Cálculo 1 - capitulo 17 Teorema do Valor Médio - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 17
Teorema do Valor Me´dio
17.1 Introduc¸a˜o
Vimos no Cap. 16 como podemos utilizar a derivada para trac¸ar gra´ficos de func¸o˜es. Muito embora o apelo gra´fico
apresentado naquele cap´ıtulo relacionando func¸o˜es crescentes e decrescentes com o sinal da derivada fosse muito
sugestivo, na˜o pode ser entendido como uma prova das afirmac¸o˜es feitas. Para uma demonstrac¸a˜o rigorosa da relac¸a˜o
existente entre o crescimento ou decrescimento de uma func¸a˜o e o sinal da sua derivada, precisamos de um resultado
conhecido como teorema do valor me´dio. O teorema do valor me´dio e´ um dos resultados mais importantes do ca´lculo
diferencial e e´ usado, principalmente, na demonstrac¸a˜o de outros teoremas.
O teorema do valor me´dio e´ a traduc¸a˜o matema´tica para um fato que aparece de forma corriqueira em muitas
situac¸o˜es de nossa vida. Por exemplo, se a me´dia de velocidade em uma viagem de carro de uma cidade a outra e´ de
80 km/h, enta˜o em algum momento da viagem o veloc´ımetro do carro deve ter marcado 80 km.
Vamos traduzir a afirmac¸a˜o acima em termos matema´ticos. Seja s(t) a posic¸a˜o do carro, em cada instante de
tempo t. Se a viagem comec¸a em t = a (horas) e termina em t = b (horas), a velocidade me´dia e´ dada por
vm =
s(b)− s(a)
b− a .
A afirmac¸a˜o de que, em algum momento da viagem, a velocidade instantaˆnea deve ser igual a velocidade me´dia
significa que para algum instante de tempo c entre a e b tem-se
vm =
s(b)− s(a)
b− a = v(c) = s
′(c).
O teorema do valor me´dio estabelece as condic¸o˜es mı´nimas que uma func¸a˜o s deve satisfazer para que a igualdade
acima seja verdadeira.
Antes de provar o teorema do valor me´dio, enunciaremos um de seus casos particulares que ficou conhecido como
teorema de Rolle, em homenagem a Michel Rolle (1652-1719), que o demonstrou em 1690.
17.1.1 Teorema de Rolle
Considere uma func¸a˜o f satisfazendo as seguintes condic¸o˜es:
(1) f e´ cont´ınua no intervalo fechado [a, b]
(2) f e´ deriva´vel no intervalo aberto (a, b)
(3) f(a) = f(b)
Enta˜o, existe um nu´mero c em (a, b), tal que, f ′(c) = 0.
O teorema de Rolle pode ser interpretado, geometricamente, da
maneira descrita a seguir. Seja f uma curva suave (cont´ınua e
deriva´vel), na˜o constante, ligando os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)),
tal que f(a) = f(b). Enta˜o, se o gra´fico de f sobe, devera´ descer,
e vice-versa. Portanto, como a curva e´ suave, em algum ponto
entre a e b, onde o gra´fico para de subir e comec¸a a descer (ou
vice-versa), a reta tangente deve ser horizontal.
c
f(a)=f(b)
ba
Demonstrac¸a˜o Como f e´ cont´ınua em [a, b], pelo teorema dos valores extremos f assume um valor ma´ximo e um
valor mı´nimo em [a, b]. Sejam m e n os pontos de [a, b] onde estes valores sa˜o atingidos, isto e´, sejam m e n tais que
f(n) ≤ f(x) ≤ f(m), para todo x em [a, b].
229
230 Cap. 17. Teorema do Valor Me´dio
Existem dois casos a serem considerados:
(i) A func¸a˜o f e´ constante em [a, b].
Neste caso, f(x) = f(a) = f(b) para todo x de [a, b]. Assim, f ′(x) = 0 para todo x de (a, b).
(ii) f(x) 6= f(a) = f(b) para algum x no intervalo aberto (a, b).
Neste caso, ou m ou n e´ diferente das extremidades a e b do intervalo considerado. Sem perda de generalidade,
suponhamos que seja m este ponto. Como m e´ um ponto de ma´ximo e esta´ no intervalo aberto (a, b) onde f e´
deriva´vel, tem-se f ′(m) = 0. Logo, o ponto c = m satisfaz a conclusa˜o do teorema.
Observac¸a˜o As hipo´teses do teorema de Rolle sa˜o essenciais para que a conclusa˜o se verifique, isto e´, se uma das
condic¸o˜es do teorema na˜o for verificada, podera´ na˜o existir o ponto c que satisfaz f ′(c) = 0. Os exemplos a seguir
ilustram como este teorema pode ser aplicado e mostram como o teorema falha, caso qualquer uma de suas hipo´teses
na˜o se verifique.
Exemplo 1
Considere a func¸a˜o f(x) =
{
(x− 1)2 , 1 ≤ x < 1, 5
(x− 2)2 , 1, 5 ≤ 2 .
Esta func¸a˜o e´ cont´ınua no intervalo [1, 2], f(1) = f(2) = 0 mas
na˜o e´ deriva´vel em (1, 2). Repare que na˜o existe nenhum ponto
da curva y = f(x) no qual a reta tangente a esta curva seja zero.
