Apostila Mecânica dos Solos II

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Disciplina: Mecânica dos Solos II
Professor: Eduardo Rodrigues da Cunha
7º Período de Engenharia Civil
4ª Edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Mecânica dos Solos II 
Professor: Eduardo Rodrigues da Cunha 
º Período de Engenharia Civil 
4ª Edição – Fevereiro 2011 
 
 
 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 1 
CESUBE – CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DE UBERABA 
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL 
MECÂNICA DOS SOLOS II 
 
 
 
Sejam bem-vindos ao 7º período do curso de Engenharia Civil. 
A matéria sobre Mecânica dos Solos II vem complementar os conhecimentos do 
período anterior, proporcionando-lhes o conhecimento das propriedades dos solos; quais 
sejam: a distribuição das cargas aplicadas sobre ele, a sua permeabilidade na presença de 
água, o seu recalque quando aplicadas cargas sobre ele e finalmente como verificar a 
resistência do solo ao incremento de cargas aplicadas sobre ele. 
São estas propriedades que garantirão a estabilidade e durabilidade de obras edificadas 
sobre o solo, ou com ele construídas, então, extremamente importantes o seu conhecimento. 
Neste período, a matéria está estruturada da seguinte maneira: 
• Distribuição das Tensões nos solos; 
• Hidráulica dos solos; 
• Compressibilidade e Adensamento dos solos; 
• Resistência ao cisalhamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações importantes 
 
 
• Esta apostila estará em constante revisão com o seu uso; 
 
• Com o objetivo de tornar o estudo dos assuntos aqui abordados mais fáceis de serem 
entendidos, evitamos descrever ou comentar aqui os textos das normas de 
especificações dos materiais e de metodologias de ensaio, junto com a teoria pertinente. 
Para um melhor aproveitamento dos estudos o aluno deverá ter ao lado da apostila as 
normas impressas referente ao assunto abordado. 
 
 
Mecânica dos Solos II 
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. 
Índice 
 
Capitulo I – DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES NOS SOLOS 
1. Introdução ........................................................................................................... pág. 01 
2. Tensões em um ponto ........................................................................................... pág. 01 
2.1 Principio das tensões efetivas ............................................................................... pág. 04 
3. Cálculo das tensões geostáticas ............................................................................ pág. 05 
3.1 Calculo da tensão geostática vertical .................................................................... pág. 05 
3.2 Uso do peso especifico submerso ......................................................................... pág. 06 
3.3 Exemplo de aplicação ........................................................................................... pág. 06 
3.4 Cálculo das tensões geostáticas horizontais ........................................................ pág. 08 
4. Acréscimos de tensões devido a cargas aplicadas ............................................... pág. 08 
4.1 Distribuição das tensões nos solos ....................................................................... pág. 08 
4.2 Solução simplificada ou hipótese simples ........................................................... pág. 10 
4.3 Soluções advindas da teoria da elasticidade ......................................................... pág. 11 
4.3.1 Solução de Boussinesq – carga concentrada ........................................................ pág. 12 
4.3.2 Solução de Westergaard – carga concentrada ...................................................... pág. 13 
4.3.3 Carga uniforme sobre placa retangular de comprimento infinito ......................... pág. 14 
4.3.3.1 Exemplo de aplicação .......................................................................................... pág. 16 
4.3.4 Carregamento uniformemente distribuído sobre uma placa retangular ............... pág. 16 
4.3.4.1 Exemplo de aplicação .......................................................................................... pág. 19 
4.3.5 Carregamento uniformemente distribuído sobre uma placa circular ................... pág. 19 
4.3.5.1 Exemplo de aplicação .......................................................................................... pág. 21 
4.3.6 Carregamento triangular ....................................................................................... pág. 21 
4.3.6.1 Gráfico de Carothers ............................................................................................ pág. 21 
4.3.6.2 Gráfico de Osterberg ............................................................................................ pág. 22 
4.3.6.3 Gráfico de Fadum ................................................................................................. pág. 23 
4.3.7 Carregamento uniforme de qualquer forma- Solução de Newmark ..................... pág. 25 
4.3.7.1 Exemplo de aplicação .......................................................................................... pág. 26 
4.4 Bulbo de pressões ................................................................................................. pág. 28 
4.4.1 Exemplo de aplicação .......................................................................................... pág. 30 
 
 
 
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Capitulo II – HIDRÁULICA DOS SOLOS 
1. Introdução ............................................................................................................. pág. 31 
2. Aplicabilidade ....................................................................................................... pág. 31 
3. Influência do fluxo de água nos solos ................................................................... pág. 32 
4. Conservação da energia ......................................................................................... pág. 33 
4.1 Forças de percolação ............................................................................................. pág. 34 
5. Lei de Darcy .......................................................................................................... pág. 36 
6. Coeficiente de permeabilidade dos solos .............................................................. pág. 38 
7. Métodos para determinação da permeabilidade dos solos .................................... pág. 39 
7.1 Correlações empíricas – método indireto .............................................................. pág. 39 
7.2 Determinação através do ensaio de adensamento – método indireto .................... pág. 40 
7.3 Determinação através de Permeâmetro de carga constante – método direto ........ pág. 40 
7.4 Determinação através de Permeâmetro de carga variável – método direto .......... pág. 41 
7.5 Ensaios de campo .................................................................................................. pág. 43 
8. Fatores que influenciam no coeficiente de permeabilidade do solo ...................... pág. 44 
8.1 Ordem de grandeza do coeficiente de permeabilidade ......................................... pág. 46 
9. Ruptura hidráulica nos solos ................................................................................. pág. 46 
9.1 Areia Movediça ..................................................................................................... pág. 47 
9.2 Piping .....................................................................................................................pág. 49 
10. Controle das forças de percolação ......................................................................... pág. 49 
11. Filtros de proteção ................................................................................................. pág. 51 
12. Capilaridade ........................................................................................................... pág. 54 
12.1 Influência dos fenômenos capilares em obras com solos ...................................... pág. 57 
 
Capitulo III – Compressibilidade e Adensamento dos Solos 
1. Introdução .............................................................................................................. pág. 59 
2. Compressibilidade dos solos ................................................................................. pág. 60 
3. Ensaio de compressão confinada – edométrico ..................................................... pág. 62 
3.1 Procedimento do ensaio de compressão confinada ............................................... pág. 64 
3.2 Parâmetros iniciais ,,,,,,.......................................................................................... pág. 65 
3.3 Índices de vazios final – ef .................................................................................... pág. 65 
3.4 Resultados gráficos do ensaio de compressão confinada ...................................... pág. 65 
3.5 Análise dos gráficos de um ensaio de compressão confinada ............................... pág. 66 
 
 
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3.5.1 Interpretando trechos da curva de compressão em escala aritmética ................... pág. 66 
3.5.2 Tensão de pré-adensamento- Gráfico semi-log .................................................... pág. 67 
3.5.2.1Método de Casagrande .......................................................................................... pág. 68 
3.5.2.2Método de Pacheco e Silva ................................................................................... pág. 68 
3.6 Efeito do amolgamento da amostra ....................................................................... pág. 69 
3.7 Determinação da condição de adensamento em que se encontra o solo ............... pág. 70 
3.8 Parâmetros de compressibilidade .......................................................................... pág. 72 
4. Cálculo do recalque primário ................................................................................ pág. 73 
4.1 Cálculo do recalque primário através do Coeficiente de Compressibilidade ........ pág. 75 
4.2 Cálculo do recalque primário através de variação volumétrica ............................ pág. 75 
4.3 Cálculo do recalque primário através dos índices de compressão ........................ pág. 75 
5. Adensamento dos solos ......................................................................................... pág. 76 
5.1 Analogia mecânica do processo de adensamento de Terzaghi .............................. pág. 77 
5.2 Teoria do adensamento 1-D de Terzaghi .............................................................. pág. 79 
5.3 Grau ou porcentagem de adensamento ................................................................. pág. 84 
5.4 Grau de acréscimos de tensão efetiva e Grau de dissipação da pressão neutra .... pág. 86 
5.5 Grau de adensamento médio ................................................................................ pág. 86 
5.5.1 Soluções aproximadas da equação de adensamento ............................................. pág. 89 
5.6 Compressão secundária ......................................................................................... pág. 90 
 
