¸o˜es, ache lim
x→3
f(x)− f(3)
x− 3 .
(a) f(x) = 2x2
(b) f(x) = 3x2
(c) f(x) = x
2
2
(d) f(x) = mx, (m=constante)
(e) f(x) = 2x2 + 3x+ 1
(f) f(x) = 1x , para x 6= 0
(g) f(x) = x3
(h) O que representa geometricamente esse limite?
4. Para as func¸o˜es do problema anterior, ache lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 para um ponto x0 qualquer.
5. No cap´ıtulo sobre retas tangentes, vimos, geometricamente, que na˜o existe reta tangente a` curva y = |x | no
ponto x0 = 0. Usando a definic¸a˜o de declividade de reta tangente e a teoria dos limites desenvolvida nesse
cap´ıtulo, prove analiticamente esta afirmac¸a˜o.
6. (a) Um tanque conte´m 5000 litros de a´gua pura. A´gua salobra contendo 30 g de sal por litro de a´gua e´ bombeada
para o tanque, a uma taxa de 25 l/min. Mostre que a concentrac¸a˜o de sal no tanque apo´s t minutos (em
g/l) e´ dada por C(t) =
30 t
200 + t
.
(b) O que acontece com a concentrac¸a˜o quando t→∞.
7. Ache lim
x→∞ f(x) se
4x− 1
x
< f(x) <
4x2 + 3x
x2
para todo x > 5.
8. Suponha que | f(x) | ≤ g(x) para todo x. Se lim
x→a g(x) = 0, calcule limx→a f(x).
9. O gra´fico de uma func¸a˜o y = f(x) tem uma ass´ıntota inclinada de equac¸a˜o y = mx+ b se lim
x→∞ (f(x)−(mx+b)) =
0 ou se lim
x→−∞ (f(x)− (mx + b)) = 0. (Os valores de m e b podem ser diferentes em cada caso.)
(a) Prove que a reta y = x e´ uma ass´ıntota ao gra´fico da func¸a˜o y = x+ 1x .
(b) O gra´fico da func¸a˜o f(x) = x(
1
3 ) (1−x)( 23 ) tem uma ass´ıntota inclinada. Encontre a equac¸a˜o dessa ass´ıntota.
Sugesta˜o No caso em que x→ +∞, m = lim
x→∞
f(x)
x
e b = lim
x→∞ (f(x)−mx ). Analogamente, se calcula m
e b no caso em que x→ −∞.
(c) Tendo em vista a definic¸a˜o de ass´ıntota inclinada, por que as expresso˜es acima para m e b sa˜o va´lidas?
10. Dizemos que uma func¸a˜o f(x) e´ limitada quando existe um nu´mero M tal que | f(x) | ≤ M , para todo x no
domı´nio de f . Suponha que f e´ limitada. Mostre que:
(a) lim
x→0
x f(x) = 0
(b) lim
x→a g(x) = 0, enta˜o limx→a g(x) f(x) = 0. Deˆ um contra-exemplo para mostrar que, se f na˜o e´ limitada, essa
conclusa˜o na˜o vale.
(c) Mostre que se lim
x→a f(x) = 0, enta˜o limx→a f(x) sen(x) = 0.
11. Suponha que lim
x→a f(x) = f(a) > 0. Prove que existe uma vizinhanc¸a de a na qual f(x) > 0, isto e´, prove que
existe um δ > 0 tal que f(x) > 0 para todo x no intervalo (a− δ, a+ δ).
12. Considere a func¸a˜o f(x) definida por f(x) =
{
0, para x irracional
1, para x racional
.
Explique por que qualquer que seja o nu´mero real a, o lim
x→a f(x) na˜o existe.
W.Bianchini, A.R.Santos 91
13. (a) Se lim
x→a f(x) e limx→a g(x) na˜o existem, pode existir o limx→a (f(x) + g(x))? E o limx→a (f(x) g(x))?
(b) Se lim
x→a f(x) e limx→a (f(x) + g(x)) existem, o que se pode afirmar a respeito do limx→a g(x)?
(c) Se lim
x→a f(x) existe e limx→a g(x) na˜o existe, pode existir o limx→a (f(x) + g(x))?
(d) Se lim
x→a f(x) e limx→a (f(x) g(x)) existem, temos necessariamente que o limx→a g(x) existe?
