simulação da produção e teoria das filas pdf (1)

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Engenharia de Produção 
Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
Engenharia de Produção 
Pesquisa Operacional em Sistemas II - Notas de aula
Universidade Salgado de Oliveira – UNIVERSO BH
Engenharia de Produção
Pesquisa Operacional em Sistemas II
Notas de aula
�
Conteúdo
31 O PROBLEMA DA DESIGNAÇÃO	�
31.1 INTRODUÇÃO	�
31.2 ALGORITMO DA DESIGNAÇÃO	�
31.3 CASO DA MAXIMIZAÇÃO.	�
41.4 EXERCÍCIOS.	�
92 FILAS	�
92.1 FILAS: CONCEITOS BÁSICOS.	�
92.1.1 Elementos de uma Fila.	�
102.1.2 Características de uma Fila.	�
112.1.3 Variáveis Randômicas.	�
112.1.4 Dinâmica de uma Fila	�
132.1.5 Sistemas Estáveis	�
132.1.6 Dimensionando Filas.	�
132.2 Variáveis Randômicas Fundamentais	�
142.2.1 Relações Básicas	�
152.2.2 Taxa de Utilização dos Atendentes	�
152.2.3 Intensidade de Tráfego ou Número Mínimo de Atendentes	�
152.2.4 Fórmulas de Little	�
152.2.5 Resumo das Fórmulas	�
162.2.6 Postulados Básicos.	�
172.3 O Modelo M/M/1	�
172.3.1 Definições:	�
182.4 O Modelo M/M/c	�
182.4.1 Definições:	�
182.4.2 População Infinita	�
202.5 EXERCÍCIOS	�
213 TEORIA DOS JOGOS	�
213.1 INTRODUÇÃO	�
233.2 DEFINIÇÕES	�
253.3 DETERMINAÇÃO DAS ESTRATÉGIAS ÓTIMAS	�
283.4 ESTRATÉGIA DOMINANTE	�
304 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS	�
304.1 FATO HISTÓRICO	�
314.2 TEORIA DOS GRAFOS	�
314.3 CONCEITOS BÁSICOS EM TEORIA DOS GRAFOS	�
324.3.1 DEFINIÇÃO DE GRAFO.	�
324.3.2 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA.	�
324.3.3 DEFINIÇÃO DE GRAFO PONDERADO.	�
324.3.4 Definição de Grafo Rotulado.	�
334.3.5 DEFINIÇÃO DE MULTIGRAFO	�
334.3.6 DEFINIÇÃO DE GRAFO DIRECIONADO	�
334.3.7 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA	�
344.3.8 DEFINIÇÃO DE GRAFO BIPARTIDO	�
344.3.9 DEFINIÇÃO DE GRAFO COMPLETO	�
354.3.10 DEFINIÇÃO DE GRAFO REGULAR	�
364.4 REDE	�
374.5 OUTROS CONCEITOS BÁSICOS	�
374.5.1 DEFINIÇÃO DE CADEIA DE ARESTAS	�
374.5.2 DEFINIÇÃO DE CAMINHO	�
384.5.3 DEFINIÇÃO DE COMPRIMENTO DE UM CAMINHO	�
384.5.4 DEFINIÇÃO DE CICLO	�
384.5.5 DEFINIÇÃO DE CIRCUITO	�
384.6 CONEXIDADE	�
384.6.1 DEFINIÇÃO DE GRAFO CONEXO	�
394.7 DEFINIÇÃO DE ÁRVORE.	�
394.8 REPRESENTAÇÃO DO MODELO USANDO MATRIZ DE ADJACÊNCIA	�
394.8.1 DEFINIÇÃO DE MATRIZ DE ADJACÊNCIA	�
404.9 REPRESENTAÇÃO DO MODELO USANDO A MATRIZ DE INCIDÊNCIA	�
404.9.1 DEFINIÇÃO DE MATRIZ DE INCIDÊNCIA	�
404.10 ANÁLISE DE REDES	�
404.10.1 PROBLEMAS DE EXTENSÃO MÍNIMA	�
414.10.2 PROBLEMAS DE PERCURSO MÍNIMO.	�
424.11 EXERCÍCIOS	�
435 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS	�
�
�
1 O PROBLEMA DA DESIGNAÇÃO
1.1 INTRODUÇÃO
É um caso especial do modelo de transportes em que cada origem tem uma unidade disponível e cada destino necessita também de uma unidade. Exemplos: escalar vendedores para regiões de vendas e máquinas para diversos locais.
Antes de aplicar o algoritmo de solução, é preciso verificar se o modelo está equilibrado. No problema de designação o modelo está equilibrado quando o número de origens for igual ao número de destinos. Se o modelo não estiver equilibrado, deve - se incluir origens ou destinos auxiliares com custo de transferência igual a zero.
1.2 ALGORITMO DA DESIGNAÇÃO
Passo 1: Subtrair de cada linha seu menor valor. Em seguida fazer o mesmo com as colunas.
Passo 2: Designar origens para destinos nas células em que aparece o elemento nulo. Cada designação efetuada invalida os outros zeros na linha e na coluna da designação estabelecida. Dê preferência a linhas ou colunas que tenham apenas um zero disponível. Se a designação não se completar, vá para o passo 3.
Passo 3: Cobrir os zeros da tabela com o menor número de linhas possível, da seguinte forma:
Marcar as linhas sem designação;
Nas linhas marcadas, marque as colunas com zeros;
Marcar as linhas com designação nas colunas marcadas;
Voltar a marcar as colunas com zeros nas linhas marcadas até que não seja possível marcar novas linhas ou colunas;
Riscar as linhas não marcadas e as colunas marcadas.
Passo 4: Determinar o menor valor dentre os números não cobertos de todos os elementos da tabela e:
Os elementos não cobertos ficam diminuídos deste número;
Os elementos no cruzamento de coberturas ficam aumentados desse número;
Os outros elementos permanecem iguais.
Passo 5: Voltar ao passo 2.
1.3 CASO DA MAXIMIZAÇÃO.
No caso em que o objetivo é a maximização, o modelo deve ser substituído por outro de minimização. Isto pode ser feito multiplicando a função objetivo por -1, ou transformando o quadro num quadro de perdas (complemento em relação a um valor fixo – escolher o maior valor).
�
1.4 EXERCÍCIOS.
1. Resolva o problema de designação:
	
	Destinos
	Origens
	1
	2
	3
	4
	1
	10
	23
	8
	9
	2
	4
	5
	6
	7
	3
	12
	10
	10
	8
	4
	6
	4
	9
	7
2. Resolva o problema de designação:
	
	Destinos
	Origens
	1
	2
	3
	4
	1
	6
	8
	10
	9
	2
	4
	3
	6
	5
	3
	7
	9
	12
	6
3. Resolva o problema de designação, onde o símbolo X indica a impossibilidade da designação da origem para o destino correspondente:
	
	Destinos
	Origens
	1
	2
	3
	1
	6
	X
	8
	2
	4
	9
	3
	3
	5
	6
	4
	4
	8
	10
	12
4. Quatro locais L1, L2, L3 e L4 necessitam de um equipamento. Existem quatro equipamentos disponíveis um em cada um dos depósitos D1, D2, D3 e D4. As quilometragens entre os locais necessitados e os depósitos estão no quadro:
	