Em outras palavras, na˜o existe c em (1, 2) tal que f ′(c) = 0.
O teorema de Rolle na˜o pode ser aplicado a este caso porque a
func¸a˜o dada na˜o e´ deriva´vel no intervalo (1, 2). 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x
Exemplo 2
Seja f(x) =
{
x2 , x 6= 0
1 , x = 0
definida no intervalo [−1, 1]. Temos
que f(−1) = f(1) = 1, mas f na˜o e´ cont´ınua no zero. Na˜o existe
c em (−1, 1) tal que f ′(c) = 0. O teorema de Rolle falha neste
caso porque f na˜o e´ cont´ınua em [−1, 1].
Exemplo 3
Determine um ponto c que satisfac¸a o teorema de Rolle para as seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 2 +
√
x−
√
x3 definida em [0, 1].
(b) f(x) = 2 + senx definida em [0, 2pi].
Soluc¸a˜o
(a) A func¸a˜o f e´ cont´ınua em [0, 1] e deriva´vel em (0, 1). Mesmo
que ela na˜o seja deriva´vel no zero, isto na˜o importa: o teorema
exige apenas que f seja deriva´vel em (0, 1). Tambe´m temos que
f(0) = f(1) = 2, de modo que todas as condic¸o˜es do teorema de
Rolle sa˜o satisfeitas. Assim, existe um ponto c em (0, 1), tal que
f ′(c) = 0.
Como f ′(x) = 1
2
√
x
− 3
√
x
2 =
(1−3 x)
2
√
x
, esta derivada sera´ zero para
x = 13 . Logo, no ponto c =
1
3 a reta tangente a` curva e´ horizontal. 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
0.2 0.4 0.6 0.8 1x
(b) Neste caso f e´ cont´ınua e deriva´vel em [0, 2pi] e f(0) = f(2pi) = 2. Assim, pelo teorema de Rolle, existe um
ponto c em (0, 2pi)), tal que f ′(c) = 0. De fato, usando o Maple para resolver esta u´ltima equac¸a˜o, obtemos
> f:=x->2+sin(x):
> solve(diff(f(x),x)=0,x);
1
2
pi
Portanto, c = pi2 . Veja o gra´fico a seguir.
> plot([f(x),f(Pi/2),[[Pi/2,0],[Pi/2,f(Pi/2)]]],x=0..2*Pi,color=[red,blue]);
W.Bianchini, A.R.Santos 231
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1 2 3 4 5 6
x
Observe que, neste exemplo, existe um outro ponto c em (0, 2pi), a saber, c = 3pi2 , no qual a reta tangente ao
gra´fico da func¸a˜o tambe´m e´ horizontal. Isto na˜o contradiz o teorema de Rolle. Este teorema garante a existeˆncia de
pelo menos um ponto no intervalo considerado, tal que f ′(c) = 0. Como vimos no exemplo acima, pode existir mais
de um ponto com esta propriedade.
17.1.2 Teorema do valor me´dio
Considere uma func¸a˜o f satisfazendo as condic¸o˜es:
(1) f e´ cont´ınua no intervalo fechado [a, b]
(2) f e´ deriva´vel no intervalo aberto (a, b)
Enta˜o, existe um nu´mero c em (a, b), tal que f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a .
Geometricamente, o teorema do valor me´dio diz que se f e´ uma
func¸a˜o “suave” que liga os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)),
existe um ponto c, entre a e b, tal que a reta tangente ao gra´fico
de f em c e´ paralela a` reta secante que passa por A e por B.
B
A
bca
Demonstrac¸a˜o A demonstrac¸a˜o e´ feita usando-se o teorema de Rolle. Para isso, considere a func¸a˜o d(x) =
f(x)− g(x), onde g(x) e´ a reta que une os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)), isto e´, g(x) = f(a) + f(b)−f(a)b−a (x− a).
Repare que a func¸a˜o d(x) assim definida, mede, para cada x, a distaˆncia vertical entre os pontos (x, f(x)), do
gra´fico de f , e (x, g(x)), na reta suporte do segmento AB.
A func¸a˜o d(x) satisfaz as hipo´teses do teorema de Rolle, isto e´, d e´ cont´ınua em [a, b], diferencia´vel em (a, b), pois
f e g o sa˜o, e, ale´m disso, d(a) = d(b) = 0. Assim, existe um ponto c ∈ (a, b) onde d′(c) = 0.
Note no diagrama a seguir que a reta tangente ao gra´fico de f e´ paralela ao segmento AB exatamente no ponto
em que a diferenc¸a d(x) atinge o seu maior valor.
Logo, 0 = d′(c) = f ′(c)− g′(c) = f ′(c)− f(b)−f(a)b−a , ou seja, f ′(c) = f(b)−f(a)b−a .
17.1.3 Consequ¨eˆncias do teorema do valor me´dio
A primeira consequ¨eˆncia e´ a rec´ıproca dofato trivial de que a derivada de uma func¸a˜o constante e´ igual a zero, ou seja,
se a derivada de uma func¸a˜o e´ zero, a func¸a˜o e´ constante. A princ´ıpio nada nos assegura que este fato seja verdadeiro.