6.8 Exerc´ıcios adicionais
1. Calcule os limites abaixo:
(a) lim
x→2
√
2x2 + 3x+ 2
6− 4x
(b) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
(c) lim
x→0
1−√1− x
x
(d) lim
x→−2
4− x2
2 + x
(e) lim
x→1
√
2x−√x+ 1
x− 1
(f) lim
z→4
√
2 z + 1− 3√
z − 2−√2
(g) lim
x→−1
x3 + 2x2 − 1
x2 − 2x−3
(h) lim
r→ 12
4 r3 − 3 r + 1
4 r3 − 4 r2 + r
(i) lim
x→1
x
√
x− x+√x− 1
x− 1
(j) lim
x→∞ [x
3 − 5x2 + 7]
(k) lim
x→−∞
x
k
, k 6= 0
(l) lim
x→∞
√
x2 − 2x+ 2
x+ 1
(m) lim
x→−∞
√
x2 − 2x+ 2
x+ 1
(n) lim
x→∞
(x2 + 1)(
1
3 )
x+ 1
(o) lim
x→−∞
(x2 + 1)(
1
3 )
x+ 1
(p) lim
y→∞
√
y2 + 3 y + 2− y
(q) lim
z→∞ z −
√
z2 − 4
(r) lim
x→∞
√
x+
√
x+
√
x
x
(s) lim
x→∞
1
x − 1x2
1
x3 − 1x4
(t) lim
u→−∞
(u3 + 2u− 1)5
(u2 + u− 6)4
(u) lim
t→∞
(t2 + 1)5 (
√
t− 1)3 (t2 + 1)
(2 t2 − 5)2
(v) lim
y→∞ [
y
y + 1
− 1
y2 − 1 ]
2. Calcule os seguintes limites, caso existam:
(a) lim
x→0
√
x2 + a2 − a√
x2 + b2 − b , com a, b > 0
(b) lim
h→−4
√
2 (h2 − 8) + h
h+ 4
(c) lim
x→∞
√
x2 + 1−√x√
x
(d) lim
x→1
(
1
1− x −
3
1− x3 )
3. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→3+
x√
x2 − 9
(b) lim
x→5
4
x− 5
(c) lim
x→3−
√
x3 − 27
x2 − 9
(d) lim
x→−2
− 3
(x+ 2)2
(e) lim
x→0−
x+ 1x
1 + x2
4. Em cada um dos itens abaixo, calcule lim
x→a+
f(x) e lim
x→a−
f(x), caso estes limites existam.
(a) f(x) =
{
3x− 2 1 < x
2 x = 1
4x+ 1 x < 1
, a = 1 (b) f(x) =
{
sen(x) pi4 < x
cos(x) x < pi4
, a = pi4
(c) f(x) = |x− 2 | (x−1x−2 ), a = 2
(d) Em quais dos ı´tens anteriores existe o lim
x→a f(x)? (Justifique a sua resposta.) Neste caso, qual o valor deste
limite?
5. Em cada um dos ı´tens abaixo, determine as constantes a e b para que as afirmac¸o˜es sejam verdadeiras:
(a) lim
x→∞ (
x2 + 1
x+ 1
− (a x+ b)) = 0 (b) lim
x→−∞
a x3 + b x2 + x+ 1
3x2 − x+ 2 = 1
92 Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
6. Encontre as ass´ıntotas horizontais e verticais ao gra´fico das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = x
2
4−x2
(b) f(x) = 4 x
2√
x2−2
(c) h(x) = 2√
x2−4
(d) f(x) = − 3 x√
x2+7 x+10
(e) f(x) = 1x2+5 x+6
(f) f(x) = ( 12+x − 12 ) 1x
7. Seja f(x) = (x−1)(2 x+2)x−1 .
(a) Encontre o lim
x→1
f(x).
(b) Para cada um dos valores de ε dados abaixo, indique um valor de δ que satisfac¸a a definic¸a˜o formal de
limite:
i. ε = 1 ii. ε = 0, 4 iii. ε = 0, 1
8. Seja f(x) =
{ 1, x ≤ 1
3, 1 < x < 2
5, 2 ≤ x
.
(a) Indique, se existir, o valor de lim
x→a f(x), quando a = 1; a = 1,00001; a = 1,999998; a = 2.
(b) Nos pontos onde existir o lim
x→a f(x), para qualquer ε > 0, indique um valor de δ > 0 que satisfac¸a a definic¸a˜o
formal de limite.
