Questão 1 | CALCULO VETORIAL E EDO Código da questão: 158843 Considere a situação problema a seguir: Um grupo de cientistas, estudando o crescimen...

Para resolver a equação diferencial exata apresentada, é necessário verificar se a equação satisfaz a condição de exatidão, ou seja, se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x. Calculando as derivadas parciais, temos: ∂M/∂y = e^(2y) - cos(xy) ∂N/∂x = e^(2y) - cos(xy) Como ∂M/∂y = ∂N/∂x, a equação é exata. Para encontrar a solução, é necessário integrar a função M em relação a x e encontrar uma função F(y) que seja a primitiva de N em relação a y. Integrando M em relação a x, temos: ∫(e^(2y) - ycos(xy))dx = xe^(2y) - (1/x)sen(xy) + C1(y) Agora, encontrando a primitiva de N em relação a y: N = 2xe^(2y) - xcos(xy) + 2y ∫Ndy = xe^(2y) + sen(xy) + C2 Igualando as duas expressões obtidas para xe^(2y), temos: xe^(2y) = xe^(2y) - (1/x)sen(xy) + C1(y) Logo, C1(y) = (1/x)sen(xy) Substituindo C1(y) na expressão para ∫Ndy, temos: xe^(2y) + sen(xy) + C2 = xe^(2y) + sen(xy) + C1(y) + C2 Simplificando, temos: sen(xy) + C = 0 Portanto, a relação entre x e y é dada pela alternativa D: sen(x) + xe^(2y) + C = 0.