Sera´ que na˜o poderia existir uma func¸a˜o desconhecida, estranha e na˜o constante, cuja derivada fosse zero?
232 Cap. 17. Teorema do Valor Me´dio
Usando o teorema do valor me´dio podemos provar que tal func¸a˜o estranha na˜o existe. Isto e´ feito no Corola´rio 1
a seguir. Nesse corola´rio e nos seguintes, consideramos f e g cont´ınuas no intervalo fechado [a, b] e deriva´veis em (a,
b).
Corola´rio 1 (Func¸o˜es com derivada zero)
Se f ′(x) = 0 em (a, b), enta˜o f e´ uma func¸a˜o constante em [a, b], isto e´, existe um nu´mero real k, tal que, f(x) = k,
qualquer que seja o ponto x de [a, b].
Demonstrac¸a˜o
Seja x ∈ (a, b]. Apliquemos o teorema do valor me´dio em [a, x ]. Enta˜o existe c ∈ (a, x), tal que,
f(x)− f(a) = f ′(c) (x− a).
Como f ′(x) = 0 em (a, b), tem-se f ′(c) = 0. Assim, f(x) = f(a), para todo x em (a, b]. Pore´m, obviamente, esta
igualdade vale para todo x em [a, b]. Assim, f e´ constante em [a, b].
Corola´rio 2 (Func¸o˜es com derivadas iguais)
Suponha que f ′(x) = g′(x) para todo x no intervalo (a, b). Enta˜o, f e g diferem por uma constante, isto e´, existe um
nu´mero real k, tal que
f(x) = g(x) + k,
para todo x em [a, b].
Demonstrac¸a˜o
Considere a func¸a˜o h(x) = f(x) − g(x). Enta˜o, h′(x) = f ′(x) − g′(x) = 0, para todo x em (a, b). Logo, pelo
Corola´rio 1, h(x) = k para todo x em [a, b] e alguma constante k real, ou seja,
f(x)− g(x) = k, que e´ equivalente a f(x) = g(x) + k.
Interpretac¸a˜o geome´trica
Como as duas func¸o˜es f e g diferem por uma constante, o gra´fico de
f pode ser obtido a partir do gra´fico de g, ou vice-versa, por uma
translac¸a˜o vertical. Ale´m disso, como estas func¸o˜es teˆm a mesma
derivada em cada ponto x de [a, b], seus gra´ficos teˆm retas tangentes
paralelas nos correspondentes pontos (x, f(x)) e (x, g(x)). Por isso estes
gra´ficos sa˜o ditos paralelos.
–2
0
2
4
6
y
–2 –1 1 2
x
Exemplo 1
Se f ′(x) = 3 senx e f(0) = 2, determine a func¸a˜o f .
Soluc¸a˜o Observe que a derivada da func¸a˜o g(x) = −3 cosx e´ igual a 3 senx = f ′(x). Assim, f e g diferem por
uma constante, isto e´, f(x) = g(x) + k = −3 cosx+ k, onde k e´ um nu´mero real qualquer.
Como f(0) = 2, temos que f(0) = −3 + k = 2, ou seja, k = 5. Assim,
f(x) = −3 cosx+ 5.
Exemplo 2
Suponha que f ′(x) = k em um intervalo [a, b], com k real. Prove que f e´ uma reta.
Soluc¸a˜o
Seja g(x) = k x+ b. Enta˜o, g′(x) = k. Logo, f e g diferem por uma constante, ou seja, f(x) = g(x) + c, onde c e´
real. Assim,
f(x) = k x+ b+ c = k x+ d,
onde d = b+ c. Logo, f e´ uma reta.
W.Bianchini, A.R.Santos 233
Corola´rio 3 (Func¸o˜es crescentes e decrescentes)
(i) Se f ′(x) > 0 para todo x em [a, b], enta˜o f e´ uma func¸a˜o crescente em [a, b].
(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x em [a, b], enta˜o f e´ uma func¸a˜o decrescente em [a, b].
Demonstrac¸a˜o
Vamos demonstrar o primeiro item; a demonstrac¸a˜o do segundo e´ ana´loga.
Sejam m e n pontos de [a, b], tais que m < n. Aplicamos o teorema do valor me´dio no intervalo [m, n]. Como este
intervalo esta´ contido em [a, b], as hipo´teses do teorema do valor me´dio continuam va´lidas em [m, n]. Assim, existe
um ponto c em (m, n), tal que
f(n)− f(m) = f ′(c) (n−m).
Como, por hipo´tese, f ′(c) > 0 e (n−m) > 0, segue que
f(n)− f(m) > 0, isto e´, f(m) < f(n).
Como m e n sa˜o pontos quaisquer em [a, b], segue que f e´ uma func¸a˜o crescente em [a, b].
Corola´rio 4 (Teorema do valor me´dio generalizado)
Sejam f e g cont´ınuas em [a, b] e deriva´veis em (a, b) e suponha, ale´m disso, que g′(x) 6= 0 para a < x < b. Enta˜o,
existe pelo menos um c entre a e b, tal que
f ′(c)
g′(c)
=
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) .
