Apostila Pesquisa Operacional

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PLANO DE ENSINO 
DISCIPLINA 
Pesquisa Operacional 
EMENTA 
Conceitos introdutórios e aplicações da pesquisa operacional para área de gestão empresarial. 
Programação linear aplicada à gestão empresarial. Problemas de transporte aplicados à gestão 
empresarial. Introdução à teoria dos grafos, Teoria dos Jogos e à Teoria da fila. Aplicação 
computacional (Solver) em programação linear e transporte. 
 
IMPORTÂNCIA 
O cenário de mercado em que as empresas estão inseridas na atualidade não admite falhas 
quanto à resolução de problemas, bem como o alcance de resultados abaixo daqueles almejados 
pelas organizações. Dessa maneira, o gestor que deseja fazer frente aos desafios empresariais 
deve apresentar conhecimentos de técnicas e/ou ferramentas que permitam a tomada de 
decisão na resolução de problemas complexos, aqueles que envolvem uma diversidade de 
variáveis. Assim, representar situações reais através de relações e simbologias matemáticas, 
objetivo maior da Pesquisa Operacional, permite ao Administrador determinar o melhor 
posicionamento para atender todas as restrições, condições e exigências que compõem a 
perspectiva empresarial, buscando seus menores custos e maiores lucros. 
 
OBJETIVO GERAL 
Ao final desta disciplina, espera-se que o aluno tenha aprendido a: 
1) Definir a importância da cautelosa modelagem matemática como instrumento para 
a tomada de decisão gerencial. 
 
 
 
2) Resolver problemas de alocação de recursos empresariais por meio da aplicação de 
Programação Linear. 
3) Determinar fluxos de transporte almejando redução dos custos e otimização de 
entregas. 
4) Identificar os principais conceitos, importância e aplicações da Teoria dos Grafos, 
Teoria das Filas e Teoria dos Jogos. 
 
METODOLOGIA 
A metodologia adotada é predominantemente a distância, mediada por um Ambiente Virtual de 
Aprendizagem (AVA) e acompanhada por uma equipe que envolve o Tutor a distância, Tutor 
presencial, Monitor e Coordenação. O conteúdo da disciplina será discutido no AVA, sendo 
apresentado através de várias mídias, incluindo textos, imagens, animações, vídeos e livros, tanto 
impressos como digitais. As atividades serão apresentadas e realizadas no AVA, envolvendo 
sessões de autoestudo, interação com os colegas, com o Tutor e com o Monitor através de fóruns 
e outros meios, bem como avaliações on-line. Para a construção do seu conhecimento é 
indispensável a leitura dos trechos indicados do livro da disciplina e da bibliografia 
complementar, assistir às videoaulas, participar dos fóruns de discussão e realizar todas as 
atividades indicadas no roteiro de estudos e na Rota de Aprendizagem. 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
 
UNIDADE - MODELOS MATEMÁTICOS DE APOIO À DECISÃO: A PESQUISA 
OPERACIONAL 
 Conceitos introdutórios e o enfoque gerencial da Pesquisa Operacional 
 Modelos Matemáticos: importância, elementos e etapas 
 Elaboração de Modelos Matemáticos 
 
 
 
 
UNIDADE - PROBLEMAS PARA ALOCAÇÃO DE RECURSOS: A PROGRAMAÇÃO 
LINEAR 
 Programação linear (PL) e a Resolução pelo Método Gráfico 
 O Método Simplex 
 Métodos computacionais: a utilização do Solver na resolução de problemas de 
programação linear 
 
UNIDADE - DETERMINAÇÃO DOS FLUXOS DE TRANSPORTE 
 O algoritmo do Transporte 
 Métodos: Canto Noroeste e do Custo Mínimo 
 O método de Vogel ou das Penalidades 
 
UNIDADE - OUTRAS TÉCNICAS: INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS, À TEORIA 
DAS FILAS E À TEORIA DOS JOGOS 
 Introdução à Teoria dos Grafos. 
 Introdução à Teoria das Filas 
 Introdução à Teoria dos Jogos 
 
AVALIAÇÃO 
 
 
 
As avaliações da disciplina têm como foco a aprendizagem do aluno, comprometendo-se com 
seu desempenho e construção do saber. Os critérios adotados permitem aos tutores e à equipe 
pedagógica acompanhar e favorecer a aprendizagem do aluno. 
A avaliação da disciplina envolve: 
 Avaliações on-line realizadas no AVA (peso 4). 
 Avaliação presencial (peso 6). 
 
REFERÊNCIAS 
 
Básica: 
BARBOSA, Marcos Antonio; ZANARDINI, Ricardo Alexandre. Iniciação à Pesquisa Operacional 
no ambiente de gestão. Curitiba: InterSaberes, 2014. 
 
LACHTERMANCHER, Gerson. Pesquisa Operacional na tomada de decisões. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2009. 
 
TAHA, Hamndy A. Pesquisa Operacional: uma visão geral. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2008. 
 
 
Complementar: 
BEZERRA, Cicero Aparecido. Técnicas de Planejamento, programação e controle da produção e 
introdução à programação linear. Curitiba: InterSaberes, 2014. 
 
CHIAVENATO, Idalberto. Introdução à teoria geral da Administração. Barueri: Manole, 2014. 
 
FERNANDES, Daniela Barude (Org.) Álgebra linear (Coleção Bibliografia Universitária Pearson). 
São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014. 
 
MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica: probabilidade e inferência. São Paulo: Pearson, 
2010. 
 
SILVA, Reinaldo O. Teorias da Administração. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
 