	Locais
	Depósitos
	L1
	L2
	L3
	L4
	D1
	100
	120
	130
	140
	D2
	80
	70
	120
	90
	D3
	100
	80
	100
	110
	D4
	90
	90
	120
	80
Determine um programa de expedição de quilometragem mínima.
5. Resolva o problema anterior, supondo que não seja possível expedir do armazém 1 para o local 3.
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6. Uma fábrica possui quatro locais L1, L2, L3 e L4 para receber três novos equipamentos (E1, E2 e E3). A operação desses equipamentos gera um fluxo de materiais cujo custo de manuseio depende do local da instalação, e estão no quadro a seguir:
	
	Locais
	Equipamentos
	L1
	L2
	L3
	L4
	E1
	10
	4
	8
	6
	E2
	6
	4
	9
	10
	E3
	5
	7
	8
	9
Designar os equipamentos para os possíveis locais, de modo a minimizar o custo total de manuseio de materiais.
7. Suponha no problema anterior que não seja possível designar o E1 para o local L2. Qual seria a solução do problema?
8. Uma empresa deseja operar diretamente em quatro regiões. Para isso, contratou e treinou quatro vendedores. A empresa tem conhecimento dos mercados dessas regiões através de representantes. A partir dessas informações, o departamento de R. H. montou um quadro de eficiência para os vendedores baseado no perfil profissional de cada um deles. O resultado e outras informações relevantes estão nos quadros a seguir:
Potencial de vendas mensais em milhares de unidades monetárias:
	Região
	Vendas
	1
	100
	2
	150
	3
	120
	4
	250
Capacidade estimada para cada vendedor em cada região %
	
	Vendedor
	Região
	1
	2
	3
	4
	1
	60
	80
	70
	65
	2
	70
	60
	80
	60
	3
	80
	40
	60
	70
	4
	60
	90
	95
	85
Baseado nesta estimativa, designar os vendedores para as regiões de modo a maximizar o retorno mensal total de vendas.
�
9. Uma empresa tem disponível nos fornecedores quatro tipos de robôs que fazem uma sequência de operações padronizadas. Um estudo feito em colaboração com os fornecedores revelou os lucros anuais gerados pela instalação de um robô em cada uma das três unidades produtoras da empresa, após descontados os custos de instalação, manutenção e depreciação dos equipamentos (em 1.000 u.m.).
	
	Unidades produtoras
	Robô
	U1
	U2
	U3
	R1
	6
	10
	5
	R2
	5
	8
	7
	R3
	8
	10
	8
	R4
	7
	9
	9
A empresa deseja adquirir um tipo de robô para cada instalação produtora, de modo a maximizar o lucro total no ano devido a essa operação.
10. Suponha no problema anterior que o robô R3 não sirva a U1. Qual seria então a solução do problema?11. Resolva o problema de designação:
	
	Destinos
	Origens
	1
	2
	3
	4
	1
	9
	18
	10
	10
	2
	5
	7
	8
	6
	3
	10
	18
	9
	10
	4
	8
	6
	8
	5
12. Resolva o problema de designação:
	
	Destinos
	Origens
	1
	2
	3
	4
	1
	7
	7
	9
	10
	2
	5
	5
	8
	8
	3
	8
	10
	11
	5
13. Resolva o problema de designação, onde o símbolo X indica a impossibilidade da designação da origem para o destino correspondente:
	
	Destinos
	Origens
	1
	2
	3
	1
	6
	6
	8
	2
	4
	9
	3
	3
	5
	X
	4
	4
	8
	10
	12
�
14. Uma empresa deseja operar diretamente em quatro regiões. Para isso, contratou e treinou quatro vendedores. A empresa tem conhecimento dos mercados dessas regiões através de representantes. A partir dessas informações, o departamento de R. H. montou um quadro de eficiência para os vendedores baseado no perfil profissional de cada um deles. O resultado e outras informações relevantes estão nos quadros a seguir:
Potencial de vendas mensais em milhares de unidades monetárias:
	Região
	1
	2
	3
	Vendas
	180
	120
	150
Capacidade estimada para cada vendedor em cada região %
	
	Vendedor
	Região
	1
	2
	3
	1
	60
	80
	70
	2
	70
	60
	80
	3
	80
	40
	60
Baseado nesta estimativa, designar os vendedores para as regiões de modo a maximizar o retorno mensal total de vendas.
Respostas
1.
	Origem
	Destino
	Custo = 24
	1
	3
	
