Apostila derivadas parte 2

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Notas de Aula de Cálculo
Derivadas - Parte 2
Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal
25 de julho de 2013
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Universidade Federal do Rio Grande - FURG
NOTAS DE AULA DE CÁLCULO
Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF
Material elaborado como resultado do projeto REUNI - PROPESP No: 033128/2012
- coordenado pelas professoras Bárbara Rodriguez, Cinthya Meneghetti e Cristiana
Poffal com participação da bolsista REUNI: Elizangela Pereira.
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Sumário
1 Derivadas de Funções Reais de uma Variável - parte 2 - 2013 3
1.1 Derivadas Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Derivadas de Funções Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Derivadas de Funções Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Aplicações de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Cálculo dos Limites Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.1 Formas
0
0
e
∞
∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.2 Formas +∞−∞, −∞+∞, 0 · ∞ . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.3 Formas 1∞, 00, ∞0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Estudo de Máximos e Mínimos das Funções . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9 Concavidade e pontos de inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10 Teste para a concavidade de um gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.11 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.12 Análise geral do comportamento de uma função - construção de gráficos 35
1.13 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.14 Problemas de Otimização - Maximização e Minimização . . . . . . . . 40
1.15 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.16 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.17 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
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Capítulo 1
Derivadas de Funções Reais de uma
Variável
1.1 Derivadas Sucessivas
As derivadas sucessivas de uma função podem ser escritas como:
Primeira derivada f ′(x) y′
dy
dx
df(x)
dx
Segunda derivada f ′′(x) y′′
d2y
dx2
d2f(x)
dx2
Terceira derivada f ′′′(x) y′′′
d3y
dx3
d3f(x)
dx3
...
...
...
...
...
N-ésima derivada f (n)(x) yn
dny
dxn
dnf(x)
dxn
Exemplo 1.1.1. Calcule todas as derivadas de y = x6.
Solução:
Pode-se observar que y = x6 é um polinômio de grau 6. Calculando todas
as derivadas da função, obtém-se:
y′ = 6x5
y′′ = 30x4 = 6 · 5 · x4
y′′′ = 120x3 = 6 · 5 · 4 · x3
y(iv) = 360x2 = 6 · 5 · 4 · 3 · x2
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1.1. DERIVADAS SUCESSIVAS
y(v) = 720x = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · x
y(vi) = 720
y(vii) = 0 e a partir daqui todas as derivadas são nulas.
Exemplo 1.1.2. Calcule:
a)
d2
dx2
(
1− x
1 + x
)
b)
d500
dx500
(x131 − 3x79 + 4)
c) f ′′′(x), se f(x) = ln(x+ 1)
d) y′′, se y = ln
(
ex
ex + 1
)
e)
d2
dx2
(x · arcsen(x))
f) f ′′(x) se f(x) =
x3
1− x .
Solução:
a)
Deve-se calcular a derivada segunda da função
(
1− x
1 + x
)
. Para isso pri-
meiramente calcula-se a derivada primeira, isto é
dy
dx
.
Sabendo que v = 1 + x e que u = 1− x e aplicando (??), tem-se:
d
dx
(u
v
)
=
v · u′ − u · v′
v2
=
(1 + x) · (1− x)′ − (1− x) · (1 + x)′
(1 + x)2
d
dx
(
1− x
1 + x
)
=
−2
x2 + 2x+ 1
. (1.1.1)
Uma vez calculada a derivada primeira, pode-se reescrever
dy
dx
=
−2
(1 + x)2
e então deriva-se (1.1.1) novamente obtendo a derivada segunda, ou seja,
d2y
dx2
, sa-
bendo que v = x2 + 2x+ 1 = (x+ 1)2 e que u = 2, tem-se:
d2y
dx2
(
1− x
1 + x
)
=
(x2 + 2x+ 1) · 2′ − 2 · (x2 + 2x+ 1)′
(x2 + 2x+ 1)2
d2y
dx2
(
1− x
1 + x
)
=
4
(x2 + 2x+ 1)2
.
b)
4 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.1. DERIVADAS SUCESSIVAS
Observa-se que o grau do maior expoente da função é 131, mas 131 é
menor que 500 logo:
d500y
dx500
(x131 − 3x79 + 4) = 0. (1.1.2)
c)
Deseja-se calcular f ′′′(x), primeiramente calcula-se f ′(x), como
f(x) = ln(x+ 1) usa-se (??), onde u = x+ 1:
f ′(x) =
1
(x+ 1)
· (x+ 1)′
=
1
(x+ 1)
· 1
f ′(x) =
1
(x+ 1)
. (1.1.3)
Para o cálculo de f ′′(x), aplica-se (1.1.3) em (??), onde v = x+1 e u = 1.
f ′′(x) =
(x+ 1) · 1′ − 1 · (x+ 1)′
(x+ 1)2
f ′′(x) =
1
(x2 + 2x+ 1)
. (1.1.4)
Para o cálculo de f ′′′(x), aplica-se (1.1.4) em (??), onde v = (x + 1)2 e
u = 1.
f ′′′(x) =
(x2 + 2x+ 1) · 1′ − 1 · (x2 + 2x+ 1)′
(x2 + 2x+ 1)2
=
2
(x2 + 2x+ 1)2
.
d)
Deseja-se calcular y′′, isto é a segunda derivada. Primeiramente calcula-
se y′, como y = ln
(
ex
ex+1
)
usa-se (??), onde u =
(
ex
ex+1
)
:
y′ =
1(
ex
ex+1
) · ( ex
ex + 1
)′
(1.1.5)
y′ =
(
1
ex + 1
)
y′′ =
(
ex
e2x + 2ex + 1
)
.
e)
Deseja-se calcular a
d2
dx2
, inicialmente calcula-se a primeira derivada e
analisando e após calcula-se a segunda derivada. Calculando as derivadas obtém-se:
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1.1. DERIVADAS SUCESSIVAS
d2
dx2
(x · arcsen(x)) = −
√
1− x√x+ 1(x2 + 2
x4 − 2x2 + 1 .
f)
Deseja-se calcular f ′′(x), então primeiramente calcula-se a derivada pri-
meira, isto é f ′(x).
