0002 Somatorios, propriedades e operacoes com somatorio

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SOMATO´RIO E SUAS PROPRIEDADES - Prof. Marcelo de Paula
1 Introduc¸a˜o
Nessa Sec¸a˜o vamos introduzir o conceito de somato´rio, um operador linear que representa a soma de n
elementos ou conjunto de elementos de um conjunto quantitativo de dados. E´ representado pela letra grega
∑
(letra grega maiu´scula chamada sigma).
Denotamos um conjunto quantitativo de dados por X1, X2, ..., Xn. Outra notac¸a˜o tambe´m muito utilizada
em estat´ıstica para representarmos um conjunto de dados e´ Xi, i = 1, 2, ..., n.
n∑
i=1
Xi : leˆ-se ”somato´rio de Xi com i variando de 1 a n”. Ou seja,
n∑
i=1
Xi = X1 + X2 + ... + Xn
Observac¸a˜o: quando ordenamos um conjunto quantitativo de dados (ou observac¸o˜es) formado por
X1, X2, ..., Xn, seja em ordem crescente ou em ordem decrescente, denotaremos por X(1), X(2), ..., X(n). Podemos
notar que
n∑
i=1
Xi =
n∑
i=1
X(i)
Exemplo 1. Seja um conjunto de dados formado por (5, 7, 9, 11, 13). Enta˜o temos que seu somato´rio e´
dado por
5∑
i=1
Xi = X1︸︷︷︸
5
+ X2︸︷︷︸
7
+ X3︸︷︷︸
9
+ X4︸︷︷︸
11
+ X5︸︷︷︸
13
= 45
Exemplo 2. Seja um conjunto de dados formado por (10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100). Enta˜o temos
que seu somato´rio e´ dado por
10∑
i=1
Xi = X1︸︷︷︸
10
+ X2︸︷︷︸
20
+ X3︸︷︷︸
30
+ X4︸︷︷︸
40
+ X5︸︷︷︸
50
+ X6︸︷︷︸
60
+ X7︸︷︷︸
70
+ X8︸︷︷︸
80
+ X9︸︷︷︸
90
+ X10︸︷︷︸
100
= 550
Exemplo 3. Seja um conjunto de dados formado por (19, 22, 14, 23, 20, 17, 26, 19). Enta˜o temos que seu
somato´rio e´ dado por
8∑
i=1
Xi = X1︸︷︷︸
19
+ X2︸︷︷︸
22
+ X3︸︷︷︸
14
+ X4︸︷︷︸
23
+ X5︸︷︷︸
20
+ X6︸︷︷︸
17
+ X7︸︷︷︸
26
+ X8︸︷︷︸
19
= 160
2 Propriedades do somato´rio
O operador linear somato´rio denotado por
∑
apresenta va´rias propriedades que sa˜o fundamentais para
o prosseguimento do nosso estudo. Tais propriedades servira˜o de base para o entendimento das propriedades
das medidas de posic¸a˜o e das medidas de dispersa˜o. A seguir apresentaremos algumas propriedades ba´sicas do
somato´rio.
Considere um conjunto quantitativo de dados formado por X1, X2, ..., Xn e seja c uma constante ar-
bitra´ria. Enta˜o
Propriedade 1. O somato´rio da constante e´ dado por n vezes a constante.
n∑
i=1
c = nc.
Demonstrac¸a˜o:
n∑
i=1
c = c + c + ... + c︸ ︷︷ ︸
n vezes
= nc
Propriedade 2. Se, para cada observac¸a˜o deste conjunto for adicionado ou subtra´ıdo uma constante c,
enta˜o seu somato´rio e´ dado por
n∑
i=1
(Xi ± c) =
n∑
i=1
Xi ± nc.
1
Demonstrac¸a˜o: Vamos considerar o caso positivo, pois o caso negativo e´ ana´logo.
n∑
i=1
(Xi + c) = (X1 + c) + (X2 + c) + ... + (Xn + c)
= X1 + c + X2 + c + ... + Xn + c
= X1 + X2 + ... + Xn︸ ︷︷ ︸
n∑
i=1
Xi
+ c + c + ... + c︸ ︷︷ ︸
nc
n∑
i=1
(Xi + c) =
n∑
i=1
Xi + nc
Propriedade 3. Se, para cada observac¸a˜o deste conjunto for multiplicada uma constante c, enta˜o seu
somato´rio e´ dado por
n∑
i=1
Xic = c
n∑
i=1
Xi.
Demonstrac¸a˜o:
n∑
i=1
Xic = X1c + X2c + ... + Xnc
n∑
i=1
Xic = c(X1 + X2 + ... + Xn)︸ ︷︷ ︸
n∑
i=1
Xi
n∑
i=1
Xic = c
n∑
i=1
Xi
Propriedade 4. Sejam duas constantes arbitra´rias a e b. Enta˜o, pelas propriedades 1, 2 e 3, temos
n∑
i=1
(a± bXi) = na± b
n∑
i=1
Xi.
Demonstrac¸a˜o: Vamos demonstrar o caso positivo, pois o caso negativo e´ ana´logo.
n∑
i=1
(a + bXi) =
n∑
i=1
a +
n∑
i=1
bXi,
pelas propriedades 1, 2 e 3 temos que
n∑
i=1
(a + bXi) = na + b
n∑
i=1
Xi.