Capitulo IV – Resistência ao cisalhamento 
1. Introdução ............................................................................................................. pág. 90 
2. Resistência ao cisalhamento ................................................................................. pág. 91 
3. Critério de ruptura de um solo .............................................................................. pág. 92 
4. Tensões em um plano inclinado ........................................................................... pág. 93 
4.1 Cálculo das tensões normal (σα) e tangencial (τα) em um plano α ....................... pág. 95 
4.2 Análise gráfica de estado de tensões – Gráfico de Morh ..................................... pág. 98 
5. Critério de ruptura de Mohr ................................................................................. pág. 100 
5.1 Propriedades da envoltória de Mohr ................................................................... pág. 104 
5.2 Tensões totais, efetivas e neutras ........................................................................ pág. 105 
6. Teoria de Coulomb .............................................................................................. pág. 105 
6.1 Forças de atrito .................................................................................................... pág. 105 
6.2 Forças de coesão .................................................................................................. pág. 108 
 
 
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7. Critério de ruptura Mohr-Coulomb ..................................................................... pág. 110 
7.1 Condição analítica da Ruptura ............................................................................ pág. 111 
7.2 Analise do estado de tensões no plano de ruptura ............................................... pág. 113 
8. Ensaios para determinação da resistência do solo ............................................... pág. 114 
 Capitulo I 
 
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DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES NOS SOLOS 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
Como em todo material utilizado na engenharia, o solo, ao sofrer solicitações, 
irá se deformar, modificando o seu volume e forma iniciais. A magnitude das 
deformações apresentadas pelo solo irá depender não só de suas propriedades 
intrínsecas de deformabilidade (elásticas e plásticas), mas também do valor do 
carregamento a ele imposto. 
O conhecimento das tensões atuantes em um maciço de terra, sejam elas 
advindas do peso próprio ou em decorrência de carregamentos em superfície (ou até 
mesmo o alívio de cargas provocado por escavações) é de vital importância no 
entendimento do comportamento de praticamente todas as obras da engenharia 
geotécnica. 
Neste capítulo tratar-se-á da determinação ou previsão das pressões, aplicadas 
ou desenvolvidas em pontos do terreno, como resultado de um carregamento 
imposto, bem como as tensões existentes no maciço devido ao seu peso próprio, isto é, 
tensões geostáticas. 
Nos solos ocorrem tensões devidas ao seu peso próprio e às cargas externas 
aplicadas. Assim, o estado de tensões em cada ponto do maciço depende do peso 
próprio do terreno, da intensidade da força aplicada e da geometria da área 
carregada e a obtenção de sua distribuição espacial é normalmente feita a partir das 
hipóteses formuladas pela teoria da elasticidade, conforme será visto mais adiante. 
No caso de tensões induzidas pelo peso próprio das camadas de solo (tensões 
geostáticas) e superfície do terreno horizontal, a distribuição das tensões total, 
neutra e efetiva a uma dada profundidade é imediata, considerando-se apenas o 
peso do solo sobrejacente. 
 
2. TENSÕES EM UM PONTO 
 
 Um ponto, considerado nointerior de uma massa de solo, está sujeito a 
esforços em todas as direções (equilibradas por reações ocorrentes pela própria 
continuidade da massa). Assim o ponto estará em equilíbrio estável, instável ou 
incipiente (eminência da ruptura), dependendo da maior ou menor capacidade que 
a massa tem de absorver esforços (internos e/ou externos). 
Para o estudo das forças atuantes em um ponto O, por exemplo como 
mostra a Figura 1.1 (terreno horizontal), considerando apenas as forças devidas ao 
peso próprio dos solos, desprezando àquelas devido aos carregamentos externos, 
devemos analisá-las segundo direções específicas, isto é, devemos considerá-las 
como tensões agentes no ponto O traduzidas por esforços por unidade de área 
em direções definidas e determináveis (no caso, a resultante agirá segundo a 
direção da gravidade). 
 Capitulo I 
 
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Figura 1.1 Tensões de um ponto no interior de uma massa de solo 
 
Assim, sabemos que a ação da componente do peso próprio do solo, agindo 
na direção da gravidade sobre um plano horizontal, terá seu valor absoluto, mas, 
sobre um plano inclinado (qualquer) em relação a sua direção é definida por duas 
componentes, uma normal a esse plano e outra tangencial ou contida no plano (a 
componente tangencial é que terá que ser equilibrada pela resistência 
interna). 
Para o caso da figura 1.1 em que o plano do terreno é horizontal não haverá 
componente tangencial e o esforço absoluto, age normal ao plano paralelo ao da 
superfície. 
Podemos definir um ponto O, como a intersecção de três planos ortogonais 
entre si. 
 
 
Figura 1.2 Planos ortogonais com intersecção em O 
 
Se tomarmos, nessa definição gráfica, o ponto no interior da massa, 
podemos agrupar os esforços que agem em torno do ponto, seguindo essas três 
direções consideradas. Assim, suas ações limitadas às resultantes com direções 
definidas seriam tensões ortogonais entre si, que agem, cada uma delas, normal a 
cada um dos planos sucessivamente. 
 Capitulo I 
 
Mecânica dos Solos II 
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As solicitações no ponto O serão definidas por um sistema tri-dimensional 
de tensões, representadas, por σ1, σ2 e σ3 (e suas respectivas reações pela 
continuidade da massa), contidas respectivamente no encontro de dois planos 
(traço desse encontro) e normal ao terceiro onde age integralmente. 
Se a orientação dos planos se der a partir do referencial horizontal, σ1 será 
uma tensão devida ao peso próprio dos solos e agirá normal a esse plano horizontal 
em toda sua intensidade. Não ocorrerão componentes tangenciais nesses planos e 
cada uma das tensões agirá, integralmente, sobre cada um dos planos que lhe são, 
sucessivamente normais. 
Nessa situação, as tensões serão denominadas tensões principais e os 
planos serão os planos principais de tensões. 
 
Temos a representação do ponto O com as tensões agentes e, seguindo a 
nomenclatura teremos para esse sistema tri-dimensional de tensões: 
• σ1 ⇒⇒⇒⇒ Tensão principal maior, agindo em valor absoluto sobre o plano 
principal maior, no caso horizontal; 
• σ2 ⇒⇒⇒⇒ Tensão principal intermediária, agindo normal ao plano principal 
intermediário; 
• σ3 ⇒⇒⇒⇒ Tensão principal menor, agindo sobre o plano principal menor. 
 
No caso dos solos, iremos considerar, dentro de um espaço semi-infinito 
(nas características dos horizontes) o solo como homogêneo e contínuo em todas 
as direções. Nessas características a elasticidade (reação da massa) será a mesma 
em todas as direções, dando-nos a condição particular de σ2 = σ3. 
 
Com essa condição reduzimos o sistema a uma condição bi-dimensional de 
tensões, onde teremos: 
σ1 ⇒ tensão principal maior agindo normal ao plano principal maior; 
σ3 ⇒ tensão principal menor agindo normal ao plano principal menor. 
 
Representando o ponto O como um cilindro infinitesimal, de acordo com a 
Figura 1.3, teremos o problema de análise das tensões a ser resolvido num sistema 
bi-dimensional de tensões ou sistema plano de tensões. 
É interessante observar que sendo a superfície do terreno horizontal, em 
qualquer profundidade “z”, a tensão principal maior σ1 terá como direção a vertical, 
a tensão principal menor σ3 à sua perpendicular, ou seja, a direção horizontal. 
 Apesar de o solo constituir um sistema particulado, composto de três fases 
distintas (água, ar e partículas sólidas), e o conceito de tensão em um ponto advir 
da mecânica do contínuo, este tem sido utilizado com sucesso na prática 
geotécnica. Além disso, boa parte dos problemas em mecânica dos solos podem ser 
encarados como problemas de tensão ou de formação de planos. 
 
 
 Capitulo I 
 
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Figura 1.3 Representação infinitesimal do ponto O. Direção das tensões 
principais. 
 