O processo decisório organizacional ganha mais força ao empregar métodos matemáticos 
para representação da realidade. Assim, ao apresentar situações reais através de 
simbologias e relações matemáticas conseguimos delinear os melhores caminhos frente às 
restrições existentes e objetivos traçados para os processos organizacionais. Entretanto, a 
qualidade dos resultados obtidos depende diretamente do cuidado no levantamento de 
características e definição do modelo mais adequado. 
Objetivos
Conteúdo Programático
Rota de Aprendizagem
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: 
Definir a importância da cautelosa modelagem matemática como instrumento 
para a tomada de decisão gerencial.
Esta unidade está dividida em: 
Aula 1 - Conceitos introdutórios e o enfoque gerencial da Pesquisa Operacional
Aula 2 - Modelos Matemáticos: importância, elementos e etapas
Aula 3 - Elaboração de Modelos Matemáticos
A Rota de Aprendizagem apresenta as ações que devem ser realizadas nesta 
unidade. Utilize a Rota de Aprendizagem para planejar e gerir, com eficiência, as 
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Aula 1
Conceitos introdutórios e o enfoque gerencial da Pesquisa 
Operacional 
A Pesquisa Operacional consiste em um método científico para as tomadas de decisão que 
envolvem dados quantitativos. Nesta metodologia, situações reais são representadas por 
modelos mat emát icos que, através de símbolos e relações matemáticas, possibilitam 
simulações das mais diversas situações inerentes às atividades empresariais. 
No conjunto de processos organizacionais, um deles 
ganha salutar importância no gerenciamento eficaz das 
empresas: o processo decisório. Trata-se do poder de 
selecionar, de acordo com cada circunstância, o 
posicionamento mais adequado para o negócio. Para 
desenvolver sua estratégia competitiva, a organização 
deve buscar desempenho superior aos concorrentes, 
fato que implica na definição das melhores estratégias, 
portanto, das decisões certas. Desde o ano de 1940, 
analisar e aperfeiçoar o processo decisório nas 
organizações tem sido tema de diversos estudos que, ao 
longo do tempo, foram permitindo compreender 
especificidades de problemas aplicados, a fim de 
desenvolver inovações quanto às técnicas 
administrativas e absorver procedimentos quantitativos 
oriundos da matemática, estatística e pesquisa 
operacional. 
A primeira aplicação formal da Pesquisa Operacional ocorreu na Inglaterra, durante a 
Segunda Guerra Mundial. Para avaliar um conjunto de problemas estratégicos e táticos 
quanto à defesa do país, um grupo multidisciplinar de cientistas foi convocado para definir as 
novas diretrizes. O objetivo maior dessa equipe versou acerca da mais eficaz utilização dos 
recursos militares disponíveis, que possuíam um conjunto de limitações e exigências a serem 
consideradas. 
Os estudos do grupo inglês foram bem-sucedidos e trouxeram 
avanços significativospara o processo decisório das forças 
nacionais. Diante desse contexto, os Estados Unidos 
sentiram-se motivados a tomarem iniciativa similar e 
desenvolver análises na mesma perspectiva. Coube a equipe 
liderada por George B. Dantzig essa tarefa que, em 1947, 
resultou no Método Simplex. 
Ainda que seu nascimento tenha origem na Inglaterra, a 
Pesquisa Operacional foi propagada nas demais nações 
através do trabalho realizado pelo grupo americano que 
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Considerando um problema verificado pelo gestor, o resultado da realização das cinco etapas de 
um estudo de Pesquisa Operacional é responsável pela definição do melhor direcionamento para 
a tomada de decisão gerencial. Como sabemos, diante do ambiente sistêmico, em que as 
Ainda que seu nascimento tenha origem na Inglaterra, a 
Pesquisa Operacional foi propagada nas demais nações 
através do trabalho realizado pelo grupo americano que 
conseguiu apresentá-la como método científico para 
tomadas de decisão referentes à operação de sistemas que 
demandam alocações eficientes de recursos escassos. 
Passos (2008), aponta que após a guerra, por volta de 1947, com o desenvolvimento do 
Método Simplex (resultado dos trabalhos desenvolvidos pela equipe de George B. 
Dantzig), a Pesquisa Operacional deixou de ser empregada apenas no campo militar e 
alcançou as empresas civis. Inclusive, registros apontam que já em 1951 empresas 
americanas faziam uso dos novos conhecimentos para melhorar seus fluxos 
operacionais. 
Com o fim da guerra, outras áreas perceberam o alcance da 
utilização de técnicas de pesquisa operacional e se 
interessaram por implementar essa metodologia para seus 
correspondentes processos decisórios. Assim, os 
conhecimentos adquiridos pelas equipes de trabalhos das 
nações em guerra chegaram à gestão das organizações, 
afinal a utilização das técnicas da Pesquisa Operacional 
independem da natureza dos problemas reais, pois nos 
permite reconhecer os múltiplos aspectos envolvidos nas 
situações empresariais, além de viabilizar a experimentação 
da solução proposta antes de sua real adoção, fato que 
permite com que todas as decisões sejam melhor avaliadas e 
testadas antes de se tornarem efetivamente implementadas. 
Para o desenvolvimento dos estudos de Pesquisa Operacional, Silva et al. (2010) preveem que 
um conjunto de etapas devem ser vencidas para que a tomada de decisão seja completa, 
eficaz e eficiente. Segundo Andrade (2011), cada uma das etapas possui características 
distintas, porém complementares, que implicarão no satisfatório resultado final. Sendo 
assim, o desenvolvimento de cada fase deve ser realizado com cautela e atenção. A seguir, 
veremos passo a passo, as ações a serem executadas em cada um dos cinco momentos 
evidenciados. 
Basicamente, cinco (05) etapas compõem esse estudo, são elas: 
Formulação 
do Problema
Const rução 
do Modelo
do sistema
Solução do
Modelo
Validação do
Modelo
Implementação 
e 
acompanhamento
da solução
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Considerando um problema verificado pelo gestor, o resultado da realização das cinco etapas de 
um estudo de Pesquisa Operacional é responsável pela definição do melhor direcionamento para 
a tomada de decisão gerencial. Como sabemos, diante do ambiente sistêmico, em que as 
empresas estão inseridas, os recursos são limitados e ratificam a necessidade de esforços para 
determinar a melhor utilização dos mesmos, evidenciando o enfoque gerencial da Pesquisa 
Operacional na racionalização desses recursos envolvidos. 
Basicamente, cinco tipos de recursos fazem parte do contexto empresarial, são eles: materiais, 
financeiros, mercadológicos, humanos e administrativos. Na tabela a seguir, dispomos desse 
conjunto de recursos, bem como características e exemplos. 
Veja só: 
Tipo de 
Recurso
Caracter íst icas Exemplo
Materiais Também conhecidos como recursos físicos, estão relacionados ao 
fator de produção natureza.
Equipamentos
Maquinário
Instalações 
prediais
Ferramentas
Matéria-prima
Financeiros Referem-se aos meios financeiros que permitem a execução das 
operações da empresa, portanto se relacionam com o fator de 
produção capital.
Capital
Investimentos
Contas a receber
Créditos
Mercadológicos Tratam-se dos recursos comerciais utilizados pelas empresas 
para ofertar produtos ou serviços no mercado, são os meios para 
se relacionar com o ambiente externo.
Vendas
Promoções
Pesquisas de 
Mercado
Humanos Estão relacionados ao fator de produção trabalho. Representam 
as diversas pessoas que fazem parte do quadro de colaboradores 
da organização. Portanto se relacionam ao fator de produção 
trabalho.
Operários
Supervisores
Atendentes
Auxiliares
Gestores
Administ rat ivos Representam os recursos gerenciais utilizados pelas empresas 
em seus processos de planejamento, organização, direção e 
controle de suas atividades.
Diretorias
Gerencias
Supervisões
Dessa maneira, tanto o funcionamento quanto os resultados empresariais estão relacionados 
com o quantitativo de recursos ao alcance de uma organização. Quanto menos forem os 
recursos, maiores serão as dificuldades para que a organização alcance seus objetivos. 
Assim, a sistematização do seu uso permite, considerando limitações e exigências, alcançar 
os melhores resultados organizacionais possíveis. 
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Aula 2
Modelos Matemáticos: importância, elementos e etapas 
A Pesquisa Operacional se propõe a fornecer ferramentas quantitativas para o processo de 
tomadas de decisão gerenciais. Acerca do tema, Andrade (2011, p.9) afirma que: 
Um estudo de Pesquisa Operacional consiste, basicamente, na 
construção de um modelo para um sistema real que sirva como 
instrumento de análise e compreensão do comportamento desse sistema, 
com o objetivo de levar o sistema a apresentar o desempenho desejado. 
Nesse contexto, cenários relativos à otimização de recursos, definição quanto a roteirização, 
determinação de localização de instalações, decisões sobre carteiras de investimento, 
alocação de pessoas para atividades, previsões de planejamento, definição quanto ao mix de 
produtos, planejamento da produção, verificação de projetos, e tantos outros, recebem 
subsídios para o processo decisório. 
O processo de elaboração dos modelos, além de possibilitar um posicionamento futuro 
embasado nos resultados quantitativos, é vantajoso ainda, pois permite ao gestor a 
compreensão ampla dos processos sob sua responsabilidade, afinal exige que: 
Os tomadores de decisão tornem explícitos seus 
objetivos.
As relações entre diferentes decisões sejam 
evidenciadas.
As limitações sejam identificadas.
As variáveis a serem consideradas sejam levantadas.
Exista espaço para comunicação e trabalho em grupo.
Mas ent ão, o que são modelos? 
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Ao pensarmos na palavra modelo, acredito que facilmente compreendemos a mesma como 
referência, exemplo, padrão ou representação. Considerando os graus de abstração, nível 
comumente utilizado pelas várias ciências, podemos classificar os modelos basicamente em: 
físicos, analógicos e matemáticos ou simbólicos. Vejamos a seguir. 
Os modelos físicos, também chamados de icônicos, são aqueles concretos, portanto, 
fáceis de compreender e construir. Tratam-se de modelos como as maquetes, 
utilizadas pelas áreas de urbanismo e arquitetura. 
Cabe a Pesquisa Operacional agregar uma diversidade de técnicas e algoritmos 
para estruturar e solucionar os modelos quantitativos que passaram a ser 
expressos pelo formato matemático. Nesse contexto, os principais modelos 
utilizados recebem a nomenclatura de programação matemática, devidoà ideia de 
planejamento implícita na aplicação dos mesmos. 
Há um destaque para a programação matemática devido a sua grande 
aplicabilidade para solucionar os problemas de otimização presentes em 
expressiva quantidade no cotidiano empresarial. Assim, os modelos de otimização 
não procuram flexibilidade na escolha da alternativa e sim a definição da melhor alternativa 
ou resultado matemático para solucionar a situação real representada pelo modelo. 
A qualidade do modelo será diretamente responsável pela validade dos resultados obtidos 
para a situação-problema. Sendo assim, sua elaboração deve ser estabelecida após a 