Sabendo que u = x3 e v = 1− x e aplicando (??), tem-se:
f ′(x) =
(1− x) · (x3)′ − x3 · (1− x)′
(1− x)2
=
(1− x) · 3x2 + x3
(1− x)2
=
3x2 − 3x3 + x3
(x2 − 2x+ 1)
f ′(x) =
(
3x2 − 2x3
x2 − 2x+ 1
)
. (1.1.6)
Uma vez calculada a derivada primeira, deriva-se (1.1.6) novamente ob-
tendo a derivada segunda, ou seja, f ′′(x), sabendo que u = 3x2 − 2x3 e que
v = (x2 − 2x+ 1), por (??), tem-se:
f ′′(x) =
(x2 − 2x+ 1) · (3x2 − 2x3)′ − (3x2 − 2x3) · (x2 − 2x+ 1)′
(x2 − 2x+ 1)2
=
(x2 − 2x+ 1) · (6x− 6x2)− (3x2 − 2x3) · (2x− 2)
(x2 − 2x+ 1)2
f ′′(x) =
( −2x3 + 6x2 − 6x
x3 − 3x2 + 3x− 1
)
. (1.1.7)
Exemplo 1.1.3. Mostre que a função y = 2sen(x) + 3 cos(x) satisfaz à equação
y′′ + y = 0.
Solução:
Inicialmente deve-se calcular y′ e y′′.
Calculando-se y′, tem-se:
y′ = 2 cos(x)− 3sen(x).
Deriva-se novamente y′ e obtém-se y′′:
y′′ = −2sen(x)− 3 cos(x).
Substituindo y′′ e y na equação y′′ + y = 0, tem-se:
y′′ + y = −2sen(x)− 3 cos(x) + 2sen(x) + 3 cos(x) = 0.
6 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.2. DERIVADAS DE FUNÇÕES PARAMÉTRICAS
Exercício 1.1.1. Determine a inclinação da reta tangente à função y = sen
(x
2
)
na
origem.
Resposta do exercício
1.1.1. m =
1
2
.
ARRUMARDERIVADAS SUCESSIVAS COMOARQUIVOQUE ESTÁ NO COM-
PUTADOR DA FURG!!!!!!!!
1.2 Derivadas de Funções Paramétricas
Função na forma paramétrica
Usualmente, as curvas no plano são definidas por funções escritas na
forma y = f(x). Entretanto, é possível definir curvas adotando um ponto de vista
dinâmico, ou seja, pensar em qualquer curva como a trajetória de um ponto móvel
e escrever as coordenadas de seus pontos em função de um parâmtero t.
Se x e y são definidas como funções x = f(t) e y = g(t) para um inter-
valo de valores de t, então o conjunto de pontos (x, y) = (f(t), g(t)) definido por
essas equações é uma curva parametrizada. As equações são chamadas de equações
paramétricas da curva.
A variável t é um parâmetro para a curva e seu domínio I é o intervalo
do parâmetro. Se I for um intervalo fechado, a ≤ t ≤ b, o ponto (f(a), g(a)) é o
ponto inicial da curva e (f(b), g(b)) é o ponto final. As equações paramétricas e o
intervalo para o parâmetro de uma curva constituem a parametrização da curva.
Derivadas de funções na forma paramétrica
Uma curva parametrizada x = f(t) e y = g(t) será derivável em t se x e
y forem deriváveis em t. Em um ponto de uma curva parametrizada derivável, onde
y também é função derivável de x, as derivadas
dy
dt
,
dx
dt
e
dy
dx
estão relacionadas pela
regra da cadeia:
dy
dt
=
dy
dx
· dx
dt
.
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1.2. DERIVADAS DE FUNÇÕES PARAMÉTRICAS
Se
dx
dt
6= 0, segue que:
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
.
As derivadas sucessivas de uma função na forma paramétrica são defini-
das por
Segunda derivada
d2y
dx2
=
d
dt
(
dy
dx
)
dx
dt
Terceira derivada
d3y
dx3
=
d2
dt2
(
dy
dx
)
dx
dt
...
...
N-ésima derivada
dny
dxn
=
dn−1
dtn−1
(
dy
dx
)
dx
dt
.
Exemplo 1.2.1. Calcule
dy
dx
para as funções escritas na forma paramétrica:
a)
 x = 2t+ 1y = 4t+ 3 , t ∈ R
b)
 x = a(t− sen(t))y = a(1− cos(t)) , 0 ≤ t ≤ 2pi
c)
 x = ln(t)y = t3 , t > 0 .
Exemplo 1.2.2. Um avião da Cruz Vermelha lança suprimentos alimentares e medi-
camentos em uma área de desastre. Se o avião lançar os suprimentos imediatamente
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1.2. DERIVADAS DE FUNÇÕES PARAMÉTRICAS
acima do limite inicial de um campo aberto de 700 metros de comprimento, e con-
siderando que a carga se desloca para frente durante a queda, segundo a função
paramétrica s(t) =
 x = 120ty = −16t2 + 500 , t ≥ 0 , sabendo que as coordenadas x e
y são medidas em metros e o parâmetro t (tempo após o lançamento), em segundos,
responda:
a) A carga cairá dentro do campo?
b) Qual é a equação cartesiana para a trajetória da carga lançada e a taxa de
queda da carga em relação ao seu movimento para diante quando ela atinge o
solo?