	2
	1
	
	3
	4
	
	4
	2
	
2.
	Origem
	Destino
	Custo = 15
	1
	1
	
	2
	2
	
	3
	4
	
	4
	3
	
3.
	Origem
	Destino
	Custo = 15
	1
	1
	
	2
	3
	
	3
	2
	
	4
	4
	
4.
	Origem
	Local
	km = 350
	1
	1
	
	2
	2
	
	3
	3
	
	4
	4
	
5. 
	Origem
	Local
	km = 350
	1
	1
	
	2
	2
	
	3
	3
	
	4
	4
	
6. 
	Equipamento
	Local
	Custo = 15
	1
	4
	
	2
	2
	
	3
	1
	
	4
	3
	
7.
	Equipamento
	Local
	Custo = 15
	1
	4
	
	2
	2
	
	3
	1
	
	4
	3
	
8.
	Região
	Vendedor
	Vendas = 508,50
	1
	2
	
	2
	3
	
	3
	1
	
	4
	4
	
9.
	Robôs
	Unidade
Produtiva
	Lucro = 27
	1
	2
	
	2
	X
	
	3
	1
	
	4
	3
	
10.
	Robôs
	Unidade
Produtiva
	Lucro = 25
	1
	1
	
	2
	X
	
	3
	2
	
	4
	3
	
�
2 FILAS
Do dia-a-dia (banco, supermercado, salão de beleza, cinema, pedágio etc...).
Ambientes de produção.
Abstratas (pedidos de manufatura, pilha de papéis com solicitações de reparo de máquinas).
Enfileiradas ou dispersas
Filas não são simpáticas ( o ideal é chegar ao local de serviço e ser imediatamente atendido).
Filas são dispendiosas (custo).
Procurar o melhor dimensionamento (“paradoxo da sobrevivência”).
É antieconômico superdimensionar um sistema para que nunca existam filas.
Balanceamento adequado que permita um atendimento aceitável pelo melhor custo e melhor benefício.
TEORIA DAS FILAS: É um método analítico que aborda o assunto por meio de fórmulas matemáticas. Já a simulação é uma técnica que, usando o computador digital, procura montar um modelo que melhor represente o sistema em estudo.
2.1 FILAS: CONCEITOS BÁSICOS.
2.1.1 Elementos de uma Fila.
População → clientes (transação ou entidade) que aguardam algum tipo de serviço. 
Atendimento: é constituído de um ou mais servidores (atendentes ou canais de serviços).
�
2.1.2 Características de uma Fila.
a) Clientes e Tamanho da População.
Um cliente é proveniente da população. Para efeito prático, uma população muito grande é considerada infinita. Quando a população é muito grande, a chegada de um novo cliente a uma fila não afeta a taxa de chegada de clientes subseqüentes (as chegadas são independentes). Quando a população é pequena o efeito existe e pode ser considerável.
b) Processo de Chegada.
Exemplo: Em uma praça de pedágio chegam 20 automóveis por minuto ou 1 automóvel a cada 3 segundos. Trata-se de um valor médio.
λ = 20 clientes por minuto (ritmo de chegada)
IC = 3 segundos (intervalo médio)
Nesse exemplo pode-se quantificar o processo de chegada dizendo que a taxa média de chegada é de 20 veículos por minuto ou que o intervalo médio entre as chegadas é de 3 segundos.
Mas além dos valores médios é necessário também mostrar como os valores se distribuem em torno da média. Assim, para caracterizar corretamente um processo de chegada devemos lançar mão de uma distribuição de freqüência, tal como a distribuição normal, a de Poisson, a exponencial, etc.
Um tipo raro de processo de chegada é o regular (não existe nenhuma variação entre os valores para os intervalos entre chegadas). Esta situação ocorre apenas em processos altamente automatizados.
Existem situações em que o ritmo de chegada sofre variações durante o dia.
c) Processo de Atendimento
Também descrito por valores médios. Um atendente pode atender 6 veículos por minuto ou que gasta 10 segundos para atender um veículo. Também é preciso usar as distribuições de probabilidades para descrever corretamente.
Processos de atendimento regulares também são raros na prática.
µ = 6 clientes por minuto (ritmo médio de atendimento)
TA = 10 segundos por cliente (tempo ou duração média do serviço ou atendimento)
d) Número de Servidores
O mais simples sistema de filas é aquele de um único servidor que pode atender um único cliente de cada vez. Conforme o aumento do ritmo de chegada, a qualidade do serviço pode ser mantida pelo aumento do número de servidores.
e) Disciplina da Fila
É a regra que define qual o próximo a ser atendido. O mais comum é que o primeiro da fila é atendido primeiro, isto é, o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido (FIFO – First In First Out). Existem outras disciplinas como, por exemplo, o último a chegar é o primeiro a ser atendido (LIFO – Last In First Out), serviço por ordem de prioridade, serviço randômico, etc.
f) Tamanho Médio da Fila
g) Tamanho Máximo da Fila
Os sistemas são dimensionados para uma certa quantidade máxima de clientes em espera, este dimensionamento geralmente é feito baseando-se em experiência real. Quando a demanda cresce, amplia-se o sistema também baseando-se em experiência real.
h) Tempo Médio de Espera na Fila
O ideal é que não exista tempo de espera, mas nem sempre é a melhor situação do ponto de vista econômico.
2.1.3 Variáveis Randômicas.
Quando nos referimos a filas usamos variáveis randômicas. Assim, para as principais variáveis existe um valor médio e uma distribuição de probabilidades, que mostra as chances de ocorrências dos valores.
2.1.4 Dinâmica de uma Fila
a) Chegada de clientes
No período de meia hora chegaram 12 pessoas. Os intervalos entre chegadas, a partir do instante zero estão registrados no quadro seguinte (com valores em minutos):
	Cliente
	 1
	 2
	 3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	Intervalo
	2
	3
	3
	3
	5
	0
	1
	5
	1
	4
	1
	2
	Momento
	3
	6
	9
	12
	17
	18
	19
	23
	24
	28
	29
	31
A linha Cliente identifica a ordem de chegada dos clientes. A linha Intervalo identifica o intervalo de tempo entre as chegadas. A linha Momento indica o instante da chegada do novo cliente, obtido a partir de acumulações da linha intervalo acrescido de 1, para significar o início do próximo intervalo de tempo.
O valor médio dos intervalos acima é de 2,5 minutos, o ritmo médio de chegada é de 24 clientes por hora.
IC = 30/12 = 2,5 minutos
λ = 60/2,5 = 24 clientes por hora
�
b) Atendimento
	Cliente
	 1
	 2
	 3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	Duração
	1
	2
	1
	1
	3
	2
	1
	4
	2
	3
	1
	3
O tempo médio de atendimento é de 2,0 minutos e o servidor tem uma capacidade de atender 30 clientes por hora.
TA = 24/12 = 2 minutos por atendimento
µ = 60/2 = 30 clientes por hora
	Cliente
	 1
	 2
	 3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	Tempo naFila
	0
	0
	0
	0
	0
	3
	4
	0
	3
	1
	3
	2
A figura seguinte ilustra a dinâmica da fila.
O último cliente saiu do atendimento no final do 35º minuto.
Conclusões:
Total de clientes atendidos: 12
Tempo total da fila: 16 minutos
Tempo Médio na Fila = 16/12 = 1,33 minutos
Número Médio na Fila = 16/35 = 0,46 cliente
Observe que a capacidade de atendimento (µ) é superior ao ritmo de chegada (λ) e mesmo assim formam-se filas. Se a abordagem fosse feita apenas pelas médias não teríamos a formação de fila. Caso o processo fosse regular, o tempo total de atendimento dos clientes seria de 32 minutos, mas como ele é aleatório o tempo total foi de 35 minutos.
O dimensionamento dos sistemas tenta minimizar esses efeitos pela modificação de fluxos, pela colocação de mais atendentes, pela utilização de melhores atendentes, etc. Também deve se observar o custo do atendimento.
2.1.5 Sistemas Estáveis
A abordagem matemática de filas da Teoria das Filas exige que exista estabilidade no fluxo de chegada e no processo de atendimento, ou seja, os valores de λ e µ devem manter-se constantes no tempo. Se isso não ocorrer deve-se usar simulação por computador. Em um banco o fluxo de chegada de clientes varia durante o dia e não possível analisar pela Teoria das Filas. Em fábricas que funcionam 24 horas ininterruptamente temos geralmente uma situação estável.
Sistemas estáveis:
Fluxo médio de entrada (λ) constante;
Ritmo médio de atendimento (µ) constante e
µ > λ
Se µ não for maior que λ, então o tamanho da fila aumentará infinitamente.
2.1.6 Dimensionando Filas.
Dimensionar sistemas com o objetivo de prestar melhor atendimento aos clientes ou para obter uma redução de custos do funcionamento do sistema.
2.2 Variáveis Randômicas Fundamentais
λ = Ritmo médio de chegada.
µ = Ritmo médio de atendimento.
c = Capacidade de Atendimento ou Quantidade de Atendentes.
Variáveis Referentes ao Sistema
TS = Tempo médio de permanência no sistema
NS = Número médio de clientes no sistema
Variáveis Referentes ao Processo de Chegada
λ = Ritmo médio de chegada.
IC = Intervalo médio entre chegadas.
Por definição: IC = 1/ λ
Variáveis Referentes à Fila.
TF = Tempo médio de permanência na fila.
NF = Número médio de clientes na fila. 
Variáveis Referentes ao Processo de Atendimento.
TA = Tempo médio de atendimento ou de serviço.
c = Capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes.
NA = Número médio de clientes que estão sendo atendidos.
µ = Ritmo médio de atendimento.
Por definição: TA = 1/ µ
A figura seguinte mostra a localização das variáveis.
2.2.1 Relações Básicas
NS = NF + NA
TS = TF + TA
É possível demonstrar que NA = λ/µ = TA/IC. E assim:
NS = NF + NA = NF + (λ/µ) = NF + TA/IC
�
2.2.2 Taxa de Utilização dos Atendentes
Para o caso de “uma fila/um atendente”, chamamos de taxa de utilização do atendente a expressão ρ = λ/µ.
No caso de uma fila/vários atendentes, a expressão fica ρ = λ/cµ.
A taxa de utilização (ρ) representa a fração média do tempo em que cada servidor está ocupado.
Como estudaremos apenas sistemas estáveis (os atendentes sempre serão capazes de atender ao fluxo de chegada, ou seja λ<µ) teremos sempre que ρ < 1.
2.2.3 Intensidade de Tráfego ou Número Mínimo de Atendentes
O valor de i é o valor inteiro que se obtém e é medido em “erlangs”. Na prática representa o número mínimo de atendes necessários para atender um dado fluxo de tráfego.
2.2.4 Fórmulas de Little
J. D. C. Little demonstrou que em um sistema estável de filas temos:
NF = λTF e NS = λTS
2.2.5 Resumo das Fórmulas
Intervalo entre chegadas: IC = 1/λ
Tempo de atendimento: TA = 1/ µ
Taxa de utilização dos atendentes: ρ = λ/cµ
Intensidade de Tráfego (número mínimo de atendentes): 
Relações entre Fila, Sistema e Atendimento:
NS = NF + NA
NA = λ/µ
NS = NF + NA = NF + (λ/µ) = NF + TA/IC
TS = TF + TA
NA = ρ = λ/µ
�
Fórmulas de Little:
NF = λTF
NS = λTS
2.2.6 Postulados Básicos.
A figura seguinte apresenta alguns postulados básicos que se aplicam a quaisquer sistemas de filas nos quais existe estabilidade ou seja λ<µ.
�
2.3 O Modelo M/M/1
Segue a Distribuição de Poisson ou a Exponencial Negativa.
Tem um único atendente.
2.3.1 Definições:
λ = Ritmo Médio de Chegada.
IC = Intervalo Médio entre Chegadas = 1/ λ.
TA = Tempo Médio de Atendimento ou de Serviço. TA = 1/ μ.
μ = Ritmo Médio de Atendimento de cada atendente. 
População Infinita (quando a população é muito grande).
Principais variáveis randômicas:
	Nome
	Descrição
	Fórmula
	NF
	Número Médio de clientes na Fila
	