verificação completa acerca do objeto de estudo (situação para otimização) e precisa indicar 
claramente as variáveis de decisão, o objetivo traçado e as restrições que impactam no 
contexto, sendo esses os itens que compõem um modelo matemático. 
As variáveis de decisão correspondem aos aspectos do problema que necessitam de solução. 
Matematicamente falando, são as incógnitas as quais buscamos definir a partir da 
identificação, solução e validação do modelo. 
Por exemplo, quando nos deparamos com a necessidade de programação de produção, 
as variáveis de decisão representarão as quantidades que deverão ser produzidas, no 
entanto, se estamos analisando o envio de mercadorias a centros de distribuição, 
teremos as quantidades a enviar da origem aos determinados destinos sendo nossas 
incógnitas. 
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entanto, se estamos analisando o envio de mercadorias a centros de distribuição, 
teremos as quantidades a enviar da origem aos determinados destinos sendo nossas 
incógnitas. 
É muito comum que utilizemos x1, x2, xn, para representar as variáveis envolvidas nos 
sistemas em análise. Assim, atribuímos a cada variável uma nova nomenclatura em sua 
representação matemática. 
A função objetivo, busca retratar a meta que desejamos alcançar com a aplicação do 
modelo, portanto, identificar o objetivo da tomada de decisão. Para isso, relacionaremos as 
incógnitas, que agora sabemos que são chamadas de variáveis de decisão, com os lucros, 
custos ou demais itens de otimização (dependendo do modelo elaborado) correspondentes. 
Vale ressaltar que cabe a essa função, calcular o valor alcançado para o objetivo diante do 
atendimento às exigências. 
O objetivo do modelo matemático deve ser indicado logo ao início da função objetivo. 
Assim, sinalizamos MAX L para o contexto de busca utilizar recursos para ampliar lucros, 
ou MIN C, quando o desejo é racionar o uso dos mesmos para atenuar dispêndios. 
Cada restrição imposta pela descrição do sistema deve ganhar representação na forma de 
uma relação linear considerando as nomenclaturas adotadas para cada uma das variáveis de 
decisão. 
Ainda no conjunto de restrições, devemos incluir as restrições de não negatividade, que 
são aquelas que afirmam que as variáveis de decisão precisam ser iguais ou maiores que 
zero. 
Teremos indicações matemáticas quanto a quantidade de matérias-primas disponíveis e o 
quantitativo utilizado por cada unidade produzida, período total de processamento diário e 
tempo para cada item, exigências do cliente quanto a quantidades mínimas de entrega e 
tantas outras condições e limitações que possam impactar na situação avaliada e que são 
classificadas como restrições técnicas. 
Os modelos matemáticos são compostos por três conjuntos principais de elementos. 
São eles: 
Posicione o cursor sobre as imagens acima para saber mais. 
Variáveis de 
decisão 
Função objetivo Restrições 
Vídeo da Unidade
Para saber mais sobre a importância dos modelos matemáticos para os estudos de 
Pesquisa Operacional e suas características, assista ao vídeo: Const rução de Modelos 
Matemát icos. 
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Pesquisa Operacional e suas características, assista ao vídeo: Const rução de Modelos 
Matemát icos. 
Se preferir, faça o download do áudio (mp3 compactado) deste vídeo clicando aqui.
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Aula 3
Elaboração de Modelos Matemáticos 
A qualidade da decisão nos estudos de Pesquisa Operacional dependerá do modelo 
matemático elaborado e do nível de representação da realidade que o mesmo apresenta. As 
variáveis de decisão, função objetivo e restrições são os itens que devem constar na 
composição de um modelo. Assim, para melhor compreensão quanto à concepção desses 
elementos, te convido a acompanhar a elaboração dos modelos matemáticos 
correspondentes a duas situações-problema: 
1
O caso do Sr. Mário e o 
transporte de frutas
À
2
O caso de Letícia e a 
produção dos 
modelos Alfa e Beta.
Situação-problema 1: o caso do Sr. Mário e o transporte de frutas
Sr. Mário produz em suas terras morangos, damascos e uvas para comercialização na capital 
e região metropolitana. Semanalmente, as frutas são devidamente embaladas e direcionadas 
para o mercado consumidor, sendo todo o processo, inclusive o transporte, de 
responsabilidade do empresário. Entretanto, para as entregas da semana que vem um 
problema deverá ser contornado pelo agricultor, afinal alguns de seus caminhões não poderão 
viajar por conta de falhas mecânicas e o mesmo não costuma trabalhar com serviços 
terceirizados de logística. 
Diante desse cenário, sabe-se que até 900 caixas poderão ser transportas do ponto de origem 
ao destino final, no entanto, o empresário deverá tomar a decisão certa para, ainda assim, 
obter lucro máximo frente à ausência de toda sua frota em pleno funcionamento. 
O agricultor tem uma encomenda certa de morangos, e por conta disso necessita transportar 
250 caixas da fruta para não perder espaço como fornecedor semanal do Mercado Alfa, fato 
que o permite embolsar um lucro de R$ 25,00 por caixa. Devido à grande procura na semana 
passada, pelo menos 150 caixas de uvas, que apresentam lucro por caixa de R$ 12,00, devem 
ser transportadas para atender a busca dos clientes. Para os damascos, o histórico de vendas 
semanais indica que no máximo 200 caixas, com R$ 30,00 de lucro por caixa, devem ser 
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passada, pelo menos 150 caixas de uvas, que apresentam lucro por caixa de R$ 12,00, devem 
ser transportadas para atender a busca dos clientes. Para os damascos, o histórico de vendas 
semanais indica que no máximo 200 caixas, com R$ 30,00 de lucro por caixa, devem ser 
transportadas também. 
Sendo assim, considerando todos os elementos e restrições que impactam nos negócios do Sr. 
Mário, qual modelo matemático representa essa situação empresarial? 
VARIÁVEIS DE DECISÃO
O grande problema vivenciado pelo empresário consiste na definição de quantas caixas de 
cada uma das frutas devem ser direcionadas para venda na capital e região metropolitana. 
Assim, sabemos que o Sr. Mário comercializa: 
Morangos À Uvas À Damascos
Desse modo, a decisão a ser tomada se refere ao quantitativo de caixas a serem 
transportadas de cada tipo de fruta, fato que nos permite que as identifiquemos como as 
variáveis de decisão da situação-problema. Representaremos cada uma das 
frutas/quantidades, como uma incógnita a ser descoberta após a resolução matemática do 
modelo, portanto, as chamaremos da seguinte forma: 
X1 = Quantidade de 
caixas de Morango À
X2 = Quantidade de 
caixas de Uva À
X3 = Quantidade de 
caixas de Damasco
Função Objetivo
Agora que definimos quais são as variáveis de decisão envolvidas na situação-problema, bem 
como suas nomenclaturas, deveremos passar ao momento seguinte, aquele que buscamos 
expressar na forma de equação o objetivo da nossa modelagem. 
Nossa situação-problema afirma que o empresário deverá tomar a decisão certa para, ainda 
assim, obter lucro máximo frente à ausência de toda sua frota em pleno funcionamento.Portanto, o objetivo do Sr. Mário é transportar o número suficiente de caixas para atingir o 
lucro máximo com a composição das vendas de morango, uva e damasco. 
Assim, como se deseja maximizar os lucros, faremos essa indicação através da expressão 
MaxL inserida antes da igualdade, dando início à função objetivo. Por tipo de fruta, existe 
um lucro específico por venda da caixa o que, portanto, deve estar sinalizado na composição 
da função. Lembremos que: 
Para cada caixa de morango vendida, que nós chamamos de x1, o lucro é de R$ 25,00. 
Para cada caixa de ameixa vendida, que nós chamamos de x2, o lucro é de R$ 12,00. 
Para cada caixa de damasco vendida, que nós chamamos de x3, o lucro é de R$ 30,00. 
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Para cada caixa de ameixa vendida, que nós chamamos de x2, o lucro é de R$ 12,00. 
Para cada caixa de damasco vendida, que nós chamamos de x3, o lucro é de R$ 30,00. 
Dessa maneira, o lucro total a ser obtido pelo Sr. Mário será dado pela soma entre os lucros 
obtidos com venda de morangos, uvas e damascos, sendo registrados na Função Objetivo da 
seguinte maneira: 
MaxL = 25X1 + 12X2 +
Restrições
Ainda que o desejo seja pelo maior lucro possível, não podemos desconsiderar todas as 
informações que fazem parte desse contexto empresarial. Existe um conjunto de restrições 
impostas pelas práticas comerciais e que foram listadas em nossa situação-problema. Vamos 
lembrar quais são? Observe: 
1
O total de 
250 caixas de 
Morangos 
deverá ser 
encaminhado 
para 
atendimento 
ao Mercado 
Alfa.
À
2
Ao menos 150 
caixas de Uvas 
devem ser 
transportadas 
para a capital 
e região 
metropolitana.
À
3
Devem ser 
enviadas, no 
máximo, 200 
caixas de 
Damasco.
À
4
O total de 
caixas de 
frutas que 
poderão ser 
direcionadas 
para esse 
entrega 
semanal é de 
até 900 
caixas.
Outra informação importante que deve ser lembrada se refere a nomenclatura adotada para 
nossas variáveis de decisões. São elas: 
X1 = Quantidade de 
caixas de Morango À
X2 = Quantidade de 
caixas de Ameixa À
X3 = Quantidade de 
caixas de Damasco
Pronto! Nos trechos a seguir, destacaremos as limitações, restrições ou exigências e, de 
acordo com as mesmas, como se apresentam no formato matemático. 
1. O total de 250 caixas de Morangos deverá ser encaminhado para atendimento ao Mercado 
Alfa. Nesse trecho, contamos com uma afirmativa quanto ao total de caixas de Morangos que 
deverá ser encaminhado para atender ao cliente. Dessa maneira, já temos uma igualdade 
definidas para nossa primeira variável de decisão. Portanto: 
x1 = 250
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x1 = 250
2. Ao menos 150 caixas de Uvas devem ser transportadas para a capital e região 
metropolitana. Essa restrição aponta uma condição mínima de 150 caixas de uvas para serem 
transportadas até o destino final. Desse modo, sabemos que a solução do problema deverá 
indicar o envio de qualquer quantidade de ameixas, desde que seja igual ou superior a 150 
caixas. Portanto: 
x2 ≥ 150
3. Devem ser enviadas, no máximo, 200 caixas de Damasco. Para o transporte de Damascos 
há uma limitação quanto à quantidade, pois se afirma que até 200 caixas podem ser 
direcionadas. A solução do problema deverá indicar o envio de qualquer quantidade de 
damascos, desde que não ultrapasse as 200 caixas. Matematicamente: 
x3 ≤ 200
4. O total de caixas de frutas que poderão ser direcionadas para essa entrega semanal é de 
até 900 caixas. Além das restrições para cada fruta, existe outra que aponta a capacidade 
máxima de caixas a ser transportada, o que implica em afirmar que somando a quantidade de 
caixas de frutas devemos alcançar um total máximo de 900 caixas. Ou seja: 
x1 + x2 +x3 ≤ 
900
As quatro primeiras restrições construídas são chamadas de restrições técnicas. Entretanto, 
para finalizar o modelo que representa o caso do Sr. Mário e o Transporte de frutas, devemos 
inserir uma restrição que deverá fazer parte de todos os modelos: a restrição de não 
negatividade. Cabe a mesma, indicar que os valores a serem assumidos pelas variáveis de 