Demonstrac¸a˜o
Repare que se g(a) = g(b), pelo teorema de Rolle g′(x) se anula em algum ponto entre a e b, o que contradiz
a hipo´tese. Portanto, g(a) 6= g(b), e o segundo membro da igualdade acima faz sentido. Para provar o corola´rio,
considere a func¸a˜o
F (x) = (f(b)− f(a)) (g(x)− g(a))− (f(x)− f(a)) (g(b)− g(a)).
E´ fa´cil ver que esta func¸a˜o satisfaz as hipo´teses do teorema de Rolle. Logo, existe um ponto c, entre a e b, tal que
F ′(c) = 0. Esta u´ltima afirmac¸a˜o e´ equivalente a
(f(b)− f(a)) g′(c)− f ′(c) (g(b)− g(a)) = 0 ,
que, por sua vez, e´ equivalente a afirmac¸a˜o que se quer provar.
Repare que se g(x) = x, este corola´rio se reduz ao teorema do valor me´dio e, portanto, e´ uma generalizac¸a˜o deste
teorema.
17.2 Exerc´ıcios
1. (a) Nos itens a seguir, mostre que a func¸a˜o dada satisfaz as hipo´teses do teorema de Rolle no intervalo [a, b]
indicado e ache todos os nu´meros c em (a, b) que verificam a conclusa˜o do teorema:
i. f(x) = x2 − 2x em [0, 2]
ii. f(x) = 9x2 − x4 em [−3, 3]
iii. f(x) = 1−x
2
1+x2 em [−1, 1]
(b) Nos ı´tens a seguir, mostre que a func¸a˜o dada na˜o satisfaz a conclusa˜o do teorema de Rolle no intervalo
indicado. Explicite que hipo´tese do teorema na˜o e´ satisfeita.
i. f(x) = 1− |x | em [−1, 1]
ii. f(x) = 1− (2− x) 23 em [1, 3]
iii. f(x) = x4 + x2 em [0, 1]
2. (a) Em cada um dos ı´tens a seguir, decida se o teorema do valor me´dio se aplica. Em caso afirmativo, ache
um nu´mero c em (a, b) tal que f ′(c) = f(b)−f(a)b−a . Esboce um gra´fico mostrando a tangente passando por
(c, f(c)) e a reta passando pelos pontos extremos do gra´fico em [a, b], indicado em cada caso.
i. f(x) = 1x em [1, 2]
ii. f(x) = 1x em [−1, 2]
iii. f(x) = x3 em [0, 1]
iv. f(x) = x3 em [−1, 0]
v. g(x) = sen (x) em [0, pi2 ]
vi. h(x) = tg(x) em [pi4 ,
3pi
4 ]
vii. f(x) =
√
1− x2 em [−1, 0]
viii. f(t) = t2 (t− 1) em [0, 1]
ix. f(x) = x
2
3 em [−1, 27]
x. f(x) =
{
1 0 < x
0 x < 0
em [−1, 1]
234 Cap. 17. Teorema do Valor Me´dio
(b) Como vimos no item (ix) acima, o teorema do valor me´dio na˜o se aplica a` func¸a˜o f(x) = x
2
3 no intervalo
[−1, 27]. No entanto, mostre que existe um nu´mero c em (−1, 27), tal que f ′(c) = f(27)−f(−1)27−(−1) .
(c) Explique por que o teorema do valor me´dio na˜o se aplica a` func¸a˜o f(x) = |x |, no intervalo [−1, 2].
3. Para as func¸o˜es dadas em cada um dos ı´tens a seguir, determine os intervalos abertos em que cada uma delas e´
crescente ou decrescente. Com base nas respostas encontradas, fac¸a a correspondeˆncia de cada func¸a˜o com um
dos gra´ficos dados.
(a) f(x) = 4− x2
(b) f(x) = x2 − 2x+ 1
(c) f(x) = x2 − 4x+ 1
(d) f(x) = x
3
4 − 3x
(e) f(x) = x
3
3 − x
2
2 − 2x+ 1
(f) f(x) = 2x− x26 − x
3
9
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
(1)
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
(2)
–4
–2
0
2
4
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
(3)
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
(4)
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
(5)
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
(6)
4. (a) Use o teorema de Rolle para mostrar que a equac¸a˜o
26
5 x
5 − x4 + 2x3 − 2x2 − x = 0, tem pelo menos uma raiz real no intervalo (0, 1).
(b) Se f(x) e´ um polinoˆmio de grau 3, use o teorema de Rolle para provar que f tem no ma´ximo treˆs zeros
reais. Generalize este resultado para polinoˆmios de grau n.
(c) Nos itens seguintes, mostre que a equac¸a˜o dada tem exatamente uma soluc¸a˜o no intervalo indicado.
i. x5 + 2x− 3 = 0 em [0, 1]
ii. x10 = 1000 em [1, 2]
iii. x4 − 3x = 20 em [2, 3]
5. (a) Nos ı´tens seguintes, determine a func¸a˜o f que satisfaz a`s condic¸o˜es dadas:
i. f ′(x) = 4x ; f(0) = 5
ii. f ′(x) =
√
(x); f(0) = 4
iii. f ′(x) = 2√
x
; f(0) =3
iv. f ′′(x) = 0; f(0) = 12 e f
′(0) = 13
(b) Em cada um dos ı´tens, ache todas as func¸o˜es f tais que:
i. f ′(x) = senx ii. f ′′(x) = x3 iii. f ′′′(x) = x+ x2
17.3 Problemas propostos
1. (a) Seja f(x) =x2. Neste caso, mostre que para qualquer intervalo [a, b] o ponto c dado pelo teorema do valor
me´dio e´ em realidade o ponto me´dio c = a+b2 , do intervalo [a, b].