	NS
	Número Médio de clientes no Sistema
	
	TF
	Tempo Médio que o Cliente fica na fila.
	
	TS
	Tempo Médio que o cliente fica no sistema
	
	Pn
	Probabilidade de existirem n clientes no Sistema
	
Taxa de Utilização: Relação entre o ritmo de chegada e o ritmo médio de atendimento: 
�
Observação: Sistemas estáveis exigem λ < μ ou ρ < 1. Quando ρ tende para 1 a fila tende a aumentar infinitamente pois
2.4 O Modelo M/M/c
Tem uma única fila e diversos servidores.
Chegada e atendimento seguem a distribuição de Poisson ou a Distribuição Exponencial Negativa.
Supõe-se que a capacidade de atendimento de cada um dos servidores é a mesma (μ).
2.4.1 Definições:
λ = Ritmo Médio de Chegada.
IC = Intervalo Médio entre Chegadas = 1/ λ.
TA = Tempo Médio de Atendimento ou de Serviço em cada atendente. Por definição TA = 1/ μ.
μ = Ritmo Médio de Atendimento de cada atendente. 
c = capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes.
Taxa de Utilização: Relação entre o ritmo de chegada e o ritmo médio de atendimento: 
2.4.2 População Infinita
O uso de gráficos facilita o estudo do modelo M/M/c. O gráfico seguinte permite obter o número médio de clientes na fila (NF) em função do fator de utilização e tendo como parâmetro a quantidade de servidores c.
O próximo gráfico permite obter o número médio de clientes no sistema (NS)
Para ambos os gráficos a taxa de utilização é 
Após usar os gráficos, as outras variáveis randômicas fundamentais podem ser obtidas pelas fórmulas de Little: 
TF = NF/λ
TS = NS/λ
�
2.5 EXERCÍCIOS
1) Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vão receber as ferramentas especiais para a realização de uma determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ) é de uma chegada por minuto e o ritmo de atendimento (μ) é de 1,2 atendimentos por minuto (seguem o modelo marcoviano M/M/1). A fábrica paga $9,00 por hora ao atendente e $18,00 por hora ao operário. Determine:
a) O custo horário do sistema. (Resposta: $99,00 por hora)
b) A fração do dia em que o atendente não trabalha. (Resposta: 16%)
2) Contratação de um reparador. Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas, que estragam a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal, tem duas opções: um reparador lento, que é capaz de consertar a um ritmo médio de 4 falhas por hora ou um reparador rápido , que é capaz de consertar a um ritmo médio de 6 falhas por hora. O salário/hora do reparador lento é $3,00 e o do rápido é de $5,00. Qual contratação deve ser efetuada para que o custo total (reparador mais máquinas paradas) seja mínimo? Sabe-se que uma máquina parada implica um custo horário de $5,00. (Resposta: contratar o operador rápido)
3) Filas sequenciais em uma fábrica. Calcular as filas que ser formam em cada servidor.
(Resposta: 1,33; 0,17 e 0,01 )
4) Uma cooperativa agrícola prevê um crescimento na chegada de caminhões a seu terminal de descarga. O pátio de estacionamento, onde os caminhões permanecem, comporta seis caminhões. A cooperativa acha aceitável que um caminhão aguarde na fila sua vez de descarregar no máximo 0,75h. Como a equipe de descarga tem condições de descarregar quatro caminhões por hora emmédia, deseja-se saber:
a) Qual a taxa média de chegada que faz com que o tempo médio de espera seja igual ao máximo admissível? (Resposta: 3 caminhões por hora)
b) Para essa taxa de chegadas, qual a probabilidade de que o pátio não seja suficiente? (Resposta:0,10)
5) Em um sistema de uma fila e um canal, foram medidos a taxa de ocupação (0,8) e o tempo médio gasto na fila (15 min). Determine as seguintes probabilidades:
a) De ocorrer 10 chegadas por hora; (0,0898)
b) De que ocorram 12 atendimentos por hora e (0,066)
c) De formar uma fila com 10 clientes. (0,0215)
3 TEORIA DOS JOGOS
3.1 INTRODUÇÃO
A Teoria dos jogos é uma área relativamente nova da matemática aplicada que tenta analisar situações de conflito e fornece uma base para a tomada racional de decisão. 
Um jogo é uma situação de competição em que cada um dos jogadores tenta alcançar seu objetivo em um conflito direto com outros jogadores. Cada jogador faz tudo o que é possível para ganhar o máximo para si mesmo. 
Jogos de azar – são jogos em que os resultados e vitórias são determinados somente pelas leis das probabilidades e não podem ser afetadas por quaisquer ações dos jogadores. Exemplo: roleta (não exige qualquer habilidade do jogador). 
Jogos de estratégia - os resultados e vitórias são determinados pelas habilidades dos jogadores. Exemplos: xadrez, damas, pôquer e truco. 
Jogo, no nosso curso, sempre será sempre um jogo de estratégia. Além desses jogos de salão, há vários jogos que envolvem competição econômica, guerra, exploração geológica, agricultura, administração, entre outros em que cada jogador (competidor) pode escolher uma de uma variedade de jogadas possíveis. A teoria dos jogos tenta determinar a melhor estratégia para cada jogador.
Nossa abordagem estará limitada aos jogos com dois competidores usualmente chamados de R e C. Se R tem m movimentos possíveis (ou curso de ação) e que C tem n movimentos, pode-se formar uma matriz mxn nomeando suas linhas de cima para baixo com as jogadas de R e nomeando as colunas, da esquerda para a direita, com as jogadas de C. O elemento aij, na linha i e na coluna j, indica a quantidade (dinheiro ou algum outro item de valor) recebida por R se R realiza sua i-ésima jogada e C sua j-ésima jogada. O elemento aij é chamado de pagamento e a matriz A = [aij] é chamada matriz de pagamentos (para R). Estes jogos são chamados de jogos de duas pessoas. Também o chamaremos de jogos matriciais.
Também é possível construir uma matriz que represente os pagamentos efetuados para C, mas para uma classe de jogos chamados de jogos de soma constante, a soma dos pagamentos para R e para C é constante para todos os pares mn de jogadas de RC. Quanto mais R ganha, menos C ganha (ou mais C perde), e vice versa.
Jogo de soma zero – é um jogo de soma constante em a quantidade ganha por um jogador e igual a quantidade perdida pelo outro jogador. Para esses é suficiente estudar apenas a matriz de pagamentos para R.
No estudo dos jogos matriciais, considera-se que os dois jogadores são igualmente hábeis, que cada um deles joga tão bem quanto seja possível jogar e que cada jogador realiza sua jogada sem saber qual será a jogada de seu oponente.
Exemplo 1: Considere um jogo de cara ou coroa entre dois jogadores R e C, cada um deles tem uma moeda na mão. Cada jogador escolhe um lado da moeda sem saber a escolha do seu oponente. Se ambos os jogadores mostrarem o mesmo lado da moeda, então R ganha $1 de C; em caso contrário, C ganha $1 de R. Construir a matriz de pagamentos.
Exemplo 2: Há dois fornecedores, as empresas R e C, de um novo tipo especializado de pneu que tem 100.000 clientes. Cada empresa pode anunciar seu produto na TV ou em jornais. Uma empresa de propaganda determina que, se ambas as empresas anunciarem na TV, então a empresa R obterá 40.000 clientes (e a empresa C obterá 60.000 clientes). Se ambas anunciarem em jornais, então cada uma obterá 50.000 clientes. Se R anunciar em jornais e C na TV, então R obterá 60.000 clientes (e C obterá 40.000 clientes). Se R anunciar na TV e C anunciar em jornais, então cada um deles obterá 50.000 clientes.
Este é um jogo de soma constante, para o qual a soma dos clientes de R e C é sempre igual a população total dos 100.000 compradores deste tipo de pneu. Construir a matriz de pagamentos.
Observe a seguinte matriz de pagamentos:
	