2.1 O principio das tensões efetivas 
Postulado por Terzaghi, para o caso dos solos saturados, o princípio das 
tensões efetivas é uma função da tensão total (soma das tensões nas fases água e 
partículas sólidas) e da tensão neutra (denominada também de pressão neutra, é a 
pressão existente na fase água do solo), que governa o comportamento do solo em 
termos de deformação e resistência ao cisalhamento. 
Mostra-se experimentalmente que, para o caso dos solos saturados, o que 
governa o comportamento do solo em termos de resistência e deformabilidade é a 
diferença entre a tensão total e a pressão neutra, denominada então tensão efetiva. 
As tensões normais desenvolvidas em qualquer plano num maciço terroso, serão 
suportadas, parte pelas partículas sólidas e parte pela água. As tensões cisalhantes 
somente poderão ser suportadas pelas partículas sólidas. 
No caso dos solos saturados, uma parcela da tensão normal age nos contatos 
inter-partículas e a outra parcela atua na água existente nos vazios. Assim, a tensão 
total num plano será a soma da tensão efetiva, resultante das forças transmitidas 
pelas partículas, e da pressão neutra, dando origem a uma das relações mais 
importantes da Mecânica dos Solos, proposta por Terzaghi: 
 
 ou onde; 
 
σ’ é a tensão efetiva do solo, 
σ é tensão total, 
u é a pressão neutra no ponto considerado. 
 
Devido a sua natureza de fluido, a pressão na fase água do solo não contribui 
para a sua resistência, sendo assim chamada de pressão neutra. Para visualizar um 
pouco melhor o efeito da água no solo imagine uma esponja colocada dentro de um 
recipiente com água suficiente para encobri-la (a esponja se encontra totalmente 
submersa). Se o nível de água for elevado no recipiente, a pressão total sobre a 
esponja aumenta, mas a esponja não se deforma. 
σ’ = σ – u σ = σ’ + u 
 Capitulo I 
 
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Isto ocorre porque os acréscimos de tensão total são contrabalançados por 
iguais acréscimos na tensão neutra, de modo que a tensão efetiva permanece 
inalterada.3. CÁLCULO DAS TENSÕES GEOSTÁTICAS 
 
Conforme relatado anteriormente, as tensões no interior de um maciço de solo 
podem ser causadas por cargas aplicadas ao solo e pelo seu peso próprio. A 
distribuição destes estados de tensão ponto a ponto no interior do maciço obedece a 
um conjunto de equações diferenciais denominadas de equações de equilíbrio, de 
compatibilidade e as leis constitutivas do material, cuja resolução é geralmente 
bastante complicada. Mesmo a distribuição de tensões no solo devido ao seu peso 
próprio pode resultar em um problema mais elaborado. 
Existe, contudo, uma situação freqüentemente encontrada na Geotecnia, em que 
o peso do solo resulta em um padrão de distribuição de tensões bastante 
simplificado. Isto acontece quando a superfície do solo é horizontal e quando as 
propriedades do solo variam muito pouco na direção horizontal. 
 
3.1 Calculo da tensão geostática vertical 
Para a situação descrita anteriormente, não existem tensões cisalhantes atuando 
nos planos vertical e horizontal (em outras palavras, os planos vertical e horizontal 
são planos principais de tensão). Portanto, a tensão vertical em qualquer 
profundidade é calculada simplesmente considerando o peso de solo acima daquela 
profundidade. Assim, se o peso específico do solo é constante com a profundidade, 
a tensão vertical total pode ser calculada simplesmente utilizando-se a equação 
apresentada a seguir: 
 
 onde: 
σv = é a tensão geostática vertical total no ponto considerado; 
γ = é o peso específico do solo; 
z = é equivalente a profundidade. 
 
A pressão neutra é calculada de modo semelhante, utilizando-se a seguinte equação: 
 
 onde: 
 
u = é a pressão neutra atuando na água no ponto considerado; 
γw = é o peso específico da água, sendo adotado normalmente como γw = 10KN /m³; 
A tensão efetiva controla aspectos essenciais do comportamento do 
solo, em especial a compressibilidade e a resistência 
σv = γ . z 
u = γw . zw 
 
 
 Capitulo I 
 
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Zw = equivalente a profundidade do ponto considerado até a superfície do 
lençol freático. 
 
Quando o terreno é constituído de camadas estratificadas, o que é comum em 
grande parte dos casos, ocorre uma variação dos pesos específicos ao longo da 
profundidade e a tensão normal resulta do somatório do efeito das diversas 
camadas. A tensão vertical efetiva é então calculada utilizando-se a seguinte 
equação: 
 
 
 
 
 
Onde γi e hi representam o peso específico e a espessura de cada camada considerada. 
A figura abaixo, mostra um diagrama de tensões com a profundidade em um perfil de 
solo estratificado 
 
 Figura 1.4 Distribuições de tensões geostáticas verticais 
 
3.2 Uso do peso especifico submerso 
Caso o nível de água, apresentado na figura 1.2, estivesse localizado na 
superfície do terreno, o cálculo das tensões efetivas poderia ser simplificado pelo 
uso do conceito de peso específico submerso, discutido no capítulo de índices 
físicos. Neste caso, a tensão total vertical será dada por σv = γsat . z, enquanto que 
a pressão neutra no mesmo ponto será u = γw . z. 
A tensão efetiva, correspondente à diferença entre estes dois valores, será: σv’ 
= σv − u = γsat . z. – γw . z, o que faz com que tenhamos: σv’= (γsat − γw).z = γsub . z, 
onde γsub é o peso específico submerso do solo. 
 
3.3 Exemplo de aplicação 
�′ � � �� . 	
�
��
� �� .�� 
 Capitulo I 
 
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Determinar as tensões geostáticas verticais efetiva e total e a pressão neutra 
para o perfil apresentado, e traçar os diagramas correspondentes. 
 
 
Cálculo das tensões geostáticas: 
• Tensões Totais: (σ) 
 σv(1) = 17,0 x 1,0 = 17,0 kN/m² 
 σv(2) = 17,0 + 18,5 x 2,0 = 54,0 kN/m² 
 σv(3) = 54,0 + 20,8 x 1,5 = 85,2 kN/m² 
• Pressões Neutras: (u) 
 u(1) = 0 
 u(2) = 0 + γw x 2,0 = 10,0 x 2,0 = 20,0 kN/m² 
 u(3) = 20,0 + 10,0 x 1,5 = 35,0 kN / m² 
• Tensões Efetivas: (σ’ = σ − u) 
 σ’v(1) = 17,0 − 0 = 17,0 kN/m² 
 σ’v(2) = 54,0 − 20,0 = 34,0 kN/m² 
 σ’v(3) = 85,2 − 35,0 = 50,2 kN/m² 
. 
 3.4 Cálculo das tensões geostáticas horizontais: 
 
 Capitulo I 
 
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As tensões geostáticas horizontais existentes em um maciço de solo são muito 
importantes no cálculo dos esforços de solo sobre estruturas de contenção, como os 
muros de arrimo, cortinas atirantadas etc. 
Estes esforços dependem em muito dos movimentos relativos do solo, 
ocasionados em função da instalação da estrutura de contenção. Para o caso do solo 
em repouso, as tensões geostáticas horizontais são calculadas empregando-se o 
coeficiente de empuxo em repouso do solo, conforme apresentado pela equação abaixo 
 
 
 
 
O coeficiente de empuxo em repouso do solo pode ser determinado através de 
formulas empíricas ( sem consenso na sua formula), de ensaios em laboratório e de 
ensaios em campo. Na equação apresentada a seguir, φ é o ângulo de atrito interno 
efetivo do solo, apresentado em detalhes no capítulo de resistência ao cisalhamento. 
 
 
 
 
O K0. Também pode ser determinado através de valores típicos tabelados para 
diversos tipos de solos, conforme tabela a seguir: 
 
Areia fofa 0,55 
Areia densa 0,40 
Argila de baixa plasticidade 0,50 
 Argila de alta plasticidade 0,65 
 Valores típicos de k0 em função do tipo de solo 
 
4. ACRÉSCIMO DE TENSÕES DEVIDO ÀS CARGAS 
APLICADAS 
Quando se aplica uma sobrecarga ao terreno, ela produz modificações nas 
tensões até então existentes. Teoricamente, tais modificações (acarretando aumento 
ou diminuição das tensões existentes) ocorrem em todos os pontos do maciço 
solicitado. Dependendo da posição do ponto (elemento do terreno) em relação ao 
ponto ou lugar de aplicação da sobrecarga, as modificações serão de acréscimo ou 
decréscimo, maiores ou menores. 
 