Solução:
a) A carga atinge o solo quando y = 0, ou seja, quando y = −16t2 + 500 = 0.
Logo, t =
5
√
5
2
s.
A abscissa no instante do lançamento é x = 0. Quando a carga atinge o solo
x = 120 ·
(
5
√
2
2
)
= 300
√
5 m ∼= 670, 8 m< 700 m.
Logo, a carga cai dentro do campo.
b) A equação cartesiana será obtida através da substituição de t por t =
x
120
na
equação de y.
Isto é, y = −16
( x
120
)2
= − x
2
900
+ 500.
A taxa de queda em relação ao seu movimento para frente será dado por
dy
dx
.
O cálculo pode ser realizado de duas maneiras:
1.
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
= − 32t
120
= − 4
15
t.
2.
dy
dx
=
d
dx
(
− x
2
900
+ 500
)
= − 1
450
x.
9 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.3. DERIVADAS DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS
A taxa de queda da carga em relação ao seu movimento para frente no
instante em que a carga atinge o solo (x = 300
√
5 m ou t =
5
√
5
2
s) é:
dy
dt
∣∣∣
t= 5
√
5
2
= − 4
15
· 5
√
5
2
= −2
3
√
5
∼= −1, 59 m/s .
Logo, a taxa de queda da carga em relação ao seu movimento para frente
é de aproximadamente -1,59 m/s.
Exercício 1.2.1. Calcule a derivada que se pede para as funções escritas na forma
paramétrica:
a)
dy
dx
,
 x = 3t− 1y = 9t2 − 6t , t ∈ R
b)
dy
dx
,

x =
3at
1 + t2
y =
3at2
1 + t
, t > 0
c)
d2y
dx2
,
 x = et cos(t)y = etsen(t) , t ∈ [0, 2pi] .
Respostas do exercício
1.2.1.
a)
dy
dx
= 6t− 2
b)
dy
dx
=
t(t+ 2) · (1 + t2)2
(1 + t)2 · (1− t2)
c)
d2y
dx2
=
2e−t
[cos(t)− sen(t)]3 .
1.3 Derivadas de Funções Implícitas
Função na forma implícita
A maioria das funções utilizadas até o momento foram descritas na forma
y = f(x), que expressa y explicitamente em termos da variável x. Na seção anterior,
10 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.3. DERIVADAS DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS
estudaram-se as curvas definidas parametricamente por equações. Uma terceira
situação ocorre quando encontram-se equações do tipo F (x, y) = 0, por exemplo,
x2 + y2 − 25 = 0, y + ey − x − 2 = 0 e y2 − x2 = 0. Tais equações definem uma
relação implícita entre as variáveis x e y.
Derivada de uma função na forma implícita
Quando não é possível escrever uma equação do tipo F (x, y) = 0 na forma
y = f(x) para derivá-la de maneira usual, pode-se determinar
dy
dx
por intermédio do
processo de derivação chamado derivação implícita.
O processo de derivação implícita consiste:
1. Derivar os dois membros da equação em relação a x, considerando y como uma
função dependente de x.
2. Agrupar os termos que contém
dy
dx
em um membro da equação.
3. Determinar
dy
dx
.
Exemplo 1.3.1. Derivando implicitamente, determine
dy
dx
se y2 = x.
Solução:
Derivando y2 = x implicitamente em relação a x, obtém-se:
2y
dy
dx
= 1. (1.3.1)
Isolando
dy
dx
em (1.3.1), tem-se:
dy
dx
=
1
2y
.
Como y = ±√x, então: dy
dx
=
1
2
√
x
ou
dy
dx
= − 1
2
√
x
.
Observação 1.3.1. Para derivar uma função na forma implícita, basta lembrar que
y é uma função de x e aplicar a regra da cadeia.
Exemplo 1.3.2. Derivando implicitamente, determine as derivadas das funções:
a)
dy
dx
, x2 + y2 − 25 = 0
b)
d2y
dx2
, x3 + y3 − 3axy = 0
11 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.4. LISTA DE EXERCÍCIOS
c)
dy
dx
, xy = yx.
Exercício 1.3.1. Derivando implicitamente, determine as derivadas das funções:
a)
d2y
dx2
, b2 + y2 − 2xy = 0
b)
dy
dx
, (x+ y)2 − (x− y)2 = x4 + y4.
Exercício 1.3.2. Determine os coeficientes angulares das retas tangente e normal
à curva x3 + y3 − xy − 7 = 0 no ponto A(1, 2).
Exercício 1.3.3. Escreva a equação da reta tangente ao gráfico das funções implí-
citas definidas por:
a) Folium Descartes: x3 + y3 = 6xy no ponto (3, 3).
b) Lemniscata de Bernoulli: 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2) no ponto (3, 1).
Respostas dos exercícios
1.3.1.
a) y′′ =
y2 − 2yx
(y − x)3
b)
dy
dx
=
x3 − y
x− y3 .
1.3.2. mtg = − 1
11
, mn = 11
1.3.3.
a) x+ y − 6 = 0
b) 13y + 9x− 40.
1.4 Lista de Exercícios
1. Calcule a derivada que se pede das funções paramétricas:
a)
dy
dx
,
 x = et cos(t)y = etsen(t) , t ∈ [0, 2pi]
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1.4. LISTA DE EXERCÍCIOS
b)
dy
dx
,
 x = t ln(t)y = ln(t)
t
, t > 0
2. Determine a derivada que se pede das funções implícitas:
a)
dy
dx
, y3 =
x− y
x+ y
b)
d2y
dx2
, y2 = 4px.