	
	C
	
	
	C1
	C2
	C3
	C4
	
	L1
	8
	2
	9
	5
	R
	L2
	6
	5
	7
	8
	
	L3
	7
	3
	− 4
	7
Em que, L1, L2 e L3 são as jogadas do jogador R e C1, C2, C3 e C4 as jogadas do jogador C. Se o jogador R escolher a jogada L2, ele garante a vitória em pelo menos 5 pontos que é o menor elemento da segunda linha da matriz, independente da jogada do jogador C. Se o jogador C escolher a jogada C2, ele garante que perderá não mais que 5 pontos que é o maior elemento da segunda coluna, independente da jogada do jogador R.
Assim, o melhor curso de ação do jogador R é escolher a jogada que maximizará seus pagamentos certos, independente do que o jogador C faça. O melhor curso de ação do jogador C é escolher a jogada que minimizará suas perdas certas, independente da escolha do jogador R.
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A tabela seguinte apresenta essa análise de modo mais detalhado.
	
	
	C
	
	
	
	C1
	C2
	C3
	C4
	Mínimios
	
	L1
	8
	2
	9
	5
	2
	R
	L2
	6
	5
	7
	8
	5
	
	L3
	7
	3
	− 4
	7
	− 4
	
	Máximos
	8
	5
	9
	8
	
R escolhe a jogada L2 – maximin - maximiza o mínimo ganho de cada opção - valor maximin.
C escolhe a jogada C2 – minimax - minimiza a máxima perda de cada opção - valor minimax. 
3.2 DEFINIÇÕES
Definição: Se a matriz de pagamentos de um jogo matricial contém um elemento ars, que é ao mesmo tempo o mínimo da linha r e o máximo da coluna s, então ars é chamado de ponto de sela. Além disso, ars é chamado de valor do jogo. Se o valor de um jogo de soma zero é zero, o jogo é chamado imparcial.
Definição: Um jogo matricial é dito estritamente determinado se sua matriz de pagamentos tem um ponto de sela.
Observação: Um jogo pode ter mais do que um ponto de sela.
Exemplo 3: Considere o jogo com matriz de pagamentos
	
	C
	
	0
	−3
	−1
	3
	R
	3
	2
	2
	4
	
	1
	4
	0
	6
O jogo tem ponto de sela? 
	