9. Seja L = lim
x→1
f(x) e ε > 0. Em cada um dos ı´tens abaixo, ache um δ tal que | f(x)− L | < ε, para todo x que
satisfac¸a 0 < |x− 1 | < δ.
(a) f(x) = x4 (b) f(x) = 1x (c) f(x) = x
4 + 1x
6.9 Um pouco de histo´ria: Cauchy, Weierstrass e a teoria dos limites
Ao estabelecimento das bases do Ca´lculo, por Newton e Leibniz no se´culo XVII, seguiu-se um per´ıodo de livre desen-
volvimento do assunto no se´culo XVIII.
Matema´ticos como os irma˜os Bernoulli e Euler foram os primeiros a vislumbrar o poder do Ca´lculo e explorar
as consequ¨eˆncias dessa nova e maravilhosa teoria matema´tica, sem, no entanto, grandes preocupac¸o˜es com o rigor
matema´tico nas suas demonstrac¸o˜es.
O se´culo XIX, ao contra´rio, ficou conhecido como a Era do Rigor Matema´tico. Houve um movimento de retorno aos
fundamentos de cada assunto para que os conceitos, agora, fossem baseados em definic¸o˜es cuidadosas e os resultados
obtidos provados rigorosamente.
A` frente deste movimento estava o matema´tico franceˆs Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), que era engenheiro
militar antes de se tornar professor de matema´tica em Paris.
Cauchy trabalhou com o conceito de limite, cuja ide´ia ba´sica havia sido desenvolvida por Newton, tornando-a mais
precisa. Sua definic¸a˜o de limite era mais ou menos assim:
Quando sucessivos valores atribu´ıdos a uma varia´vel se aproximam indefinidamente de um valor fixo e, no fim, diferem deste
valor fixo por um valor ta˜o pequeno quanto se queira, este u´ltimo valor e´ chamado o limite de todos os outros.
Usando esta definic¸a˜o em demonstrac¸o˜es e exemplos, Cauchy geralmente usava desigualdades envolvendo epsilons
e deltas ana´logas a`quelas que usamos neste cap´ıtulo. Uma t´ıpica prova de Cauchy comec¸ava assim:
chame de ε e δ dois nu´meros muito pequenos ....
Ele usava a letra grega ε em raza˜o da analogia com a palavra francesa “erreur” (erro).
Mais tarde, o matema´tico alema˜o Karl Weierstrass (1815-1897) estabeleceu a definic¸a˜o de limite exatamente como
a que empregamos hoje.
6.10 Para voceˆ meditar: Do nada a` criac¸a˜o do universo
Desde o primeiro grau sabemos que 0, 9999 · · · = 1, e nos livros dida´ticos, em geral, aparece a seguinte demonstrac¸a˜o:
Seja x = 0, 999 · · ·, enta˜o 10x = 9, 999 · · ·.
Da´ı temos que 10x− x = 9⇒ x = 1.
W.Bianchini, A.R.Santos 93
Este mesmo racioc´ınio e´ empregado no segundo grau para deduzir a fo´rmula para a soma dos termos de uma PG
infinita de raza˜o menor que 1 do modo descrito a seguir.
Seja S igual a soma dos termos de uma PG cujo termo geral e´ dado por an = (
1
2 )
n
. Enta˜o
S = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ . . . .
Da´ı temos que
S
2
=
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ . . . .
Logo,
S − S
2
= 1⇒ S = 2.
Vamos agora aplicar este mesmo racioc´ınio para calcular a soma dos termos da PG infinita cujo termo geral e´ dado
por an = 2
n. Seja, enta˜o,
S = 1 + 2 + 4 + . . . .
Assim, temos que
2S = 2 + 4 + 8 + . . .⇒ S − 2S = 1⇒ S = −1.
Ou seja, acabamos de “demonstrar” que 1 + 2 + 4 + . . . = −1
Podemos chegar a outros absurdos semelhantes continuando a usar este mesmo racioc´ınio. Considere, por exemplo,
S = 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . .. Enta˜o temos que −S = −1 + 1− 1 + 1− . . ..
Assim, obtemos que
S = 1 −1 +1 −1 . . .
−(−S) = +1 −1 +1 −1 . . .
Da´ı vem que 2S = 1⇒ S = 12 .
