lista1 parametrizacao de curvas

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Lista 1: Parametrizac¸a˜o de Curvas
Daniel Niemeyer
Questa˜o 1: Encontre uma parametrizac¸a˜o para a reta que passa por um ponto P e e´ paralela ao vetor v dado:
a) P = (0 , 1) e v = (−1 , 2).
b) P = (−2 , 2) e v = (1 , 0).
c) P = (−1 , 2 ,−4) e v = (0 ,−2 , 1).
d) P = (1 , 0 , 1) e v = (3 ,−1 , 2).
Questa˜o 2: Obtenha uma paramtrizac¸a˜o para a curva pedida:
a) O c´ırculo de raio 5 centrado na origem e orientado em sentido hora´rio.
b) O c´ırculo de raio 3 centrado no ponto (1 ,−5) e orientado em sentido anti-hora´rio.
c) A parte do c´ırculo x2 + y2 = 1 que esta´ no terceiro quadrante e orientado em sentido hora´rio.
d) A reta vertical que corta o eixo x em x = 2.
e) A parte da para´bola x = y2 ligando os pontos (1 ,−1) e (1 , 1) e orientada de baixo para cima.
f) A elipse
x2
4
+
y2
9
= 1 centrada no ponto (2 , 2) e orientada no sentido anti-hora´rio.
Questa˜o 3: Parametrize a para´bola 4ay = x2, onde a e´ uma constante, utilizando como paraˆmetro a grandeza
indicada em cada item.
a) A coordenada x.
b) A inclinac¸a˜o da reta que passa pelo ponto da curva e pelo centro do sistema cartesiano.
c) A derivada de y em relac¸a˜o a` x.
Questa˜o 4: Parametrize um quadrado de lado igual a 2u.a.∗ para as situac¸o˜es abaixo.
a) O centro do quadrado esta´ na origem do sistema cartesiano com os lados paralelos aos eixos,
e o sentido da curva e´ anti-hora´rio.
b) Os lados do quadrado esta˜o paralelos aos eixos com o ve´rtice inferior esquerdo na origem do
sistema cartesiano, e o sentido da curva e´ hora´rio.
Questa˜o 5: Encontre a equac¸a˜o cartesiana das curvas parametrizadas abaixo:
a) r(t) = (3at2 , 2at3).
b) r(t) =
(
3(t2 − 1)
3t2 + 1
,
3t(t2 − 1)
3t2 + 1
)
.
c) r(t) = (4 cos t , 3 sen t).
d) r(t) =
(
cos t
1 + sen2t
,
sen t cos t
1 + sen2t
)
.
Questa˜o 6: Em um desastroso voˆo inicial, um avia˜o de papel experimental seguiu a trajeto´ria parametrizada
por
r(t) = (t− 3 sen t , 4− 3 cos t), t ≥ 0
O avia˜o, no entanto, colidiu com uma parede no instante t = 10 s.
a) Em quais instantes o avia˜o voou horizontalmente?
b) Em quais instantes o avia˜o voou verticalmente?
∗Unidades arbitra´rias
Questa˜o 7: Encontre a parametrizac¸a˜o da reta tangente a` curva parametrizada no ponto pedido.
a) r(t) = t2 iˆ+ t3 jˆ, P = (4 , 8).
b) r(t) = 2 cot t iˆ+ 2 sen2t jˆ, P =
(
2
√
3 ,
1
2
)
.
c) r(t) = et iˆ+ e−t jˆ, P =
(
e ,
1
e
)
.
d) r(t) = cos t iˆ+ sen t jˆ+ t kˆ, P =
(
1
2
,
√
3
2
,
pi
3
)
.
Questa˜o 8: Utilize a parametrizac¸a˜o dada para calcular o que se pede:
a) A a´rea da elipse r(t) = (a cos t , b sen t), t ∈ [0 , 2pi].
b) A a´rea delimitada pelo eixo x e pela curva r(t) = (1 + et , t− t2).
c) O comprimento da curva r(t) = (1 + 3t2 , 4 + 2t3), t ∈ [0 , 1].
d) O comprimento da curva r(t) = (t sen t , t cos t), t ∈ [0 , 1].
Questa˜o 9: Chama-se cicloide a curva descrita por um ponto em uma circunfereˆncia que rola sem deslizar
por uma superf´ıcie plana. Uma parametrizac¸a˜o da cicloide e´:
~r(t) = r(t− sen t) iˆ+ r(1− cos t) jˆ, 0 ≤ t ≤ 2pi
onde r e´ o raio da circunfereˆncia que gera a cicloide.
a) Determine a a´rea de um arco da cicloide.
b) Determine o comprimento de um arco da cicloide.