3. Obtenha a derivada de ordem indicada de cada função:
a)
d3y
dx3
, y = eax
b) f ′′(x), f(x) = (1 + x2)arctg(x)
c) y′′, y =
sen(2x)
x+ 1
.
4. Verifique se a função y =
1
1 + x+ ln(x)
satisfaz à equação xy′ = y[ln(x)− 1].
5. Numa granja experimental constatou-se que a massa de uma ave em desenvol-
vimento, em gramas,é dada pela funçãoM(t) =
 20 + 12(t+ 4)2, 0 ≤ t ≤ 6024, 4t+ 604, 60 ≤ t ≤ 90 ,
onde t é medido em dias. Responda:
a) Qual é a razão de aumento de massa da ave quando t = 50?
b) Quanto a massa da ave aumentará no 51◦ dia?
c) Qual é a razão de aumento de massa da ave quando t = 80?
6. Suponha que f(1) = 1, f ′(1) = 3, f ′′(1) = 6 e que f ′′′(x) = 0, para todo x,
prove que f(x) = 3x2 − 3x+ 1.
7. Se f(x) = x3 − 2x2 − x, para que valores de x, f ′(x) = f ′′(x)?
8. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função implícita definita
por:
y2 = x2(x+ 2),
no ponto
(
1
2
,
√
3
2
√
2
)
.
Respostas dos exercícios
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1.5. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
1.
a)
dy
dx
=
sen(t) + cos(t)
cos(t)− sen(t)
b)
dy
dx
=
1− ln(t)
t2 · [1 + ln(t)]
2.
a)
dy
dx
=
1− y3
3xy2 + 4y3 + 1
b)
d2y
dx2
=
−4p2
y3
3.
a)
d3y
dx3
= a3eax
b) f ′′(x) =
2x
1 + x2
+ 2arctg(x)
c) y′′ =
(−4x2 − 8x− 2) · sen(2x)− 4(x+ 1) cos(2x)
(x+ 1)3
5. a)54 b)1 c)24, 4
7. x = 3 ou x =
1
3
8. 4
√
6 + 10x− 1 = 0.
1.5 Aplicações de Derivadas
Nesta seção, são exploradas algumas propriedades das funções deriváveis,
bem como as aplicações de derivada.
1. Teorema de Rolle (Michel Rolle: 1652− 1719)
Se f(x) é uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e é diferenciável
no intervalo aberto (a, b), se f(a) = f(b), então existe pelo menos um número c em
(a, b) tal que f ′(c) = 0.
Demonstração:
Sejam f(a) = d = f(b), existem três possibilidades para f(x):
Caso 1: Se f(x) = d para todo x em [a, b], então f é constante no intervalo, e, pela
regra de derivação de constante f ′(x) = 0 para todo x em (a, b).
14 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.5. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Caso 2: Se f(x) > d para algum x em (a, b), então pelo Teorema de Weierstrass1,
f atinge um máximo em algum c no intervalo. Além disso, como f(c) > d, esse
máximo não é atingido nos extremos do intervalo. Portanto, f tem um máximo no
intervalo aberto (a, b), o que implica que f(c) é um máximo relativo. Como f é
diferenciável em c, então f ′(c) = 0.
Caso 3: Se f(x) < d para algum x em (a, b), então pelo Teorema de Weierstrass, f
atinge um mínimo em algum c no intervalo. Além disso, como f(c) < d, esse mínimo
não é atingido no extremo do intervalo. Portanto, f tem um mínimo no intervalo
aberto (a, b), o que implica que f(c) é um mínimo relativo. Como f é diferenciável
em c, então f ′(c) = 0.
Exemplo 1.5.1. Considere a função f(x) = x2 − 3x+ 2.
a) Determine os pontos de intersecção da função f(x) com o eixo x.
b) Mostre que f ′(x) = 0 em algum ponto entre suas intersecções.
2. Teorema do Valor Médio ou Teorema de Lagrange
Se f(x) é uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e é diferenciável
no intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um número c em (a, b) com a <
c < b, tal que:
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a .
Demonstração:
Observando a Figura 1.1, a reta secante contendo os pontos (a, f(a)) e
(b, f(b)) pode ser escrita como,
y =
[
f(b)− f(a)
b− a
]
(x− a) + f(a).
Seja g(x) a diferença entre f(x) e y. Então, g(x) = f(x)− y, isto é,
g(x) = f(x)−
[
f(b)− f(a)
b− a
]
(x− a)− f(a).
1O Teorema de Weierstrass afirma que qualquer função contínua num intervalo [a, b] em R é
limitada e que, além disso, tem um máximo e um mínimo.
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1.5. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Figura 1.1: Representação das retas tangentes e secante à f(x).
Calculando g(a) e g(b), observa-se que g(a) = g(b) = 0. Além disso, como
f(x) é diferenciável, pode-se aplicar o Teorema de Rolle à função g(x). Portanto,
existe um número c em (a, b) tal que g′(x) = 0. Isto significa que:
g′(c) = f ′(c)−
[
f(b)− f(a)
b− a
]
= 0.
Logo, existe um número c em (a, b) tal que f ′(c) =
[
f(b)− f(a)
b− a
]
.
Observação 1.5.1. O Teorema do Valor Médio é mais utilizado para provar outros
teoremas do que na resolução de problemas. Ele foi demonstrado por Joseph-Louis
Lagrange (1736 - 1813).