	C
	Mínimios das linhas
	
	0
	−3
	−1
	3
	−3
	R
	3
	2
	2
	4
	2
	
	1
	4
	0
	6
	0
	Máximos das colunas
	3
	4
	2
	6
	
O elemento a23 é o ponto de sela para o jogo e o jogo é estritamente determinado.
O que acontece se R escolher a segunda jogada?
O que acontece se C escolher a terceira jogada?
Exemplo 4: Faça a mesma análise para o jogo do exemplo 2.
Exemplo 5: Considere o jogo com a matriz de pagamentos.
Verifique se há ponto de sela. (Resposta: não.)
Exemplo 6: Verifique se o jogo com a matriz de pagamentos A tem ponto de sela.
Resposta: vários pontos de sela com valor 4.
Exercício: Verifique se o jogo do exemplo 1 é um jogo estritamente determinado.
Nos jogos que não são estritamente determinados cada jogador tenta determinar seu melhor curso de ação. O jogador R tenta maximizar seus ganhos e o jogador C tenta minimizar suas perdas. Uma estratégia para um jogador é uma decisão para a escolha da jogada.
Como o jogo é jogado repetidamente, cada jogador fará cada jogada com uma determinada frequência relativa.
Definição: Suponha um jogo matricial com uma matriz de pagamentos mxn. Seja pi, 1 ≤ i ≤ m, a probabilidade de um jogador escolher a i-ésima linha da matriz de pagamentos. Seja qj, 1 ≤ j ≤ n, a probabilidade do outro jogador escolher a j-ésima coluna da matriz de pagamentos. O vetor 
 é chamado de uma estratégia para o jogador R; o vetor 
 é chamado de uma estratégia para o jogador C
Obs.: 
Se um jogo um jogo matricial é estritamente determinado, então as estratégias ótimas dos jogadores são estratégias que têm uma componente igual a 1 e todas as outras iguais a zero. Essas estratégias são chamadasde estratégias puras. Uma estratégia que não é pura é chamada de estratégia mista. No exemplo 3, a estratégia pura para R é 
 e a estratégia pura para C é 
.
Definição: Ganho esperado. E(p,q) = pAq, onde A é a matriz de pagamentos.
Exemplo 7: Considere um jogo matricial com matriz de pagamentos
.
Se 
 e 
 são as estratégias para R e C, respectivamente, então qual o ganho esperado para R ? (Resposta: ½). Qual o significado desse valor?
E se 
e 
 são as estratégias para R e C, respectivamente, então qual o ganho esperado para R ? (Resposta: -1/6). Qual o significado desse valor?
Definição: Uma estratégia para um jogador R é dita ótima se ela garante maior ganho possível para R, independente do que seu oponente possa fazer. Da mesma maneira, uma estratégia para o jogador C é dita ótima se ela garante o menor ganho possível para R, independente do que R faça.
Definição: Se p e q são estratégias ótimas para R e C, respectivamente, então o ganho esperado para R, v = E(p,q), é chamado de valor do jogo. Se o valor de um jogo de soma zero é zero, o jogo é dito imparcial.
3.3 DETERMINAÇÃO DAS ESTRATÉGIAS ÓTIMAS 
O principal objetivo da teoria dos jogos é determinar as estratégias ótimas para cada jogador. Desta forma, ao serem definidas as probabilidades de cada alternativa, o jogador deve selecioná-las seguindo esta probabilidade, de modo aleatório, para que sua estratégia não seja detectada pelo outro jogador.
Considere um jogo matricial com matriz de pagamentos 2x2
Com estratégia 
 para o jogador R e 
 para o jogador C e que o jogo não seja estritamente determinado.
Agora vamos determinar uma estratégia ótima para R:
Se C joga sua primeira coluna, o ganho esperado de R é a11p1 + a21p2.
Se C joga sua segunda coluna, o ganho esperado de R é a12p1 + a22p2. 
Se v é o menor dos ganhos esperados:
O jogador R procura tornar v o maior possível, isto é, R procura encontrar p1, p2 e v tais que v seja máximo e 
A adição de uma constante k a todos os elementos de A, não modifica as estratégias ótimas para R e C e o valor do jogo é k mais o valor do jogo anterior. Assim, é possível supor que, adicionando uma constante apropriada a todos os elementos da matriz de pagamentos, todo elemento de A é positivo e v também é positivo. Dividindo-se cada uma das restrições por v e fazendo 
, conclui-se que
Logo, v é máximo se e somente se y1+y2 é mínimo. O problema de R agora pode ser enunciado da seguinte maneira:
Que é um problema de programação linear.
O problema de C, encontrar q1, q2 e u, tais que u seja mínimo e 
Fazendo 
, conclui-se que
Logo u é mínimo se e somente se x1+x2 é máximo, e o problema de C será:
Generalizando:
Seja A = [aij]mxn a matriz de pagamentos, p1, p2, ..., pm estratégias de R e q1, q2, ...,qn estratégias de C.
Problema de R
Problema de C
Teorema Fundamental dos Jogos Matriciais: Todo jogo matricial tem uma solução. Isto é, há estratégias ótimas para R e C. Além disso, v = u.
Observe que os problemas de R e C são problemas de programação linear na forma padrão e são problemas duais. Resolvendo-se pelo método simplex, o quadro final apresentará as estratégias ótimas de R e C.
Exercício 1: Determinar as estratégias ótimas para R e C do jogo de soma zero do exemplo 1. Qual o significado dos resultados? O jogo é imparcial?
(Resposta: estratégias 
).
Exercício 2: Determinar as estratégias ótimas para R e C de um jogo matricial com matriz de pagamentos
(Resposta: estratégias 
).
Exercício 3: Determinar estratégias ótimas para R e C de um jogo com matriz de pagamentos
Verifique se o jogo é imparcial. Caso não seja, para quem o jogo é vantajoso?
(Resposta: valor do jogo = 3, o jogo não é imparcial; estratégias 
).
3.4 ESTRATÉGIA DOMINANTE
Algumas vezes é possível resolver um jogo matricial reduzindo-se o tamanho da matriz de pagamentos A. Se cada elemento da linha r de A é menor ou igual ao elemento correspondente da linha s, então a linha r é dita recessiva e a linha s domina a linha r. Se cada elemento da coluna r de A é maior ou igual ao elemento correspondente na coluna s, então a coluna r é recessiva e a coluna s domina a coluna r.
Exemplo 8: Na matriz de pagamentos
a primeira linha é recessiva; a terceira linha domina a primeira linha.
Exercício 4: Verifique a existência de linhas ou colunas dominantes na matriz de pagamentos 
Exercício 5: Analise a seguinte afirmativa:
Em uma matriz com linha ou coluna recessiva é possível retirar essa linha ou coluna recessiva de modo a diminuir a matriz de pagamentos.
Exercício 6: Determine as estratégias ótimas para o jogo com a seguinte matriz de pagamentos
Resposta: 
 e 
Considere um jogo matricial com matriz de pagamentos
Se 
 e 
, calcular o ganho esperado de X. Resposta: ½.
Se 
 e 
, calcular o ganho esperado de X. Resposta: −1/6.
7) Considere um jogo com matriz de pagamentos
Determinar as estratégias p e q.
Obs.: Adicionar um número a todos os elementos da matriz de modo que todos os números fiquem positivos.
Resposta: 
 
