Aula09 Estatística

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ESTATÍSTICA APLICADA
Estimação de Parâmetros
Professor Rodrigo Vieira
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Aulas prévias
Planejamento da pesquisa, técnicas de amostragem: generalização.
Análise exploratória de dados: organização dos dados.
Probabilidade, variável aleatória, modelos.
Conceito de inferência estatística, distribuição amostral.
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Conteúdo desta aula
Conceito de estimação de parâmetros.
Estimação por ponto: propriedades dos estimadores, estimador de média e de proporção.
Estimação por intervalo: de média e de proporção.
Tamanho mínimo de amostra para estimação por intervalo.
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Estimação de parâmetros
Parâmetros (medidas populacionais) são desconhecidos.
Inviável pesquisar toda a população: retirar amostra aleatória.
A partir da amostra estimar os parâmetros: por ponto, por intervalo.
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Estimação por ponto
Há várias estatísticas amostrais (estimadores) disponíveis .
Determinar qual é o melhor estimador para o parâmetro de interesse.
Estatísticas são variáveis aleatórias: então os estimadores TAMBÉM são variáveis aleatórias.
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Critérios para escolha de estimadores
Parâmetro , estimador T:
T é justo se E(T) = .
T é consistente se, além de justo, lim n-> V(T) = 0. 
Se há 2 ou mais estimadores justos de , o mais eficiente é o que apresentar menor variância.
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Estimação por ponto da média
Melhor estimador da média populacional  é a média amostral.
Justo
Consistente
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Estimação por ponto da proporção
Melhor estimador da proporção populacional  é a proporção amostral.
Justo
Consistente
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Estimação por intervalo
Estimação por ponto é insuficiente.
Chance de “acertar” o valor real do parâmetro? 
“Pescar com lança...”
Serve como referência: pôr um intervalo de confiança em torno da estimativa.
“Pescar com rede...”
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Nível de confiança (1- )
Probabilidade de que o valor do parâmetro esteja dentro do intervalo de confiança.
Nível de significância (): probabilidade de que o valor NÃO esteja dentro do intervalo de confiança.
Fixado arbitrariamente: espera-se que 1-  próximo de 1 (100%).
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Determinação do intervalo de confiança
Consiste em calcular os limites do intervalo.
Dependerão do nível de confiança.
Dependerão da distribuição amostral do estimador.
Dependerão do próprio tamanho da amostra.
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Para média e proporção
Z1 = - Z2
P(Z< Z1) = /2 = P(Z> Z2)
P(Z>Zcrítico) = /2
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Limites do intervalo
LI = “média” – Zcrítico × “desvio padrão”
LS = “média” + Zcrítico × “desvio padrão”
Precisão = e0 = Zcrítico × “desvio padrão”
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Intervalo de confiança para média
e0 dependerá de alguns aspectos: conhecimento da 2, e do tamanho de amostra.
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2 conhecida
Fixar 1 - , obter Zcrítico, calcular e0, obter os limites e interpretar o resultado.
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2 desconhecida
Usar s (desvio padrão amostral) como estimativa de .
Mas, observar o tamanho de amostra:
Grandes amostras (n > 30): distribuição normal, usar Zcrítico.
Pequenas amostras: distribuição t, usar tn-1, crítico.
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2 desconhecida, grandes amostras
Fixar 1 - , obter Zcrítico, calcular e0, obter os limites e interpretar o resultado.
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2 desconhecida, pequenas amostras
Fixar 1 - , obter tn-1crítico, calcular e0, obter os limites e interpretar o resultado.
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Exemplo 1
Ver 1o exemplo da Unidade 9.
Retirou-se uma amostra aleatória de 4 elementos de uma produção de cortes bovinos no intuito de estimar a média do peso do corte. Obteve-se média de 8,2 kg e desvio padrão de 0,4 kg. Supondo população normal.Determinar um intervalo de confiança para a média populacional com 1% de significância.
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1-  = 0,99
s = 0,4 n = 4
2 desconhecida, n < 30 => usar t n-1,crítico
t3;0,005 = 5,84
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Há 99% de probabilidade de que a verdadeira média populacional do peso de corte esteja entre 7,032 e 9,368 kg.
