Escoamento compressível Revisão

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Escoamentos compressíveis 
Revisão 
Escoamento compressível 
• Esc. Incomp. Subsônico => 𝑀 =
𝑉
𝑎
< 0.3 
• Esc. Comp. Subsônico => 0.3 < 𝑀 =
𝑉
𝑎
< 1 
• Esc. Comp. Supersônico => 𝑀 =
𝑉
𝑎
>1 
 
• Velocidade do som e número de Mach 
a

h
p
0V 








hh
pp
V

Conservação da massa: 
)()( VaAAa  som do velocidadea
Conservação da QDM: 
Segunda lei, processo isentrópico: 
Combinando as três equações: 
s
p
a 







  0
2 lim
ou: 
s
p
a 









))(()( aVaAaAPPPA  
cte
P


Velocidade do som em gases ideais 
RT
p


k
k
p
p 
1
1
Equação de estado: Processo isentrópico: 



p
kk
pp k
k
s
















  )1(
1
1Efetuando a derivada indicada: 
kRT
p
ka 

Obtém-se uma expressão para o cálculo da 
velocidade do som num gás ideal 
Número de Mach 
a
V
M 
subsônico escoamento 1M
sônico 1M
osupersônic escoamento 1M



Propagação de uma onde elástica num gás 
o 
t
t2
t3
t4
o 
t
t2
t4
o o 
aV 
em repouso 
em movimento 
o 
Propagação de uma onde elástica num gás : cone de Mach 
o 
at
vt

M
arcsen
vt
at
arcsen
1

aV 
Eqs. p/ s=cte, RP e gás perf. 
• Continuidade 
 
• Eq. s=cte 
 
• Eq. Energia 
 
 
 
 
• Eq. Estado 
RTP 
  1
1
2
2 PP 
2121
2
1
1
1
2
2
2
2 VPVP 


 



111222 AVAV   2121
2
1
2
1
2
2
2
2 VaVa 


 
Estado de Estagnação 2
2
00
V
TcTch pp 
Entalpia de estagnação: 
Temperatura de estagnação: 
pc
V
TT
2
2
0 
-> Fluido trazido adiabaticamente até o repouso (V=0) 
-> Índice “t” ou “0” )1( 


R
cp
RTa 
20
2
)1(
1 M
T
T 


-> Estado de referência 
Estado de Estagnação 
Temperatura de estagnação: 
Pressão de estagnação 
(s = cte): 
 1
00










T
T
p
p  11
00











T
T
Variação da densidade 
na estagnação (s=cte): 
20
2
)1(
1 M
T
T 


)1(
20
2
)1(
1






 




M
p
p )1(1
20
2
)1(
1






 




M
Velocidade do som 
na estagnação: 
2/1~ Ta
2/1
20
2
)1(
1 




 
 M
a
a 
• Propriedades na estagnação 
puh 
2
V
hh
2
0 
Entalpia: 
Entalpia de estagnação: 
Escoamento num duto adiabático : conservação da energia 
Volume 
de controle 
01
1
1
h
V
h
02
2
2
h
V
h
2
V
h
2
V
h
2
2
2
2
1
1 
0201 hh  0201 TT 
E, se além disso for isentrópico: 
0201 PP 
Estado Crítico 
-> Condições de escoamento sônico (M=1) 
-> Índice * 
-> Estado de referência 
Temperatura crítica: 
Pressão crítica: 
Variação da densidade 
crítica: 
Velocidade do som 
Nas cond. críticas: 
2/1
0
*
)1(
2








a
a
1
2
0
*


T
T
)1(
0
*
1
2 










p
p )1(1
0
*
1
2 











• Escoamento isentrópico unidimensional 
Variação da velocidade do fluído com a seção da tubulação 
Conservação da massa, num 
escoamento em regime permanente: 
vazãoAV 
Diferenciando em relação à x e dividindo 
pela vazão: 
0
111









x
V
Vx
A
Ax


Vel. som 



P
a2
QDM1-D isentrópico: 
0
1






x
V
V
x
P

Substituindo na equação diferencial de conservação da massa: 







dp
d
Vdx
dPP
dx
dA
A

 2
11
 2111 M
dx
dV
Vdx
dA
A

Ou: 
Para escoamento subsônico M < 1 
Para escoamento supersônico M > 1 
0dV A 0dV A
Variação da velocidade do fluído com a seção da tubulação 
0dV A
  0M1 2 
  0M1 2 
  0M1 2  0dV A  0M1 2 
 2111 M
dx
dV
Vdx
dA
A

Caso em que M=1 é atingido no final do duto: 
1MA 
A
A
1M 
A solução para continuar 
acelerando o fluído é fazer um duto 
convergente - divergente: 
garganta 
1M 
1M 
Questão 
Um reservatório contém ar a 106 Pa e o descarrega 
isentropicamente em um ambiente a 105 Pa. Qual é o 
número de Mach na saída? 
Questão 
Dadas as medições de pressão e temperatura de 
estagnação e de pressão estática da figura, calcule a 
velocidade do ar V admitindo: (a) escoamento 
incompressível; (b) escoamento compressível