TRABALHO CONCRETO 1 parte 3

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AMANDA DA SILVA COTRIM DINIZ
SILVAN DINIZ DE CARVALHO
MATHEUS CESTARI
sullivan bigirdy almeida mota
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO i
Palmas – TO
2017
AMANDA DA SILVA COTRIM DINIZ
SILVAN DINIZ DE CARVALHO
MATHEUS CESTARI
sullivan bigirdy almeida mota
METODOLOGIA ATIVA – CÁLCULO ESTRUTURAL DE UMA EDIFICAÇÃO
Relatório apresentado como requisito parcial da disciplina de Estruturas de Concreto Armado I do curso de Engenharia Civil da Católica do Tocantins, orientado pela professora Ma. Caroline Rezende Couto.
06 de dezembro de 2017
Memorial de Cálculo – Cargas Permanentes e Acidentais das Lajes
Todos os pesos específicos foram retirados das tabelas da norma NBR 6120;
Cargas Permanentes
Para o cálculo das lajes do pavimento superior, são consideradas as seguintes cargas:
Peso Próprio (PP) 
Considerando que todas as lajes do pavimento tem 10 cm de espessura e o peso específico do concreto armado é 25 kN/m³, tem-se para cada laje:
Regularização Superior e Inferior
 Considerando que a espessura da regularização superior e inferior é de 2 cm e o peso específico da argamassa é 21 kN/m³, pode-se calcular seu peso através da fórmula:
Piso 
O piso é o revestimento final na superfície superior da laje, assentado sobre a argamassa de regularização. Considera-se a carga de revestimento de piso cerâmico igual a 0,60 kN/m².
Alvenaria
Considera-se a espessura do tijolo furado de 9,0 cm e seu peso específico é 13 kN/m³ e a espessura do revestimento da parede, 3,0 cm em ambos os lados com o peso específico da argamassa de 21 kN/m³. A carga de alvenaria sobre a laje segundo a menor dimensão pode ser calculada através do seguinte método:
Exemplo
Laje L-205
 L – 376 cm;
 l – 176 cm;
Cargas acidentais
De acordo com a NBR 6120/80 – As cargas acidentais têm os seguintes valores para os edifícios residenciais:
	Dormitórios, Sala, Copa, Cozinha e Banheiro
(L-201, L-202, L-203 e L-205)
	1,5 KN/m²
Tabela 8 – Cargas atuantes nas lajes do pavimento superior (KN/m²)
	Cargas
	Laje
	Peso Próprio
(KN/m²)
	Regular. Superior (KN/m²)
	Regular. Inferior (KN/m²)
	Revesti. (KN/m²)
	Carga de Parede (KN/m²)
	Carga Acidental (KN/m²)
	Carga Permanente (KN/m²)
	Carga Variável (KN/m²)
	L-201
	2,5
	0,42
	0,42
	0,60
	-
	1,5
	3,94
	1,5
	L-202
	2,5
	0,42
	0,42
	0,60
	-
	1,5
	3,94
	1,5
	L-203
	2,5
	0,42
	0,42
	0,60
	-
	1,5
	3,94
	1,5
	L-205
	2,5
	0,42
	0,42
	0,60
	7,25
	1,5
	11,19
	1,5
Memorial de Cálculo – Combinações das Ações: ELU – Normal
O Estado Limite é definido como a situação a partir da qual a estrutura deixa de atender a uma das finalidades de construção. O Estado Limite Último relaciona-se ao esgotamento da capacidade de sustentação por rupturas de seções, colapso da estrutura, perda de estabilidade e deterioração por fadiga.
É calculado a partir das ações atuantes na estrutura que são divididas em permanentes, variáveis e excepcionais. Foram utilizados os coeficientes de ponderação presentes nas tabelas da NBR 6118.
Fórmula do ELU – Normal:
Exemplo
Laje L-201
 Carga Permanente – 3,94 KN/m²;
Carga Variável – 1,50 KN/m²;
Memorial de Cálculo – Combinações das Ações: ELS – Quase Permanente e Raras
O Estado Limite de Serviço está relacionado à durabilidade, aparência, conforto do usuário e bom desempenho em que são analisados a formação de fissuras, abertura de fissuras, deformação excessiva e vibrações excessivas. As ações podem ser calculadas através das combinações através das seguintes fórmulas:
Quase Permanente – Verificação da Flecha (Deformação excessiva)
Exemplo
Laje L-201
 Carga Permanente – 3,94 KN/m²;
Carga Variável – 1,50 KN/m²;
Raras de Serviço – Verificação de Formação de Fissuras
Exemplo
Laje L-201
 Carga Permanente – 3,94 KN/m²;
Carga Variável – 1,50 KN/m²;
Tabela 9 – Valores de Cálculo das Combinações das Ações (KN/m²)
CNU – Combinação Última Normal
CQPS – Combinação Quase Permanente de Serviço
CRS – Combinação Rara de Serviço
	Laje
	Permanentes
	Variáveis
	Fd
	