decisão deverão ser iguais ou superiores a zero, afinal, não podemos enviar -5 caixas de 
morango, por exemplo. Assim, considerando nossas três variáveis de decisão: 
x1 , x2 , x3 ≥ 
0
Pronto! Agregando nossa função objetivo, as restrições técnicas e a restrição de não 
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Pronto! Agregando nossa função objetivo, as restrições técnicas e a restrição de não 
negatividade, podemos afirmar que o modelo matemático que representa o contexto 
vivenciado pelo agricultor é: 
MaxL = 25X1 + 12X2 +
Sujeito a: 
x1 = 250
x2 ≥ 150
x3 ≤ 200
x1 + x2 +x3 ≤ 
900
x1 , x2 , x3 ≥ 
0
Situação-problema 2: o caso de Letícia e a produção dos modelos 
Alfa e Beta
A empresa XXW produz equipamentos para manutenção de aviões. Para atender as aeronaves 
de pequeno porte, dois equipamentos, chamados respectivamente de ALFA e BETA, são os 
itens produzidos para comercialização no mercado. 
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A empresa XXW produz equipamentos para manutenção de aviões. Para atender as aeronaves 
de pequeno porte, dois equipamentos, chamados respectivamente de ALFA e BETA, são os 
itens produzidos para comercialização no mercado. 
Assim que foi contratada pela referida empresa, Letícia recebeu a demanda de otimizar o 
fluxo produtivo para determinação de quanto produzir diariamente de cada modelo, visando 
o aumento dos lucros da organização. Para embasar essa decisão, a orientação dos diretores 
foi considerar o histórico de vendas da empresa para definir as restrições e exigências do 
sistema. 
Logo ao início das verificações, Letícia constatou que o modelo Alfa apresentou venda 
máxima diária de 8 unidades, o que aponta de que não mais do que esse quantitativo de 
unidades deve ser fabricado. Para o modelo Beta, os registros indicam que não mais do que 6 
unidades devem ser fabricadas. Além dessas limitações de mercado, Letícia verificou que 
pelo quantitativo de linhas de produção e funcionários envolvidos, diariamente a produção 
total deveria ser de, no mínimo, 6 unidades. 
Quanto aos lucros correspondentes aos equipamentos, Alfa e Beta, levantou-se que os 
mesmos geram, respectivamente, uma margem de lucro de R$600,00 e R$400,00 por 
unidade. 
Sendo assim, considerando todos os elementos e restrições que impactam na produção dos 
equipamentos para manutenção de aviões de pequeno porte, qual modelo matemático 
representa essa situação empresarial? 
Variáveis de Decisão
Como vimos na situação-problema, Letícia precisa determinar o número de produtos Alfa e 
Beta que deverão ser produzidos pela Fábrica XXW para alcançar maior lucro e atender as 
limitações de mercado. Portanto, teremos apenas duas variáveis de decisão: quantidade de 
equipamentos Alfa a ser produzida e quantidade de equipamentos Beta a ser produzida. 
Sendo assim: 
x1 = Quantidade de 
equipamentos ALFA À
x2 = Quantidade de 
equipamentos BETA
Função Objetivo
A situação-problema sinaliza que a venda dos produtos Alfa e Beta possibilita margens de 
lucro diferenciadas para os produtos. Assim, enquanto que para o primeiro produto o lucro é 
estimado em R$ 600,00, no segundo produto, essa margem é menor, sendo R$ 400,00 por 
unidade. 
MaxL = 600X1 + 400X2
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Como vimos, a meta da empresa é maximizar seus lucros com a venda desses produtos, o que 
em termos de função objetivo pode ser representado por: 
Restrições
Para alcançar o objetivo traçado pela empresa, Letícia deverá estar atenta às restrições 
levantadas durante suas primeiras análises quanto ao processo. Desse modo, teremos3 
restrições técnicas na composição do modelo matemático referente à produção dos 
equipamentos Alfa e Beta. A seguir, lembraremos cada umas delas e, em seguida, serão 
estabelecidas as inequações que as representam: 
1. Let ícia const at ou que o modelo Alfa apresent ou venda máxima diária de 8 unidades, o 
que aponta que mais do que esse quant it at ivo de unidades não deve ser fabricado. Os 
dados de venda indicaram que o quantitativo máximo do modelo Alfa poderia alcançar 8 
unidades. Assim, a nossa incógnita x1 poderá ser representada por um valor igual ou inferior 
ao valor citado. Portanto: 
x1 ≤ 8
2. Para o modelo Bet a, os regist ros indicam que não mais do que 6 unidades devem ser 
fabricadas. Da mesma maneira que verificamos para o modelo ALFA, constatou-se que a 
produção de BETA tem uma quantidade máxima de produção por dia. Espera-se que esse 
total seja inferior ou igual a 6 unidades, conforme indicamos na seguinte restrição: 
x2 ≤ 6
3. Let ícia verif icou que pelo quant it at ivo de linhas de produção e funcionários 
envolvidos, diariament e a produção t ot al deveria ser de, no mínimo, 6 unidades. Uma vez 
que existe uma estrutura pronta na empresa XXW, para a produção dos equipamentos de 
manutenção, é importante que as linhas de produção sejam utilizadas para produzir, ao 
menos, 6 unidades entre ambos os modelos. Esse fato implica em dizer que o somatório das 
produções individuais deve ser igual ou superior a esse valor. Matematicamente: 
x1 + x2≥ 6
Para concluir o modelo, devemos indicar ainda a restrição de não negatividade para indicar 
que o resultado a ser obtido com a resolução do modelo matemático deverá apontar valores 
iguais ou maiores que zero para as variáveis de decisão. 
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que o resultado a ser obtido com a resolução do modelo matemático deverá apontar valores 
iguais ou maiores que zero para as variáveis de decisão. 
x1 , x2 , x3 ≥ 
0
Modelo matemático para o caso de Letícia
MaxL = 6X1 + 4X2
Sujeito a: 
x1 ≤ 8
x2 ≤ 6
x1 + x2 ≥ 6
x1 , x2 , ≥ 0
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Objetivos
Conteúdo Programático
Rota de Aprendizagem
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: 
Resolver problemas de alocação de recursos empresariais por meio da aplicação 
de Programação Linear.
Esta unidade está dividida em: 
Aula 1 - Programação linear (PL) e a Resolução pelo Método Gráfico
Aula 2 - O Método Simplex
Aula 3 - Métodos computacionais: a utilização do Solver na resolução de 
problemas de programação linear
A Rota de Aprendizagem apresenta as ações que devem ser realizadas nesta 
unidade. Utilize a Rota de Aprendizagem para planejar e gerir, com eficiência, as 
suas ações e o seu tempo de estudo. Isso facilitará a construção do seu 
conhecimento e aumentará a possibilidade de que você tenha um bom 
desempenho nas avaliações. Clique aqui para acessar a Rota de Aprendizagem. 
Introdução https://a9256-1498807.cluster51.canvas-user-content.com/courses/925...
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conhecimento e aumentará a possibilidade de que você tenha um bom 
desempenho nas avaliações. Clique aqui para acessar a Rota de Aprendizagem. 
O modelo matemático é um elemento muito importante no 
âmbito da Pesquisa Operacional. Trata-se do ponto de 
partida para as tentativas de otimização do uso dos recursos 
em prol dos melhores resultados organizacionais. Nesse 
contexto, você deve estar se perguntando: e agora, o que 
devo fazer para entender, a partir de um modelo 
matemático, qual ou quais decisões devem ser 
implementadas para atender aos anseios organizacionais? 
Fique tranquilo(a)! A resposta dessa pergunta é simples e 
será apresentada em nossas próximas três aulas. Portanto, 
revise os primeiros conteúdos estudados na disciplina e 
aprenda conosco as formas de resolução aplicáveis a um 
modelo matemático. 
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Aula 1
Programação linear (PL) e a Resolução pelo Método Gráfico 
Quando pensamos no termo “programação”, é comum que o 
mesmo nos remeta diretamente à ideia de programação de 
computadores ou à linguagem de computação. Entretanto, 
no âmbito da Pesquisa Operacional, o sentido atribuído a 
essa palavra é um pouco diferente. Nesse caso, a palavra é 
empregada com o objetivo de atender às motivações 
originais de seu desenvolvimento: os problemas industriais. 
Nesse contexto, o termo “programação” se relaciona ao 
planejamento para uso dos recursos escassos frente às 
condições operacionais impostas pelos processos 
organizacionais. 
Esse cenário em que todas as limitações e todos os objetivos organizacionais são 
considerados é chamado de alocação ótima dos recursos, fato que ratifica a programação 
linear como uma técnica de otimização. Nosso problema geral é otimizar – por meio da 
maximização ou da minimização – uma função linear de variáveis que chamamos de “função 
objetivo” que encontra-se sujeita a uma série de restrições representadas por equações ou 
inequações lineares. 
Tendo como ponto de partida a modelagem matemática de um problema de programação 
linear, a sua solução pode ser encontrada a partir da interpretação gráfica das restrições 
impostas pelo sistema e da função objetivo. Entretanto, vale destacar que o método gráfico 
somente deve ser aplicado em problemas que possuam apenas duas variáveis de decisão. 
Mas, por que soment e duas var iáveis? 
Porque a restrição de não negatividade, presente em todos os modelos matemáticos de 
programação linear, afirma que os valores utilizados devem ser positivos (portanto, 
estão no 1º quadrante).
Porque no espaço de duas dimensões uma igualdade é representada por uma reta. 
Porque é importante destacar que cada desigualdade representa um semiespaço.
Assim, para encontrar a solução gráfica de determinado contexto devemos plotar 
todas as restrições em um único diagrama ortogonal em que teremos os eixos do 
plano cartesiano representando as variáveis de decisão envolvidas no problema. A 
combinação das restrições apresentará a região viável, aquela em que o nosso 
processo decisório deverá acontecer. 
Para compreender os passos que nos levarão à aplicação da resolução gráfica, e 
consequentes definições operacionais que resolvem uma determinada situação-problema, 
vamos desenvolver o seguinte exemplo: 
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Para compreender os passos que nos levarão à aplicação da resolução gráfica, e 
consequentes definições operacionais que resolvem uma determinada situação-problema, 
vamos desenvolver o seguinte exemplo: 
A XXW ConstruLar é especializada na 
construção e venda de casas 
residenciais de pequeno porte. 
Atualmente, dois tipos de casa são 
ofertados ao mercado: os modelos 
Azul e Amarelo. 
As casas modelo Azul requerem 8.000 
horas de mão de obra, seis toneladas 
de pedras e 1.200 metros lineares de 
tábuas de madeira. As casas modelo Amarelo requerem 20.000 horas de mão de obra, seis 
toneladas de pedra e 1.200 metros lineares de tábuas de madeira. 
Um terreno foi adquirido no sul do Pará para a construção de um novo condomínio, no 
entanto, motivado pela extensão considerável dos leads times para o pedido de 
suprimentos e devido à escassez de mão de obra especializada na região, a XXW 
ConstruLar deverá operar considerando apenas os seus recursos atuais. Portanto ela pode 
dispor de 800.000 horas de mão de obra, 300 toneladas de pedra e 120.000 metros 
lineares de tábua de madeira. 
Considerando que as casas Azuis geram lucros unitários de R$2.000,00 e que as casas 
Amarelas geram lucros de R$4.000,00, defina qual é o mix de casas que devem ser 
construídas para maximizar os ganhos da empresa. 