Portanto, acabamos de provar que 0 + 0 + 0 + . . . =
1
2
, pois, agrupando convenientemente os termos da soma S,
podemos obter tambe´m que
S = (1− 1) + (1− 1) + . . . = 0.
Esse resultado foi muito usado por teo´logos em meados do se´culo XVII para provar que alguma coisa poderia ser
criada a partir do nada e que portanto a criac¸a˜o do Universo (a partir do nada) era uma possibilidade cientificamente
via´vel !!!!
• Explique por que o racioc´ınio nos dois primeiros exemplos esta´ correto e por que na˜o pode ser empregado nos
dois u´ltimos casos.
Sugesta˜o O s´ımbolo 0, 9999 · · · representa o limite da sequ¨eˆncia Sn =
∑n
i=1 ai, onde ai = (9) (10)
−i, para
i = 1, 2, 3 . . ., e a soma S = 1− 1 + 1− 1 + . . . representa o lim
n→∞ Sn, onde S1 = 1, S2 = 1− 1, S3 = 1− 1 + 1,
e assim por diante.
6.11 Projetos
6.11.1 O caso do povo contra a Espertobra´s
A Espertobra´s Ltda., companhia especializada no tratamento de res´ıduos poluentes, derramou, acidentalmente, uma
grande quantidade do Agente Oleoso na Ba´ıa Bonita.
Feitas medic¸o˜es apo´s o acidente, concluiu-se que a concentrac¸a˜o do Agente Oleoso nas a´guas da ba´ıa era de 10 ppm
(partes por milha˜o).
Na ba´ıa existem manguezais que, por sua flora e fauna caracter´ısticas, sa˜o considerados zonas de protec¸a˜o ambiental.
Infelizmente, na˜o e´ poss´ıvel remover por meios mecaˆnicos o Agente Oleoso que polui os manguezais: corre-se o
risco de causar danos ainda maiores ao ecossistema local.
Ale´m disso, a pesca na ba´ıa constitui o u´nico meio de sobreviveˆncia para diversas coloˆnias de pescadores que vivem
ao seu redor. Devido a` contaminac¸a˜o dos peixes pelo Agente Oleoso, a pesca na ba´ıa foi proibida.
Numa tentativa de ressarcir, em parte, os danos causados ao meio ambiente e o preju´ızo sofrido pelos pescadores,
moveu-se uma ac¸a˜o popular contra a Espertobra´s para o estabelecimento de uma multa a ser investida em Programas
de Despoluic¸a˜o da ba´ıa e em aux´ılio a`s famı´lias desempregadas.
94Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
Apo´s uma cuidadosa ana´lise da situac¸a˜o, cientistas ambientalistas, garantiram que a ba´ıa tem uma capacidade
de se autodepurar a uma taxa de 20% ao ano. Baseando-se nesta hipo´tese, estabeleceram, enta˜o, o seguinte modelo
matema´tico para a concentrac¸a˜o do Agente Oleoso ao longo do tempo:
p(1) = 10
p(n+ 1) = 0, 8 p(n)
(Este e´ um exemplo de um sistema dinaˆmico discreto.)
A partir deste modelo, os cientistas chegaram a`s seguintes previso˜es:
Ano Poluente
(ppm)
1 10
2 8
3 6, 4
4 5, 12
5 4, 10
Ano Poluente
(ppm)
6 3, 28
7 2, 62
8 2, 09
9 1, 68
10 1, 34
Ano Poluente
(ppm)
11 1, 07
12 0, 86
13 0, 65
14 0, 55
15 0, 44
Ano Poluente
(ppm)
16 0, 35
17 0, 28
18 0, 23
19 0, 18
20 0, 14
Veja estes dados mostrados no gra´fico a seguir.
0
2
4
6
8
10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
De posse destes dados, os advogados da Espertobra´s Ltda, em defesa do seu cliente, alegaram junto ao tribunal
que na˜o houve um dano real ao meio ambiente provocado pelo derramamento do Agente Oleoso na ba´ıa, porque ao
final de algum tempo o n´ıvel de poluic¸a˜o da ba´ıa retornaria ao seu padra˜o inicial. Para fundamentar esta linha de
argumentac¸a˜o, usaram a fo´rmula
lim
n→∞ p(n) = 0,
explicando que esta fo´rmula traduzia em termos matema´ticos precisos o que aconteceria com a concentrac¸a˜o do Agente
Oleoso ao longo do tempo. Ale´m disso, explicaram tambe´m que a fo´rmula acima significa, matematicamente, que apo´s
um certo tempo a concentrac¸a˜o do Agente Oleoso ficara´ muito pro´xima de zero.