	
	
	CNU
(KN/m²)
	CQPS (KN/m²)
	CRS
(KN/m²)
	L-201
	3,94
	1,5
	7,62
	4,39
	5,44
	L-202
	3,94
	1,5
	7,62
	4,39
	5,44
	L-203
	3,94
	1,5
	7,62
	4,39
	5,44
	L-205
	11,19
	1,5
	17,63
	11,64
	12,69
Memorial de Cálculo – Esforços (Momentos Fletores) da Combinação: ELU
Em lajes de duas direções, os momentos Fletores são calculados pelo Método da Tabela de Marcus, conforme na exemplificação abaixo:
Exemplo
Laje L-201 – Duas direções
 ɣ - 1,15;
Cx – 0,0476;
Cy – 0,0360;
O cálculo dos esforços para lajes em uma direção é dado pela equação:
Exemplo
Laje L-202 – Uma Direção
 Fd – 7,62 KN/m²;
Lx – 1,26m;
Tabela 10 – Momentos Fletores
	Laje
	CNU
(KN/m²)
	Cx
	Cy
	
	Lx (m)
	M. Fletor x (KN.m)
	M. Fletor y (KN.m)
	M. Fletor (KN.m)
	L-201
	7,62
	0,0476
	0,0360
	1,15
	3,56
	4,60
	3,47
	-
	L-202
	7,62
	-
	-
	2,98
	1,26
	-
	-
	1,51
	L-203
	7,62
	0,0630
	0,0341
	1,36
	2,76
	3,66
	1,98
	-
	L-205
	17,63
	-
	-
	2,13
	1,76
	-
	-
	6,82
Definição das Bitolas e Espaçamento das Armaduras
Utiliza-se as seguintes formulas:
Após se obter os 3 valores de As, a partir do maior valor dentre os 3, serão definidos a bitola e o espaçamento da armadura, respeitando as seguintes condições:
Para armaduras principais de flexão:
Em lajes em uma direção, para as armaduras secundárias:
Por fim, determina-se o As de projeto conforme as limitações, a bitola e o espaçamento
da armadura, através da tabela da NBR 7480-85.
Exemplo
Laje L-201 – Duas direções
Mdx – 460 KN.cm
Mdy – 347 KN.cm
d - 7cm 
Bitola e espaçamentos máximos: 
Para facilitar a montagem da laje vamos considerar a bitola e o espaçamento mais viáveis e dentro dos limites para as armaduras da L201 no dois sentidos:
Exemplo
Laje L-202 – Uma Direção
Direção Principal
Ma – 151 KN.cm
d - 7cm 
De acordo com a tabela, estipulamos a bitola e o espaçamento mais viáveis e dentro dos limites para a armadura da L202:
Direção Secundária
De acordo com a tabela, estipulamos a bitola e o espaçamento mais viáveis e dentro dos limites para a armadura da L202:
Laje L-203 – Duas direções
De acordo com a tabela, estipulamos a bitola e o espaçamento mais viáveis e dentro dos limites para a armadura da L202:
Laje L-205 – Uma Direção
Direção Principal
De acordo com a tabela, estipulamos a bitola e o espaçamento mais viáveis e dentro dos limites para a armadura da L202:
Direção Secundária
De acordo com a tabela, estipulamos a bitola e o espaçamento mais viáveis e dentro dos limites para a armadura da L202:
Memorial de Cálculo dos Esforços (Momentos Fletores) da Combinação: ELS - RARA
O cálculo dos esforços para lajes em uma direção é dado pela equação:
Exemplo
Laje L-202 – Uma Direção
Em lajes de duas direções, os momentos Fletores são calculados pelo Método da Tabela de Marcus, conforme na exemplificação abaixo:
Exemplo
Laje L-201 – Duas Direções
cx – 0,0476
cy – 0,0360
 
	CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES PARA COMBINAÇÃO RARA DE SERVIÇO
	Lajes
	Combinação Rara de Serviço (kN/m²)
	Comprimento efetivo
	Método de Marcus (2 direções)
	1 Direção
	
	
	L (m)
	l (m)
	λ (L/l)
	cx
	M. fletor em x (kN.m/m)
	cy
	M. fletor em y (kN.m/m)
	M. fletor Calculado (kN.m)
	L201
	5,44
	4,11
	3,56
	1.15
	0,0476
	3,28
	0,036
	2,48
	-
	L202
	5,44
	3,76
	1,26
	2,98
	-
	-
	-
	-
	1,08
	L203
	5,44
	3,76
	2,76
	1,36
	0,0630
	2,61
	0,0341
	1,41
	-
	L205
	12,69
	3,76
	1,76
	2,13
	-
	-
	-
	-
	4,91
Memorial de Cálculo da Definição dos Estádios
Em lajes de duas direções, os momentos Fletores são calculados pelo Métododa Tabela de Marcus, conforme na exemplificação abaixo:
 
 
	Laje
	Momento Fletor
	Momento de Fissuração
	Estádio
	L201
	3,28
	6,40
	Estádio I
	L202
	1,08
	6,40
	Estádio I
	L203
	2,61
	6,40
	Estádio I
	L205
	4,91
	6,40
	Estádio I
 
Memorial de Cálculo das Flechas Imediatas, Flechas Diferidas no Tempo e Flechas Limites
Para análise das flechas imediatas, as cargas são calculadas com a Combinação Quase Permanente de Serviço.
As lajes em 1 direção e 2 direções possuem fórmulas de cálculo de flechas imediatas distintas especificadas abaixo:
Em 1 Direção:
Em 2 Direções:
Exemplo
Laje L-202 – Uma Direção
Flecha Diferida no Tempo
Flecha Limite
Exemplo
Laje L-201 – Duas Direções 
Flecha Diferida no Tempo
Flecha Limite
	Lajes
	Flechas
	
	
	
	
	
	Verificação
	L201
	6,20
	
	
	
	Ok!
	L202
	-
	
	
	
	Ok!
	L203
	7,89
	
	
	
	Ok!
	L205
	-
	
	
	
	Ok!
Memorial de Cálculo das Flechas para as Cargas Acidentais
Para a verificação das flechas, deve-se, ainda, analisar se elas são atendidas em relação às flechas limites para cargas acidentais, conforme a NBR 6118/2014. A flecha limitante em decorrência de cargas acidentais é calculada pela seguinte fórmula:
Exemplo
Laje L-202 – Uma Direção
Flecha Diferida no Tempo
Flecha Limite
Exemplo
Laje L-201 – Duas Direções 
Flecha Diferida no Tempo
Flecha Limite
	Lajes
	Flechas
	
	
	 
	
	
	Verificação
	L201
	6,20
	
	
	
	Ok!
	L202
	-
	
	
	