Exemplo 1.5.2. Dois carros da polícia rodoviária equipados com radar estão esta-
cionados a 6 km um do outro em um trecho retilíneo de uma estrada. Quandoum
caminhão passa pelo primeiro carro, o radar marca sua velocidade como sendo de
75 km/h. Quatro minutos depois, o caminhão passa pelo segundo carro a 80 km/h.
Prove que o caminhão tem que ter excedido a velocidade limite (de 80 km/h) em
algum instante dos quatro minutos.
Solução:
Pelo teorema do valor médio, se f(x) é uma função contínua no intervalo
fechado [a, b] e é diferenciável no intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um
número c em (a, b) com a < c < b, tal que f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a .
No problema, a velocidade é uma função contínua, então pelo teorema
do valor médio:
f ′(c) =
6− 0
4
60
− 0
= 90 km/h.
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1.5. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Isso significa que em algum ponto do percurso de 4 minutos o caminhão
andou a 90 km/h, ou seja, excedeu a velocidade limite de 80 km/h.
Exemplo 1.5.3. Seja a função definida por f(x) = x3+2x2+1. Por cálculo direto,
determine um número c entre 0 e 3 tal que a tangente ao gráfico de f no ponto
A(c, f(c)) seja paralela à reta secante entre os dois pontos B(0, f(0)) e (3, f(3)).
Solução:
Para determinar o coeficiente angular da reta tangente, calcula-se mtg =
f ′(c), logo:
mtg =
f(3)− f(0)
3− 0
=
46− 1
3
mtg = 15. (1.5.1)
Por outro lado,
f ′(x) = 3x2 + 4x
f ′(c) = 3c2 + 4c. (1.5.2)
Igualando (1.5.1) com (1.5.2), tem-se:
3c2 + 4c = 15,
então:
3c2 + 4c− 15 = 0.
As raízes desta equação do 2o grau são c′ = 5
3
e c′′ = −3. Visto que c
deve pertencer ao intervalo (0, 3), então rejeita-se a solução c = −3. Portanto, o
número desejado é
5
3
.
Exercício 1.5.1. Em que ponto da curva y = ln(x) a reta tangente é paralela à
corda que une os pontos A(1, 0) e B(e, 1)?
Exercício 1.5.2. Seja a função definida por f(x) =
x2
6
.
a) Verifique a hipótese do teorema do valor médio para a função f no intervalo
[2,6].
b) Determine um valor para c no intervalo (2,6) tal que f ′(c) =
f(6)− f(2)
6− 2 .
17 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.5. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
c) Interprete geometricamente o resultado do item (b) e ilustre-o graficamente.
Resposta dos exercícios
1.5.1. P (e− 1, ln(e− 1)).
1.5.2. b) c = 4.
3. Teorema de Cauchy
Se as funções f(x) e g(x):
a) são contínuas no intervalo [a, b],
b) são deriváveis no intervalo (a, b),
c) g′(x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b),
então existe pelo menos um ponto c ∈ (a, b), a < c < b, tal que:
f(b)− f(a)
b− a =
f ′(c)
g′(c)
, a < c < b.
Demonstração:
Seja Q definida como
Q =
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) ,
onde g(b)− g(a) 6= 0. Construindo uma função F (x),
F (x) = f(x)− f(a)−Q[g(x)− g(a)].
Dessa construção, tem-se que F (a) = 0 e F (b) = 0. Consequentemente,
F (x) satisfaz às condições do Teorema de Rolle. Então, existe um ponto x = c, onde
F (c) = 0. Mas,
F ′(x) = f ′(x)−Qg′(x).
Então
F ′(c) = f ′(c)−Qg′(c) = 0,
logo,
Q =
f ′(c)
g′(c)
.
Substituindo Q pela sua definição, tem-se:
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) =
f ′(c)
g′(c)
.
18 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.6. CÁLCULO DOS LIMITES INDETERMINADOS
4. Teorema de L’Hospital
Sejam f(x) e g(x) funções diferenciáveis em um intervalo aberto (a, b)
contendo x0, com a possível exceção de x0, se lim
x→x0
f(x)
g(x)
produz uma fórmula inde-
terminada
0
0
ou
∞
∞ , então para g
′(x0) 6= 0,
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f ′(x)
g′(x)
=
f ′(x0)
g′(x0)
,
desde que o limite à direita exista (ou seja infinito).
Demonstração:
Supondo que f(x0) = g(x0) = 0, então:
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f(x)
x− x0
g(x)
x− x0
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
g(x)− g(x0)
x− x0
lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
f ′(x)
g′(x)
. (1.5.3)
Observação 1.5.2. O Teorema de L’Hospital também vale para no caso de um
limite quando x→ x+0 , x→ x−0 , x→ +∞ ou x→ −∞.
1.6 Cálculo dos Limites Indeterminados
1.6.1 Formas
0
0
e
∞
∞
Derivam-se o numerador e o denominador separadamente, conforme o
Teorema de L’Hospital.
Exemplo 1.6.1. Calcule os limites utilizando a regra de L’Hospital.
a) lim
x→0
tg(x)− x
x− sen(x)
b) lim
y→0
1− cos(y)− y2
2
y4
c) lim
x→2
ex−2 − e2−x
sen(x− 2)19 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.6. CÁLCULO DOS LIMITES INDETERMINADOS
d) lim
x→0
ax − bx
x
e) lim
x→0
ln[sen(x)]
ln[tg(x)]
f) lim
x→+∞
ln(x)
x
.
1.6.2 Formas +∞−∞, −∞+∞, 0 · ∞
Por artifícios algébricos, procura-se chegar às indeterminações
0
0
ou
∞
∞ .
Exemplo 1.6.2. Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de L’Hospital.
a) lim
x→1
[
x
x− 1 −
1
ln(x)
]
b) lim
x→1
[
(1− x)tg
(pix
2
)]
c) lim
x→0
[xn ln(x)].