O promotor da ac¸a˜o achou que havia alguma coisa errada nesta histo´ria, “matematicamente demonstrada“, mas
na˜o sabia como contestar os argumentos matema´ticos apresentados. Felizmente, uma de suas assistentes, que tinha
estudado Ca´lculo na UFRJ e se lembrava das aulas sobre limites, chamou atenc¸a˜o para o verdadeiro significado
matema´tico da expressa˜o lim
n→∞ p(n) = 0.
A assistente contra-argumentou que, embora depois de muitos anos a concentrac¸a˜o do Agente Oleoso realmente se
aproximaria de zero, os peixes e o restante da fauna e da flora aqua´ticas estariam contaminados e impro´prios para o
consumo. Por este motivo a pesca na ba´ıa seria proibida ate´ que a concentrac¸a˜o do Agente Oleoso fique abaixo de 2
ppm. Para fundamentar seu racioc´ınio apresentou o seguinte gra´fico, ilustrativo da situac¸a˜o descrita:
0
2
4
6
8
10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
W.Bianchini, A.R.Santos 95
Assim, pelos dados apresentados pelos ambientalistas e pelo gra´fico acima, ela concluiu que transcorreriam oito
longos anos ate´ que a ba´ıa pudesse ser liberada para a pesca. Propoˆs, enta˜o que fosse cobrada da Espertobra´s uma
multa de 10 milho˜es de reais por cada ano em que a pesca estivesse proibida. Pelos dados apresentados, a multa total
devida seria de 80 milho˜es de reais.
Ale´m disso, a assistente da promotoria afirmou que a interpretac¸a˜o matema´tica dada pelos advogados da Es-
pertobra´s estava correta mas era apenas uma pequena parte da histo´ria. O significado mais preciso da expressa˜o
lim
n→∞ p(n) = 0 e´ que para qualquer n´ıvel de concentrac¸a˜o C do Agente Oleoso havera´ um tempo T , que pode estar
muito, muito longe no futuro, tal que para todo t ≥ T , isto e´, para qualquer tempo posterior, teremos que | p(n) | < C.
Dessa maneira, para que a pesca pudesse ser liberada ter´ıamos que ter C = 2 ppm e, neste caso, T = 9 anos.
Sua explicac¸a˜o foi ovacionada pela plate´ia. O promotor enta˜o argumentou que, embora o n´ıvel de 2 ppm fosse
adequado para a liberac¸a˜o da pesca na ba´ıa, a fauna e a flora, especialmente dos manguezais, so´ se recuperariam
completamente quando o n´ıvel de concentrac¸a˜o do Agente Oleoso ficasse abaixo de 0,5 ppm e apresentou o gra´fico a
seguir:
0
2
4
6
8
10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
concluindo, enta˜o, que este n´ıvel so´ seria atingido quando t ≥ 14.
Tendo em vista os argumentos apresentados por ambas as partes, o juiz condenou a Espertobra´s a pagar uma
multa de 140 milho˜es de reais (e sem desconto!).
1. Nos itens abaixo, determine quanto tempo deveremos esperar ate´ que a concentrac¸a˜o de poluentes fique abaixo
do n´ıvel indicado.
(a) A concentrac¸a˜o atual e´ de 15 ppm e cai a uma taxa de 30% ao ano. O n´ıvel tolera´vel de poluic¸a˜o e´ de 0,5
ppm.
(b) A concentrac¸a˜o atual e´ de 15ppm e cai a uma taxa de 10% ao ano. O n´ıvel tolera´vel de poluic¸a˜o e´ de 0,1
ppm.
2. No julgamento acima, apesar de todos os interessados terem concordado com a multa estipulada, muitos espe-
cialistas discordaram do n´ıvel aceita´vel de poluic¸a˜o. Para cada um dos especialistas consultados este n´ıvel seria
de:
Para o Professor A. Sim Tabom: 12 ppm
Para o Professor E. Justo: 3 ppm
Para o Professor Q. Calamidade: 2 ppm
Para o Professor Q. Horror: 1 ppm
Calcule a multa que a Espertobra´s deveria pagar levando em conta a opinia˜o de cada um dos professores
consultados.