(b) Mostre que o resultado acima vale para qualquer polinoˆmio do segundo grau f(x) = c2 x
2 + c1 x+ c0.
(c) Ache uma func¸a˜o f para a qual o “ponto de valor me´dio” c na˜o e´ o ponto me´dio de [a, b].
2. (a) Prove que a func¸a˜o f(x) = (1 + x)
3
2 − 3 x2 − 1 e´ crescente em (0, ∞). Conclua enta˜o que (1 + x)
3
2 > 1 + 3 x2
para todo x > 0.
(b) Mostre que
√
x < 1 + x2 se x > 0.
3. Mostre que D(tg2 x) = D(sec2 x) no intervalo aberto ( −pi2 , pi2 ). Conclua que existe uma constante C tal que
tg2 x = sec2 x+ C para todo x em (−pi2 , pi2 ). Calcule C.
W.Bianchini, A.R.Santos 235
4. (a) Suponha que haja n pontos distintos em [a, b] nos quais a func¸a˜o deriva´vel f se anule. Prove que f ′ deve
se anular em pelo menos n− 1 pontos de [a,b].
(b) Suponha que a func¸a˜o f seja deriva´vel em [−1, 1] e tal que f(−1) = −1 e f(2) = 5. Prove que existe um
ponto no gra´fico de f em que a reta tangente e´ paralela a` reta de equac¸a˜o y = 2x.
5. Suponha que as func¸o˜es f e g sejam cont´ınuas em [a, b] e diferencia´veis em (a, b). Suponha tambe´m que f(a) =
g(a) e que f ′(x) < g′(x) para a < x < b. Prove que f(b) < g(b).
Sugesta˜o: Aplique o teorema do valor me´dio a` func¸a˜o h = f − g.
6. Usando o teorema de Rolle, prove que, qualquer que seja o valor de m, a func¸a˜o fm(x) = x
3 − 3x+m na˜o pode
ter duas ra´ızes reais em [0, 1]. Para entender geometricamente o que acontece, trace na mesma janela os gra´ficos
de f0 e f1 e conclua como seria o gra´fico de fm, para m qualquer.
7. Seja f(x) = 1x e g(x) =
{
1
x , se x > 0
1 + 1x , se x < 0
Mostre que f ′(x) = g′(x) para todo x nos seus domı´nios. E´
poss´ıvel concluir que f − g e´ constante?
8. (a) Se f e´ um polinoˆmio de grau menor ou igual a um, sabemos que f ′′(x) = 0 para todo x. Demonstre
a rec´ıproca desta afirmac¸a˜o, isto e´, se f e´ uma func¸a˜o qualquer, tal que f ′′(x) = 0 para todo x, enta˜o
f(x) = a1 x+ a0, onde a1 = f
′(0) e a0 = f(0).
(b) Se f e´ um polinoˆmio de grau menor ou igual a dois, sabemos que f ′′′(x) = 0 para todo x. Demonstre a
rec´ıproca desta afirmac¸a˜o isto e´, se f e´ uma func¸a˜o qualquer tal que f ′′′(x) = 0 para todo x, enta˜o f e´ um
polinoˆmio de grau menor ou igual a dois. De fato, f(x) = f(0) + f ′(0)x+ x
2
2 f
′′(x).
(c) Suponha que fn(x ) = 0, para todo x. Caracterize f e demonstre a sua resposta.
9. (a) Suponha que f(1) = 1, f ′(1) = 3, f ′′(1) = 6 e f ′′′(x) = 0 para todo x. Demonstre que, para todo x,
f ′′(x) = 6, f ′(x) = 6x− 3 e que f(x) = 3x2 − 3x+ 1.
(b) Suponha que c e´ uma constante e que f(c) = a0, f
′(c) = a1, f ′′(c) = a2 e f ′′′(x) = 0 para todo x.
Demonstre que f(x) = a22 (x− c)2 + a1(x− c) + a0.
(c) Suponha que c e´ uma constante e que f(c) = a0, f
′(c) = a1, ..., f (n)(c) = an e f (n+1)(x) = 0, para todo x.
Demonstre que f(x) = f(c) + (x− c) f ′(c) + (x−c)22 f ′′(c) + . . .+ (x−c)
n
n! f
(n)(c), onde n! =
n∏
k=1
k.
10. A`s duas horas da tarde, o veloc´ımetro de um carro marca 30 km/h. A`s duas horas e dez minutos, marca 50
km/h. Mostre que, em algum instante entre duas e duas e dez, a acelerac¸a˜o deste carro foi exatamente igual a
120 km/h2.
11. Dois corredores comec¸am uma disputa ao mesmo tempo e terminam empatados. Prove que, em algum instante
durante a corrida, eles correram com a mesma velocidade.
Sugesta˜o: Considere a func¸a˜o f(t) = g(t) − h(t), onde g e h sa˜o as func¸o˜es que fornecem as posic¸o˜es dos dois
corredores, para qualquer instante de tempo t.
