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1 – Função de Várias Variáveis 1.1 – Introdução Como no Cálculo de uma variável, neste capítulo estudaremos uma das noções centrais da Matemática, o conceito de função. Uma função de várias variáveis reais é uma regra que descreve como uma quantidade é determinada por outras quantidades, de maneira única. Através das funções de várias variáveis poderemos modelar uma grande quantidade de fenômenos dos mais diversos ramos da Ciência. Vejamos alguns exemplos: ✓ A área total A de um cilindro circular reto é função do raio r de sua base e da altura h: .22),( 2 rhrhrA Logo, um cilindro de altura h = 5 cm e raio r = 11 cm, tem área 2(11,5) 352 .A cm ✓ O índice de massa corporal humano (IMC) é função do peso P e da altura A de uma pessoa: .),( 2A P APIMC O IMC indica se uma pessoa está acima ou abaixo do peso ideal, segundo a seguinte tabela da OMS (Organização Mundial da Saúde): Condição IMC Abaixo do peso IMC < 18,5 Normal 18,5 ≤ IMC < 25 Acima do peso 25 ≤ IMC < 30 Obeso IMC ≥ 30 Desta forma, se uma pessoa pesa P = 98 kg e mede A = 1.65 m, seu IMC será (98,1.65) 35,9,IMC logo segundo a tabela esta pessoa está obesa. 1.2 – Definição Uma função real f de n variáveis reais é uma relação que a cada termo ordenado 1 2, ,..., nx x x de números reais de um determinado conjunto A, associa um único número real 1 2, ,..., nw f x x x : : nf A Chamamos 1 2, ,..., nw f x x x de variável dependente e nos referimos a 1 2, ,..., nx x x por variáveis independentes. NOTA: Geralmente, uma função 2 1 2: , , ,f A w f x x é representada na forma , .z f x y E para uma função 3 1 2 3: , , , ,f A w f x x x é representada na forma , , .z f x y z 1.3 – Gráfico de uma Função de Várias Variáveis Já vimos em Cálculo Básico que para as funções de uma variável, y = f(x), o gráfico é no plano R². Para funções de 2 variáveis, z = f(x, y), o gráfico é em R³. Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R³. E desta forma, traçar o gráfico de uma função, a menos que tenhamos um computador com um bom programa gráfico, não é uma das tarefas mais fáceis. O Mapa de Contorno ou Curva de Nível é uma forma bastante simples de se obter uma representação de uma superfície usando apenas duas dimensões. Suponha que uma superfície z = f(x, y) seja interceptada por planos paralelos a xy, ou seja, planos cortantes em z = k. A curva formada pela intersecção deste plano com a superfície é chamada de curva de contorno, linha de contorno ou isolinha. Todos os pontos (x, y, z) de uma linha de contorno possuem a mesma coordenada z ou cota (z = k). A equação da curva de contorno ao longo da qual a função f assume o valor constante e igual a k é dada por: ( , )f x y k Como a curva de contorno está em um plano paralelo ao plano xy ela pode ser representada por sua projeção no plano xy. Desenhando certo número de linhas de contorno da função f, cada qual indicada pelo valor da cota k a ela associada, obtém-se um mapa de contorno da função f. Figura 1: Gráfico e curva de nível da função 2 2( , ) 1 4 y f x y x Esta técnica é muito utilizada em cartografia para se ver o mapa topográfico de uma região e ver a variação de altitude de um terreno. E no caso de z = f(x, y) representar uma grandeza física, as curvas de contorno recebem denominações específicas. 2 – Derivadas Parciais 2.1 – Definição As derivadas de funções de várias variáveis, também chamada de derivadas parciais podem ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas válidas para as funções ordinárias (funções de uma variável), para isso basta tomar uma das variáveis, temporariamente constante. Assim, seja a função ( , , ),f x y z mantendo y e z constantes, a derivada parcial da função em relação à variável x será: 0 lim x x f f f x x Mantendo agora, x e z constantes, a derivada parcial da função em relação à variável y será: 0 lim y y f f f y y E analogamente, mantendo