Aula 1 lista 3

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Questões de álgebra linear – Matrizes, determinantes e sistemas lineares. 
 
 
1) Escreva a matriz A=
 
3x2ij
a
, onde 
ija
=2i+3j 
 
Resposta: 
 
A=(
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
) 
 
𝑎11 = 2.1 + 3.1 = 5, 𝑎12 = 2.1 + 3.2 = 8, … 
 
A=






13107
1185 
2) Escreva a matriz A=
 
3x2ij
a
, onde 






jise,ji
jise,ji2
a ij
 
R. 
A=(
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
) 
𝑎11 = 2.1 + 1 = 3, 𝑎21 = 2.2 + 1 = 5, 𝑎22 = 2.2 + 2 = 6, 𝑎12 = 1 − 2 = −1, 𝑎13 = 1 ± 3 = −1, 
𝑎23 = 2 − 3 = −1 
 









165
213
A
 
 
3) Dadas as matrizes A=






3a
21 e 







3b
3x
B
, determinar a, b e x para que A= tB . 
 
R. A= tB  






3a
21 = 






33
bx 
 
 
a = 3, b = 2 e x = 1 
 
 
4) O conjunto solução de 
1x
11
1x
11
11
x1
 é: 
a)
 1x|Rx 
 b){0;1} c){1} d){-1} e) {0} 
 
R. Calculando os determinantes: 
 
1 − 𝑥
1 − 𝑥
= 1 − 𝑥, 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 1. 
 
1 = 1 − 𝑥 → 𝑥 = 0. 
 
 
5) Calcular x na igualdade 
0
3x1
31x
101


 
R. 
Aplicando Sarrus, temos 3 − 𝑥2 + 0 + 1 − 3𝑥 − 0 = 0 
−𝑥2 − 3𝑥 + 4 = 0 
Resolvendo a equação do 2º grau. 
 
x=1 ou x= - 4 
 
6) Calcular x na igualdade 
0
9x6x4x
3x2x
111
22



 
R. Aplicando Sarrus, 2𝑥2 − 12𝑥 + 18 + 4𝑥 + 𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥2 − 4𝑥 + 12 − 𝑥3 + 6𝑥2 − 9𝑥 = 0 
3𝑥2 − 21𝑥 + 30 = 0 
 
 x=2 ou x=5 
 
7) Determine para que valores de m e n o sistema 








nmzyx
zyx
zyx
3
42
132
 seja: 
a-) Indeterminado 
b-) impossível 
Solução: 
Seja a matriz aumentada (
2 −1 3
1 2 −1
3 1 𝑚
1
4
𝑛
) 
Trocando as linha 1 e 2: 
 
(
1 2 −1
2 −1 3
3 1 𝑚
4
1
𝑛
) 
𝐿2 → −2𝐿1 + 𝐿2 𝑒 𝐿1 → −3𝐿1 + 𝐿3 
(
1 2 −1
0 −5 5
0 −5 𝑚 + 3
4
−7
𝑛 − 12
) 
𝐿2 → −𝐿2 + 𝐿3 
(
1 2 −1
0 −5 5
0 0 𝑚 − 2 
4
−7
𝑛 − 5
) 
 
 a-) m = 2 e n = 5 (0z=0) 
 b-) m = 2 e n 

5 (0z= b, b≠ 0) 
8) Para que valores de k existe uma única matriz 






y
x , tal que 
?
0
0
1
21




















y
x
k
k 
a) k

-1 
b) k=-2 
c) k=-2 ou k=1 
c) k

-2 e k

1 
d) k

2 e k

-1 
 
R. Efetuando o determinante de A, pois det(A) deve ser diferente de zero: |
k
k
1
21


| = 𝑘2 − 𝑘 − 2 ≠ 0 
 
 
9) Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três categorias (tabela I). Em 
cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produção, de um único exemplar de cada produto. Faz-
se , também, uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por estação (tabela II) 
 
Tabela I 
Custo de produção por item(em dólares) 
Categorias produto 
A B C 
Matéria prima 0,10 0,30 0,15 
Pessoal 0,30 0,40 0,25 
Despesas 
gerais 
0,10 0,20 0,15 
 
