EDO Exatas

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EDO Exatas 
 
Todas técnicas que vimos não foram de natureza geral uma vez que em cada caso a EDO possui uma forma especial. Assim, podemos perguntar como achar a solução de uma EDO de primeira ordem geral: 
Inicialmente, vamos reescrever a EDO na forma diferencial:
Esta EDO é chamada exata se
, 
e não exata no outros caso. No caso das EDO Exatas, pode-se garantir a existência de uma função F(x,y) tal que 
Quando a EDO (E) é exata, resolvemos ela usando os seguintes passos: 
(1) Verifique que a EDO é realmente Exata; 
(2) Escreva o Sistema abaixo 
(3) Integre ou a primeira equação em relação a variável x ou a segunda equação em relação a variável y. A escolha da equação a ser integrada é pessoal mas, orientamos que integre aquela que os cálculos são mais imediatos. Vamos admitir que escolhemos a primeira equação. Desta forma, temos:
A função aparece acima, pelo fato de sconsiderarmos a variável y constante.
(4) Use a segunda equação do sistema para encontrar a derivada de , ou seja 
, 
o que implica 
Observe que é uma função somente da variável y. Portanto, na expressão que fornece a variável x desaparece. Do contrário, erramos! 
(5) Integre em relação a y para obtermos ; 
(6) Escreva a seguir a expressão da função F(x,y); 
(7) A solução geral (todas as soluções) são dadas pela equação implícita 
(8) Se for dado um PVI (uma condição inicial) use a condição inicial para encontrar a constante C. 
 
Você pode perguntar, o que podemos fazer se a EDO não for exata? Em alguns casos pode-se encontrar uma função especial, conhecida como Fator Integrante que ao multiplicarmos a EDO por ele, faz o resultado ser uma EDO EXATA (assunto que não abordaremos aqui).