12. Uma func¸a˜o f , na˜o necessariamente deriva´vel, definida em um intervalo I, e´ chamada convexa em I, se
f(x2)− f(x1)
x2 − x1 ≤
f(x3)− f(x2)
x3 − x2 ,
sempre que x1 < x2 < x3 forem treˆs pontos de I. Veja a figura a seguir a` esquerda e interprete geometricamente
a definic¸a˜o dada.
(a) Demonstre que se f ′ existe em I e e´ crescente, enta˜o f e´ convexa.
(b) Demonstre que se f ′′ e´ maior ou igual a zero em todo o intervalo I, enta˜o f e´ convexa em I.
(c) Mostre que se x1 < x2 < x3, as duas condic¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes:
y2 − y1
x2 − x1 ≤
y3 − y2
x3 − x2 ⇔ y2 ≤ y1 +
y3 − y1
x3 − x1 (x2 − x1)
(Esta u´ltima condic¸a˜o fornece uma outra definic¸a˜o geome´trica alternativa para convexidade: entre dois pon-
tos quaisquer x1 e x2 de I, o gra´fico de f fica abaixo da reta que passa por P1 = (x1, f(x1)) e P3 = (x3, f(x3)),
como mostra a figura a seguir a` direita.
236 Cap. 17. Teorema do Valor Me´dio
P3P2
P1
x3x2x1
P3P2
P1
x3x2x1
17.4 Para voceˆ meditar: O significado de c
Em muitas situac¸o˜es f´ısicas, os fenoˆmenos observa´veis sa˜o apresentados em tabelas, que relaciona a velocidade de um
automo´vel com a distaˆncia percorrida ate´ que o mesmo pare, apo´s acionados os freios.
velocidade (km/h) 40 60 80 100 120
distaˆncia (m) 8 18 32 50 72
Fonte: Revista Quatro Rodas - Automo´vel Fiat-Uno
A partir de tabelas deste tipo, tentamos deduzir a lei ou func¸a˜o matema´tica que melhor se ajusta aos dados
apresentados. Muitas vezes, precisamos fazer uma estimativa de um valor da varia´vel dependente (neste exemplo, a
distaˆncia percorrida pelo automo´vel) correspondente a um valor da varia´vel independente (neste caso a velocidade do
automo´vel), que na˜o faz parte da tabela. Por exemplo, qual a distaˆncia percorrida por um automo´vel que viaja a 70
km/h, antes que este pare completamente?
Em geral, para obter uma resposta aproximada para esta pergunta usamos interpolac¸a˜o linear, isto e´, aproximamos
o gra´fico da func¸a˜o que modela o problema por segmentos de reta que ligam os pontos da tabela e estimamos o valor
pedido como se a func¸a˜o procurada variasse linearmente, entre os pontos dados.
No exemplo apresentado, a equac¸a˜o da reta que liga os pontos (60, 18) e (80, 32) e´
> f:=unapply(interp([60,80],[18,32],x),x);
f := x→ 7
10
x− 24
Usando esta equac¸a˜o para calcular uma estimativa para o valor pedido, temos:
> f(70.);
25.00000000
Como as grandezas anteriores, claramente na˜o esta˜o relacionadas por uma linha reta, o valor calculado envolve um
erro que, “a priori”, nada garante que seja pequeno.
1. Explique como o teorema do valor me´dio esta´ relacionado com o erro ma´ximo cometido ao usarmos interpolac¸a˜o
linear para estimarmos os valores correspondentes a pontos que na˜o esta˜o explicitados na tabela.
2. Observando os valores apresentados na tabela dada, voceˆ e´ capaz de deduzir a lei que governa o fenoˆmeno?
(Use a te´cnica da n-e´sima diferenc¸a – sec¸a˜o Para meditar, do Cap 7 – para tentar chegar a uma conclusa˜o e o
comando interp do Maple para conferir a sua resposta.)
3. Fac¸a um gra´fico da interpolac¸a˜o linear e da func¸a˜o deduzida no item acima para tentar concluir se 25 m e´ uma
“boa” resposta para a indagac¸a˜o feita. Esta estimativa e´ por falta ou por excesso?
4. Use a func¸a˜o deduzida acima e o teorema do valor me´dio para, usando interpolac¸a˜o linear, estimar o erro ma´ximo
cometido ao calcularmos a distaˆncia que um automo´vel percorre antes de parar completamente, apo´s acionados
os freios.
17.5 Projetos
17.5.1 Estudando a queda dos corpos - Movimento uniformemente acelerado
Suponha que uma part´ıcula esteja se movendo, de acordo com uma determinada lei, ao longo de uma reta. Se voceˆ
imaginar que o movimento se da´ ao longo do eixo y, enta˜o o movimento pode ser descrito por uma func¸a˜o s, isto e´,
W.Bianchini, A.R.Santos 237
para cada tempo t do intervalo I, s(t) fornece a posic¸a˜o da part´ıcula neste instante.
Na figura a seguir, a part´ıcula se move durante o intervalo de tempo [t1, t4]. Ale´m disso, o movimento comec¸a em
t = t1 quando a part´ıcula esta´ no ponto y = 1; no intervalo de tempo [t1, t2], a part´ıcula se move do ponto y =1 ate´
o pontoy = 4; no intervalo [t2, t3], a part´ıcula retrocede e muda da posic¸a˜o y = 4 para y = -1; e no intervalo [t3, t4],
a part´ıcula avanc¸a de y = −1 ate´ y = 6.
