gabarito p1 algebra

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UFRRJ - ICE - DEMAT
Nome: Matr´ıcula:
Disciplina: IC261 - A´lgebra I Turma: T01
Prof.a: Aline Data: 03/05/2017
1a Prova de A´lgebra I
1a Questa˜o: (0,5 pt cada item) Usando lo´gica matema´tica, escreva a negac¸a˜o das
seguintes proposic¸o˜es:
(a)
3
7
≥ 1 e −3 ≥ −7.
(b) ∀x ∈ R, x2 6= x.
(c) Maria gosta de bolo ou de torta.
(d) Se Joa˜o e´ pianista, enta˜o pode tocar esta mu´sica.
2a Questa˜o: (2,0 pt) Considere como verdadeiras as seguintes afirmac¸o˜es i), ii), iii) e
iv):
i) Se Pedro na˜o bebe, ele visita Ana.
ii) Se Pedro bebe, ele leˆ poesias.
iii) Se Pedro na˜o visita Ana, ele na˜o leˆ poesias.
iv) Se Pedro leˆ poesias, ele na˜o visita Ana.
Com base nas afirmac¸o˜es i), ii) e iii) e iv), determine o valor lo´gico (verdadeiro ou
falso) de cada proposic¸a˜o a seguir, justificando as suas respostas:
Proposic¸a˜o b: Pedro bebe.
Proposic¸a˜o v: Pedro visita Ana.
Proposic¸a˜o p: Pedro leˆ poesias.
3a Questa˜o: Usando Demonstrac¸a˜o Direta, prove as seguintes proposic¸o˜es:
(a) (1,0 pt) Se k e´ um nu´mero inteiro enta˜o k(k + 1) e´ um nu´mero par.
(b) (1,5 pt) Se a e´ um inteiro ı´mpar enta˜o o nu´mero a2 − 1 e´ um mu´ltiplo de 8.
4a Questa˜o: (1,5 pt) Usando Reduc¸a˜o ao Absurdo, prove a seguinte proposic¸a˜o:
Se a e b sa˜o nu´meros inteiros tais que a · b e´ ı´mpar, enta˜o a e b sa˜o nu´meros ı´mpares.
5a Questa˜o: (2,0 pt) Usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o, prove a seguinte proposic¸a˜o:
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ · · · +
1
n(n + 1)
=
n
n + 1
, ∀ n ∈ N∗.
Boa Prova!