4.1 Distribuição de tensões no solo 
As tensões induzidas em uma massa de solo, decorrente de carregamentos 
superficiais, dependem fundamentalmente da posição do ponto considerado no 
interior do terreno em relação à área de carregamento. 
σ'h = �� . �′� 
K0 = 1 - sen (Ф� 
 
 
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Pode-se dizer que embora as perturbações no estado de tensão inicial de um 
maciço de solo, provocadas por um determinado carregamento, se propaguem 
indefinidamente, a intensidade destas perturbações (ou os valores dos acréscimos 
de tensão induzidos na mass
o afastamento lateral, de modo que a influência, do ponto de vista prático, destas 
cargas, é limitada a uma determinada região.Existem varias teorias em uso para a determinação dos acréscimos de tensões 
provenientes do carregamento de um solo, cada uma delas com suas restrições de uso. 
Dentre elas, veremos: 
 
• Solução simplificada ou hipótese simples
• Teoria da elasticidade
• Método do bulbo
A lei de variação das tensões, lateralmente e com a profundidade, 
constitui a denominada distribuição de tensões nos solos.
A magnitude das tensões aplicadas tende a diminuir tanto com a 
profundidade, como lateralmente, à medida que aumenta a distância 
horizontal do ponto à zona de carregamento
 
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se dizer que embora as perturbações no estado de tensão inicial de um 
maciço de solo, provocadas por um determinado carregamento, se propaguem 
indefinidamente, a intensidade destas perturbações (ou os valores dos acréscimos 
de tensão induzidos na massa de solo) diminuem bastante em profundidade e com 
o afastamento lateral, de modo que a influência, do ponto de vista prático, destas 
cargas, é limitada a uma determinada região. 
 Fig. 1.5 Propagação das tensões em um solo
Existem varias teorias em uso para a determinação dos acréscimos de tensões 
provenientes do carregamento de um solo, cada uma delas com suas restrições de uso. 
 
olução simplificada ou hipótese simples 
eoria da elasticidade 
étodo do bulbo 
A lei de variação das tensões, lateralmente e com a profundidade, 
constitui a denominada distribuição de tensões nos solos. 
A magnitude das tensões aplicadas tende a diminuir tanto com a 
como lateralmente, à medida que aumenta a distância 
horizontal do ponto à zona de carregamento. 
 Capitulo I 
 Pág. 9 
se dizer que embora as perturbações no estado de tensão inicial de um 
maciço de solo, provocadas por um determinado carregamento, se propaguem 
indefinidamente, a intensidade destas perturbações (ou os valores dos acréscimos 
a de solo) diminuem bastante em profundidade e com 
o afastamento lateral, de modo que a influência, do ponto de vista prático, destas 
 
solo 
Existem varias teorias em uso para a determinação dos acréscimos de tensões 
provenientes do carregamento de um solo, cada uma delas com suas restrições de uso. 
A lei de variação das tensões, lateralmente e com a profundidade, 
A magnitude das tensões aplicadas tende a diminuir tanto com a 
como lateralmente, à medida que aumenta a distância 
 Capitulo I 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 10 
 
 Fig. 1.6 Distribuição das tensões segundo a teoria do Bulbo de Pressões 
 
4.2 Solução simplificada ou hipótese simples 
 
A distribuição de tensões nos solos pode ser estimada de forma muito 
aproximada, admitindo-se que as tensões se propaguem uniformemente através da 
massa de solo segundo um dado ângulo de espraiamento (por exemplo, 30º ou 45º) 
ou uma dada declividade (por exemplo, método 2:1). Essa aproximação empírica 
baseia-se na suposição de que a área sobre a qual a carga atua aumenta de uma 
forma sistemática com a profundidade, assim as tensões (σ = q/A) decrescem com 
a profundidade, como mostra a figura abaixo. 
 
 
Figura 1.7 Distribuição de tensão vertical com a profundidade, segundo 
um ângulo de espraiamento (a) ou método 2:1 (b) 
 
 Capitulo I 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 11 
 Para o caso da figura acima, considerando-se uma sapata retangular, as 
tensões induzidas na superfície do terreno são dadas por: 
 
 �� � ��� .�� 
 
 Na profundidade (z), a área da sapata aumenta de z/2 (para o método 2:1) ou 
tangφ0 (espraiamanto) para cada lado. Assim, a tensão nesta profundidade será 
estimada pela equação seguinte: 
 
 �� � ��� . �� 
 
O ângulo de espraiamento é função do tipo de solo, com os seguintes valores 
típicos:. 
 
Solos muito moles = Ф0 < 40º 
Areias puras 
 = Ф0 40º a 45º 
Argilas rijas e duras 
 = Ф0 � 70º 
Rochas = Ф0 > 70º 
 
Para fins práticos, a propagação de pressões, devido à sobrecarga, restringe à 
zona delimitada pelas linhas de espraiamento. A hipótese simples contraria todas 
as observações experimentais (feitas através de medições no interior do subsolo), 
pelas quais se verificou que a pressão distribuída em profundidade não é uniforme, 
mas sim variável, em forma de sino (figura 1.3). 
 
A faixa de validade para esta teoria restringe-se a: 
• Sobrecargas provenientes de fundações muito rígidas e/ou estruturas rígidas 
(chaminés, torres, obeliscos, blocos de máquinas) com tendência de recalques 
uniformes, as pressões tendem à uniformidade; 
• Profundidades muito grandes – achatamento do diagrama de pressões; 
• Valor de φ0 a adotar – quanto mais resistente for o solo, tanto maior será o valor de 
φ0. 
 
4.3 Soluções advindas da teoria da elasticidade 
As tensões dentro de uma massa de solo podem também ser estimadas empregando as 
soluções obtidas a partir da teoria da elasticidade. Apesar das hipóteses adotadas nestas 
formulações, seu emprego nos casos práticos é bastante freqüente, dada a sua 
simplicidade, quando comparadas a outros tipos de análises mais elaboradas, como o 
emprego de técnicas de discretização do contínuo. Por outro lado, pode-se dizer também 
 Capitulo I 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 12 
que estas soluções apresentam resultados bem mais próximos do real do que aqueles 
obtidos com o uso da solução simplificada, apresentada no item anterior. 
A teoria de elasticidade linear é baseada no comportamento elástico dos materiais, ou 
seja, na proporcionalidade entre as tensões ( σ ) e deformações ( ℇ ), segundo a lei de 
Hooke. 
Denomina-se módulo de elasticidade ou módulo Young, a razão σ /ℇ = E 
 
Em resumo a teoria de elasticidade admite que; 
• Material seja homogêneo (propriedades constantes na massa do solo); 
• Material seja isotrópico (em qualquer ponto as propriedades são as mesmas 
independentemente da direção considerada); 
• Material seja linear-elástico (tensão e deformação são proporcionais); 
• A variação de volume do solo sob aplicação da carga é negligenciada; 
• O solo é semi-infinito. 
Existem formulações para uma grande variedade de tipos de carregamento 
utilizando-se da teoria da elasticidade, denominadas de extensão da solução de 
Boussinesg. As mais importantes são: 
• Carga distribuída ao longo de uma linha – Solução de Melan; 
• Carregamento uniforme sobre uma placa retangular de comprimento infinito 
(sapata corrida); 
• Carregamento uniformemente distribuído sobre placa retangular; 
• Carregamento uniforme sobre placa circular; 
• Carregamento triangular de comprimento infinito; 
• Carregamento em forma de trapézio retangular de comprimento infinito; 
• Carregamento uniformemente distribuído sobre uma superfície de forma 
irregular – gráfico de Newmark; 
 
 Serão apresentados aqui, apenas os casos mais freqüentes, sem nos 
preocuparmoscom o desenvolvimento matemático das equações resultantes. 
 