3. Ainda em relac¸a˜o ao julgamento acima, os advogados da Espertobra´s apelaram da sentenc¸a alegando que a
ba´ıa ja´ apresentava um certo n´ıvel de poluic¸a˜o antes do derramamento do Agente Oleoso. Supondo que a
concentrac¸a˜o de agentes poluidores na ba´ıa e´ normalmente de 0,1 ppm, os ambientalistas obtiveram o seguinte
modelo matema´tico para prever a concentrac¸a˜o de poluentes ao longo do tempo
p(1) = 10
p(n+ 1) = 0, 1 + 0, 8 (p(n)− 0, 1)
Este modelo, em vez de levar em conta a quantidade de poluic¸a˜o da ba´ıa, estima a diferenc¸a entre o n´ıvel de
poluic¸a˜o atual e o n´ıvel de poluic¸a˜o natural 0,1. Em outras palavras, se o n´ıvel aceita´vel e´ C, a Espertobra´s sera´
multada por cada ano no qual | p(n) − 0, 1 | ≥ C. Levando em conta este modelo, nos itens abaixo, determine
por quantos anos a Espertobra´s devera´ ser multada se
96 Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
(a) O n´ıvel tolerado e´ de 0,05 ppm (b) O n´ıvel tolerado e´ de 0,01 ppm
4. A Cia. A´gua Pura vende a´gua mineral. A demanda por seu produto e´ ta˜o grande que o gerente precisou adquirir
10 milho˜es de litros de a´gua de outro fornecedor. Infelizmente, a a´gua que ele comprou estava contaminada por
coliformes fecais com uma concentrac¸a˜o de 10 ppm. A´gua se torna impro´pria para o consumo se a concentrac¸a˜o
de coliformes fecais e´ superior a 2 ppm. Para na˜o ter preju´ızo, o gerente resolveu diluir a a´gua adquirida com
sua pro´pria a´gua pura. Que quantidade de a´gua pura ele deve adicionar a` a´gua contaminada para que a mistura
se torne pro´pria para o consumo?
6.11.2 Sequ¨eˆncia de Fibonacci
Em 1202, o matema´tico italiano Leonardo Pisano (1170-1230), conhecido como Fibonacci (filho de Bonaccio), famoso
por ter introduzido os algarismos ara´bicos na Europa, formulou e resolveu o problema descrito a seguir.
“Os coelhos se reproduzem rapidamente. Admitamos que um par de coelhos adultos produza um casal de coelhos
jovens todo meˆs, e que os coelhos rece´m-nascidos se tornem adultos em dois meses e produzam, por sua vez, nessa
e´poca, um outro casal de coelhos. Comec¸ando com um casal jovem, de que tamanho estara´ a coloˆnia apo´s o primeiro,
segundo, terceiro,.... meses?”
No final do primeiro meˆs ha´ um par de coelhos, no final do segundo meˆs existe ainda um u´nico par, no final do
terceiro meˆs existem 2 pares, e assim por diante.
Seja an o nu´mero de casais de coelhos no final do ene´simo meˆs. Enta˜o, temos a seguinte sequeˆncia: a1 = 1 , a2 = 1
, a3 = 2 ..... Esta e´ a famosa sequ¨eˆncia de Fibonacci.
1. Liste os primeiros sete termos da sequ¨eˆncia de Fibonacci.
2. Como podemos relacionar an+2 a an e an+1, para n = 1; para n = 2 ; para n = 3?
3. Defina an+2 em termos de an e an+1.
(Relac¸o˜es desse tipo, onde o valor de an e´ determinado em func¸a˜o dos termos precedentes, e´ chamada, em
matema´tica, fo´rmula de recursa˜o.)
4. Use o comando abaixo, apo´s substituir os pontosde interrogac¸a˜o pelo valor que voceˆ achou para an+2, para
achar a soluc¸a˜o desse problema.
> rsolve({a(1)=1,a(2)=1,a(n+2)=??},{a(n)});
5. Quantos pares de coelhos existem ao final do de´cimo segundo meˆs?
6. Mostre que a soma dos n primeiros termos de uma sequeˆncia de Fibonacci e´ dada pela fo´rmula: a1 + a2 + ... +
an = an+2 − 1.