Questa˜o 10: Dada a acelerac¸a˜o de um objeto, encontre a parametrizac¸a˜o de sua trajeto´ria sabendo sua posic¸a˜o
e velocidade iniciais. Considere todas as grandezas no Sistema Internacional (S.I.).
a) a(t) = −10 jˆ, r0 = jˆ, v0 = iˆ+ jˆ.
b) a(t) = 2t iˆ+ 3 jˆ, r0 = 0, v0 = 2 jˆ.
c) a(t) = 5 sen t iˆ+ 5 cos t jˆ, r0 = 5 iˆ, v0 = jˆ.
d) a(t) = 5 sen t iˆ+ 5 cos t jˆ+ kˆ, r0 = 5 iˆ, v0 = jˆ− kˆ.
GABARITO :
Questa˜o 1: a) r(t) = (−t , 2t+ 1), t ∈ R.
b) r(t) = (t− 2 , 2), t ∈ R.
c) r(t) = (−1 ,−2t+ 2 , t− 4), t ∈ R.
d) r(t) = (3t+ 1 ,−t , 2t+ 1), t ∈ R.
Questa˜o 2: a) r(t) = 5 cos t iˆ− 5 sen t jˆ, 0 ≤ t ≤ 2pi.
b) r(t) = (3 cos t+ 1) iˆ+ (3 sen t− 5) jˆ, 0 ≤ t ≤ 2pi.
c) r(t) = −sen t iˆ− cos t jˆ, 0 ≤ t ≤ pi
2
.
d) r(t) = 2 iˆ+ t jˆ, t ∈ R.
e) r(t) = t2 iˆ+ t jˆ, −1 ≤ t ≤ 1.
f) r(t) = (2 cos t+ 2) iˆ+ (3 sen t+ 2) jˆ, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Questa˜o 3: a) x(t) = t, y(t) =
t2
4a
, −∞ < t <∞.
b) x(t) = 4at, y(t) = 4at2, −∞ < t <∞.
c) x(t) = 2at, y(t) = at2, −∞ < t <∞.
Questa˜o 4: a) C1 : x = 1, y(t) = t, −1 ≤ t ≤ 1;
C2 : x(t) = −t, y = 1, −1 ≤ t ≤ 1;
C3 : x(t) = −1, y(t) = −t, −1 ≤ t ≤ 1;
C4 : x(t) = t, y = −1, −1 ≤ t ≤ 1.
De forma que, C = C1 + C2 + C3 + C4.
b) C1 : x = 0, y(t) = t, 0 ≤ t ≤ 2;
C2 : x(t) = t, y = 2, 0 ≤ t ≤ 2;
C3 : x(t) = 2, y(t) = −t, −2 ≤ t ≤ 0;
C4 : x(t) = −t, y = 0, −2 ≤ t ≤ 0.
De forma que, C = C1 + C2 + C3 + C4.
Questa˜o 5: a) y =
4
27
x3/2.
b) 3y2(1− x) = x2(x+ 3).
c)
x2
16
+
y2
9
= 1.
d) (x2 + y2)2 = (x2 − y2).
Questa˜o 6: a) t = 0, t ≈ 3,14 s, t ≈ 6,28 s e t ≈ 9,42 s.
b) t ≈ 1,23 s, t ≈ 5,05 s e t ≈ 7,51 s.
Questa˜o 7: a) r(t) = (4 + 4t) iˆ+ (8 + 12t) jˆ, t ∈ R
b) r(t) =
(
2
√
3 + 8t
)
iˆ+
(
1
2
+
√
3 t
)
jˆ, t ∈ R.
c) r(t) = e(1 + t) iˆ+ e−1(1− t) jˆ, t ∈ R.
d) r(t) =
(
1
2
−
√
3
2
t
)
iˆ+
(√
3
2
+
1
2
t
)
jˆ+
(pi
3
+ t
)
kˆ, t ∈ R.
Questa˜o 8: a) A = piab u.a..
b) A = 3− e u.a..
c) L = 4
√
2− 2 u.a..
d) L =
√
2 + ln (1 +
√
2)
2
u.a..
Questa˜o 9: a) A = 3pir2 u.a.. b) L = 8r u.a..
Questa˜o 10: a) r(t) = t iˆ+ (1 + t− 5t2) jˆ.
b) r(t) =
t3
3
iˆ+
(
3
2
t2 + 2t
)
jˆ.
c) r(t) = (−5 sen t+ 5) iˆ+ (−5 cos t+ t) jˆ.
d) r(t) = (−5 sen t+5) iˆ+(−5 cos t+t) jˆ−t kˆ.