4.3.1 Solução de Boussinesg – carga concentrada 
 
Boussinesq (1885) desenvolveu as equações para cálculo dos acréscimos de 
tensões efetivas verticais, radiais e tangenciais, causadas pela aplicação de uma 
carga pontual agindo perpendicularmente na superfície de um terreno (fig. 1.4). 
A equação a seguir apresenta a solução de Boussinesq, para o cálculo do 
acréscimo da tensão vertical efetiva em qualquer ponto do maciço, obtida por meio 
de integração das equações diferenciais da teoria da elasticidade. 
 
 Capitulo I 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 13 
 
Figura 1.8 Carga concentrada aplicada a superfície do terreno – Solução de 
Boussinesq 
A estimativa dos acréscimos de tensões verticais é muito mais freqüente, em 
termos práticos, que de tensões tangenciais, radiais e de cisalhamento, de modo 
que esta é geralmente realizada por intermédio de um fator de influência (Nb), 
apresentado na eq. 8.10, utilizando-se de fórmulas e ábacos específicos para cada 
tipo de carregamento. Os valores de NB dependem apenas da geometria do 
problema, sendo dado em função de r/z, no ábaco da figura 1.5 a seguir. Observar 
que σz é independente do material, os parâmetros elásticos não entram na equação. 
 
4.3.2 Solução de Westergaard 
 
A solução de Boussinesq, apresentada acima, não conduz a resultados 
satisfatórios quando tratamos com alguns solos sedimentares, onde o processo de 
deposição em camadas conduz a obtenção de um material de natureza anisotrópica. 
A análise da influência da anisotropia do solo nos valores obtidos por Boussinesq 
foi realizada por Westergaard, simulando uma condição extrema de anisotropia 
para uma massa de solo impedida de se deformar lateralmente. 
Assim, em alguns terrenos, devido a condições especiais de sua origem (por exemplo, 
o caso de certas argilas sedimentares), apresentam dispersas, em sua massa, instrusões ou 
lentes de material diverso, de granulometria mais grossa (siltes, areias, pedregulhos, etc) 
que acarretam aumento de resistência a deformações laterais. Soluções desse tipo tornam 
inaplicáveis as expressões de Boussinesq em seu aspecto original, pois esses terrenos se 
afastam ponderávelmente das hipóteses que servem de base ao desenvolvimento teórico. 
Westergaard (1938) resolveu este problema específico, aplicando a teoria da elasticidade, 
mas imaginando que o solo estudado se constituísse de numerosas membranas horizontais, 
finas, muito juntas uma das outras e de grande resistência a deformações horizontais, sem 
interferir, todavia, na deformabilidade vertical do solo “ensanduichado”. Em outras 
palavras, supôs, em sua análise, um material anisótropo, mas homogêneo e com um 
 Capitulo I 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 14 
coeficiente de Poisson muito baixo. A formula para o calculo das variações de 
tensão é: 
 
 
 
As tensões são inferiores às da solução proposta por Boussinesq que é, por sua 
vez, o procedimento mais intensamente utilizado nas aplicações práticas. A figura 
1.7 apresenta também o fator de influência (Nw) obtido por Westergaard. 
Note-se, no gráfico da figura 1.7, que para cargas pontuais, sendo x/z menor do 
0,8 e para áreas uniformemente carregadas com (a/z) e (b/z) menores que a 
unidade, a expressão de Westergaard dão resultados 2/3 das de Boussinesq. 
 
 
Figura 1.9 Fatores de influência para tensões verticais devido a uma carga concentrada 
 
 
4.3.3 Carga uniforme sobre uma placa retangular de comprimento infinito. 
Em placas retangulares em que uma das dimensões é muito maior que a outra, os 
esforços induzidos na massa de solo podem ser determinados através das expressões 
proposta por Carothers e Terzaghi, conforme esquema da figura 1.10 a seguir: 
∆σ’
 
= σz = 
�
-. · 0� 
 
 
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 Figura 1.11 Diagrama de um carregamento distribuído sob uma área retangular de comprimento 
infinito 
Do gráfico anterior temos:
b = semi-largura
z = profundidade vertical
x = distância horizontal do centro 
 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha 
 Figura1.10 Solução de Carothers 
Diagrama de um carregamento distribuído sob uma área retangular de comprimento 
Do gráfico anterior temos: 
largura ∆qs = P = carregamento
z = profundidade vertical ∆σ1 = ∆σ’v = tensão vertical 
efetiva 
stância horizontal do centro ∆σ3 = ∆σ’h = tensão 
efetiva 
 Capitulo I 
 Pág. 15 
 
 
 
Diagrama de um carregamento distribuído sob uma área retangular de comprimento 
qs = P = carregamento 
= tensão vertical 
= tensão horizontal 
 
 
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Para determinar as tensões induzidas obtém
(I). Valor este que multiplicado pelo carregamento na superfície, nos dará o 
acréscimo de tensão no ponto desejado, conforme as expressões:
 
 ∆σ’v = Q . I1 
4.3.3.1 Exemplo de
horizontal nos pontos assinalados do diagrama abaixo:
4.3.4 Carregamento uniforme distribuído sobre uma placa retangular
Pode-se também utilizar o ábaco da figura abaixo, a fim de determinar o 
acréscimo de tensão efetiva vertical no vértice de uma placa retangular carregada 
uniformemente. 
Para o caso de uma área retangular de lados “a” e “b” uniformemente carregada, 
as tensões em um ponto situado a uma profundidade z, na mesma vertical do vértice. 
Na figura abaixo, são dados, segundo 
das tensões induzidas.
 
 
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Para determinar as tensões induzidas obtém-se do ábaco o fator de influência 
e que multiplicado pelo carregamento na superfície, nos dará o 
acréscimo de tensão no ponto desejado, conforme as expressões: 
 
∆σ’h = Q . I3 
4.3.3.1 Exemplo de
 
aplicação: determine os acréscimos de tensão vertical e 
horizontal nos pontos assinalados do diagrama abaixo: 
4.3.4 Carregamento uniforme distribuído sobre uma placa retangular
se também utilizar o ábaco da figura abaixo, a fim de determinar o 
tensão efetiva vertical no vértice de uma placa retangular carregada 
Para o caso de uma área retangular de lados “a” e “b” uniformemente carregada, 
as tensões em um ponto situado a uma profundidade z, na mesma vertical do vértice. 
abaixo, são dados, segundo Holl (1940), as expressões para a determinação 
das tensões induzidas.Capitulo I 
 Pág. 16 
se do ábaco o fator de influência 
e que multiplicado pelo carregamento na superfície, nos dará o 
determine os acréscimos de tensão vertical e 
 
4.3.4 Carregamento uniforme distribuído sobre uma placa retangular 
se também utilizar o ábaco da figura abaixo, a fim de determinar o 
tensão efetiva vertical no vértice de uma placa retangular carregada 
Para o caso de uma área retangular de lados “a” e “b” uniformemente carregada, 
as tensões em um ponto situado a uma profundidade z, na mesma vertical do vértice. 
(1940), as expressões para a determinação 
 
 
 
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 Figura 1.12 Ábaco para determinação da tensão efetiva nos vertices de uma área retangular
 
 
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Ábaco para determinação da tensão efetiva nos vertices de uma área retangular
 Capitulo I 
 Pág. 17 
 
Ábaco para determinação da tensão efetiva nos vertices de uma área retangular 
 
 
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Para o cálculo do 
da aresta da área retangular, divide
aresta na posição do ponto considerado, e considera
cada retângulo. 
 O fator de inflência
área separadamente. 
4.3.4.1 Exemplo de aplicação:
ponto “A”, a uma profundidade de 5,0 m. A placa superficial tem 4,0 m x 10,0 m, e 
está submetida a uma pressão uniforme de 340 KPa.
 
4.3.5 Carregamento uniformemente distribuído sobre uma área circular
 
Este cálculo é utilizado para
de chaminés e torres.
As tensões induzidas por uma placa uniformemente carregada, na vertical que 
passa pelo centro da placa, podem ser calculadas por meio da integração da equação 
de Boussinesq, para toda área circular. Esta integração foi realizada por Love.
 