x e y constantes, a derivada parcial da função em relação à variável z será: 0 lim z z f f f z z 2.2 – Derivadas Parciais Sucessivas Uma função f(x,y) que admita derivadas parciais fx(x,y) e fy(x,y) em um ponto genérico (x,y) estabelece duas novas funções em x,y que poderão ser derivadas novamente, estabelecendo as chamadas derivadas parciais de segunda ordem, e assim sucessivamente até uma derivada parcial de ordem “11”. ➢ Derivadas parciais de segunda ordem 2 2 varxx f f f iável x x x x e 2 2 varyy f f f iável y y y y ➢ Derivadas parciais de ordem mesclada 2 xy f f f x y x y e 2 yx f f f y x y x Nota: O símbolo " " é chamado de de’rom e será sempre utilizado quando formos calcular uma derivada parcial. NOTA: No caso fxy = fyx, esse resultado pode ser generalizado pelo Teorema de Schwartz: Se a função fx(x,y) e fy(x,y) são contínuas em um ponto (x0, y0) então fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0). 2.3 – Aplicação das Derivadas Parciais Sucessivas As Equações de segunda ordem são utilizadas para descrever vários fenômenos: ➢ A Equação de Laplace: descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no espaço: A equação de Laplace bidimensional: A equação de Laplace tridimensional: 2 2 2 2 0 f f x y 2 2 2 2 2 2 0 f f f x y z ➢ A Equação da onda: Se ficarmos em uma praia e tirarmos uma foto das ondas, esta mostrará um padrão regular de picos e depressão em um dado instante. Se ficarmos na água poderemos sentir a subida e descida da água com o passar das ondas então, um movimento periódico vertical ao longo do tempo. Em física, essa bela simetria é expressa pela equação de onda unidimensional: 2 2 2 2 2 w w c t x onde w é a altura da onda, x a variável distância, t a variável tempo e c a velocidade com que a onda se propaga 2.4 – Derivada Parcial de uma Função Composta (Regra da Cadeia) 2.4.1 – Introdução Antes de discutir a derivada de uma função composta, vamos falar sobre composição de funções de uma variável. Por exemplo: A função 2( )f t sen t t é a composição da função ( )g x sen x com a função 2( ) .h t t t Isto é, 2( ) ( )f t g h t sen t t A Regra da Cadeia afirma: se h é diferenciável no ponto t e g é diferenciável no ponto h(t), então f = g(h(t)) é diferenciável no ponto t e '( ) ' ( ) . '( )f t g h t h t Então, 2'( ) cos( ) . 2 1f t t t t . Desta forma, a mesma teoria aplicada a funções de uma variável pode ser aplicada para derivar uma função composta com várias variáveis. 2.4.2 – Método da Arvorezinha Para resolver uma derivada por regra da cadeia, utilizaremos o método da Arvorezinha, que consiste em: 1º) Montar a árvore com todas as relações de dependência das funções envolvidas; 2º) “Pintar” o caminho desejado (o caminho indica a derivada que se quer calcular); 3º) Nomear e calcular todas as derivadas que tiverem neste caminho; 4º) Montar a resposta. 3 – Integrais Duplas 3.1 – Introdução Os problemas de “medida”, relacionados com os conceitosde comprimento, área e volume, remontam aos tempos dos egípcios há mais de 4.000 anos, às margens do rio Nilo, quando problemas como cálculo de áreas de campos e volumes de grãos começaram a ter importância. Com os conhecimentos das integrais simples obtemos áreas de regiões planas limitadas por gráficos de funções, volume de sólidos usando métodos das fatias, discos circulares, de aplicações na geometria, na física, etc. Nesta seção, esses problemas relacionados ao conceito de integrais simples serão estendidos para integrais múltiplas. Nas seções anteriores calculamos derivadas parciais de funções reais de duas ou mais variáveis, considerando uma das variáveis independentes como sendo constante e derivando em relação a outra. De modo inteiramente análogo, é possível considerar uma integral indefinida como uma função em relação a uma dessas variáveis. Por exemplo, 4 3 2 2 3 2 4 x x y dx y x dx y C E da mesma forma que as integrais simples, as integrais duplas ou triplas podem ser utilizadas como eficientes ferramentas de montagem em diversas situações-problema, sobretudo aquelas que envolvem o cálculo de para ou volume de uma determinada região. 