Nesse problema de otimizaçãopara a construção das casas 
da XXW ConstruLar, buscamos determinar a alocação ótima 
dos recursos de produção para atender as limitações de 
tempo, de mão de obra e de disponibilidade de matéria-
prima, objetivando maximizar o lucro resultante de suas 
vendas. Precisamos determinar o modelo matemático que 
representa essa situação-problema, ou seja, é necessário 
definir as variáveis de decisão, a função objetivo e as 
restrições que impactam no problema. 
As variáveis de decisão devem representar os tipos de casas construídas pela empresa. Assim, 
chamaremos de x1 as casas do modelo Azul e x2 as casas do modelo Amarelo: 
x1: quant idade de casas do modelo Azul.
x2: quant idade de casas do modelo Amarelo.
O objetivo apresentado pela situação-problema é definir a combinação das quantidades de 
casas construídas, objetivando maximizar os ganhos da empresa. Nesse cenário, uma vez que 
as casas Azuis geram lucros unitários de R$2.000,00 e que as casas Amarelas geram lucros de 
R$4.000,00, nossa função objetivo será igual a: 
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casas construídas, objetivando maximizar os ganhos da empresa. Nesse cenário, uma vez que 
as casas Azuis geram lucros unitários de R$2.000,00 e que as casas Amarelas geram lucros de 
R$4.000,00, nossa função objetivo será igual a: 
Max L = 2.000x1 + 4.000 x2
A construtora pode dispor de 800.000 horas de mão de obra, 300 toneladas de pedra e 
120.000 metros lineares de tábua de madeira, sendo essas as nossas limitações para o 
sistema. Sabemos que cada casa Azul demanda 8.000 horas de mão de obra e que cada casa 
Amarela demanda 20.000 horas de mão de obra. Desse modo, a combinação dos seus usos 
deve ser menor ou igual ao total de 800.000 horas disponíveis. Portanto: 
8.000x1 + 20.000x2 ≤800.000
O total de pedras disponíveis para a obra é de 300 toneladas, sendo esse o quantitativo 
limitador. Assim, como ambas as casas precisam de seis toneladas para suas respectivas 
construções, podemos representar, matematicamente, essa informação por: 
6x1 + 6x2 ≤300
Ambos os modelos de casas apontam a necessidade, individual, de 1.200 metros lineares de 
tábuas. Considerando que a empresa conta com 120.000 metros lineares para uso, podemos 
representar da seguinte forma: 
1.200x1 + 1.200x2 ≤120.000
A função de maximizar o lucro e as restrições dos recursos são representadas por funções 
lineares. Assim, por meio da representação gráfica, o tomador de decisão terá acesso às 
diversas combinações quanto aos quantitativos de casas a serem construídas, assim como à 
determinação da combinação mais lucrativa entre elas. 
Modelo matemático para a XXW ConstruLar 
Max L = 2.000x1 + 4.000 x2
Sujeito a:
8.000x1 + 20.000x2 ≤800.000
6x1 + 6x2 ≤300
1.200x1 + 1.200x2 ≤120.000
x1, x2≥0 
Para representar as restrições no plano cartesiano, devemos seguir cinco etapas: 
Transformar a inequação em equação;
Isolar x2; 
Substituir por 0 os valores destinados às variáveis de decisão para determinação dos 
pares ordenados; 
Marcar pontos do gráfico;
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Substituir por 0 os valores destinados às variáveis de decisão para determinação dos 
pares ordenados; 
Marcar pontos do gráfico;
Ligar pontos para gerar a reta que representará a restrição.
Esse conjunto de ações deve ser repetido para cada restrição existente, a fim de que todas 
as informações estejam devidamente registradas no gráfico. 
Atente-se para os casos em que as limitações não são relacionadas às duas variáveis de 
decisão e, sim, a apenas uma delas. Nesse caso teremos apenas uma reta tendendo ao 
infinito para representar a informação (Para saber mais, acesse o conteúdo dinâmico da 
Unidade). 
Começaremos pela restrição referente ao total de horas de mão de obra disponível: 
8.000x1 + 20.000x2 ≤800.000
Para atender a essa etapa, devemos apenas alterar o sinal de “≤” por “=”. Assim, 
teremos: 
8.000x1 + 20.000x2 = 800.000
Com a primeira restrição devidamente registrada, devemos repetir a operação com as demais 
restrições. Assim, diante do total de 300 toneladas de pedra e do quantitativo necessário 
para a produção de cada tipo de casa, teremos: 
6x1 + 6x2 ≤ 300
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Para atender a essa etapa, devemos apenas alterar o sinal de “≤” por “=”. Assim, 
teremos: 
6x1 + 6x2 = 300
Para finalizar, devemos considerar a restrição referente ao total de metros lineares de 
tábuas: 
1.200x1 + 1.200x2 ≤ 120.000
Para atender a essa etapa, devemos apenas alterar o sinal de “≤” por “=”. Assim, 
teremos: 
1.200x1 + 1.200x2 = 120.000
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Com a representação gráfica finalizada, devemos observar em qual área todas as restrições 
são aceitas. Nesse caso, as três restrições utilizam o sinal “≤” para indicar que os valores 
obtidos devem ser iguais ou inferiores a determinado total. Assim, as retas apontam que a 
área viável estará sempre abaixo das retas traçadas, sendo sua definição concluída no espaço 
em que todas as informações são aceitas. 
Após a definição dessa região em que as restrições estão todas aceitas, devemos nomear os 
vértices da figura formada, sendo o primeiro ponto – Ponto A – aquele que primeiro toca o 
eixo y. Assim, teremos 3 pontos compondo nossa região viável: A, B, C. 
Após definição dos pontos, devemos determinar as ordenadas dos mesmos. Em nosso 
exemplo, os pontos A e C são de fácil identificação, entretanto, o ponto B, dado pelo 
cruzamento das restrições de mão de obra e toneladas de pedras, não é facilmente definido 
apenas com a visualização do gráfico. 
A (0, 40)
B (?, ?)
C (50, 0)
A escala adotada para a elaboração do gráfico não possibilita a determinação dos valores 
concernentes ao ponto B, no entanto, precisamos dessa informação para que possamos 
escolher o ponto ótimo. Por se tratar de um cruzamento entre restrições (retas), basta que 
igualemos as equações que utilizamos para definição dos pontos e em seguida façamos a 
substituição do valor encontrado para determinação do outro. 
Portanto, vamos igualar as informações referentes às restrições de mão de obra e toneladas 
de pedras já isoladas. Ou seja: 
50 — x1 = 40 — 0,4x1
-x1 + 0,4x1 = 40-50
-0,6 x1 = -10 (-1)
x1 = 16,67 (aproximadament e 17)
Com o valor de x1 definido, podemos utilizá-lo para substituição em qualquer uma das 
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-0,6 x1 = -10 (-1)
x1 = 16,67 (aproximadament e 17)
Com o valor de x1 definido, podemos utilizá-lo para substituição em qualquer uma das 
equações envolvidas. Ou seja, 
X2 = 40 — 0,4 x1 = 40 — 0,4 (16,67) = 33,33 (aproximadament e 33)
Ou
X2 = 50 — x1 = 50 — (16,67) = 33,33 (aproximadament e 33)
Agora com os três pares definidos – A(0,40) , B(17,33), C(50,0) –, devemos nos ater à função 
objetivo, aquela que representa matematicamente o aspecto almejado pela situação-
problema. Uma vez que consideramos alcançar o lucro máximo com a produção das casas, 
devemos substituir na função objetivo os pares ordenados encontradas em cada ponto. 
Assim: 
Max L = 2.000x1 + 4.000x2
A(0,40) = 2.000x1 + 4.000x2 = 2.000(0) + 4.000(40) = 160.000,00
B(17,33) = 2.000x1 + 4.000 x2 = 2.000(17) + 4.000(33) = 166.000,00
C(50,0) = 2.000x1 + 4.000 x2 = 2.000(50) + 4.000(0) = 100.000,00
Esse cenário aponta que, considerando as restrições de mão de obra, toneladas de pedras e 
metros lineares de tábuas, a construtora alcançará lucro maximizado de R$166.000,00 
construindo 17 casas do modelo Azul (x1) e 33 casas do modelo Amarelo (x2). 
Para os casos em que em determinado par ordenado apenas tivermos um ponto 
desconhecido, basta que façamos a substituiçãodo ponto conhecido na equação que 
representa a reta, assim como fizemos logo após a determinação de x1 no exemplo 
acima. 
Obj eto de Aprendizagem
Para se aprofundar no estudo das resoluções de modelos matemáticos, assista à 
animação O Método Gráf ico. 
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Aula 2
O Método Simplex 
Devido a sua gama de aplicações no mundo dos negócios, a programação 
linear é uma das técnicas mais usadas dentre as outras grandes áreas da 
pesquisa operacional. A invenção do seu problema básico é de 
responsabilidade do matemático russo L. Kantorovich, em 1939, mas pôde 
contar também com as contribuições de T. Koopmans, fato que levou os 
pesquisadores a ganhar o prêmio Nobel pelas contribuições dadas à teoria de 
alocação ótima de recursos. 
No entanto, conforme sabemos, a maior parte dos problemas que demandam 
racionalização do uso de recursos não apresenta apenas duas variáveis de 
decisão, pressuposto para a aplicação do método gráfico. Sendo assim, 
devemos contar com o algoritmo Simplex na resolução dos problemas com 
duas ou mais variáveis de decisões envolvidas. O algoritmo Simplex foi 
formalizado por George Dantzig, no ano de 1947, como resultado dos 
trabalhos feitos durante o projeto de computação científica de otimização 
SCOOP realizado para a Força Aérea Americana. Trata-se de um método 
interativo que nos permite percorrer pontos extremos de um conjunto de 
soluções compatíveis ao problema verificado, buscando determinar a solução 
de certo cenário. 
Podemos caracterizar algoritmo como uma sequência finita de instruções claras e 
devidamente definidas. Nesse contexto, dispomos de um conjunto de repetidos passos 
(chamados também de interações) que demandam por etapas de decisões (orientadas 
por comparações e critérios lógicos) até que a tarefa seja completada. 
De uma forma geral, três teoremas fundamentam o método Simplex. São eles: 
Teorema 1
“O conjunto de todas as soluções compatíveis do modelo de 
programação linear é um conjunto convexo.”
Teorema 2
“Toda solução compatível básica do sistema Ax = b é um ponto 
extremo do conjunto das soluções compatíveis.”
Teorema 3
3.1 “Se a função objetivo possui um máximo (mínimo) finito, então 
pelo menos uma solução ótima é um ponto extremo do conjunto 
convexo.”; 3.2 “Se a função objetivo assume o máximo (mínimo) em 
mais de um ponto extremo, então ela toma o mesmo valor para 
qualquer combinação convexa desses pontos extremos.”
Para o desenvolvimento das etapas do Simplex, vamos apresentar e desenvolver um exemplo 
completo, evidenciando as etapas que compõem a técnica. Vamos lá? 
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Para o desenvolvimento das etapas do Simplex, vamos apresentar e desenvolver um exemplo 
completo, evidenciando as etapas que compõem a técnica. Vamos lá? 
Marcos Antônio tem um pequeno negócio na garagem de sua 
casa. Trata-se de uma oficina de marcenaria de brinquedos 
infantis que produz apenas dois tipos produtos: mesa e 
armário. Durante o processo de produção da mesa são 
necessários 2m2 de madeira e 2h/h de mão de obra. Para a 
produção do armário são necessários 3m2 de madeira e 1h/h 
de mão de obra. Simplificadamente, as limitações diárias de 
produção são: 
Madeira: 12m2
Mão de obra: 8 h/h
Considerando que cada mesa apresenta lucro de R$4,00 e cada armário permite um lucro de 
R$1,00, qual programa de produção será responsável por maximizar os lucros de Marcos 
Antônio? 
Diante do exposto, precisamos definir o modelo matemático em que o método será aplicado. 