	Ok!
	L203
	7,89
	
	
	
	Ok!
	L205
	-
	
	
	
	Ok!
Memorial de Cálculo das Reações de Apoio
Reações em 1 Direção
Para as lajes em 1 (uma) direção, em que λ > 2,0, o cálculo das reações de apoio pode ser realizado como se fosse uma viga com base de 1 (um) metro, como ilustrado na figura abaixo:
Exemplo
Laje L-202 – Uma Direção
Lx – 1,26 m
Ly – 3,76 m
λ – 2,98
ELU – 7,62 KN/m²
Reações em 2 Direções
Para lajes em 2 direções com λ < 2,0, pode-se considerar que a carga atuante se distribua uniformemente sobre as vigas adjacentes cujas fórmulas são:
Exemplo
Laje L-201 – Duas Direções 
Lx – 3,56 m
Ly – 4,11 m
λ – 1,15
ELU – 7,62 KN/m²
	REAÇÕES DE APOIO DAS LAJES
	Lajes
	L (m)
	l (m)
	λ
	p (ELU) kN/m²
	Kx
	Ky
	Vigas
	Rx kN/m
	Ry kN/m
	L201
	4,11
	3,56
	1.15
	7,62
	0,56
	0,43
	207-b e 209-b
	7,59
	-
	
	
	
	
	
	
	
	201-a e 203-a
	-
	6,73
	L202
	3,76
	1,26
	2,98
	7,62
	-
	-
	201-b e 202
	4,80
	-
	
	
	
	
	
	
	
	-
	-
	-
	L203
	3,76
	2,76
	1,36
	7,62
	0,63
	0,36
	202 e 203-b
	6,62
	
	
	
	
	
	
	