7. Considere agora a sequ¨eˆncia rk =
ak+1
ak
onde os ak’s sa˜o os termos da sequ¨eˆncia de Fibonacci descrita nos itens
anteriores. Esta sequeˆncia representa a taxa de crescimento do nu´mero de coelhos entre o k -e´simo meˆs e o (k+1)-
e´simo meˆs. Calcule os primeiros oito termos dessa sequ¨eˆncia. O que esses nu´meros parecem sugerir quanto a
taxa de crescimento de uma coloˆnia de coelhos desse tipo ao longo do tempo?
8. Mostre que rk =
1
rk−1
+ 1.
9. Use a relac¸a˜o anterior para provar que se lim
k→∞
rk = r, enta˜o temos que r e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o b
2 − b− 1 = 0,
que tem uma u´nica raiz positiva.
Sugesta˜o: Seja ck = rk − r, enta˜o lim
k→∞
ck = 0. Escreva r em func¸a˜o de ck usando a relac¸a˜o obtida no item
anterior.
10. Considere a sequ¨eˆncia das seguintes frac¸o˜es 1 , 11+1 ,
1
1+ 11+1
, 1
1+ 1
1+ 1
1+1
, etc. Mostre que esta sequ¨eˆncia e´ igual a`
sequ¨eˆncia 1r1 ,
1
r2
, 1r3 , etc.
11. Divida um segmento de reta AB em um ponto C tal que ABAC =
AC
CB . Esta divisa˜o e´ chamada sec¸a˜o a´urea ou
divisa˜o em me´dia e extrema raza˜o. A raza˜o ABAC e´ igual ao nu´mero r.
Observac¸a˜o Acima demonstramos que este nu´mero e´ irracional e alge´brico, isto e´, e´ raiz de uma equac¸a˜o
alge´brica de coeficientes racionais. Este nu´mero desempenha um importante papel na geometria e na este´tica.
W.Bianchini, A.R.Santos 97
O retaˆngulo de lados AB e AC chama-se retaˆngulo a´ureo e tem a seguinte propriedade: se dele retirarmos um
quadrado de lado AC, o retaˆngulo restante sera´ semelhante ao retaˆngulo original. Este tipo de retaˆngulo tem
sido considerado por arquitetos e artistas como o retaˆngulo de melhores proporc¸o˜es. Exemplos do uso desse tipo
de retaˆngulo na arquitetura sa˜o encontrados desde a antiguidade ate´ os nossos dias. Voceˆ e´ capaz de encontrar
alguns desses exemplos?
12. Seja l10 o comprimento do lado do deca´gono regular inscrito em um c´ırculo de raio r. Prove que l10 divide r em
me´dia e extrema raza˜o.
6.11.3 Definindo e estimando o nu´mero pi
Por meio de medic¸o˜es, desde a antiguidade ja´ era bem conhecido, o fato de ser constante a raza˜o Cd , onde C denota
o comprimento de uma circunfereˆncia e d o seu diaˆmetro. Notaremos esta raza˜o com a letra grega pi. Desse modo, o
nu´mero pi = Cd esta´ bem definido.
Os babiloˆnios e antigos hebreus usavam o nu´mero treˆs para estimar esta raza˜o. No entanto, quando os gregos, da
e´poca de Arquimedes (240 A.C.), comec¸aram a construir ma´quinas com engrenagens circulares, surgiu a necessidade
de se obter uma estimativa melhor para pi.
O me´todo usado por Arquimedes para resolver este problema, ilustrado na animac¸a˜o abaixo, se baseia na observac¸a˜o
de que os per´ımetros dos pol´ıgonos regulares de mesmo nu´mero de lados, inscritos e circunscritos a uma circunfereˆncia
de diaˆmetro unita´rio, podem ser usados como aproximac¸o˜es, por falta e por excesso, respectivamente, para o nu´mero
pi . Esta aproximac¸a˜o sera´ cada vez melhor a` medida que aumentarmos o nu´mero de lados dos pol´ıgonos considerados
para este ca´lculo. Veja a animac¸a˜o no texto eletroˆnico.
O objetivo desse projeto e´ provar a existeˆncia do nu´mero pi e usar a ide´ia de Arquimedes para estimar o seu valor.