O acréscimo de t
profundidade z é dada pela expressão
 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha 
Para o cálculo do acréscimo de tensão em qualquer outro ponto que não abaixo 
da aresta da área retangular, divide-se a área carregada em retângulos com uma 
aresta na posição do ponto considerado, e considera-se separadamente o efeito de 
O fator de inflência final será a soma do fator influência calculado para cada 
 
Exemplo de aplicação: Calcular o acréscimo de carga, na vertical do 
, a uma profundidade de 5,0 m. A placa superficial tem 4,0 m x 10,0 m, e 
a pressão uniforme de 340 KPa. 
Carregamento uniformemente distribuído sobre uma área circular
utilizado para bases de tanques e depósitos cilíndricos, fundações 
chaminés e torres. 
As tensões induzidas por uma placa uniformemente carregada, na vertical que 
passa pelo centro da placa, podem ser calculadas por meio da integração da equação 
de Boussinesq, para toda área circular. Esta integração foi realizada por Love.
O acréscimo de tensão efetiva vertical induzida no ponto A, situado a uma 
profundidade z é dada pela expressão a seguir: 
 Capitulo I 
 Pág. 18 
acréscimo de tensão em qualquer outro ponto que não abaixo 
se a área carregada em retângulos com uma 
se separadamente o efeito de 
final será a soma do fator influência calculado para cada 
Calcular o acréscimo de carga, na vertical do 
, a uma profundidade de 5,0 m. A placa superficial tem 4,0 m x 10,0 m, e 
 
Carregamento uniformemente distribuído sobre uma área circular 
epósitos cilíndricos, fundações 
As tensões induzidas por uma placa uniformemente carregada, na vertical que 
passa pelo centro da placa, podem ser calculadas por meio da integração da equação 
de Boussinesq, para toda área circular. Esta integração foi realizada por Love. 
ensão efetiva vertical induzida no ponto A, situado a uma 
 Capitulo I 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 19 
 
 Figura 1.14 Carregamento uniformemente distribuído sob uma área 
circular. 
 
 
 
 
Mecânica dos Solos II 
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 Figura 1.15 
 
Para pontos situados fora da vertical que passa pelo centro da placa, o acréscimo 
de tensão efetiva vertical poderá ser calculado pelo ábaco da figura 1.14, que fornece 
isóboras de ∆σ’v/P, em função do afastamento e da profundidade relativa x/R e z/R, 
respectivamente 
 
 4.3.5.1 Exemplo de aplicação:
 Calcular o acréscimo de tensão vertical
terreno por um tanque circular de 6,0 m de diâmetro
nível do terreno é igual a 240 kPa.
 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha 
 
Figura 1.15 Distribuição de tensões em uma área circular
Para pontos situados fora da vertical que passa pelo centro da placa, o acréscimo 
de tensão efetiva vertical poderá ser calculado pelo ábaco da figura 1.14, que fornece 
/P, em função do afastamento e da profundidade relativa x/R e z/R, 
4.3.5.1 Exemplo de aplicação: 
Calcular o acréscimo de tensão vertical nos pontos A e B transmitido ao 
terreno por um tanque circular de 6,0 m de diâmetro, cuja pressão transmitida ao 
nível do terreno é igual a 240 kPa. 
 Capitulo I 
 Pág. 20 
 
 
Distribuição de tensões em uma área circular 
Para pontos situados fora da vertical que passa pelo centro da placa, o acréscimo 
de tensão efetiva vertical poderá ser calculado pelo ábaco da figura 1.14, que fornece 
/P, em função do afastamento e da profundidade relativa x/R e z/R, 
nos pontos A e B transmitido ao 
, cuja pressão transmitida ao 
 
 
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4.3.6 Carregamento triangular
 
 Possui grande aplicação na estimativa de tensões induzidas no interior de massa de 
solo por aterros, barragens, etc. existem soluções para diversos tipos 
carregamentos triangulares ( triãngulo retângulo, trspezoidais, etc.)
4.3.6.1 Gráfico de Carothers.
determinar os acréscimos de tensões efetivas verticais e horizontais, provenientes de 
uma carga em forma de t
 
 
 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha 
Carregamento triangular 
Possui grande aplicação na estimativade tensões induzidas no interior de massa de 
solo por aterros, barragens, etc. existem soluções para diversos tipos 
carregamentos triangulares ( triãngulo retângulo, trspezoidais, etc.)
1 Gráfico de Carothers. Através do gráfico de Carothers consegue
determinar os acréscimos de tensões efetivas verticais e horizontais, provenientes de 
uma carga em forma de triângulo isósceles de comprimento infinito.
 Capitulo I 
 Pág. 21 
 
Possui grande aplicação na estimativa de tensões induzidas no interior de massa de 
solo por aterros, barragens, etc. existem soluções para diversos tipos de 
carregamentos triangulares ( triãngulo retângulo, trspezoidais, etc.) 
Através do gráfico de Carothers consegue-se 
determinar os acréscimos de tensões efetivas verticais e horizontais, provenientes de 
riângulo isósceles de comprimento infinito. 
 
 
 
Mecânica dos Solos II 
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 Figura 1.16 Gráfico de Carothers para um carregamento triangular 
infinito 
 
4.3.6.2 Gráfico de Osterberg. 
efetiva vertical somente, 
de comprimento infinito.
 
 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha 
Gráfico de Carothers para um carregamento triangular 
2 Gráfico de Osterberg. Este gráfico fornece o acréscimo de tensão 
efetiva vertical somente, proporcionado por um carregamento em forma de trapézio 
infinito. 
 Capitulo I 
 Pág. 22 
 
Gráfico de Carothers para um carregamento triangular 
Este gráfico fornece o acréscimo de tensão 
proporcionado por um carregamento em forma de trapézio 
 
 
 
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 Figura 1.17 Gráfico de Osterberg para um carregamento trapezoidal de comprimento infinito
4.3.6.3 Grafico de Fadum. 
efetiva vertical somente, para um carregamento triangular de comprimento infinito
 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha 
Gráfico de Osterberg para um carregamento trapezoidal de comprimento infinito
3 Grafico de Fadum. Este gráfico determina o acréscimo
efetiva vertical somente, para um carregamento triangular de comprimento infinito
 Capitulo I 
 Pág. 23 
 
Gráfico de Osterberg para um carregamento trapezoidal de comprimento infinito 
Este gráfico determina o acréscimo de tensão 
efetiva vertical somente, para um carregamento triangular de comprimento infinito. 
 
 
 
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 Figura 1.18 Gráfico de Fadum para um carregamento triangular de comprimento infinito
4.3.7 Carregamento uniforme de qualquer forma 
Newmark 
 
Newmark (1942), baseando
de tensões ocasionadas por uma placa circular uniformemente carregada, 
desenvolveu um método gráfico que permite obter as tensões induzidas devido 
uma área de forma irregular sob condição de 
superfície do terreno. A construção do ábaco de Newmark é baseada na fórmula de 
Love, adotando-se os seguintes procedimentos:
 
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Gráfico de Fadum para um carregamento triangular de comprimento infinito
Carregamento uniforme de qualquer forma 
(1942), baseando-se na equação de Love, que fornece o acréscimo 
de tensões ocasionadas por uma placa circular uniformemente carregada, 
desenvolveu um método gráfico que permite obter as tensões induzidas devido 
uma área de forma irregular sob condição de carregamento uniforme, atuando na 
superfície do terreno. A construção do ábaco de Newmark é baseada na fórmula de 
se os seguintes procedimentos: 
 Capitulo I 
 Pág. 24 
 
Gráfico de Fadum para um carregamento triangular de comprimento infinito 
Carregamento uniforme de qualquer forma – Solução de 
se na equação de Love, que fornece o acréscimo 
de tensões ocasionadas por uma placa circular uniformemente carregada, 
desenvolveu um método gráfico que permite obter as tensões induzidas devido 
carregamento uniforme, atuando na 
superfície do terreno. A construção do ábaco de Newmark é baseada na fórmula de 
 Capitulo I 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 25 
 
1
- � 231 � 5�� 6
7/9 � 1 
 
Atribuem-se valores à relação σz/q (valores entre 0,0 e 0,9) e calcula-se o raio 
R da placa necessária para produzir o acréscimo de carga σz/q arbitrado a uma 
profundidade z (cujo valor é fixado pela escala a partir da qual o gráfico foi 
construído) sob o centro da placa carregada com uma carga unitária. 
 