6
–1
4
1
t3
t4t2t1
A figura mostra o movimento restrito a um intervalo de tempo I = [t1, t4] finito. Mais geralmente, a func¸a˜o s
pode ser definida num intervalo de tempo da forma I = [ t1, ∞) ou mesmo I = R = (−∞, ∞). Mas, na maioria das
vezes, na Terra, os movimentos comec¸am em algum instante de tempo t0 e terminam quando a part´ıcula se choca com
alguma coisa ou por alguma outra raza˜o, cessa de se movimentar de acordo com a lei dada.
Como ja´ vimos no Cap. 11, desde que a func¸a˜o s seja deriva´vel – o que ela usualmente e´ –, a velocidade da
part´ıcula, em cada instante de tempo t, e´ dada pela derivada de s, isto e´, v(t) = s′(t). Desde que a func¸a˜o v seja
deriva´vel, o que ela usualmente e´, a acelerac¸a˜o da part´ıcula e´ dada, em cada instante de tempo t, pela derivada de v,
isto e´, a(t) = v′(t) ou a(t) = s′′(t). (Observe que para movimentos no plano ou no espac¸o a velocidade e a acelerac¸a˜o
em um dado instante devem ser entendidas como quantidades vetoriais, isto e´, como grandezas que teˆm, tambe´m,
sentido e direc¸a˜o. Somente para movimentos retil´ıneos podem ser descritos como fizemos acima, pois sobre uma reta
a direc¸a˜o esta´ definida e o sentido e´ determinado pelo sinal da velocidade.)
Ha´ ainda uma quarta func¸a˜o associada ao movimento da part´ıcula que denotaremos por F . Essa func¸a˜o F
representa, em cada instante de tempo t, a resultante das forc¸as F (t) que agem sobre o corpo no instante t.
O objetivo deste projeto e´ descrever por meio de equac¸o˜es matema´ticas o movimento de uma part´ıcula em queda
livre. Antes de podermos trabalhar matematicamente com este problema, precisamos estabelecer as hipo´teses f´ısicas
a serem consideradas.
A Segunda Lei de Newton afirma que a acelerac¸a˜o de um corpo em movimento e´ proporcional a` forc¸a dividida pela
massa do corpo, isto e´,
(1) a(t) = k1 F (t)m (k1= constante)
Para um corpo caindo em queda livre (ou um proje´til lanc¸ado verticalmente para cima), a forc¸a e´ a resultante do
peso (que atua para baixo) e a resisteˆncia do ar (que atua no sentido contra´rio ao do movimento). Se a velocidade do
corpo na˜o e´ muito grande, a resisteˆncia do ar pode ser desprezada. Assim, temos que
(2) F (t) = P (t) < 0
(o peso e´ negativo porque “puxa” o objeto para baixo).
“Obviamente” o peso na˜o varia somente porque o tempo esta´ passando, mas na realidade depende de y, isto e´,
da altitude do corpo no qual a gravidade esta´ agindo: quanto maior a altitude, menor a forc¸a com que a Terra atrai
o corpo. Por outro lado se a altitude na˜o e´ muito grande, o peso pode ser considerado constante. Para todos os
fins pra´ticos, podemos considerar o peso de um objeto caindo em queda livre, pro´ximo a` superf´ıcie da Terra, como
constante. Assim, temos
(3) F (t) = k2 < 0 (k2 = constante).
Como ja´ vimos que o peso e´ a resultante das forc¸as que atuam sobre a part´ıcula de (1) e (3), temos que
a(t) = k3m < 0 para todo t, onde k3 = k1 k2.
Esta u´ltima equac¸a˜o diz que para cada corpo caindo em queda livre existe uma constante que e´ igual a sua
acelerac¸a˜o, independentemente do tempo que dure o movimento.
Permanece, entretanto, uma questa˜o fundamental: existe uma constante que descreve a acelerac¸a˜o de todos os
corpos em queda livre, caso contra´rio a constante de acelerac¸a˜o depende de qual propriedade do corpo?
Por muito tempo pensou-se que esta constante dependia da massa m do corpo, isto e´, a lei que governa a queda de
corpos pesados (balas de canha˜o, por exemplo) deveria ser diferente da lei que governa a queda de corpos leves (por
exemplo, bolas de pingue-pongue).
238 Cap. 17. Teorema do Valor Me´dio
De fato, ate´ a e´poca de Galileu pensava-se que corpos pesados ca´ıssem mais depressa. A histo´ria conta que para
provar a falsidade desta hipo´tese Galileu apelou para a forc¸a bruta: deixou cair do alto da Torre de Pisa duas bolas
de ferro de tamanhos diferentes provando, assim, que elas chegavam ao cha˜o ao mesmo tempo.
Esta constante, que independe da massa do corpo e que fornece a acelerac¸a˜o de qualquer objeto em queda livre, e´
chamada acelerac¸a˜o da gravidade e e´ denotada, usualmente, pela letra g. Se a distaˆncia e´ medida em metros (m) e o
tempo em segundos (s), numericamente, temos que g e´ aproximadamente igual a 10 m s2.