3.2 – Integral Dupla sobre uma Região Retangular Par uma região do tipo 2, / ,R x y a x b e c y d a integral dupla de f sobre a região retangular T, pode ser calculada por meio de integrais iteradas, como estabelece o Teorema de Fubini ( , ) ( , ) ( , ) b d d b R a c c a I f x y dA f x y dy dx f x y dx dy Analisando a definição para região retangular, notamos que a ordem das integrais iteradas não irá alterar o resultado final, desta forma, observe qual a função que será integrada e escolha a que der “menos” trabalho para integrar. Dica 1: Comece resolver a integral dupla de dentro para fora, e não esqueça de manter constante a outra variável que não será integrada. Dica 2: Para regiões retangulares, a ordem de integração não importa, pois o resultado final será o mesmo, logo, escolha integrar primeiro a função que achar mais fácil. 3.3 – Integral Dupla sobre uma Região definida por Função ➢ Região vertical simples Uma região do tipo 2 1 2, / ,D x y a x b e g x y g x a integral dupla de f sobre a região definida por função D, pode ser calculada por meio de integrais iteradas, como estabelece o Teorema de Fubini ( )2 ( )1 ( , ) ( , ) g xb D a g x I f x y dA f x y dydx ➢ Região horizontal simples Uma região do tipo 2 1 2, / ,D x y h y x h y e c y d a integral dupla de f sobre a região definida por função D, pode ser calculada por meio de integrais iteradas, como estabelece o Teorema de Fubini ( )2 ( )1 ( , ) ( , ) h xd D c h x I f x y dA f x y dxdy 3.4 – Interpretação Geométrica da Integral Dupla Seja , 3.f x y Tomemos a região limitada superiormente por f(x, y), inferiormente por R e lateralmente pelos planos x = 1, x = 2, y = 1 e y = 2, conforme ilustra a Figura 1: Figura 1: Sólido gerado pela função f(x, y) Analisando a Figura 1, podemos verificar que a integral dupla da função f(x, y) representa no plano o volume de um paralelepípedo de comprimento x = 1, largura y = 1 e altura z = 3. . (1.1).3 3 . .bV A h u v O fato observado no exemplo, não é mera coincidência. Na verdade, se ( , ) 0f x y para todo , ,x y então ( , ) R f x y dA nos fornece o volume de um sólido limitado superiormente por f(x y) e inferiormente por R: ( , ) R V f x y dA Dica: Para as regiões definida por função, comece integrando a variável onde o seu intervalo que estiver definido por função. 3.5 – Aplicações de Integral Dupla ➢ Cálculo de Volume Como vimos na Interpretação Geométrica da Integral Dupla, o volume do sólido que está acima da região D e abaixo da superfície z = f(x.y) é dado por: ( , ) D V f x y dA ➢ Cálculo de Massa Suponha uma lâmina colocada em uma região D do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x,y) em D é dada por f(x,y), onde f é uma função contínua sobre D. Então a massa total m da lâmina é dada por: ( , ) D m f x y dA ➢ Cálculo de Centro de Massa As coordenadas ,x y do centro de massa de uma lâmina ocupando a região D e tendo função densidade f(x,y) são: 1 ( , ) D x x f x y dA m e 1 ( , ) D y y f x y dA m , onde ( , ) D m f x y dA ➢ Cálculo de Carga Elétrica Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região D e a densidade de carga (em unidade de carga por unidade de área) é dada por f(x,y) num ponto (x,y) em D, então a carga total q é dada por: ( , ) D q f x y dA ➢ Cálculo de Momento Seja uma lâmina com a forma de uma região D do plano XY e cuja densidade de massa por área num ponto (x,y) é f(x,y). Define-se momento de uma lâmina em torno do eixo com o produto de sua massa pela distância (na perpendicular) ao eixo. Assim: ( , )x D M y f x y dA e ( , )y D M x f x y dA Nota: O significado físico disso é que a lâmina se comporta como se toda sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa. Assim, a lâmina permanece