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4 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
4.1 FATO HISTÓRICO
Um funcionário encarregado de verificar o estado das estradas, deseja planejar a sua rota de inspeção. Idealmente, esta rota deveria iniciar na capital e percorrer cada estrada exatamente uma vez, retornando ao ponto de partida. Existe tal rota?
Este problema foi estudado pela primeira vez no século XVIII (1736) por Leonhard Euler(1707-1783). A situação estudada por Euler ficou imortalizada como o Problema das Pontes de Königsberg.
Situação real – o problema
O objetivo é percorrer exatamente uma vez todas as sete pontes da cidade que conectam as duas ilhas entre si e as margens do rio, voltando ao ponto de partida.
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O modelo
Um multigrafo, com 4 vértices e sete arestas. Sair de um vértice, percorrer todas as arestas do grafo, uma única vez cada.
NESTE CASO, É IMPOSSÍVEL!
4.2 TEORIA DOS GRAFOS
É um dos ramos de maior aplicação na ciência da computação. Trata-se de uma área cada vez mais ativa entre matemáticos e profissionais da computação
Grafo ( gráfico representativo de funções
Grafo = Estrutura composta de vértices e arestas
4.3 CONCEITOS BÁSICOS EM TEORIA DOS GRAFOS
Diversos problemas de programação linear, inclusive os problemas de transporte, podem ser modelados como problemas de fluxo de redes. Algoritmos específicos para determinados tipos de problemas podem ser mais convenientes para a sua solução do que algoritmos mais genéricos.
Antes de continuar, serão apresentadas algumas definições da teoria dos grafos.
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4.3.1 DEFINIÇÃO DE GRAFO.
Um grafo é uma estrutura de abstração que representa um conjunto de elementos denominados vértices (ou nós) e suas relações de interdependência ou arestas.
4.3.2 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA.
Denominado por N o conjunto de vértices da estrutura, e por M o conjunto das arestas ou ligações entre os vértices, um grafo pode ser representado por: G = (N,M).
Exemplo: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e M = {a, b, c, d, e, f}
4.3.3 DEFINIÇÃO DE GRAFO PONDERADO.
Um grafo G = (N,M) é ponderado se existem valores numéricos associados a suas arestas ou nós.
4.3.4 Definição de Grafo Rotulado.
Um grafo G = (N,M) é rotulado se existem atribuições associadas a seus nós (tanto numéricas como alfabéticas).
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4.3.5 DEFINIÇÃO DE MULTIGRAFO
Um grafo G = (N, M) é um multígrafo se existem mais de uma aresta ligando o mesmo par de vértices.
4.3.6 DEFINIÇÃO DE GRAFO DIRECIONADO
Um grafo é dito direcionado quando o sentido das ligações entre os vértices é importan​te. Nesse caso normalmente as arestas são chamadas por arcos.
4.3.7 REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
Denominando por N o conjunto de vértices da estrutura, e por M o conjunto dos pares ordenados do produtocartesiano n x n das ligações existentes em G, um grafo Orienta​do é também representado por G = (N, M).
Os grafos direcionados também são chamados de orientados.
Convenção:
G = (N, A) – representará os grafos não direcionados.
G = (V, E) – representará os grafos direcionados.
Outra significativa classe é denominada grafos bipartidos. Esse tipo de estrutura pode representa situações como as geradas por alocação de pessoas a tarefas, ferramentas a máquinas etc.
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4.3.8 DEFINIÇÃO DE GRAFO BIPARTIDO
Um grafo G é dito bipartido quando seu conjunto de Nós, N, pode ser dividido em dois conjuntos N1 e N2 tais que N1 ( N2 = ( e N1 ( N2 = N e somente existem arestas em G li​gando algum nó de N1 com algum nó de N2 e vice-versa.
4.3.9 DEFINIÇÃO DE GRAFO COMPLETO
Um grafo G é dito completo se existir ao menos uma ligação associada a cada par de vér​tices. No caso não orientado isso significa exatamente uma ligação.
Os grafos completos não orientados são também denominados cliques e denotados como Kn onde n representa o número de nós do grafo completo.
Por analogia os grafos completos bipartidos são denotados por Kpq, sendo p e q as cardina​lidades das duas partições do grafo.
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4.3.10 DEFINIÇÃO DE GRAFO REGULAR
O grau de um vértice de um grafo é o número de arestas incidentes no vértice. Um grafo G é dito regular de grau r se cada vértice em G possuir o grau r. (*) O maior grau de G é denominado ((G).
Alguns autores fazem distinção entre o conceito de grau para grafos orientados e não orientados. No caso dos grafos orientados o grau pode ser decomposto em duas parcelas: o grau interno ou o nú​mero de arcos chegando ao nó, e o grau externo, ou o número de arcos partindo do nó. Essas parcelas do grau do nó são denominadas semigrau. No caso dos grafos direcionados a soma do semigrau inte​rior d(i)+ e exterior d(i)-, conduz ao valor final do grau do nó. A expressão para a obtenção do grau em grafos orientados é:
d(i) = (d(i)-( + (d(i)+ (
No caso da figura podemos calcular o grau do vértice 4 da seguinte forma:
d(4) = (d(4)-( + (d(4)+ (= (-2(+ (+2( = 4
�
4.4 REDE
Definimos uma rede R = (E, V, F) como um grafo direcionado G = (E, V) atravessado por um Fluxo F = {f1,f2, ...,fm} que circula em suas m arestas. Em uma rede normalmente dois nós são destacados: o nó fonte e o nó sumidouro. Qualquer tipo de rede pode ser reduzida a uma rede com apenas um nó fonte e um nó sumidouro, mesmo que artificialmente configurados. Os arcos da rede podem ser limitados em capaci​dade em relação ao fluxo. Esses mesmos arcos podem impor custos à circulação do fluxo. De uma for​ma geral, uma rede poderia ser representada como na figura seguinte. Os nós são representados pelos cír​culos e os arcos pelas setas. O sentido convencional do fluxo está indicado pelas setas (o grafo de subs​trato é direcionado).
onde:
lij = limite inferior (ou mínimo) para o fluxo no arco i-j. 
Lij = limite superior (ou máximo) para o fluxo no arco i-j. 
Cij = custo de circulação da unidade de fluxo no arco i-j.
A figura seguinte representa uma rede valorada.
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4.5 OUTROS CONCEITOS BÁSICOS
Um dos pontos mais fundamentalmente associados à noção de grafos é o conceito de ligação entre vér​tices. De fato, o modelo é, basicamente, uma estrutura adequada a representar topologicamente formas de conexão. É, portanto, indispensável esclarecer como os vértices podem estabelecer vínculos ou liga​ções através das denominadas arestas ou arcos. Nesse sentido, existem duas formas específicas de en​tender vizinhança entre nós e arestas, uma para o caso dos grafos direcionados e outra para os não direcionados.
4.5.1 DEFINIÇÃO DE CADEIA DE ARESTAS
Dizemos que uma cadeia de arestas é uma seqüência de arestas em que todas são distin​tas (não repetidas).
4.5.2 DEFINIÇÃO DE CAMINHO
Um caminho é urna seqüência de arestas em que todos os nós visitados são distintos.
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4.5.3 DEFINIÇÃO DE COMPRIMENTO DE UM CAMINHO
Em um grafo G não ponderado, o comprimento de um caminho é o número de arestas desse caminho.
Em um grafo G ponderado, o comprimento de um caminho é a soma dos pesos das arestas desse caminho.
4.5.4 DEFINIÇÃO DE CICLO
Em um grafo G, um ciclo é uma cadeia fechada, ou seja, que inicia e termina em um mesmo nó.
4.5.5 DEFINIÇÃO DE CIRCUITO
Quando o grafo G é orientado, alguns autores denominam por circuito a seqüência dis​tinta de arcos que repete o último nó visitado.
4.6 CONEXIDADE
4.6.1 DEFINIÇÃO DE GRAFO CONEXO
G é conexo se para todo par de vértices existe pelo menos uma cadeia entre eles.
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4.7 DEFINIÇÃO DE ÁRVORE.
Um grafo é denominado por árvore se for conexo e não possuir ciclos.
4.8 REPRESENTAÇÃO DO MODELO USANDO MATRIZ DE ADJACÊNCIA
Trata-se de Uma representação bastante simples. O grafo é expresso em uma matriz A = [aij] através dos nós e de suas relações de vizinhança. As linhas e as colunas da matriz estão associadas aos nós do grafo. A matriz é, normalmente, boleana, ou seja, seus elementos são 0 e 1. Quando existem arestas paralelas, o valor de aij pode passar a representar o número de arcos paralelos.
4.8.1 DEFINIÇÃO DE MATRIZ DE ADJACÊNCIA
Uma matriz n x m A = [aij] é denominada como de adjacência do grafo G = (N,M) se:
aij = 1 ( existe a ligação (i,j)
aij = 0 ( não existe a ligação (i,j)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Grafo G e sua Matriz de adjacência
�
4.9 REPRESENTAÇÃO DO MODELO USANDO A MATRIZ DE INCIDÊNCIA
Nesse caso as colunas da matriz correspondem às arestas do grafo e as linhas aos nós.
4.9.1 DEFINIÇÃO DE MATRIZ DE INCIDÊNCIA
Uma matriz n x m A = [aij] é denominada como de incidência do grafo G = (N, M) se, para todo arco j que liga o nó k ao nó l temos:
aij = +1( i = k
aij = -1( i = l (para grafo direcionado, senão aij = 1) 
aij = 0 nos outros casos
	
	
Grafo direcionado e sua matriz de incidência.
	