Tabela II 
Quantidade produzida por estação 
Categorias estação 
 verão outono inverno primavera 
A 4000 4500 4500 4000 
B 2000 2600 2400 2200 
C 5800 6200 6000 6000 
 
 
As tabelas I e II podem ser representadas, pelas matrizes M=










15,020,010,0
25,040,030,0
15,030,010,0
 e 
P= 










6000600062005800
2200240026002000
4000450045004000
. A empresa apresenta a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo total 
por estação se cada uma das três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais. A partir das informações dadas, 
julgue os itens. 
0) a tabela apresentada pela empresa a seus acionistas é representada pela matriz M.P de ordem 3x4 
1) os elementos da 1ª linha de M.P representam o custo total de matéria prima para cada uma das quatro estações 
2) o custo com despesas gerais para o outono será de 2160 dólares. 
3) Se V =(5 4 6), e a matriz dos valores de venda dos produtos A, B e C (A=$5, B$= 4, C=$ 6), o valor total 
produzido por estação é dado pela matriz 
 64800681007010062800
. 
 
 resp.0)v 1) v 2) Custo = 1900 dólares. 3) v 
 
10) Considerando-se o sistema de equações S : 








0
1
12
zykx
zyx
kzyx
 e as matrizes B = 










11
111
21
k
k
, C = 











0
1
1
 e X = 










z
y
x
, sendo k um número real, pode-se afirmar: 
(01) A matriz transposta de B.C é a matriz linha ( 1 1 k-1 ) 
Falso: O produto deve uma matriz coluna. 
(02) A matriz inversa de B, para k = 0, é a matriz B-1 = 













111
111
221
 
Falso: O produto das duas matrizes não é a matriz identidade. 
(03) S é um sistema determinado se k  1 e k  2 
Escalonado o sistema: 
 
(
1 2 𝑘 
1 1 1 
𝑘 1 1 
1
−1
0
) 
𝐿2 → −𝐿1 + 𝐿2 𝑒 𝐿1 → −𝑘𝐿1 + 𝐿3 
(
1 2 𝑘 
0 −1 1 − 𝑘 
0 1 − 2𝑘 1 − 𝑘2 
1
−2
−𝑘
) 
𝐿2 → (1 − 2𝑘)𝐿2 + 𝐿3 
 
(
1 2 𝑘 
0 −1 1 − 𝑘 
0 0 𝑘2 − 3𝑘 + 2 
1
−2
−2 + 3𝑘
) 
O sistema tem solução única somente se 𝑘2 − 3𝑘 + 2 ≠ 0, se k  1 e k  2. Verdadeira. 
(08) O terno ( -1, 1, -1 ) é a única solução do sistema S, para k = 0 
𝑆𝑒 𝑘 = 0, 𝑧 = −1, 𝑦 = 1 𝑒 𝑥 = −1, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎. 
(16) O sistema S é possível e indeterminado, para k = 1. 
 
Se k=1, 0z= 1, sistema impossível. Falsa. 
(32) O conjunto solução do sistema homogêneo B.X = 










0
0
0
, para k = 1, é 
{( x , 0 , -x ) x R } 
 
A matriz aumentada é: 
 
(
1 2 1 
1 1 1 
1 1 1 
0
0
0
) 
Como a segunda e terceira linha de B são iguais, eliminamos a 3ª linha, e 𝐿2 → −𝐿1 + 𝐿2. 
(
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
−𝑦 = 0
) 
Logo, é verdadeira. 
 
 
 
Resp a soma das questões corretas é 33. 
 
12) Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo. 
 
a) 
0
734
2108
154


 b) 
0
0134
015
0127


 c) 
0
241
402
531


 
 
Solução. Identificando as propriedades dos determinantes que se anulam, vem: 
a) O determinante é nulo, pois a 2ª linha é dobro da 1ª linha. 
b) O determinante é nulo, pois a 3ª coluna inteira é formada por zeros. 
c) A 3ª coluna é a soma do dobro da 1ª linha com a 2ª linha: 5 = 1 x 2 + 3; 4 = 2 x 2 + 0 e 2 = - 1 x 2 + 4.