horizontal quando equilibrada em seu centro de massa. Dica: Para regiões delimitadas por pontos, é importante desenhar esta região antes de integrar a função. EXERCÍCIOS DE ASSIMILAÇÃO INTRODUÇÃO Á FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1) Baseado na figura abaixo, defina a função que calcule: (a) A área lateral da caixa (b) A área total da caixa (c) O volume da caixa 2) Baseado na figura ao lado, defina a função que calcule: (a) A área lateral do cilindro (b) A área total do cilindro (c) O volume do cilindro 3) Defina a função que representa o comprimento de uma escada apoiada como Ilustra a figura ao lado: DERIVADAS PARCIAIS 4) Calcule as seguintes derivadas parciais de 1ª ordem imediata: (a) 2( , ) 5f x y xy x (b) 22 3),( yyxyxf (c) 2 2( , ) 2f x y x y (d) 3 2( , ) 2f x y xy x y (e) 2 2( , , ) 1 2f x y z xy z (f) ( , , )f x y z xy yz xz (g) ( , , ) cosf x y z xsen y z (h) 3 2 3 2( , , , )f x y z t x x y z t 5) Calcule as seguintes derivadas parciais de 1ª ordem para uma função composta: (a) 2 ( , ) 1f x y xy (b) 2( , ) cosf x y x y (c) 2 2 2 ( , )f x y x y (d) 2 4( , ) 3f x y sen x y (e) ( , , ) ln 2 3f x y z x y z (f) 2 2 2 ( , , ) x y z f x y z e (g) ( , , )f x y z xyz (h) 3 2 1 ( , , )f x y z xyz x z 6) Utilize a regra do produto para calcular as seguintes derivadas parciais de 1ª ordem: (a) ( , ) xh x y e sen x y (b) 2 3( , ) cosh x y x y x (c) ( , , ) lnyzh x y z e x y z (d) ( , , ) lnh x y z yz xy 7) Utilize a regra da divisão para calcular as seguintes derivadas parciais de 1ª ordem: (a) ( , ) 1 x y h x y xy (b) 2 2 2 2 ( , ) x y h x y x y (c) 2 ( , ) x h x y x y (d) ( , , ) xyz h x y z x y z 8) Quais das seguintes funções satisfazem a equação de Laplace: 0 2 2 2 2 y f x f (a) 2323 2),( yyxxyxf (b) ( , ) 1yf x y xe y (c) 23 3),( xyxyxf (d) ( , )f x y x y xy (e) 2 2( , )f x y x y 9) Calcule as seguintes derivadas parciais simples e mescladas de segunda ordem: (a) 2323 2),( yyxxyxf (b) ( , )f x y x y xy (c) 2( , ) cos( ) ( )f x y x y y ysen x (d) ( , ) 1yf x y xe y (e) 2 2 2( , ) 3 2f x y x y xy (f) 2 3( , )f x y x xy y 10) Utilize o método da arvorezinha e calcule : dt df (a) 2( , ) 2 ( ) ( ) ( ) cos( )f x y x y com x t sen t e y t t (b) ( , ) ln( ) ln ( ) ( )t tf x y x y xy com x t e e y t e (c) 2 2 2( , ) ( ) 3 1 ( ) 2f x y x xy com x t t e y t t t (d) ( , ) cos( ) ( ) 1 ( ) 2 1f x y xy com x t t e y t t (e) 2 2 2( , ) 2 ( ) ( )t tf x y x y xy com x t e e y t e (f) 2 2( , ) 2 ( ) (2 ) ( ) cos(2 )f x y x y xy com x t sen t e y t t (g) 2 2 ( , ) ( ) 1 ( ) 1x yf x y e com x t t e y t t (h) 2 2 1 2 3( , , ) 3 ( ) , ( ) ( )f x y z x y yz com x t t y t t e z t t (i) 2 3( , , ) ( ) , ( ) ( ) 1x y zf x y z e com x t t y t t e z t t (j) 2 2( , , ) ( ) cos( ), ( ) 1 2 ( )f x y z x yz com x t t y t t e z t t Observação: nas letras (g) e (i) a função f(x,y) é composta, logo será necessário utilizar a tabela de derivadas por substituição. 11) Utilize o método da arvorezinha e calcule dt df e : ds df (a) 2 2( , ) ( , ) 3 ( , ) 2f x y x y com x t s t s e y t s t s (b) 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) 2f x y x y com x t s t s e y t s ts (c) 1( , ) ( , ) ( , ) 1t tf x y xy com x t s e s e y t s e s (d) 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) 3f x y xy y com x t s t s e y t s t s (e) 2 2 2( , ) ( , ) ( , )f x y x y com x t s t s e y t s t s (f) 2( , , ) 2 ( , ) , ( , ) ( , )s tf x y z xy yz com x t s te y t s te e z t s s 12) Se o raio r e a altura h de um tanque cônico decrescem ao longo do tempo a uma taxa de 0,3 cm/h e 0,5 cm/h respectivamente, utilize o método da arvorezinha e determine a taxa de variação do volume em relação ao tempo quando r = 6 cm e h = 30 cm. Lembre-se: 21( , ) 3 V r h r h 13) Se a resistência R aumenta ao longo do tempo a uma taxa de 0,15 ohms/s e a tensão V reduz ao longo do tempo a uma taxa de 0,25 volts/s, utilize o método da arvorezinha e determine a taxa de