Assim, variáveis de decisão, função objetivo e restrições devem estar devidamente 
identificadas. Começando pelas variáveis de decisão, teremos então dois itens: 
x1: quant idade a produzir de mesas.
x2: quant idade a produzir de armários.
Vale dest acar que nesse exemplo são indicadas apenas duas var iáveis de 
decisão, no ent ant o, o Simplex pode ser apl icado para qualquer 
quant idade de var iáveis de decisão. 
Quanto aos valores de lucros, sabemos que os mesmos devem ser apresentados pela função 
objetivo. De acordo com os nossos dados, Marcos Antônio deseja programar sua produção 
diária, visando ao aumento dos lucros, sabendo-se que mesas apresentam lucro de R$4,00 e 
armários apresentam lucro de R$1,00. Assim: Max L = 4x1 + x2. 
Para a produção dos itens, madeira e tempo de produção são os elementos limitadores. Para 
madeira dispomos do total de 12 metros quadrados e para o tempo de produção dispomos de 
8 horas/homens. Assim, considerando a utilização unitária detalhada na situação-problema, 
podemos chegar às seguintes restrições técnicas: 
Madeira: 2x1 + 3x2 ≤ 12
Mão de obra: 2x1 + x2 ≤ 8
Considerando a marcenaria de Marcos Antônio, o modelo matemático correspondente é: 
Max L = 4x1 + x2
Suj eit o a
2x1 + 3x2 ≤ 12
2x1 + x2 ≤ 8
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Suj eit o a
2x1 + 3x2 ≤ 12
2x1 + x2 ≤ 8
x1 ; x2 ≥ 0
Com a modelagem definida, dispomos dos dados necessários à aplicação do algoritmo 
Simplex. Desse modo, quatro etapas devem ser realizadas para que cheguemos à solução. 
Continuaremos desenvolvendo o exemplo da marcenaria de Marcos Antônio para que 
possamos conhecer e aplicar cada um desses estágios para resolução da situação-problema. 
Etapa 1
A primeira etapa do método consiste na organização dos dados para composição do quadro 
em que o método será aplicado. Desse modo, considerando que as restrições indicam 
limitações, poderemos ou não utilizá-las totalmente. Motivados por esse contexto, 
incluiremos em nossas restrições as variáveis de folga, aquelas que nos informarão sobre os 
quantitativos não utilizados. Uma vez que dispormos de duas restrições técnicas, contaremos 
então com duas folgas: F1 representando a folga de madeira e F2 representando a folga de 
mão de obra. 
Madeira: 2x1 + 3x2 + F1 ≤ 12
Mão de obra: 2x1 + x2 + F2 ≤ 8
Ainda na etapa 1, devemos igualar a função objetivo a zero. Portanto, teremos uma 
alteração nos sinais atribuídos aos termos. 
Max L = 4x1 + x2
L - 4x1 - x2 = 0
Etapa 2
Com os dados prontos, durante a etapa 2 devemos armar o quadro dos coeficientes, ou seja, 
a representação que permitirá a aplicação do método. Seu formato segue o formato abaixo 
apresentado, sendo as linhas referentes às folgas iniciais, as colunas internas referentes às 
variáveis de decisão e folgas e a coluna final referente aos totais das restrições. Assim, VB 
são as variáveis básicas e TI os termos independentes. 
VB À À À À TI
À         À
À         À
L          
Diante dos dados apresentados em nosso modelo matemático, poderemos organizar o nosso 
quadro da maneira abaixo realizada. Perceba que quando não dispomos de valores 
correspondentes, devemos inserir zero aos termos que não conhecemos. 
VB x1 x2 F1 F2 TI
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VB x1 x2 F1 F2 TI
F1 2 3 1 0 12
F2 2 1 0 1 8
L -4 -1 0 0 0
Etapa 3
Nessa etapa acontece o início da operacionalização do método. Assim, a mesma consiste em 
saber quais elementos entrarão e sairão da base. Essas informações são necessárias para que 
as interações entre linhas e colunas comecem a acontecer. Portanto: 
Quem entra? O maior valor absoluto da função objetivo.
VB x1 x2 F1 F2 TI
F1 2 3 1 0 12
F2 2 1 0 1 8
L -4 -1 0 0 0
Em nossa função objetivo, o maior absoluto pertence à primeira coluna, portanto, x1 entrará 
na base durante essa interação. No entanto, devemos estabelecer qual linha sairá para dar 
lugar às novas informações. 
Quem sai? Após dividir os TI’s pelos coeficientes respectivos, o menor valor encontrado indica 
a linha que sairá.
VB x1 x2 F1 F2 TI
F1 2 3 1 0 12
F2 2 1 0 1 8
L -4 -1 0 0 0
De acordo com a coluna que entrará, teremos seuscorrespondentes coeficientes de entrada. 
Assim, para a linha 1, o coeficiente é o número 2; para a linha 2, o coeficiente é o número 2 
e para a última linha, o coeficiente de entrada é o valor -4. Como não operamos na linha do 
lucro, devemos realizar as divisões considerando os termos independentes e coeficientes das 
demais linhas. 
Linha 1: 12/2 = 6
Linha 2: 8/2 = 4
Entre os valores calculados, a menor divisão tem resultado igual a 4, fato que indica que a 
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Linha 2: 8/2 = 4
Entre os valores calculados, a menor divisão tem resultado igual a 4, fato que indica que a 
linha 2 sairá da base para dar lugar a x1. 
Etapa 4
Durante essa etapa, estaremos elaborando a nova tabela, aquela que será resultado das 
primeiras interações. Nesse processo, devemos começar pela linha que saiu, portanto, a 
linha 2(L2) que representará a variável x1. 
Para o cálculo dos novos valores da L2, que também pode ser chamada de linha pivô, 
devemos dividir cada valor da antiga L2 pelo correspondente coeficiente na linha de entrada, 
portanto o valor 2. 
Novos valores L2 (Linha 
Pivô):
2 /2 = 1
1/2 = 0,5
0 /2 = 0
1 /2 = 0,5
8 /2 = 4
VB x1 x2 F1 F2 TI
F1         À
x1 1 0,5 0 0,5 4
L          
Após definirmos os valores da linha pivô, devemos retornar para a primeira linha e 
operacionalizar uma a uma até chegarmos ao novo quadro completo. No entanto, a 
sistemática para definição dos demais valores é diferente da aplicada na linha pivô. 
Nesse contexto, os novos valores da linha 1 (L1) serão definidos por meio da multiplicação da 
linha pivô pelo coeficiente da linha de entrada com sinal invertido, sendo esse resultado 
somado à antiga L1. Para L1, o coeficiente da linha de entrada é representado por 2, 
portanto, para esse cálculo teremos: -2. Linha Pivô + Antiga L1. 
Novos valores L1:
-2(1) + 2 = 0
-2(0,5) + 3 = 2
-2(0) + 1 = 1
-2(0,5) + 0 = -1
-2(4) + 12 =4
VB x1 x2 F1 F2 TI
F1 0 2 1 -1 4
x1 1 0,5 0 0,5 4
L          
Utilizando a mesma sistemática, devemos buscar os novos valores da nossa linha do livro, a 
linha 3 (L3). Nessa linha, o coeficiente de entrada com sinal invertido será 4 e o nosso 
cálculo será dado por 4. Linha Pivô + Antiga L3. 
Novos valores L3:
4(1) + (-4) = 0
4(0,5) + (-1) = 1
4(0) + 0 = 0
4(0,5) + 0 = 2
VB x1 x2 F1 F2 TI
F1 0 2 1 -1 4
x1 1 0,5 0 0,5 4
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4(0,5) + (-1) = 1
4(0) + 0 = 0
4(0,5) + 0 = 2
4(4) + 0 = 16
F1 0 2 1 -1 4
x1 1 0,5 0 0,5 4
L 0 1 0 2 16
Com o quadro completo, podemos afirmar que ocorreu a primeira interação do modelo. 
Entretanto, para determinar se a situação-problema foi resolvida, é necessário verificar os 
valores da última linha, a linha do lucro, pois os mesmos devem estar, em sua totalidade, 
positivos. Em caso da presença de algum valor negativo nessa linha, devemos reiniciar o 
processo pela etapa 3, atacando o valor que porventura esteja negativo, caso tenhamos 
apenas um valor negativo, ou optando por aquele de maior valor absoluto, caso tenhamos 
mais de um valor nessa condição. 
Em nosso exemplo, diante da primeira interação chegamos aos valores positivos almejados 
para a linha do lucro, portanto à solução do problema da marcenaria de Marcos Antônio. Para 
interpretação dos resultados obtidos, devemos estar atentos aos elementos apresentados na 
primeira coluna e os valores apresentados na última coluna. Sabemos que F1 corresponde à 
folga no uso da madeira, portanto, quando visualizamos F1 igual a 4, podemos concluir que 
na solução maximizada teremos sobra de 4m2 de madeira. Definimos que x1 corresponde à 
quantidade de mesas a serem produzidas na marcenaria, ou seja, diante da solução 
encontrada para o modelo devem ser fabricadas quatro unidades de mesas. Quanto aos 
valores ausentes na solução, os mesmos devem ser interpretados como zero. 
Assim, podemos concluir que para alcançar o lucro maximizado de R$16,00, Marcos Antônio 
deverá produzir quatro mesas e nenhum armário, contando com uma sobra de matéria-prima 
em torno de 4m2. 
O algoritmo Simplex é usual para situações-problema que apresentem duas ou mais variáveis 
de decisão. No entanto, no exemplo acima contamos com apenas duas variáveis, fato que 
permite a solução da situação-problema da marcenaria de Marcos Antônio também pelo 
método gráfico. 
Que t al t est ar? 
Vídeo da Unidade
Para saber mais sobre metodologias para resolução dos problemas de programação 
linear, assista ao vídeo: Programação Linear: métodos para resolução. 
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Aula 3
Métodos computacionais: a utilização do Solver na resolução de 
problemas de programação linear 
Na resolução de problemas de programação linear, é possível 
fazer uso de diversos softwares que rapidamente nos indicam 
os resultados para nossas variáveis de decisão. Nesse 
cenário, temos o Lindo, Lingo, OMP, COM, QSV e o 
Suplemento Solver como exemplos de recursos 
computacionais que nos ajudam a encontrar as soluções para 
os sistemas. 
Nesse cont ext o você agora deve est ar se 
pergunt ando: por que precisamos aprender os 
cálculos manuais e não soment e os 
procediment os de ut i l ização dos programas? 
Pois bem, a resposta desse questionamento é simples, afinal, o profissional atuante na área 
de pesquisa operacional deve ter competências e habilidades para analisar os relatórios 
extraídos dos sistemas e ter convicção quanto à veracidade dos dados lançados diante dos 
recursos que a empresa disponibiliza e necessita para operar. Todo esse aprendizado é 
resultado da prática manual dos cálculos para resolução de problemas tanto pelo método 
gráfico, quanto para o algoritmo Simplex. 
Neste material, pela sua facilidade de acesso e instalação, dialogaremos acerca dos 
procedimentos para uso do Solver. Trata-se de uma ferramenta inerente ao Microsoft Excel 
com grande alcance para resolução de problemas de programação linear. O mesmo opera 
admitindo situações empresariais com até 200 variáveis de decisão e pouco mais de 400 
restrições. 
Para instalar o Solver na sua máquina, devemos seguir três etapas: 
Após abrir uma planilha do Excel, acesse o menu Ferrament as e escolha a opção 
Suplement os. Uma caixa de diálogo como a apresentada na imagem abaixo 
aparecerá em sua t ela.
Na caixa de diálogo Suplement os, busque na list a o Solver e o selecione.
Por f im, para confirmar a inst alação, clique em OK.
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Com o Solver devidamente instalado, devemos organizar uma planilha com espaços definidos 
para nossas variáveis de decisão, função objetivo e restrições do sistema. Se considerarmos 
uma situação-problema com duas variáveis de decisão, podemos formular uma planilha da 
seguinte maneira: 
As células B2 e B3 representam as células ajustáveis, aquelas que nos indicarão em breve 
quais os valores respectivos às variáveis de decisão. Sendo assim, as mesmas devem ser 
deixadas em branco para que, após a solução do problema, seus valores possam ser 
apresentados. 
A célula B6 é reservada para a função objetivo do modelo. Assim, se considerarmos uma 
situação-problema em que desejamos maximizar os ganhos de dois produtos tendo os 