Os resultados desta discussa˜o podem ser resumidos da seguinte maneira:
Se a resisteˆncia do ar puder ser desprezada e se considerarmos desprez´ıvel a variac¸a˜o do peso devido a` altitude, a
acelerac¸a˜o de um corpo em queda livre e´ dada pela equac¸a˜o
a(t) = −g,
onde g e´ uma constante e vale aproximadamente 10 m s2.
A discussa˜o precedente serviu para tentarmos mostrar porque a afirmac¸a˜o acima, sob certas hipo´tese razoa´veis, e´
uma boa traduc¸a˜o matema´tica para o problema em questa˜o. No´s na˜o provamos que esta afirmac¸a˜o e´ sempre correta
ou para que valores limites ela vale. Esta na˜o e´ uma questa˜o matema´tica, mas algo com que os f´ısicos se preocupam
e tentam corroborar por meio de experimentos.
A questa˜o matema´tica que queremos resolver e´ a de encontrar func¸o˜es que satisfac¸am a equac¸a˜o
a(t) = f ′′(t) = −g
Esta equac¸a˜o e´ um exemplo do que em matema´tica chamamos de equac¸a˜o diferencial ordina´ria, porque estabelece
uma relac¸a˜o entre a func¸a˜o e suas derivadas. Para resolver esta equac¸a˜o e´ necessa´rio encontrar a func¸a˜o f que satisfac¸a
a relac¸a˜o dada.
Esta questa˜o e´ adequadamente formulada no problema a seguir.
Problema
Ache a func¸a˜o s que satisfaz as seguintes propriedades:
(a) s′′(t) = −g para todo t.
(b) s′(0) e´ um dado nu´mero v0.
(c) s(0) e´ um dado nu´mero s0.
Este problema pode ser interpretado em termos f´ısicos da seguinte maneira:
Conhecendo-se a acelerac¸a˜o da gravidade g, a velocidade inicial v0 e a posic¸a˜o inicial s0, determine a lei que governa
o movimento de queda livre de um corpo, no va´cuo.
Problemas envolvendo equac¸o˜es diferenciais onde sa˜o conhecidos os valores da func¸a˜o e suas derivadas em um
determinado ponto sa˜o conhecidos como problemas de valor inicial.
Este problema pode ser generalizado como se segue:
Se I e´ um intervalo de tempo qualquer (finito ou infinito) e t0 e´ um ponto qualquer de I, determine a func¸a˜o s que
satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
(a) s′′(t) = −g para todo t.
(b) s′t0 = v0.
(c) st0 = s0.
A soluc¸a˜o deste u´ltimo problema e´ exatamente igual a` do anterior.
1. Tendo em vista a discussa˜o acima e usando o que vimos ate´ agora sobre derivadas de func¸o˜es, resolva o problema
proposto, isto e´, determine a lei que governa a queda livre dos corpos.
2. Se voceˆ resolveu corretamente o item acima, em algum momento da deduc¸a˜o deve ter usado uma consequ¨eˆncia
importante do teorema do valor me´dio. Especifique que resultado foi e onde ele foi usado.
3. Em cada um dos ı´tens a seguir ache a func¸a˜o desconhecida que satisfaz as condic¸o˜es dadas. Em todos os ı´tens,
exceto em um deles, as condic¸o˜es dadas sa˜o suficientes para determinar a func¸a˜o. Nesse u´nico item, entretanto,
ha´ infinitas possibilidades. Neste caso, tente determinar que tipo de func¸o˜es satisfazem as condic¸o˜es dadas.
(a) f ′(t) = 3 t+ 4, f(0) = 4
(b) f ′(x) = x3 − 7x+ 5, f(0) = −1
(c) f ′′(t) = −1, f ′(0) = 2, f(0) = 3
(d) f ′′(x) = 3x2, f ′(1) = 0
4. Para resolver os ı´tens a seguir, na˜o aplique fo´rmulas. Escreva as equac¸o˜es que modelam o problema e resolva o
sistema resultante.
W.Bianchini, A.R.Santos 239
(a) Um proje´til e´ lanc¸ado verticalmente para cima, da superf´ıcie da Terra, num tempo t = 0, com velocidade
inicial de 3 m/s. Quando ele atingira´ o solo novamente? Para que intervalo de tempo o movimento e´
descrito pela condic¸a˜o a(t) = −g?
(b) Um proje´tile´ lanc¸ado verticalmente para cima e atinge o solo 10 segundos mais tarde. Qual era a sua
velocidade inicial?
(c) Uma bola de bilhar e´ deixada cair do alto de um edif´ıcio e atinge o solo 10 segundos mais tarde. Qual e´ a
altura do edif´ıcio?
(d) Queda livre perto da superf´ıcie da Lua funciona da mesma maneira que queda livre perto da superf´ıcie
da Terra, exceto pela acelerac¸a˜o da gravidade −gL, que e´ diferente por causa da massa menor da Lua.
Suponha que voceˆ esta´ na Lua e deixa cair uma bola de bilhar, descobrindo, enta˜o, que a bola cai 1 metro,
no primeiro segundo. O que voceˆ pode concluir a respeito de gL?