variação da corrente em relação ao tempo quando R = 30 ohms e V = 26 volts. Lembre-se: ( , ) V I V R R 14) Se a resistência R e a tensão V aumentam ao longo do tempo a uma taxa de 0,002 ohms/s e a 0,015 volts/s respectivamente, utilize o método da arvorezinha e determine a taxa de variação da potência em relação ao tempo quando R = 6 ohms e V = 12 volts. Lembre-se: 2 ( , ) V P V R R 15) Se o comprimento c e a largura l de uma caixa retangular com tampa estão aumentando ao longo do tempo a uma taxa de 0,25 m/s e a altura h desta caixa está diminuindo também ao longo do tempo a uma de 0,5 m/s, utilize o método da arvorezinha e determine: (a) a taxa de variação da área da superfície em relação ao tempo quando c = 5 m, l = 3 m e h = 10 m. Lembre-se: ( , , ) 2 2 2A c l h cl ch lh (b) a taxa de variação do volume em relação ao tempo quando c = 5 m, l = 3 m e h = 10 m. Lembre-se: ( , , )V c l h clh INTEGRAIS DUPLAS 16) Calcule as seguintes integrais duplas sobre regiões retangulares: (a) 23 , , /1 2,1 2 R I dA onde R x y x y (b) 24 , , / 0 2, 0 6 R I x dA onde R x y x y (c) 2 23 , , / 0 2,1 2 R I x y dA onde R x y x y (d) 2 24 , , / 0 3, 0 2 R I y dA onde R x y x y (e) 2 3 212 8 , , /1 2, 1 2 R I xy x dA onde R x y x y (f) 2 2, , / 0 1, 0 1 R I xy x dA onde R x y x y (g) 2, , / 0 2,1 4 R I x y dA onde R x y x y (h) 2 2 21 , , / 0 1 , 0 1 D I y dA onde D x y x y y (i) 2, , / 0 2, 0 2R I xsen y dA onde R x y x y (j) 2, , /1 2, 0 2R I y sen xy dA onde R x y x y (k) 2, , /1 2,1 4 R x y I dA onde R x y x y y x 17) Calcule as seguintes integrais duplas sobre regiões definida por função: (a) 2 21 , , / , 0 2 2D y I dA onde D x y x y y (b) 2 31 , , / 0 2, 4 D I dA onde D x y x x y x (c) 2 24 , , / 2 , 0 2 D I x y dA onde D x y y x y y (d) 2 2, , / 2 3 , 0 1 D I xy dA onde D x y y x y y (e) 2 21 , , / 0 1, D I xy dA onde D x y x x y x (f) 2 3 22 , , / 0 1, 0 1 D I x y dA onde D x y x y x (g) 21 , , / 0 , 0 ( ) D I y dA onde D x y x y sen x 18. Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pela função 2 2( , ) 16 2f x y x y e inferiormente pela região definida pelo retângulo 2, / 0 2, 0 2 .R x y x y 19. Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pela função 2 2 ( , ) 1 4 9 x y f x y e inferiormente pela região definida pelo retângulo 2, / 1 1, 2 2 .R x y x y 20. Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pela função 2 2( , )f x y x y e inferiormente pela região definida pelo retângulo 2, / 1 1, 1 1 .R x y x y 21. Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pela função 2( , ) 1f x y y e inferiormente pela região definida pelo retângulo 2, / 1 1, 0 1 .R x y x y 22. Uma lâmina tem forma definida pelos pontos: A (0,0), B (0,4), C (2,0) e D (2,4). Determine a massa da lâmina, medida em gramas, sabendo que 3 . R m xy dA 23. Uma lâmina tem forma definida pelos pontos: A (0,1), B (0,-1), C (2,-1) e D (2,1). Determine a massa da lâmina, medida em gramas, sabendo que 2 . R m xy dA 24. Uma lâmina tem forma definida por: 2 2, / 4, 2 2 .D x y y x y Determine a massa da lâmina, medida em gramas, sabendo que 4 . D m x dA 25. Uma lâmina tem forma definida por: 2, / 0 2, 0 2D x y x y x . Determine a massa da lâmina, medida em gramas, sabendo que 29 . D m xy dA 26. A carga é distribuída sobre uma região delimitada pelos pontos A (1,2), B (1,0), C (3,2) e D (3,0). Determine a carga total, em coulomb, sabendo que 22 . R q x y dA 27. Uma lâmina tem forma definida por: 2, / 0 1, 0 2 2 .D x y x y x Determine a carga total, medidaem coulomb, sabendo que 1 3 . D q x y dA 28. A carga é distribuída sobre uma região definida por: 2, / 0 2, 2 2 .D x y x x y Determine a carga total, em coulomb, sabendo que 3 . D q xy dA 29. A carga é distribuída sobre uma região delimitada pelos pontos A (3,2), B (0,2), C (3,0) e D (0,0). Determine a carga total, medida em coulomb, sabendo que 2 . R q x y dA
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