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Física Geral e Experimental I Aula 04 Os direitos desta obra foram cedidos à Universidade Nove de Julho Este material é parte integrante da disciplina, oferecida pela UNINOVE. O acesso às atividades, conteúdos multimídia e interativo, encontros virtuais, fóruns de discussão e a comunicação com o professor devem ser feitos diretamente no ambiente virtual de aprendizagem UNINOVE. Uso consciente do papel. Cause boa impressão, imprima menos. Aula 04: Representação analítica de um vetor a partir de suas componentes Objetivo: Entender o processo de decomposição de um vetor e seu uso prático. A utilização dos componentes dos vetores representa o método mais geral para a operação vetorial, pois permite calcular o módulo, a direção e o sentido do vetor que representa o resultado dessa operação. Nas áreas de exatas (Física, Engenharias, Matemática etc.), muitas vezes o conceito de componentes e de vetor se misturam e um vetor é diretamente tratado apenas pelos seus componentes. Relações métricas em um triângulo retângulo Antes de iniciarmos o estudo dos componentes de um vetor, iremos relembrar alguns conceitos matemáticos que surgem em um triângulo retângulo. Observando o triângulo retângulo a seguir: Podemos reconhecer os lados de um triângulo retângulo: a é chamada de hipotenusa, apresenta-se como o lado oposto ao ângulo reto e tem a maior medida dentre os três lados. b e c são os catetos (saiba mais sobre o assunto ao final da aula). E, analogamente, para o outro ângulo: E, analogamente, para o outro ângulo: Componentes de um vetor As componentes de um vetor são um modo prático de representá-lo utilizando a soma de dois vetores pertencentes a um eixo cartesiano. 222 cba Para definirmos os componentes, devemos inicialmente desenhar o vetor com a sua origem na do sistema de coordenadas. Após isso, da extremidade do vetor, são traçadas duas retas paralelas aos eixos que definem (na intersecção com os eixos) os dois vetores componentes. Podemos facilmente reconhecer o triângulo retângulo formado pelos módulos do vetor original e de seus componentes. E, utilizando os conceitos do triângulo retângulo, podemos calcular os valores dos módulos dos componentes do vetor: θ Definem-se dois vetores de módulo unitário nos eixos x e y. Esses vetores são chamados de versores e normalmente representados por jei , como se pode ver na figura a seguir: Assim, o modo correto de escrever um vetor utilizando seus componentes é: Exemplo 1: descreva o vetor A com módulo 10 m e formando um ângulo de 30º com a horizontal em termos de seus componentes. Inicialmente calculando o valor dos componentes do vetor: Com os componentes calculados, podemos descrever o vetor em termo dos seus componentes: A resposta pode ser escrita nos dois modos indiferentemente. Observando graficamente: Exemplo 2: escreva o vetor representado a seguir por meio de seus componentes: Esse exemplo pode ser calculado de duas formas baseadas na definição do ângulo: Formalmente, o ângulo é definido no sentido anti-horário partindo do eixo x positivo; nesse caso, o ângulo seria 180º + 20º=200º. Portanto, o resultado dos componentes é: O outro modo de calcular (que se apresenta mais fácil) utiliza o ângulo de 20º (o menor ângulo com a horizontal), olhando-se no desenho quais os componentes que são negativos. Nesse caso, ambos o são, pois o componente x aponta para a esquerda, enquanto o y aponta para baixo. Calculando: Em ambos os métodos, o vetor pode ser escrito como: Exemplo 3: vetores nos eixos Para calcular os componentes de um vetor que se encontra no eixo, não é necessário usar fórmulas ou ângulos. Se o vetor estiver contido no eixo x, só terá componente x, e no eixo y, componente y. Devemos sempre tomar muito cuidado com os sinais negativos. Observando os dois vetores a seguir: O cálculo dos componentes torna-se muito fácil nesse caso. O vetor A apresenta-se apenas no eixo x e no sentido positivo: O vetor B , por outro lado, está no eixo y e no sentido negativo: B= -7jm/s2 Cálculo do módulo e do ângulo de um vetor a partir de seus componentes Podemos, utilizando as funções definidas no triângulo retângulo, calcular o valor do módulo de um vetor e o ângulo que ele faz com a horizontal a partir do conhecimento de seus componentes. Observando o triângulo retângulo a seguir: Podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e calcular o módulo do vetor: Além disso, o ângulo pode ser calculado pelo inverso da sua tangente: Para calcular a função arctan, deve ser utilizada uma calculadora científica com as funções tan-1 ou atan. Os exemplos 1 e 2 a seguir são os resultados da seção anterior. Exemplo 1: dado o vetor a seguir, calcule seu módulo e o ângulo que ele faz com a horizontal. Calculando o módulo do vetor e seu ângulo: O resultado do exemplo é reconstruído. Exemplo 2: calcule o módulo e o ângulo do vetor a seguir: x y x y A A arctan A A tan 030 5770 668 05 , ,arctan , , arctan A A arctan x y m ,, ,, AAA yx 10 100 025075 05668 22 22 Utilizando o mesmo procedimento: Os valores de 15 m/s e 20º diferem dos aqui encontrados por causa de erros de arredondamento. Esses erros não devem causar preocupação, pois são comuns. Saiba Mais Catetos Deve-se tomar cuidado com um erro comum: chamar de cateto adjacente aquele que apresenta-se na horizontal e de oposto o na vertical; eles são adjacentes e opostos apenas a um dos ângulos dados. Pode-se ver que um cateto que é oposto a um ângulo é adjacente a outro e vice-versa. Utilizando os ângulos, podemos definir as funções matemáticas seno, cosseno e tangente. REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6022: Informação e documentação – Referências – Elaboração. Rio de Janeiro, 2002. BUREAU INTERNATIONAL DES POIDS ET MESURES. The International System of Units. 8. ed. Paris, 2006. s/m , ,, ,, BBB yx 16 33254 322601228 1351015 22 22 818 400 1015 135 , ,arctan , , arctan B B arctan x y CUTNELL, J; JOHNSON, K. Física. 6. ed. v. 1. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 2006. INMETRO. Vocabulário Internacional de Termos Fundamentais e Gerais de Metrologia. 4. ed. Rio de Janeiro, 2005. INMETRO. Vocabulário Internacional de Termos de Metrologia Legal. 4. ed. Rio de Janeiro: INMETRO, 2005. KELLER, F; GETTYS, E; SKOVE, M. Física. v. 1. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1997. RESNICK, R; HALLIDAY, D; KRANE, K. Física 1. 5. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 2003. SERWAY, R; JEWETT, J. Princípios de Física. Mecânica Clássica. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004. TIPLER, P; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. 5. ed. Mecânica, Oscilações e Ondas. v.1. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e CientíficosEditora, 2006. VUOLO, J. Fundamentos da Teoria de Erros. 2. ed. São Paulo: Edgard Blüchner, 1996. YOUNG, H; FREEDMAN, R. Sears & Zemansky Física I. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2003.
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