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Intervalo de confiança para proporção
Possível aproximar distribuição de p por uma normal se:
n × p ≥ 5 E n × (1-p) ≥ 5
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Intervalo de confiança para proporção
Fixar 1 - , obter Zcrítico, calcular e0, obter os limites e interpretar o resultado.
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Exemplo 2
Ver 2o exemplo Unidade 9.
Retirou-se uma amostra aleatória de 1000 peças de um lote. Verificou-se que 35 eram defeituosas. Determinar um intervalo de confiança de 95% para a proporção peças defeituosas no lote.
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1-  = 0,95
n = 1000 p = 0,035 1- p = 0,965
n × p = 35 n × (1-p) = 965 => Usar Zcrítico
Zcrítico = 1,96
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Há 95% de probabilidade de que a verdadeira proporção populacional de defeituosos esteja entre 2,36% e 4,64%.
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Correção de e0
Se n/N > 0,05, necessário corrigir e0 com o tamanho da população.
N = tamanho da população
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Tamanho mínimo de amostra para Estimação por intervalo
e0 depende de n.
Dilema para o mesmo valor de n:
↑ 1-  => ↑ e0 => ↓ precisão.
↓ e0 => ↑ precisão => ↓ 1-  .
Solução: obter n que satisfaça:
Nível de confiança 1-  E a precisão e0.
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Tamanho de amostra para média
2 conhecida
2 desconhecida
Usar amostra piloto, n*
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Tamanho de amostra para proporção
Com amostra piloto:
Sem amostra piloto, estimativa exagerada,
p = 1- p = 0,5:
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Decisão e correção
Se n ≤ n*, amostra piloto suficiente.
Se n > n*, amostra piloto INSUFICIENTE, coletar mais elementos.
Correção de n com tamanho da população:
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Exemplo 3
Ver 3o exemplo da Unidade 9.
De acordo com os dados do Exemplo 1. Para estimar a média, com 1% de significância e precisão de 0,2 kg, esta amostra é suficiente
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1-  = 0,99
s = 0,4 n = 4
2 desconhecida, n < 30 => usar t n-1,crítico
t3;0,005 = 5,84
e0 = 0,2 kg
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Exemplo 3
Amostra piloto de 4 elementos é INSUFICIENTE para a confiança e precisão exigidas.
Devemos coletar mais 133 elementos.
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Exemplo 4
Ver 4o exemplo da Unidade 9.
Para o caso do Exemplo 2. Supondo 99% de confiança e precisão de 1%, esta amostra é suficiente para estimar a proporção populacional 
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1-  = 0,99
n = 1000 p = 0,035 1- p = 0,965
n × p = 35 n × (1-p) = 965 => Usar Zcrítico
Zcrítico = 2,58
e0 = 0,01 (1%)
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Exemplo 4
Amostra piloto de 1000 elementos é INSUFICIENTE para a confiança e precisão exigidas.
Devemos coletar mais 1249 elementos.
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Empate técnico
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Para saber mais
Sobre propriedades e características desejáveis de um estimador:
BARBETTA, P.A., REIS, M.M., BORNIA, A.C. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. São Paulo: Atlas, 2004, capítulo 7.
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Para saber mais
Sobre estimadores e intervalos de confiança para variância:
TRIOLA, M. Introdução à Estatística, Rio de Janeiro: LTC, 1999, capítulo 6.
Para entender melhor o conceito de distribuição amostral, e sua relação com estimação de parâmetros, veja o arquivo Estima.xls,no ambiente virtual. 
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Para saber mais
Sobre a utilização do Microsoft Excel  para realizar estimação por intervalo, veja LEVINE, D. M., STEPHAN, D., KREHBIEL, T. C., BERENSON, M. L. Estatística: Teoria e Aplicações - Usando Microsoft Excel em Português. 5ª ed. – Rio de Janeiro: LTC, 200, capítulo 6. 
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Próxima aula
Testes de hipóteses
Lógica dos testes de hipóteses.
Tipos de hipóteses
Testes de 1 média e de 1 proporção.
Teste de associação do quiquadrado.