 Exemplificando: 
Adota-se σz/q = 0,8 
Leva-se este valor na formula acima, onde obtém: 
 
 R/z = 1,387 
 (R) σz = 0,8 = 1,387 x AB, sendo AB o seguimento de referência (escala) 
adotada. 
 
 Assim, a uma profundidade z = AB, o acréscimo de carga seria σz/q= 0,8 ; se 
a área carregada fosse circular de raios R = 1,387 x AB 
 
Para outros valores de σz/q, obtém-se um conjunto de círculos concêntricos, 
tais que os anéis circulares gerados representam parcelas dos acréscimos de tensões 
verticais. Por exemplo, o acréscimo de tensão vertical devido ao espaço anelar 
compreendido entre os círculos de (R) σz = 0,8 e (R) σz = 0,7 seria dado por σz = 
0,8 − 0,7 = 0,1; 
 
 Cada espaço anelar é então dividido em um certo número de partes iguais 
(geralmente 20 setores), cada parte representando uma parcela de contribuição ao 
valor final do acréscimo de tensão no solo devido a toda a área carregada. No 
exemplo, σz/q devido a cada setor seria dada por: 
 
�- � �,
7� � 0,005 ou I = 0,005 
 
Sendo este valor denominado de unidade de influencia do ábaco de Newmark. 
 
 Capitulo I 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 26 
 
 
 Figura 1.19 Ábaco circular de Newmark 
 
O cálculo da variação de tensão deverá ser feito da seguinte maneira: 
 
• Desenha-se a planta da superfície carregada na escala do gráfico (AB = z) 
• O ponto onde se quer determinar o acréscimo de pressão deve coincidir com ocentro do gráfico. 
• O acréscimo de tensão vertical na profundidade “z” será: 
 
 onde: 
 
q = carregamento externo 
N = número de fatores de influência (quadradinhos) 
I = unidade de influência 
 
4.3.7.1 Exemplo de aplicação: 
Com os dados das figuras abaixo, calcule pelo gráfico de Newmark, a variação 
de pressão vertical no ponto M para: 
Placa A: com 3 metros de profundidade; p = 3 kg/cm²; 
Placa B: com 2 metros de profundidade; p = 1 kg/cm². 
 
 
 
 
∆σ’v = σz = p . N . I 
 Capitulo I 
 
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 Capitulo I 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 28 
 
Figura 1.20 Ábaco de newmark 
 
 4.4 Bulbo de pressões 
 
 Sabe-se que a influência, do ponto de vista prático, de determinadas cargas aplicadas 
na superfície de um terreno, é limitada a uma determinada região, diminuindo 
bastante com a profundidade e com o afastamento lateral. 
 Unindo-se os pontos da massa de solo solicitados por tensões iguais, obtém-se 
curvas de distribuição de tensões denominadas isóboras. 
 Ao conjunto dessas isóboras denomina-se de bulbo. É possível traçar-se um 
numero infinito de isóboras, cada qual correspondendo a uma pressão (∆σ’v = σz = 
constante). 
 Em termos práticos, o conceito de bulbo de tensões é aplicado para a massa de 
solo delimitada pela isóbora correspondente a 10% da carga aplicada à superfície do 
terreno (0,10q). Considera-se que valores menores que 10% (0,1q) não têm efeito na 
deformabilidade do solo de fundação. 
 A tensão, em qualquer ponto no interior da massa limitada pelo isóbora é maior 
que σz; qualquer ponto fora da isóbora tem tensão menor que σz. 
 
 
 Figura 1.21 Bulbo de pressões 
 Capitulo I 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 29 
 Pelos resultados experimentais e pelas expressões de ∆σ’v = σz para o caso de 
áreas carregadas, pode-se depreender que, quanto maiores as dimensões da fundação, 
maiores serão as tensões a uma dada profundidade, ou, em outras palavras, quanto 
maiores as dimensões da placa carregada, maior a massa de terra afetada pelo bulbo 
de pressões. Inicialmente, convém que se saiba que o bulbo de pressões atinge uma 
profundidade Z0 = α . B, conforme está representado na figura 1.22, sendo B a 
largura (menor dimensão) da área carregada e α um fator que depende da forma desta 
área. Valores de α são fornecidos na tabela da mesma figura 1.22, calculados pela 
teoria da elasticidade, para o caso de base à superficie do terreno. 
 No caso de a base estar abaixo da superficie, os valores de α serão menores que 
os da tabela, deles não diferindo substancialmente. 
 Em solos arenosos os valores da tabela deverão ser acrescidos de 
aproximadamente 20%. 
 
 
 Figura 1.22 Tabela para aplicação da Teoria do Bulbo de Pressões 
 
 Normalmente, a profundidade da isóbora correspondente a 10% do 
carregamento é adotada como sendo 2B, sendo B a largura total ou o diâmetro do 
carregamento. Se o bulbo atingir camadas de solo mais compressíveis, a fundação 
estará sujeita a recalques significativos. Por esta razão, é um passo importante em 
qualquer projeto de fundações a verificação das camadas abrangidas pelo bulbo. 
 
 Quando se projeta a fundação de um prédio ao lado de um outro já existente, 
ocorre uma interação entre os respectivos bulbos. O bulbo resultante terá 
profundidade igual a 2(B1 + B2), onde B1 é a largura do primeiro prédio, e B2 a do 
segundo prédio. 
 
 Ao se projetar uma nova obra, o engenheiro de fundações deverá sempre 
analisar as fundações dos prédios vizinhos. Se as camadas abrangidas pelo bulbo 
resultante de sua obra com os prédios vizinhos atingirem solos moles, os recalques 
poderão ser excessivos, levando à exclusão do tipo de fundação pretendido 
inicialmente. 
 
 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha
 Figura 1.23 Interferência d
 
 
 4.4.1 Exemplo de aplicação
 Em um terreno como demonstrado abaixo, típico dos existentes no centro da 
cidade do Rio de Janeiro, é interessante observar a diferença entre os efeitos de uma 
pequena construção (área quadrada de 4,5 x 4,5 m) e os de uma construção maior 
(área quadrada de 10 x 10 m).
 
 
 O bulbo de pressões da pequena construção fica restrito à camada de areia, ou 
seja, praticamente não provocaria recalques sensíveis; o bulbo da 
por outro lado, influenciaria a camada de argila mole (pressão no topo seria 30% de 
P0 ), acarretando adensamento e recalques consequentes.
 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha 
Interferência dos bulbos de pressões de dois prédios contíguos
4.4.1 Exemplo de aplicação 
Em um terreno como demonstrado abaixo, típico dos existentes no centro da 
cidade do Rio de Janeiro, é interessante observar a diferença entre os efeitos de uma 
(área quadrada de 4,5 x 4,5 m) e os de uma construção maior 
(área quadrada de 10 x 10 m). 
O bulbo de pressões da pequena construção fica restrito à camada de areia, ou 
seja, praticamente não provocaria recalques sensíveis; o bulbo da 
por outro lado, influenciaria a camada de argila mole (pressão no topo seria 30% de 
), acarretando adensamento e recalques consequentes. 
 Capitulo I 
 Pág. 30 
 
os bulbos de pressões de dois prédios contíguos 
Em um terreno como demonstrado abaixo, típico dos existentes no centro da 
cidade do Rio de Janeiro, é interessante observar a diferença entre os efeitos de uma 
(área quadrada de 4,5 x 4,5 m) e os de uma construção maior 
 
O bulbo de pressões da pequena construção fica restrito à camada de areia, ou 
seja, praticamente não provocaria recalques sensíveis; o bulbo da construção maior, 
por outro lado, influenciaria a camada de argila mole (pressão no topo seria 30% de 
Capítulo II 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 31 
 
HIDRÁULICA DOS SOLOS 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Como já se viu, o solo é constituído de uma fase sólida e de uma fase fluída (água 
e/ou ar). A fase fluída ocupa os vazios deixados pelas partículas sólidas que compõem o 
esqueleto do solo. Particularmente, em se tratando da água, esta pode estar presente no solo 
sob as mais variadas formas. 
 