1.6.3 Formas 1∞, 00, ∞0
Assume-se lim
x→a
[f(x)]g(x). Para calcular os limites envolvendo estes tipos
de indeterminações seguem-se os seguintes passos:
a) Define-se y = [f(x)]g(x).
b) Logaritimiza-se: ln(y) = g(x) ln[f(x)].
c) Aplica-se o limite em ln(y) e calcula-se o seu valor.
d) Aplica-se a operação de inversão: y = e
lim
x→a
ln(y)
.
Exemplo 1.6.3. Utilizando a regra de L’Hospital, calcule os limites:
a) lim
x→+∞
(
1 +
a
x
)x
b) lim
x→0
xsen(x)
c) lim
x→+∞
(3x+ 9)
1
x .
20 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.6. CÁLCULO DOS LIMITES INDETERMINADOS
Solução:
a)
Define-se y =
(
1 +
a
x
)x
.
Aplica-se ln(y).
ln(y) = ln
[(
1 +
a
x
)x]
ln(y) = x ln
(
1 +
a
x
)
. (1.6.1)
Calcula-se o limite em (1.6.1).
lim
x→+∞
x ln
(
1 +
a
x
)
= lim
x→+∞
ln
(
1 + a
x
)
1
x
= lim
x→+∞
1
(1+ ax)
· − a
x2
− 1
x2
lim
x→+∞
x ln
(
1 +
a
x
)
= a. (1.6.2)
Aplica-se a operação inversa em (1.6.2).
lim
x→+∞
(
1 +
a
x
)x
= ea.
ATENÇÃO!!!
NÃO são indeterminações:
a)
0
∞ = 0 ·
1
∞ = 0 · 0 = 0
b)
∞
0
=
1
0
· ∞ =∞ ·∞ =∞
c) 0∞ → ln(0)∞ =∞ · ln(0) =∞ · (−∞) = −∞
d) ∞+∞ =∞
21 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.7. LISTA DE EXERCÍCIOS
1.7 Lista de Exercícios
1. Usando a regra de L’Hospital, calcule os limites:
a) lim
x→1
x5 − 6x3 + 8x+ 5
x4 − 1 b) limx→+∞
ex
x
c) lim
x→0
[cotg(x)]
1
ln(x)
d) lim
x→0
[sen(x) + cos(x)]
1
x e) lim
x→1
(x)
1
1− x f) lim
x→1
ln(x2 + x+ 1)
ln(x2 + 2x+ 1)
g) lim
x→0
tg(3x)
sen(2x)
h) lim
x→+∞
ln(x)
e3x
i) lim
x→+∞
3x2 − 2x+ 1
2x2 + 3
j) lim
x→0
ex − (1 + x)
x
k) lim
x→2
ex
2−4 − 1
x
l) lim
x→0
[
1
x2 + x
− 1
x
]
m) lim
x→0
etg(2x) − 1
sen(5x)
n) lim
x→0
x · cotg(2x) o) lim
x→1
ln
(
x+ 1
x
)
ln
(
x− 1
x
)
p) lim
x→0
2− x2 − 2 cos(x)
x4
q) lim
x→0
x− ln(x+ 1)
1− cos(2x) r) limx→0
x− tg(x)
sen(x)− x.
2. Considere a função f(x) =
x2 − 4
x2
.
a) Calcule f(−2) e f(2).
b) O Teorema de Rolle pode ser aplicado a esta função no intervalo [−2, 2]?
Explique.
3. Determine se o Teorema de Rolle pode ser aplicado no intervalo [−1, 3] à função
f(x) = (x− 3)(x+ 2)2. Em caso afirmativo, determine todos valores de c tais
que f ′(c) = 0.
4. Considere a função f(x) =
√
x− 2, se possível aplique o teorema do valor mé-
dio para determinar todos os valores de c em [2, 6] tais que f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a ,
onde a = 2 e b = 6.
22 Notas de aula de cálculo - FURG
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1.8. ESTUDO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DAS FUNÇÕES
5. Resolva:
a) Analise o seguinte cálculo e mostre o erro existente:
lim
x→1
x3 − x2 + x− 1
x3 − x2 = limx→1
3x2 − 2x+ 1
3x2 − 2x = limx→1
6x− 2
6x− 2 = 1.
b) Determine a resposta correta.
6. Resolva:
a) Explique por que a regra de L’Hospital não se aplica ao problema lim
x→0
x2sen( 1
x
)
sen(x)
.
b) Calcule o limite do item a).
c) Determine o limite: lim
x→0
xsen( 1
x
)
sen(x)
, se ele existir.
Respostas dos exercícios
1.
a)− 5
4
b)+∞ c)e−1 d)e e)− 1 f) ln(3)
ln(4)
g)
3
2
h)0 i)
3
2
j)0 k)4 l)− 1 m)2
5
n)
1
2
o)0 p)− 1
12
q)
1
4
r)2.
2. f(−2) = f(2) = 0
3. c = −1 ou c = 5
3
4. c = 3
5. b) 2
6. b) 1 c) @.
1.8 Estudo de Máximos e Mínimos das Funções
Definições
Definição 1.8.1. Uma função f(x) é dita monótona quando ela não muda de
comportamento em relação ao crescimento, ou seja, se ela é crescente em todo seu
domínio (ou estritamente crescente) ou se ela é decrescente em todo seu domínio
(ou estritamente decrescente).
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1.8. ESTUDO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DAS FUNÇÕES
Definição 1.8.2. Diz-se que f(x) é uma função crescente no seu domínio se e
somente se:
x1 < x2 ⇒ f(x1) 6 f(x2), ∀x1, x2 ∈ D(f).