	
	209-b e 211-b
	
	5,15
	L205
	3,76
	1,76
	2,13
	17,63
	-
	-
	203-b e 204-b
	15,51
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Memorial de Cálculo das Reações de Apoio
A verificação do esforço cortante é essencial para o dimensionamento dos elementos estrutural. Para as lajes, tais cálculos podem indicar a necessidade de uma armadura transversal para resistirem aos esforços oriundos da força cortante.
A necessidade de armadura transversal é dada por: 𝑽𝑺𝒅 ≥ 𝑽𝑹𝒅𝟏.
Força cortante máxima
A força cortante máxima é calculada pela fórmula:
𝑽𝑹𝒅𝟏 = [𝝉𝑹𝒅 x 𝒌 x (𝟏, 𝟐 + 𝟒𝟎 x 𝝆𝟏) + 𝟎, 𝟏𝟓 x 𝝈𝒄𝒑] x 𝒃𝒘 x 𝒅
Compressão diagonal do concreto
Além disso, deve-se verificar a compressão diagonal do concreto através da fórmula:
𝑽𝑹𝒅𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟎 x 𝜶𝒗𝟏 x 𝒇𝒄𝒅 x 𝒃𝒘 x 𝟎, 𝟗𝟎 x 𝒅
Cálculo da verificação da cortante da laje L201
Verificação da necessidade de concreto mais resistente
	VERIFICAÇÃO DE CORTANTE (VRd1≥VSd)
	Lajes
	τRd (Kn/cm²)
	k
	ρ1
	σcp
	bw
	d
	VRd1
	Vsd Rx
	Vsd Ry
	Maior Cortante
	Necessidade de Armadura Transversal
	L201
	0,4475
	1,53
	0,00214
	0
	100
	7
	61,21
	7,59
	6,73
	61,21
	NÃO
	L202
	0,4475
	1,53
	0,00214
	0
	100
	7
	61,21
	4,80
	-
	61,21
	NÃO
	L203
	0,4475
	1,53
	0,00214
	0
	100
	7
	61,21
	5,04
	6,62
	61,21
	NÃO
	L205
	0,4475
	1,53
	0,00214
	0
	100
	7
	61,21
	15,51
	-
	61,21
	NÃO
	VERIFICAÇÃO DE CORTANTE (VRd2≥VSd)
	Lajes
	αv1
	fcd
	bw
	d
	VRd2
	Vsd Rx
	Vsd Ry
	Maior Cortante
	Necessidade de Concreto mais Resistente
	L201
	0,5
	1,79
	100
	7
	281,25
	7,59
	6,73
	281,25
	NÃO
	L202
	0,5
	1,79
	100
	7
	281,25
	4,80
	-
	281,25
	NÃO
	L203
	0,5
	1,79
	100
	7
	281,25
	5,04
	6,62
	281,25
	NÃO
	L205
	0,5
	1,79
	100
	7
	281,25
	13,53
	-
	281,25
	NÃO
Memorial dos Vãos Teóricos das Vigas
	O vão teórico (comprimento efetivo) da viga é calculado pela fórmula:
Exemplo: Viga 205-a
Portanto: e.
A tabela abaixo apresenta todos os comprimentos efetivos das vigas:
Tabela 1 - Vãos teóricos das vigas da edificação
	VIGAS
	t1/2 (cm)
	0,3h (cm)
	a1 (cm)
	t2/2 (cm)
	0,3h (cm)
	a2 (cm)
	lo (cm)
	lef (cm)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	201a
	7,5
	12
	7,5
	7,5
	12
	7,5
	350
	365
	201b
	7,5
	12
	7,5
	7,5
	12
	7,5
	370
	385
	207b
	15
	12
	12
	15
	12
	12
	405
	429
MEMORIAL DE CÁLCULO E DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE DAS CARGAS NAS VIGAS
	São consideradas as seguintes cargas aplicadas nas vigas:
Peso Próprio
	Considera-se uma carga linear uniformemente distribuída sobre todo o comprimento da viga dada pela equação:
Alvenarias
	Quando existir alvenarias sobre as vigas, no ponto em que estão em contato, calcula-se o peso da alvenaria como uma carga linear uniformemente distribuída dado pela fórmula:
Ações das lajes, vigas e pilares
	A carga da laje sobre a viga é o valor da reação de apoio das lajes; em caso de apoios indiretos, a viga principal recebe uma carga concentrada de valor igual à reação de apoio da viga secundária; pilares que nascem são apoiados em vigas que, por sua vez, recebe uma carga concentrada igual a força normal do pilar.
Exemplo: Viga 201 (15 x 40 cm)
201a
201b
Exemplo: Viga 207 (15 x 40 cm)
207
DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE DAS VIGAS
VIGA 201
VIGA 207
MEMORIAL DE CÁLCULO E REPRESANTAÇÕES GRÁFICAS DAS ANÁLISES E CORREÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES DAS VIGAS 
Item a
	Segundo a NBR 6118, não podem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se houvesse engasgamento perfeito. 
Exemplo: Viga 201 (15 x 40 cm)
DCL DA VIGA 201
	Dividindo a estrutura e supondo o engasgamento perfeito: 
Primeiro tramo
Segundo tramo
	Diagramas de momento da viga 201 inteira e com engastamento perfeito para verificação do item a.
	Adota-se então o maior valor entre os momentos positivos obtidos:
Primeiro Tramo
Mp (maior valor) entre 14,6 kN.m e 9,02 kN.m
Mp = 14,6 kN.m
Segundo Tramo
Mp (maior valor) entre 17,5 kN.m e 10,03 kN.m
Mp = 17,5 kN.m
Item b
	Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio, medida na direção do eixo da viga, for maior que a quarta parte da altura do pilar, não pode ser considerado o momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio, conforme a figura abaixo:
Exemplo: Viga 201 (15 x 40 cm)
	Portanto, não se aplica o momento negativo relacionado ao engastamento perfeito no apoio intermediário. Pode-se considerar esse resultado a todas as vigas com apoios intermediários do projeto, conforme a tabela abaixo:
Tabela 2 - Verificação da condição de análise dos momentos negativos
	VIGAS
	bint Pilar (cm)
	h Pilar (cm)
	0,25* Lpilar
	Lpilar>bint
	