Nos solos grossos, em que as forças de superfície são inexpressivas, essa água se 
encontra livre entre as partículas sólidas, podendo estar sob equilíbrio hidrostático ou 
podendo fluir, sob a ação da gravidade,desde que haja uma carga hidráulica. 
 
Para os solos finos, a situação se torna mais complexa, uma vez que passam a atuar 
forças de superfície de grande intensidade. Assim, nesses solos, existe uma camada de água 
adsorvida, a qual pode estar sujeita a pressões muito altas, por causa das forças de atração 
existentes entre as partículas. Próxima às partículas essa água pode se encontrar solidificada, 
mesmo a temperatura ambiente, e, à medida que vai aumentando a distância, a água tende a 
tornar-se menos viscosa, graças ao decréscimo de pressões. Esses filmes de água adsorvida 
propiciam um vinculo entre as partículas, de forma que lhes confira uma resistência 
intrínseca chamada “coesão verdadeira”. 
 
O restante de água existente nesses solos finos se encontra livre, podendo fluir por entre 
as partículas, desde que haja um potencial hidráulico para tal. 
 
• Permeabilidade dos corpos: Define-se permeabilidade de um corpo, como a sua 
propriedade de permitir com que partículas de água, com maior ou menor facilidade, 
fluam por entre os seus vazios. 
• Permeabilidade dos solos: Consiste, basicamente, em medir a velocidade da água em 
uma determinada amostra, considerando-se em escoamento laminar (os fluxos da água 
não se interferem), identificando a temperatura no momento da análise. 
 
2. APLICABILIDADE 
 
Capítulo II 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 32 
Antes de iniciarmos uma exposição das bases teóricas atuais que se dispõe para tratar 
dos problemas de fluxo de água no solo, é conveniente esclarecer as razões pelas quais as 
soluções de tais problemas são de vital importância para a engenharia. Ao se mover no 
interior de um maciço de solo, a água exerce em suas partículas sólidas forças que 
influenciam no estado de tensões do maciço. Os valores de pressão neutra e com isto, os 
valores de tensão efetiva em cada ponto do solo são alterados em decorrência de alterações 
no regime de fluxo. Na zona não saturada, mudanças nos valores de umidade do solo irão 
alterar de forma significativa os seus valores de resistência ao cisalhamento. De uma forma 
geral, o estudo da permeabilidade se aplica à solução dos seguintes problemas: 
 
• Estimativa da vazão de água (perda da água do reservatório da barragem) através da 
zona de fluxo: 
• Instalação de poços de bombeamento e rebaixamento do lençol freático; 
• Problemas de colapso e expansão em solos não saturados; 
• Dimensionamento de sistemas de drenagem; 
• Dimensionamento de “liners” em sistemas de contenção de rejeitos (um liner é uma 
camada de determinado material que serve como barreira horizontal impermeável); 
• Previsão de recalques diferidos no tempo; 
• Análise da influência do fluxo de água sobre a estabilidade geral da massa de solo 
(estabilidade de taludes); 
• Análise da possibilidade da água de infiltração produzir erosão, araste de material 
sólido no interior do maciço - “piping”, etc. 
 
3. INFLUÊNCIA DO FLUXO DE ÁGUA NOS SOLOS 
 
A influência do fluxo de água na estabilidade das massas de solo se dá pelo fato de 
quando há fluxo no solo, a pressão a qual a água está sujeita é de natureza hidrodinâmica e 
este fato produz várias repercussões importantes. 
Em primeiro lugar, dependendo da direção do fluxo, a pressão hidrodinâmica pode 
alterar o peso específico submerso do solo. Por exemplo: 
• Se a água flui em sentido descendente, o peso específico do solo é majorado; 
• Se a água flui em sentido ascendente, exerce-se um esforço sobre as partículas de solo 
o qual tende a diminuir o seu peso específico submerso. 
Em segundo lugar, e de acordo com o principio das tensões efetivas de Terzaghi, e 
conservando-se a tensão total atuando em um ponto na massa de solo e modificando-se o 
valor da pressão neutra naquele ponto, a sua tensão efetiva será modificada. Como já vimos 
Capítulo II 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 33 
anteriormente, a tensão efetiva á responsável pelas respostas do solo, seja em termos de 
resistência ao cisalhamento, seja em termos de deformações. 
 
Conforme falado anteriormente, a água presente nos solos pode apresentar-se de 
diferentes formas, dentre as quais podemos citar: a água adsorvida, a água capilar e a água 
livre: 
• A água adsorvida está ligada às superfícies das partículas de solo por meio de forças 
elétricas, não se movendo no interior da massa porosa e portanto não participando dos 
problemas de fluxo; 
• A água capilar, na maioria dos problemas de fluxos em solos, os efeitos da parcela de 
fluxo devido à capilaridade são de pequena importância e podem ser desprezados. 
Somente em algumas questões ela apresenta relevância, como o umedecimento dos 
pavimentos por fluxo ascendente; 
• A água livre ou gravitacional é aquela que sob o efeito da gravidade terrestre pode 
mover-se no interior do maciço terroso sem outro obstáculo senão aqueles impostos 
pela sua viscosidade e pela estrutura do solo. 
O estudo dos fenômenos de fluxo de água nos solos é realizado, apoiando-se em três 
conceitos básicos: 
• Conservação de energia – teoria de Bernoulli; 
• Permeabilidade – Lei de Darcy; 
• Conservação da massa 
 
Estes conceitos serão tratados de forma resumida nos próximos itens deste capitulo. 
 
4. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 
 
A lei de Bernoulli resulta da aplicação do principio de conservação de energia ao 
escoamento de um fluído, que no nosso caso é a água. 
A energia total ou carga total é igual à soma de três parcelas: 
 
“Carga total = carga altimétrica + carga piezométrica + carga cinética”. 
 
htotal = � G HIJ G K
.
7L onde; 
 
htotal ⇒ é a energia total do fluído; 
Capítulo II 
 
Mecânica dos Solos II 
Prof. Eduardo Rodrigues da Cunha Pág. 34 
z ⇒ é a cota do ponto considerado com relação a um dado referencial padrão 
(DATUM); 
u ⇒ é o valor da pressão neutra no ponto; 
V ⇒ é a velocidade de fluxo da partícula de água; 
G ⇒ é o valor da aceleração da gravidade terrestre, admitido como 10 m/s²; 
γw ⇒ peso específico da água. 
 
Na equação acima, a carga altimétrica está representada pela letra “z”; a carga 
piezométrica está representada pela fração “ HIJ” e por ultimo a carga cinética está 
representada pela fração “ K. 7L”. 
Nos solos, a velocidade de percolação da água é pequena, e a parcela de carga 
cinética é quase desprezível. Isto faz com que a equação anterior possa ser escrita de uma 
forma mais simplificada: 
 
 
 
 
Conforme veremos adiante, para que haja fluxo de água entre dois pontos no solo, é 
necessário que a energia total em cada ponto seja diferente. A água então fluirá do ponto de 
maior energia para o ponto de menor energia total. 
 
4.1 Forças de percolação 
 
Costuma-se definir a energia livre da água em um determinado ponto do solo como a 
energia capaz de realizar trabalho (no caso, promover o fluxo de água). Considerando-se a 
condição necessária para que haja fluxo no solo, a energia livre poderia ser representada pela 
diferença entre os valores de energia total nos dois pontos considerados da massa de solo. 
 
Na figura a seguir, letra (a), a água se eleva até uma certa cota (h1) nos dois lados do 
reservatório. O potencial total é a soma da cota atingida pela água e a cota do plano de 
referência. Nesse caso, o potencial total é o mesmo nos dois lados do reservatório (pontos F1 e 
F2), portanto, não haverá fluxo 
 
Somente haverá fluxo quando há diferença de potenciais totais entre dois pontos e ele 
seguirá do ponto de maior potencial para o de menor potencial.