Definição 1.8.3. Diz-se que f(x) é estritamente crescente no seu domínio, se e
somente se:
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2),∀x1, x2 ∈ D(f).
Definição 1.8.4. Diz-se que f(x) é decrescente no seu domínio, se e somente se:
x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2), ∀x1, x2 ∈ D(f).
Definição 1.8.5. Diz-se que f(x) é estritamente decrescente no seu domínio, se
e somente se:
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2),∀x1, x2 ∈ D(f).
Observe a Figura 1.2. Nos intervalos onde a função é crescente, a derivada
de f(x) é positiva, isto é f ′(x) > 0, já nos intervalos onde a função é decrescente,
a derivada de f(x) é negativa, ou seja, f ′(x) < 0. Quando a função é constante, a
derivada de f(x) é nula, f ′(x) = 0.
Figura 1.2: Intervalos de crescimento e decrescimento da função
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1.8. ESTUDO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DAS FUNÇÕES
Através da análise geométrica do sinal da derivada é possível determinar
os intervalos onde uma função derivável é crescente ou decrescente.
Teste para determinar intervalos de crescimento e decrescimento de uma
função (sinal da 1a derivada)
Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a, b] e derivável no intervalo
(a, b).
(i) Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é crescente em [a, b].
(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é decrescente em [a, b].
Exemplo 1.8.1. Determine os intervalos para os quais a função é crescente ou
decrescente.
a) f(x) = x2 − 4x+ 3
b) f(x) = x3 + 3.
a)
Solução:
Calcula-se a derivada de f(x), ou seja, f ′(x) = 2x− 4.
O gráfico de f(x) é representado pela Figura 1.3.
Figura 1.3: Gráfico de f(x).
Pela análise do sinal da f ′(x), é representado pela Figura 1.4. ou seja,
f ′(x) > 0, quando x > 2.
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1.8. ESTUDO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DAS FUNÇÕES
Figura 1.4: Análise do sinal da f ′(x).
f ′(x) < 0, quando x < 2.
Sendo assim conforme a Figura 1.4, a função é crescente no intervalo
(2,+∞) e decrescente no intervalo (−∞, 2).
b)
Solução:
Por meio do cálculo da derivada de f(x), tem-se f ′(x) = 3x2.
O gráfico de f(x) é representado pela Figura 1.5.:
Figura 1.5: Gráfico de f(x).
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1.8. ESTUDO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DAS FUNÇÕES
Pela análise da Figura 1.6 percebe-se que 3x2 é sempre maior que zero,
desse modo a função é sempre crescente.
Figura 1.6: Gráfico de f ′(x).
Exemplo 1.8.2. Analise os intervalos de crescimento e decrescimento de cada uma
das funções:
a) y =
x2
x− 3
b) y = |x2 − 3x+ 2|.
Extremos de uma função (Máximos e Mínimos)
A Figura 1.7 apresenta o gráfico de uma função, onde os pontos de abs-
cissas x1, x2, x3 e x4 estão assinalados.
Figura 1.7: Máximos e Mínimos
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1.8. ESTUDO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DAS FUNÇÕES
Esses pontos são chamados pontos extremos da função. Os valores f(x1)
e f(x3) são chamados máximos relativos e f(x2) e f(x4) são chamados mínimos
relativos.
Extremos locais ou relativos:
Os pontos de máximo ou mínimo de uma função são chamados de pontos
de extremo. Geometricamente, um determinado valor de x é identificado como
ponto de máximo relativo se nele ocorre um pico. Analogamente, um valor de
x é identificado como ponto de mínimo relativo se nele ocorre uma depressão.
Pode-se formalizar as definições.
Definição 1.8.6. Uma função f(x) tem um máximo relativo ou máximo local
em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) ≥ f(x) para todo
x ∈ I ∩D(f). Neste caso representa-se por: PML(c, f(c)).
Definição 1.8.7. Uma função f(x) tem um mínimo relativo ou mínimo local
em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) 6 f(x) para todo
x ∈ I ∩D(f). Neste caso representa-se por: PmL(c, f(c)).
Definição 1.8.8. Diz-se que um ponto (c, f(c)) é um ponto crítico para a função
f quando f é definida em c e f ′(c) = 0 ou f ′(c) = +∞, ou não existe f ′(c).
Condição necessária para extremos relativos
Se a função f possui um extremo relativo em um ponto c, então c é um
ponto crítico para f .
Na prática:
• Todo ponto de máximo ou mínimo relativo é um ponto crítico,
no entanto,
• nem todo ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo relativo.
É interessante verificar que uma função definida num intervalo pode ad-
mitir diversos pontos extremos relativos. O maior valor da função num intervalo é
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1.8. ESTUDO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DAS FUNÇÕES
chamado máximo absoluto da função neste intervalo. Analogamente, o menor valor
é chamado mínimo absoluto.
Para analisar o máximo e o mínimo absoluto de uma função quando o
intervalo não for especificado usam-se as definições que seguem:
Extremos Absolutos
Definição 1.8.9. Diz-se que f(c) é o máximo absoluto da função f , se c ∈ D(f)
e f(c) ≥ f(x) para todos os valores de x no domínio da f . Neste caso representa-se
por: PMA(c, f(c)).
Definição 1.8.10. Diz-se que f(c) é o mínimo absoluto da função f , se c ∈ D(f)
e f(c) 6 f(x) para todos os valores de x no domínio da f . Neste caso representa-se
por: PmA(c, f(c)).
Na Figura 1.8, o ponto (x3, f(x3)) é chamado de máximo absoluto e o
ponto (x2, f(x2)) é chamado de mínimo absoluto.