	
Grafo não direcionado e sua matriz de incidência.
4.10 ANÁLISE DE REDES
4.10.1 PROBLEMAS DE EXTENSÃO MÍNIMA
Um problema de extensão mínima envolve um conjunto de nós e um conjunto de ramos propostos, nenhum deles orientado. Cada ramo proposto possui um custo não negativo associado. O objetivo é construir uma rede conexa contendo todos os nós e tal que a soma dos custos associados aos ramos realmente utilizados seja mínima.
O problema de extensão mínima é sempre resolvido por meio de uma árvore. Uma árvore de extensão mínima pode ser obtida selecionando-se inicialmente qualquer nó e determinando-se ramo incidente no nó selecionado que possui o menor custo (os empates são decididos arbitrariamente). Este ramo é aceito como parte da rede final. A rede é então completada de forma iterativa. A cada estágio do processo iterativo a atenção é focalizada sobre os nós já interligados.
Se os custos forem todos distintos a árvore de mínima extensão é única e é produzida pelo algoritmo acima com qualquer escolha de nó inicial.
4.10.2 PROBLEMAS DE PERCURSO MÍNIMO.
Um problema de percurso mínimo envolve uma rede conexa dotada de custos não negativos associados a cada um dos ramos. Um nó é designado como fonte e outro como sumidouro. O objetivo é determinar um percurso interligando a fonte e o sumidouro, tal que a soma dos custos associados aos ramos do percurso seja mínima. Os problemas de percurso mais barato são resolvidos por meio do seguinte algoritmo no qual todos os empates são decididos arbitrariamente.
 Algoritmo para problemas do percurso mínimo
Passo 1: Construir uma lista principal registrando os nós em ordem crescente de custo e sob cada nó os ramos incidentes. Cada ramo sob um determinado nó é escrito com este nó como sendo o primeiro. Omite-se da lista qualquer ramo que tenha a fonte como segundo nó ou o sumidouro como seu primeiro nó.
Passo 2: Assinalar com asterisco (*) o nó fonte e atribuir o valor 0. Localizar o ramo demenor custo e assinalar com um círculo. Assinalar com um asterisco (*) o segundo nó desse ramo e alocar a este nó um valor igual ao custo do ramo. Eliminar da lista principal todos os outros ramos que possuem o nó recém assinalado com asterisco como segundo nó.
Passo 3: Se o nó recém assinalado com asterisco for o sumidouro, ir para o passo 5. Caso contrário, ir para o passo 4.
Passo 4: Considerar, na lista principal corrente, todos os nós assinalados com asterisco (*) sob os quais haja ramos não marcados por círculos. Para cada um destes nós, adicionar ao valor que lhe é alocado o custo do ramo de menor custo não marcado por círculo sob o nó em pauta. Designar a menor destas somas por M e circunda-se o ramo cujo custo contribuiu para M. Assinalar com asterisco (*) o segundo nó deste ramo e alocar a ele o valor M. Excluir da lista principal todos os outros ramos que possuam o nó recém assinalado por asterisco como segundo nó. Ir para o passo 3.
Passo 5: Z é o valor alocado ao sumidouro. Um percurso de custo mínimo é obtido recursivamente começando com o sumidouro, pela inclusão no percurso de cada um dos ramos circundados, cujo segundo nó pertença ao percurso.
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4.11 EXERCÍCIOS
1) Uma companhia transportadora deve movimentar 50 unidades de um produto de Los Angeles para New York. A tabela 1 fornece os custos de transporte (em dólares por unidade) entre vários depósitos da companhia. Os elementos em branco na tabela significam os transportes que não podem ser realizados entre os depósitos correspondentes. Determinar o esquema de transporte de menor custo. Resolver o problema como um problema de percurso mínimo.
Tabela 1 – Custo de transporte em dólares por unidade
	
	Los Angeles
	São Francisco
	Phoenix
	Laramie
	St. Louis
	Chicago
	New York
	Los Angeles
	
	7
	8
	
	39
	
	95
	São Francisco
	7
	
	22
	17
	
	36
	85
	Phoenix
	8
	22
	
	14
	25
	27
	
	Laramie
	
	17
	14
	
	31
	19
	
	St. Louis
	39
	
	25
	31
	
	14
	20
	Chicago
	
	36
	27
	19
	14
	
	13
	New York
	95
	85
	
	
	20
	13
	
Resposta: Los Angeles ( Phoenix ( Chicago ( New York, custo = 48
2) Use a tabela 1 para determinar o esquema de transporte de menor custo entre Phoenix e New York. Resolver o problema como um problema de percurso mínimo.
Resposta: Phoenix ( Chicago ( New York, custo = 40
3) Use a tabela 1 para determinar o esquema de transporte de menor custo entre São Francisco e New York. Resolver o problema como um problema de percurso mínimo.
Resposta: São Francisco ( Chicago ( New York, custo = 49
4) Determinar a matriz de adjacência e de incidência dos seguintes grafos.
	a)
	b)
5) Representar o grafo que tem a seguinte matriz de adjacência
	a)
	1
	2
	3
	4
	
	b)
	1
	2
	3
	4
	1
	0
	1
	0
	1
	
	1
	0
	1
	1
	0
	2
	1
	0
	1
	1
	
	2
	1
	0
	1
	0
	3
	0
	1
	0
	0
	
	3
	1
	1
	0
	1
	4
	1
	1
	0
	0
	
	4
	0
	0
	1
	0
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANDRADE, E. L., Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos para Análise de Decisões. 3ª. Edição. LTC Editora. Rio de Janeiro, 2002.
BRONSON, R. .Pesquisa Operacional, McGraw‑Hill ,1985
GOLDBARG, M. C. & LUNA, H. P. L. Otimização Combinatória e Programação Linear, Campus, 2000.
PRADO, Darci Santos do. Teoria das Filas e Simulação. Editora de Desenvolvimento Gerencial. Série Pesquisa Operacional. Vol.2. 2ª. Edição. Belo Horizonte - MG. 2004 
SILVA, Ermes Medeiros et al.. Pesquisa Operacional. Atlas, 1998
 			A
 C
 D
 
 B
 A
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 C o o D
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 B
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