mesmos, respectivamente, os lucros de R$20,00 e R$30,00, devemos inserir a seguinte 
fórmula na planilha: 
= 20 * B2 + 30 * B3
Para uma situação-problema com apenas três restrições técnicas, apresentar nas células 
A10, A11 e A12, B10, B11 e B12, C10, C11 e C12 as restrições existentes. As células da 
coluna A trarão a operação entre variáveis de decisão, as células da coluna B indicarão o 
sinal de relação com os limites e as células da coluna C serão responsáveis por apresentar os 
limites. Assim, considerandouma restrição que afirma que x1 + x2 ≤ 100, indicaremos: 
Na célula A10: = B2 + B3
Na célula B10: ≤
Na célula C10: 100
Após a inserção de todas as restrições técnicas relativas a determinado problema, daremos 
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Na célula B10: ≤
Na célula C10: 100
Após a inserção de todas as restrições técnicas relativas a determinado problema, daremos 
início à resolução do problema por meio do suplemento Solver. Sendo assim, clique no ícone 
do Solver e abrirá uma nova caixa de diálogo em sua tela. 
No campo destinado a célula de destino, você deverá selecionar a célula em que a função 
objetivo está apresentada. Em nosso exemplo, essa informação está na célula B6. No campo 
seguinte, opte por “Max” para maximizar a função objetivo, por “Min” para minimizar a 
mesma ou por “Valor para”, quando desejar especificar determinado valor prévio para a 
função objetivo. 
No campo reservado às células ajustáveis deverão ser inseridas as células reservadas para as 
variáveis de decisão. Desse modo, basta clicar na primeira e arrastar até a última, 
lembrando que o Solver admite até 200 variáveis de decisão. No caso do nosso exemplo, 
serão as células B2 e B3, responsáveis por nos indicar a solução do modelo, portanto, são 
elas as indicadas no campo das células variáveis. 
A etapa seguinte consiste em apresentar ao sistema as informações relacionadas às 
restrições, portanto, no quadro “Submeter às restrições”: 
Clique em Adicionar para que surja a janela indicada na imagem abaixo.
Na caixa Referência de célula, deve ser selecionada ou digitada a referência da 
célula que conterá o valor a será comparado ao limite da restrição. Em nosso 
exemplo, para essa etapa devemos selecionar individualmente as células A10, A11 ou 
A12.
De acordo com a restrição, devemos especificar no quadro seguinte o operador 
pertinente à restrição (≥ ,≤ ou =)
Na caixa Restrição, deve ser selecionada ou digitada a referência da célula que 
apresenta o limite para a restrição. Portanto, em nosso exemplo, consiste nas 
informações apresentadas nas células C10, C11 ou C12.
Para finalizar, clique em adicionar.
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Essa operação deve ser repetida até que todas as restrições técnicas apresentadas 
pelo modelo sejam inseridas no Solver. 
Para finalizar, clique em adicionar.
Finalizada essa etapa, no momento seguinte clique em Opções para aparecer a seguinte 
caixa na tela: 
Nesse momento devemos informar ao sistema que ele deve atender às restrições de não 
negatividade, portanto, basta que cliquemos no botão “Presumir não negativos”. Da mesma 
forma, uma vez que estamos trabalhando com problemas lineares, devemos pedir ao sistema 
para “Presumir modelo linear”. 
Com todas as informações lançadas, a tela inicial do Solver apresentará o modelo proposto. 
Assim, antes de acionar o botão “Resolver”, avalie se todas as informações foram inseridas 
corretamente. 
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Ao clicar no botão “Resolver”, uma nova janela surgirá questionando se desejamos Manter ou 
Restaurar os valores, e ainda nos apresentará os relatórios possíveis para o processo de 
solução. Devemos escolher as condições que nos atendem e em seguida clicar em ok. 
A solução do modelo será indicada então nas células que destacamos em verde na imagem 
abaixo. Assim, em nosso exemplo, nas células B2 e B3 teremos os valores assumidos pelas 
variáveis de decisão, na célula B será apresentado o valor da função objetivo otimizada e nas 
células A10, A11 e A12 teremos a indicação do quanto de cada restrição será usado pelo 
sistema. 
Com as informações apresentadas pelo Solver, agora é chegado o momento de convertermos 
as mesmas em regras operacionais conforme as diretrizes organizacionais. 
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Resumo da Unidade
Tendo como ponto de partida um modelo matemático de programação linear com 
apenas duas variáveis de decisão, podemos determinar sua solução a partir da 
interpretação gráfica das restrições impostas pelo sistema e da função objetivo. 
Assim, devemos plotar às informações de restrição no gráfico, identificando a região 
em que todas as limitações ou condições são aceitas, para que em seguida possamos 
estabelecer o alcance da função objetivo.
Nessa unidade, constatamos que a Programação Linear é uma técnica que busca desenvolver 
o planejamento para promover a otimização dos recursos organizacionais, visando a 
maximizar resultados ou minimizar custos. Desse modo, partimos de um modelo matemático 
referente a uma situação-problema para determinar quais os valores das suas variáveis de 
decisão que atendem ao objetivo empresarial e as possíveis limitações impostas. Assim, 
aprendemos qual solução ótima pode ser encontrada por meio da solução gráfica, do 
algoritmo Simplex ou dos recursos computacionais. 
Encerramento https://a9256-1498807.cluster51.canvas-user-content.com/courses/925...
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Considerando os custos empresariais, em média, 60% do valor correspondente às despesas 
logísticas é destinado ao transporte, sendo esse o principal elo entre empresas e 
consumidores. Diante dessa estatística, o valor total destinado a esse segmento logístico 
pode representar totais duas ou três vezes maiores do que os lucros de determinada 
organização. Portanto, sistematizar as programações de transporte com o objetivo de 
minimizar os custos nas organizações torna-se ação fundamental para o sucesso 
empresarial 
Objetivos
Conteúdo Programático
Rota de Aprendizagem
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: 
Determinar fluxos de transporte almejando redução dos custos e otimização de 
entregas.
Esta unidade está dividida em: 
Aula 1 - O algoritmo do transporte
Aula 2 - Métodos do canto noroeste e do custo mínimo
Aula 3 - O método de Vogel ou das penalidades
A Rota de Aprendizagem apresenta as ações que devem ser realizadas nesta 
Introdução https://a9256-1499469.cluster51.canvas-user-content.com/courses/925...
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Rota de Aprendizagem
A Rota de Aprendizagem apresenta as ações que devem ser realizadas nesta 
unidade. Utilize a Rota de Aprendizagem para planejar e gerir, com eficiência, as 
suas ações e o seu tempo de estudo. Isso facilitará a construção do seu 
conhecimento e aumentará a possibilidade de que você tenha um bom 
desempenho nas avaliações. Clique aqui para acessar a Rota de Aprendizagem. 
Entre as funções logísticas em uma organização, o transporte é uma das mais significativas 
demandas. Isso porque, se há produto, existe a necessidade de transportá-lo para que seja 
disponibilizado ao cliente final. No entanto, a maior parcela dos custos logísticos nas 
organizações é atribuída ao serviço de transporte, o que, portanto, justifica a necessidade de 
sistematização do processo de entregas para favorecer o controle dos custos. 
Custo com 
Armazenagem 
5,3%
Cu
Est
Custos 
Logíst icos
Custo com 
Processamento 
de Pedidos 
3,8%
Cust
Tran
Mas, de que forma a pesquisa operacional auxilia nessa demanda? A resposta é simples e será 
descoberta nas aulas a seguir. A partir de agora, a missão de minimizar os custos 
organizacionais passa a ser sua! 
Introdução https://a9256-1499469.cluster51.canvas-user-content.com/courses/925...
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Aula 1
O Algoritmo do Transporte 
Entre os temas mais recorrentes estudados pela 
pesquisa operacional na área de gestão, está o 
problema do transporte. Como sabemos, em qualquer 
que seja a área de atuação de uma organização, 
encontraremos a necessidade de transportar ou 
alocar recursos (produtos, pessoas, etc.) de 
determinada origem para seus respectivos destinos. 
A estrutura dasfontes de produção — sendo essas as 
origens do produto —, os conjuntos de caminhos 
possíveis para o transporte dos itens e as destinações 
para as quais os produtos devem ser direcionados são 
elementos que precisam ser levantados para a 
elaboração da modelagem que permitirá desenvolver 
o estudo do problema de determinação do 
carregamento da rede de transporte para minimizar 
o seu custo total. 
Nesse cenário, considerando o planejamento da rede 
logística de distribuição, é responsabilidade da função 
transporte agregar o valor “lugar” ao produto ofertado ao 
mercado. Esse fato implica disponibilizar o produto certo no 
local onde o mercado o espera; portanto, para o processo 
geral de produção e comercialização de um produto, cabe ao 
sistema de transporte exercer um papel fundamental e 
indispensável. 
Sendo assim, o transporte deve ser cuidadosamente 
sistematizado para que os objetivos finais sejam 
alcançados sem expressivos acréscimos no custo final 
do produto. 
A estrutura geral de um modelo de transporte pode ser dada, por exemplo, 
considerando três fontes de determinado produto e três destinos para os quais ele 
deve ser transportado, conforme apresentado na imagem a seguir. Assim, 
determinaremos o volume de transporte em cada uma das rotas indicadas para 
que essa programação minimize o custo total da entrega. Situações como essas são comuns 
para organizações que possuem fábricas localizadas em algumas cidades e depósitos em 
outras ou para processos em que os produtos não vão diretamente da fonte produtora até o 
consumidor final. 
Aula 1 https://a9256-1499469.cluster51.canvas-user-content.com/courses/925...
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Avaliando o contexto apresentado, percebemos que o problema de transporte corresponde a 
um tipo específico de problema de programação linear, o que, portanto aponta o simplex 
como uma metodologia passível de utilização. No entanto, a aplicação dessa técnica de 
resolução torna-se trabalhosa frente aos dados que compõem o cenário das definições de 
rotas de transportes, fato que justifica a criação e utilização de um algoritmo especial para 
solucionar esse tipo de problema: o algoritmo do transporte. 
O algoritmo de transporte é uma técnica que busca a simplificação da obtenção 
da solução ótima para a definição de quanto levar das origens aos destinos. Assim, 
ao conhecer os dados de custo, serão estipuladas as quantidades a serem 
distribuídas de cada origem para cada destino, considerando o total produzido na 
origem e a capacidade do destino 
Para o problema de transporte, devemos representar esquematicamente todas as origens, 
destinos, ofertas e demandas para que possamos chegar à solução do modelo. As referidas 
informações compõem o quadro ou a matriz de transportes 
Mas de que forma podemos organizar essas informações na mat r iz de 
t ransport es? 
Dest ino 1 
j =1
Dest ino 2 
j =2
Dest ino 3 
j =3
Origem 1 
i=1
       