Propriedade 5. Sejam X e Y duas varia´veis quantitativas, enta˜o o somato´rio da soma e´ a soma dos
somato´rios. Ana´logo ao caso negativo.
n∑
i=1
(Xi ± Yi) =
n∑
i=1
Xi ±
n∑
i=1
Yi.
Demonstrac¸a˜o: Vamos demonstrar o caso positivo, pois o caso negativo e´ ana´logo.
n∑
i=1
(Xi + Yi) = (X1 + Y1) + (X2 + Y2) + ... + (Xn + Yn)
= X1 + Y1 + X2 + Y2 + ... + Xn + Yn
= X1 + X2 + ... + Xn︸ ︷︷ ︸
n∑
i=1
Xi
+ Y1 + Y2 + ... + Yn︸ ︷︷ ︸
n∑
i=1
Yi
n∑
i=1
(Xi + Yi) =
n∑
i=1
Xi +
n∑
i=1
Yi
2
Observac¸a˜o: Esta propriedade vale para mais de 2 varia´veis quantitativas.
Propriedade 6. O somato´rio do produto e´ diferente do produto dos somato´rios.
n∑
i=1
XiYi 6=
n∑
i=1
Xi
n∑
i=1
Yi.
Em particular, se X e Y sa˜o varia´veis positivas, isto e´, Xi > 0 e Yi > 0, para i = 1, 2, ..., n, enta˜o o
somato´rio do produto e´ menor que o produto dos somato´rios:
n∑
i=1
XiYi <
n∑
i=1
Xi
n∑
i=1
Yi.
Demonstrac¸a˜o:
n∑
i=1
XiYi <
n∑
i=1
Xi
n∑
i=1
Yi
X1Y1 + X2Y2 + ... + XnYn < (X1 + X2 + ... + Xn) (Y1 + Y2 + ... + Yn)
X1Y1 + X2Y2 + ... + XnYn︸ ︷︷ ︸
n∑
i=1
XiYi
< X1
n∑
i=1
Yi︸ ︷︷ ︸
≥X1Y1
+ X2
n∑
i=1
Yi︸ ︷︷ ︸
≥X2Y2
+ ... + Xn
n∑
i=1
Yi︸ ︷︷ ︸
≥XnYn
Como XiYi < Xi
n∑
i=1
Yi, para i = 1, 2, ..., n, enta˜o segue imediatamente que
n∑
i=1
XiYi <
n∑
i=1
Xi
n∑
i=1
Yi
3 Operac¸o˜es com somato´rio
A partir das propriedades ba´sicas dos somato´rios, podemos enta˜o realizar operac¸o˜es com os somato´rios,
isto e´, podemos simplificar expresso˜es alge´bricas que envolvem o operador somato´rio.
Exemplo. Seja
n∑
i=1
Xi = 10,
n∑
i=1
X2i = 30,
n∑
i=1
X3i = 100 e n = 4, determinar
a.
n∑
i=1
(
Xi + X
2
i + X
3
i
)
Resoluc¸a˜o:
n∑
i=1
(
Xi + X
2
i + X
3
i
)
=
n∑
i=1
Xi +
n∑
i=1
X2i +
n∑
i=1
X3i
= 10 + 30 + 100
= 140
b.
n∑
i=1
(Xi + 1)
Resoluc¸a˜o:
n∑
i=1
(Xi + 1) =
n∑
i=1
Xi +
n∑
i=1
1
= 10 + n× 1
= 10 + 4
= 14
c.
n∑
i=1
(Xi − 2)2
3
Resoluc¸a˜o:
n∑
i=1
(Xi − 2)2 =
n∑
i=1
(
X2i − 4Xi + 4
)
=
n∑
i=1
X2i − 4
n∑
i=1
Xi +
n∑
i=1
4
= 30− 4× 10 + 4× 4
= 30− 40 + 16
= 6
d.
n∑
i=1
(Xi + 5) (Xi − 2)
Resoluc¸a˜o:
n∑
i=1
(Xi + 5) (Xi − 2) =
n∑
i=1
(
X2i − 2Xi + 5Xi − 10
)
=
n∑
i=1
X2i − 2
n∑
i=1
Xi + 5
n∑
i=1
Xi −
n∑
i=1
10
= 30− 2× 10 + 5× 10− 4× 10 = 30− 20 + 50− 40
= 20
e.
n∑
i=1
(
X2i + 1
)
(Xi + 4)
Resoluc¸a˜o:
n∑
i=1
(
X2i + 1
)
(Xi + 4) =
n∑
i=1
(
X3i + 4x
2
i + Xi + 4
)
=
n∑
i=1
X3i + 4
n∑
i=1
X2i +
n∑
i=1
Xi +
n∑
i=1
4
= 100 + 4× 30 + 10 + 4× 4 = 100 + 120 + 10 + 16
= 246
f.
n∑
i=1
(
X3i − 10
)
Resoluc¸a˜o:
n∑
i=1
(
X3i − 10
)
=
n∑
i=1
X3i −
n∑
i=1
10
= 100− 4× 10
= 100− 40
= 60.
g.
n∑
i=1
(
X3i−2X2i−3Xi
10
)
Resoluc¸a˜o:
n∑
i=1
(
X3i − 2X2i − 3Xi
10
)
=
n∑
i=1
(
X3i − 2X2i − 3Xi
)
10
=
n∑
i=1
X3i − 2
n∑
i=1
X2i − 3
n∑
i=1
Xi
10
=
100− 2× 30− 3× 10
10
=
100− 60− 30
10
=
10
10
= 1
4