	
	
	
	
	201
	20
	300
	75
	SIM
	207
	15
	300
	75
	SIM
Item c
	Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares coma viga, deve ser considerado, nos apoios externos, momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes relações:
Exemplo: Viga 201 (15 x 40 cm)
As tabelas abaixo apresenta os dados de todas as vigas do projeto e os momentos de ligação corrigidos, respectivamente.
Tabela 3 - Dados das vigas para a correção dos momentos de ligação
	VIGAS
	lef (cm)
	Medidas Pilar 1 (cm)
	Medidas Pilar 2 (cm)
	r1 (cm³)
	r2 (cm³)
	rviga (cm³)
	
	
	Altura
	Base
	Altura
	Base
	inf.
	sup.
	inf.
	sup.
	
	201a
	365
	15
	30
	15
	30
	28,12
	28,12
	112,5
	112,5
	219,18
	201b
	385
	
	
	
	
	
	
	
	
	207,8
	207
	429
	30
	15
	30
	15
	112,5
	112,5
	28,12
	28,12
	186,48
Tabela 4 - Momentos de ligação corrigidos
	VIGAS
	Meng1 (kN.m)
	Mlig1 (kN.m)
	Meng2 (kN.m)
	Mlig2 (kN.m)
	
	
	
	
	
	201
	17,5
	3,57
	20,6
	10,71
	207
	25,0
	
	25,0
	
Representações dos momentos fletores após a análises dos itens a, b, e c.
Viga V201
Viga V207
Memoriais de Cálculo das Áreas das Armaduras das Vigas
Viga V201a
P = 16,25 kn/m
d’ = 3 + 0,5 +1,25 +1 = 5,75 cm
d = d’ – h = 40 – 5,75 = 34,25 cm
Estribo = 5 mm
Área Urbana
Mdmáx = (
y = 
y = 3,1 cm
AS = = 2,00 cm²
ASmin;w = = 1,06 cm²
ASp = (0,15/100) * 15 *40 = 0,9 cm²
Pela tabela acima, temos:
Utilizar 2 barras, ASproj = 2,5 cm², 
Memorial de cálculo de verificação dos espaçamentos
20 mm
Eh 12,5 mm
1,2 *19 = 22,8 mm
Espaçamento Horizontal
Ehreal = OK
Viga V201b
P = 16,25 kn/m
d’ = 3 + 0,5 +1,25 +1 = 5,75 cm
d = d’ – h = 40 – 5,75 = 34,25 cm
Estribo = 5 mm
Área Urbana
Mdmáx = (
y = 
y = 4,12 cm
AS = = 2,65 cm²
ASmin;w = = 1,06 cm²
ASp = (0,15/100) * 15 *40 = 0,9 cm²
Pela tabela acima, temos:
Utilizar 2 barras, ASproj = 4,0 cm², 
Memorial de cálculo de verificação dos espaçamentos
20 mm
Eh 12,5 mm
1,2 *19 = 22,8 mm
Espaçamento Horizontal
Ehreal = OK
Viga V207
P = 16,25 kn/m
d’ = 3 + 0,5 +1,25 +1 = 5,75 cm
d = d’ – h = 40 – 5,75 = 34,25 cm
Estribo = 5 mm
Área Urbana
Mdmáx = (
y = 
y = 5,26 cm
AS = = 3,38 cm²
ASmin;w = = 1,06 cm²
ASp = (0,15/100) * 15 *40 = 0,9 cm²
Pela tabela acima, temos:
Utilizar 2 barras, ASproj = 4,0 cm², 
Memorial de cálculo de verificação dos espaçamentos
20 mm
Eh 12,5 mm
1,2 *19 = 22,8 mm
Espaçamento Horizontal
Ehreal = OK