Critérios para determinação de extremos relativos ou locais
1o critério: Teste da Derivada Primeira para determinação de extremos relativos
Seja f(x) uma função contínua num intervalo fechado [a, b] que possui
derivada em todo o ponto do intervalo (a, b), exceto possivelmente num ponto c.
(i) Se f ′(x) > 0 para todo x < c e f ′(x) < 0 para todo x > c, então f tem um
máximo relativo em c.
(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x < c e f ′(x) > 0 para todo x > c, então f tem um
mínimo relativo em c.
Observação 1.8.1. Se f ′(x) à esquerda de c tiver o mesmo sinal da derivada à
direita, então não há pontos de máximo nem de mínimo, isto pode ser observado na
Figura 1.9.
Procedimentos para aplicação do teste da derivada primeira
1. Calcular as abscissas dos pontos críticos de f(x), fazendo f ′(x) = 0.
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1.8. ESTUDO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DAS FUNÇÕES
Figura 1.8: Pontos máximos e mínimos
Figura 1.9: Sinais da derivada
2. Localizar as abscissas dos pontos críticos no eixo x, estabelecendo deste modo
um número de intervalos.
3. Determinar o sinal de f ′(x) em cada intervalo.
4. Fazer x crescer passando por cada valor crítico x = c.
a) f(x) possui valor máximo se f ′(x) mudar de sinal passando de positivo para
negativo.
b) f(x) possui valor mínimo se f ′(x) mudar de sinal passando de negativo para
positivo.
c) f(x) não possui um valor máximo, nem um valor mínimo em x = c se f ′(x)
não mudar de sinal.
Exemplo 1.8.3. Localize os extremos relativos da função f(x) = 3x
5
3 − 15x 23 e
determine se são pontos de máximo ou mínimo.
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1.8. ESTUDO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DAS FUNÇÕES
2o critério: Teste da Derivada Segunda para determinação de extremos relativos
Seja f uma função derivável num intervalo (a, b) e c um ponto crítico de
f neste intervalo, isto é, f ′(c) = 0, com a < c < b. Se f admite derivada segunda
em (a, b), tem-se:
(i) Se f ′′(c) < 0 , f tem um valor máximo relativo em (c, f(c)).
(ii) Se f ′′(c) > 0, f tem um valor mínimo relativo em (c, f(c)).
(iii) Se f ′′(c) = 0, então o teste é inconclusivo.
Figura 1.10: Teste da segunda derivada
Desse modo:
• Para o intervalo onde f ′′(x) > 0 e existe um ponto crítico, este ponto é de
mínimo.
• Para o intervalo onde f ′′(x) < 0 e existe um ponto crítico, este ponto é de
máximo.
Exemplo 1.8.4. Utilize o teste da derivada segunda para determinar se os pontos
críticos são de máximo ou de mínimo relativo.
Observação 1.8.2. O critério falha:
1◦) Quando o ponto que anula a 1a derivada também anula a 2a derivada;
2◦) Para pontos onde a 1a derivada é infinita e para pontos onde a 1a derivada
não existe.
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1.9. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO
Exemplo 1.8.5. Determine os extremos locais das funções abaixo, se existirem:
a) y = x4 − 2x2
b) y = 4− x4.
Procedimentos para aplicação do teste da derivada segunda
1. Determine os pontos críticos de f(x), fazendo f ′(x) = 0;
2. Para um ponto crítico (c, f(c)):
a) f(x) possui valor máximo se f ′′(c) < 0.
b) f(x) possui valor mínimo se f ′′(c) > 0.
O teste falha se f ′′(c) = 0 ou torna-se infinita. Neste caso, o teste da
derivada primeira deve ser utilizado. Se f ′′′(c) 6= 0, o ponto (c, f(c)) não é extremo
da função.
1.9 Concavidade e pontos de inflexão
O conceito de concavidade é muito útil no esboço do gráfico de uma
função.
Definição 1.9.1. Uma função f é dita côncava para cima no intervalo (a, b), se
f ′(x) é crescente neste intervalo.
Definição 1.9.2. Uma função f é dita côncava para baixo no intervalo (a, b), se
f ′(x) é decrescente neste intervalo.
Reconhecer os intervalos onde uma curva tem concavidade voltada para
cima ou para baixo auxilia no traçado do gráfico. Faz-se isso pela análise do sinal
da derivada segunda f ′′(x).
1.10 Teste para a concavidade de um gráfico
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável até 2a ordem
no intervalo (a, b).
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1.11. LISTA DE EXERCÍCIOS
a) Se f ′′(x) > 0, o gráfico de f(x) tem concavidade voltada para cima em (a, b).
b) Se f ′′(x) < 0 , o gráfico de f(x) tem concavidade voltada para baixo em (a, b).
Definição 1.10.1. Um ponto P (c, f(c)) do gráfico de uma função contínua f é
chamado ponto de inflexão, se existe um intervalo (a, b) contendo c, tal que uma
das seguintes situações ocorra:
(i) f é côncava para cima em (a, c) e côncava para baixo em (c, b).
(ii) f é côncava para baixo em (a, c) e côncava para cima em (c, b).
Pode-se ainda afirmar que o ponto P (c, f(c)) é dito ponto de inflexão do
gráfico da função f(x), se neste ponto da curva o gráfico da f(x) troca de concavi-
dade.
Derivada crescente→ variação da derivada maior que zero → f ′′(x) > 0.
Derivada decrescente→ variação da derivada menor que zero → f ′′(x) < 0.
Pontos de inflexão→ pontos em que f ′′(x) = 0.
Figura 1.11: Ponto