E´ poss´ıvel construir pol´ıgonos regulares inscritos numa circunfereˆncia qualquer, por um processo recursivo. Seja
n um nu´mero natural maior ou igual a 2. O pol´ıgono de 2(n+1) lados e´ obtido a partir do pol´ıgono de 2n lados por
uma divisa˜o ao meio dos aˆngulos formados pelos raios que passam pelos seus ve´rtices. Veja a figura a seguir, onde
constru´ımos, por esse processo, um octo´gono regular a partir do quadrado , isto e´, passamos do pol´ıgono de 22 lados
para o pol´ıgono de 23 lados.
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1–0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Observe que, a` medida que n cresce, a diferenc¸a entre o apo´tema dos pol´ıgonos inscritos, assim constru´ıdos, e o
raio da circunfereˆncia torna-se arbitrariamente pequena.
Do mesmo modo e´ poss´ıvel obter um pol´ıgono regular de 2(n+1) lados, circunscrito a uma circunfereˆncia, a partir do
pol´ıgono de 2n lados tomando-se como um novo ponto de tangeˆncia a intersec¸a˜o da bissetriz do aˆngulo central formado
pelos raios que passam pelos pontos de tangeˆncia de dois lados adjacentes com a circunfereˆncia, como e´ mostrado na
figura a seguir.
98 Cap. 6. Limite de Func¸o˜es
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
–1 –0.6 0.20.40.60.8 1 1.21.4
Sejam an o apo´tema do pol´ıgono regular de 2
n lados inscrito numa circunfereˆncia de raio R e pn o seu per´ımetro,
e seja Pn o per´ımetro do pol´ıgono regular de 2
n lados circunscrito a mesma circunfereˆncia.
1. Prove que pn < pn+1 qualquer que seja n natural maior ou igual a 2.
2. Prove que Pn+1 < Pn qualquer que seja n natural maior ou igual a 2.
3. Use os dois itens anteriores para concluir que pn e´ uma sequ¨eˆncia crescente e Pn e´ decrescente.
4. Mostre, por semelhanc¸a de triaˆngulos, que pn < Pn qualquer que seja n natural maior ou igual a 2 (veja figura
a seguir). Da´ı, conclua que pn < P4.
–1.2
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
–1 –0.6 0.20.40.60.8 1
Como pn e´ uma sequ¨eˆncia crescente e limitada, existe um nu´mero C tal que C = lim
n→∞ pn. Vamos definir o
comprimento da circunfereˆncia como sendo este nu´mero C. Assim, podemos tornar a diferenc¸a entre pn e C ta˜o
pequena quanto quisermos, bastando para isso escolher n suficientemente grande.
5. Mostre que Pn − pn = Pn (R−an)R , e da´ı, usando o fato de que Pn < P4 qualquer que seja n natural maior do que
2, conclua que podemos tornar a diferenc¸a entre Pn e pn arbitrariamente pequena, bastando para isso considerar
n suficientemente grande.
6. Use o fato acima para mostrar que lim
n→∞ Pn = C.
7. Sejam duas circunfereˆncias de raios a e b e comprimentos Ca e Cb, respectivamente. Usando semelhanc¸a de
triaˆngulos, prove que pn
a
a =
pn
b
b e
Pn
a
a =
Pn
b
b onde, como anteriormente, pn
a e pn
b ( Pn
a e Pn
b ) denotam os
per´ımetros dos pol´ıgonos regulares de 2n lados inscritos nas (circunscritos a`s) circunfereˆncias de raios a e b,
respectivamente.
8. Use os itens anteriores e a unicidade do limite para provar C
a
2 a =
Cb
2 b .
Com isto demonstramos que a raza˜o entre o comprimento C de uma circunfereˆncia de raio R qualquer e o seu
diaˆmetro e´ constante. Chamando essa raza˜o de pi, temos que C = 2pi R ou, equivalentemente, pi = C2R .
9. Considere a circunfereˆncia de raio 12 . Deduza uma fo´rmula para pn e outra para Pn, em func¸a˜o do aˆngulo central
da circunfereˆncia formado pelos raios que ligam dois ve´rtices consecutivos dos pol´ıgonos e use-a para estimar o
valor de pi, com erro menor do que 0, 01.
Arquimedes calculou para pi um valor entre 227 e
223
71 . Os hindus e a´rabes (450 D.C.) chegaram ao valor de 3,1416
e Vieta (1593), trabalhando com pol´ıgonos de 393 lados, chegou a um valor entre 3,1415926537 e 3,1415926535.
Resultados mais precisos foram obtidos nos se´culos XVII e XVIII usando-se a teoria das se´ries infinitas.