Origem 2 
i=2
Aula 1 https://a9256-1499469.cluster51.canvas-user-content.com/courses/925...
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Origem 2 
i=2
Para representar as nossas variáveis de decisão, aquelas que serão encont radas após 
solução do modelo, t eremos xij para represent ar os totais a serem dist r ibuídos da font e 
ao dest ino. 
Dest ino 1 
j =1
Dest ino 2 
j =2
Dest ino 3 
j =3
Origem 1 
i=1
X11 X12 X13
Origem 2 
i=2
X21 X22 X23
Considerando cada origem e destino, representaremos os custos de cada rota Cij pelos 
quadrados destacados em amarelo. Esses valores, juntamente com as variáveis de decisão, 
formarão a função objetivo. 
Dest ino 1 
j =1
Dest ino 2 
j =2
Dest ino 3 
j =3
Origem 1 
i=1
X11 X12 X13
Origem 2 
i=2
X21 X22 X23
Cada origem apresenta um total de itens produzidos, e, portanto, a oferta da fonte é 
simbolizada pelo Fi. Os destinos preveem uma demanda específica, um total procurado para 
atender à sua capacidade ou necessidade, representado por Dj. 
Dest ino 1 
j =1
Dest ino 2 
j =2
Dest ino 3 
j =3
OFERTA
Origem 1 
i=1
F1
X11 X12 X13
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X11 X12 X13
Origem 2 
i=2
F2
X21 X22 X23
PROCURA D2 D2 D2
Vamos ao exemplo?
A família Silva & Soares cultiva abóboras em boa parte da área de plantio de suas terras no 
estado do Pernambuco. A sua produção é estocada em dois armazéns, que abrigam 20 e 12 t, 
respectivamente, e que são responsáveis por atender a três grandes redes de supermercados 
da região. O supermercado 1 demanda 14 t, o supermercado 2 precisa de 7 t, e o 
supermercado 3 necessita de 11 t. Os custos com o transporte das t estocadas no armazém 1 
são de R$ 20,00, R$ 22,00 e R$ 17,00 para os respectivos supermercados 1, 2 e 3. Tendo 
como origem o estoque do armazém 2, os custos de transporte para os supermercados são de 
R$ 12,00, R$ 9,00 e R$ 8,00, respectivamente. Qual a matriz de transportes que representa o 
cenário das entregas de abóboras cultivadas pela família Silva & Soares? 
Diante dos dados acima, temos: 
Oferta do armazém 1: 20 t.
Oferta do armazém 2: 12 t.
Demanda do supermercado 1: 14 t.
Demanda do supermercado 2: 7 t.
Demanda do supermercado 3: 11 t.
Total de oferta: 32 t.
Total de demanda: 32 t.
Função objetivo: MIN C = 20x11 + 22x12 + 17x13 + 12x21 + 9x22 + 8x23.
Levando as informações destacadas para a matriz de transportes, teremos: 
Cliente 1 
j =1
Cliente 2 
j =2
Cliente 3 
j =3
OFERTA
Armazém 1 
i=1
20
X11 X12 X13
Armazém 2 
i=2
12
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Armazém 2 
i=2
12
X21 X22 X23
PROCURA 14 7 11 32
A operacionalização do algoritmo do transporte somente poderá acontecer se as demandas 
de oferta e procura estiverem equilibradas, portanto, iguais, como vimos no exemplo. Nos 
casos em que a oferta for superior à procura, para equilibrar o sistema, devemos inserir um 
destino (coluna) fictício para representar a folga. Para situações em que a procura for 
superior à oferta, devemos inserir uma origem (linha) fictícia para representar o excesso de 
procura. De uma forma ou de outra, teremos custo zero para os novos espaços criados para 
equilibrar a matriz. 
Uma vez estabelecido o quadro, para definição da melhor decisão para o transporte das 
origens para os destinos específicos, três metodologias são previstas: do custo mínimo, do 
canto noroeste e de Vogel ou das penalidades. Assim, para cada situação empresarial 
verificada, devemos aplicar os três métodos e perceber o comportamento da função 
objetivo, que será responsável por indicar qual metodologia nos trará a programação de 
entrega de menor custo. 
Aula 1 https://a9256-1499469.cluster51.canvas-user-content.com/courses/925...
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Aula 2
Métodos do canto noroeste e do custo mínimo 
Para solucionar o problema de transporte, devemos 
representar origens, destinos, ofertas e demandas no quadro 
ou matriz de transportes, sendo este desenvolvido 
considerando aspectos teóricos próximos aos aplicados na 
elaboração de um modelo matemático. 
Sendo assim, após a certificação do equilíbrio entre oferta e 
demanda — ou da inserção de informações para que esse 
pressuposto seja atendido —, podemos estabelecer a decisão 
quanto aos totais a serem transportados das origens para os 
destinos por meio de três metodologias alternativas: do 
canto noroeste, do custo mínimo e de Vogel ou das 
penalidades. 
Pela simplicidade de aplicação, temos nos métodos do canto 
noroeste e do custo mínimo, algumas similaridades. Desse 
modo, abordaremos ambos em nossa Aula 2. 
Método do Canto Noroeste
O nome da técnica canto noroeste se justifica pelas etapas que compõem a aplicação desse 
método. Portanto, segundo essa metodologia de resolução do algoritmo do transporte, 
estabeleceremos a alocação dos recursos sempre pela parte mais noroeste possível do 
quadro. Assim,