Solução Movimento Oscilatorio

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SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE MOVIMENTO OSCILATORIO 
Serão propostos exercícios apresentados nas referências: 
-ALONSO, Marcelo; FINN, Edward. Física. Um Curso Universitario. Edgard Blücher, 
1972. Vol 1 
-NUSSENZVEIG, Hersh Moysés. Curso de Física Básica. São Paulo: Edgard Blücher, 
Vol 1 
 
1) Dada a função horária da elongação: 
 
a) Qual é a amplitude do movimento? b) o período, c) a fase inicial, d) Quando t=2s 
qual será a elongação do movimento? 
2) Uma partícula, com massa de 1g, vibra em MHS sendo que a amplitude do 
movimento é de 2mm. A aceleração nos pontos extremos da trajetória é de 8,0 x 10
3 
m/s
2 
. Calcule a frequência do movimento e a velocidade da partícula quando ela pasa 
pelo ponto de equilíbrio. Escreva a equação que dá a força que age sobre a partícula 
como função da posição e como função do tempo. 
3) Uma partícula vibra com frequência de 100 Hz e uma amplitude de 3mm. Calcule a 
velocidade e a aceleração nos pontos médios e extremos da trajetória. Escreva a equação 
da elongação como função do tempo. Suponha uma fase inicial nula. 
4) No instante t=0, o deslocamento x(0) de um bloco num oscilador linear é de -8,50 
cm, sua velocidade v(0) é -0,92 m/s e sua aceleração +47,00 m/s
2 
. a) Qual a frequência 
angular? e b)Qual a fase inicial e a amplitude? 
5) Uma partícula move-se com um MHS de 0,10 m de amplitude e um período de 2s. 
Calcule as energias cinética, potencial e total para cada instante, supondo que a partícula 
tenha massa de 0,5 kg. 
6) Uma partícula de massa m move-se ao longo do eixo X sob ação da força F=-kx. 
Quando t = 2s, a partícula passa pela origem e, quando t = 4s, sua velocidade é de 4 m/s. 
Determine a equação da elongação e demonstre que a amplitude será de 
m/232
, se 
o período de oscilação for de 16 s. 
7) Uma partícula, cuja massa é de 0,5 kg, move-se em MHS. O período é de 0,1 s e a 
amplitude de movimento é de 10 cm. Quando a partícula está a 5 cm da posição de 
equilíbrio, calcule: a) aceleração; b) força; c) energia potencial e d) energia cinética. 
8) Um pendulo simples de 2 m de comprimento é colocado num local em que g=9,8 
m/s
2 
 . O pendulo oscila com uma amplitude de 2
0 
. Escreva a expressão, em função do 
tempo: a) do deslocamento angular; b) da velocidade angular; c) da aceleração angular; 
d) da velocidade linear; e) da aceleração centrípeta e f) da tensão na corda, se a massa 
na extremidade da mesma é de 1 kg. 
9) Escreva a equação do movimento resultante da superposição de dois MHS paralelos, 
cujas equações são 
)3/(21  wtsenx
 e 
).2/(32  wtsenx
 
10) Determine a equação da trajetória do movimento resultante de dois MHS 
perpendiculares, cujas equações são: 
senwtx 4
 e 
)(3  wtseny
 para 
 e2/,0
. Faça, em cada caso, um gráfico da trajetória da partícula e indique o 
sentido em que ela é descrita pela partícula. 
 
SOLUÇÂO 
1) 
a) Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos: 
A=3m 
b) Da equação, com unidades do SI temos: 
 
 e sabendo que: 
 
Igualando os valores: 
 
c) Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos: 
 
d) Aplicando o valor na equação temos: 
 
 
2) 
sradwwxwa extremoextremo /102102/108
33322  
 
f = w/103Hz 
)102(102)( 33    tsenwtsenAx . No problema não foi definida a fase e nem 
dados para obtê-la. 
A velocidade pode ser obtida da relação Ec=E-Ep , logo 
)(2/12/1 222 xAKmv 
 então 
)()( 222222 xAwxA
m
K
v 
 
Como a partícula pode está no sentido positivo ou negativo do movimento quando passa 
na origem, temos 
smv /4
 
Em x = 1,2 mm a velocidade é v = 3,1 m/s 
Em relação a força temos 
xxmwKxF 32 104 
 ou 
)102(102104 333   tsenF 
 
3) 
sradfw /2002  
 
)200(003,0 tsenx 
 
)200cos(6,0 tv 
 
)200(120 2 tsena  
Em x=0: 
0/6,0  aesmv 
 
Em x=0,003: 
22 /1200 smaev  
 
4) a) 
085,0)0(
)()(




Asenx
wtAsentx
 
92,0cos)0()cos()(   AwvwtAwtv 
47)0()()( 22   senAwawtsenAwta 
Logo 
sradww
x
a
/5,23
085,0
47
)0(
)0( 2 


 
b) 
ooou
wv
x
2,2452,6517,2tantan
1
)0(
)0(
  
Para 
o2,65
 
5,62
085,0)0(
sensen
x
A 

, então A < 0 não pode pois A é uma constante positiva 
cmm
sensen
x
A 4,9094,0
2,245
085,0)0(
 
 
 
5) P=2/w No problema não foi definida a fase e nem dados para obtê-la 
)(cos1025,02/1 2222    tmvEc 
)(1025,0)(2/12/1 222222    tsentsenmwKxEp 
teconsEE pc tan1025,0
22    
 
6) Sendo P=16 s a frequência angular é w=/8 rad/s. A elongação é dada por 
)8/()(   tAsenwtAsenx e a velocidade 
)8/cos(8/   tAv
 
Usando as condições dadas no problema 
4/34/0)4/()2.8/(0   ousenAsen 
)2/cos(32)4.8/cos(8/4   AA . Substituindo os 2 valores 
encontrados na equação para x temos: 
mAAAA  /2322/24/cos)4/2/cos(32  e 
2/2)4/32/cos(32  AA  , que não pode ser solução pois A<0. Essa 
solução corresponde a velocidade igual a -4 m/s, porém é colocado no enunciado o 
valor positivo. 
Então 
)4/8/(/232   tsenx 
 
7) Sendo P = 0,1s a frequência angular é 20 
222.222 /2010.5.400400 smxxwa    
NmaF 22 10)20.(5,0   
JxmwEP
2222222 10.25,0)10.5.(400.5,0.
2
1
2
1    
JxAmwxAkEc
22224222222 10.75,010.25,010.400.5,0.
2
1
)(
2
1
)(
2
1   
 
8) 
rad90/200  
 e 
srad
l
g
w /2,2
 
a) 
radtsen )2,2(90/   
b) 
sradtt
dt
d
/)2,2cos(45/1,1)2,2cos(2,290/   
c) 
2
2
2
/)2,2(45/42,2)2,2(84,490/ sradtsentsen
dt
d   
d) 
smt
dt
d
lv /)2,2cos(45/2,2  
 
e) 
222
2
/)2,2(cos)45/(42,2 smt
l
v
ac  
 
f) 
cmamgT  cos
, mas 
22 11cos   sen 
)1( 2 cagmT  
 
 
9) 
)(  wtsenAx
 onde 
3613cos2 21
2
2
2
1  AAAAA ( 3/2/   ) e 
33
2/cos33/cos2
2/33/2
tan 


 
 sensen
 
33arctan  
 
10) a) 
senwty
senwtx
3
4


 logo 

34
yx
xy
4
3

 
 
trajetória 
 
 
b) 
wtwtseny
senwtx
cos3)2/(3
4



 logo 
1
916
22

yx
 
 
trajetória 
 
 
 O sentido da trajetória é obtido da velocidade: 
wtwvx cos4
 e 
wsenwtvy 3
. 
Da equação de y temos que em t=0 : coswt=1 e y=3 , logo 
wwvx 41.4)0( 
 e 
0)0( yv
, logo na posição (0,3) a velocidade é no sentido 
horário. 
c) 
senwtsenwtwtseny
senwtx
3cos3)(3
4



 logo 

34
yx
xy
4
3

 
 
trajetória