Sequencias I MAT 147 2017 II

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Definic¸o˜es e exemplos
Teoremas sobre convergeˆncia de sequeˆncias
Lista de Exerc´ıcios
Sequeˆncias
por
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior
Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica-CCE
Aulas de MAT 147 - 2017
14 de Agosto de 2017
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
Definic¸o˜es e exemplos
Teoremas sobre convergeˆncia de sequeˆncias
Lista de Exerc´ıcios
Limite de uma sequeˆncia e propriedades
Definic¸a˜o 1
Uma sequeˆncia ou uma sucessa˜o e´ uma func¸a˜o onde o dom´ınio e´
N e cuja imagem e´ R ou Z, ou seja, f : N→ R.
Exemplos:
0; 1; 2; 3; . . . n; . . . ou 1ln 2 ;
1
ln 3 , . . . ;
1
ln n ; . . .
Notac¸a˜o:
a1; a2; a3; . . . an; . . . que pode ser representado por {an}∞n=1 ou
simplesmente por {an} ou (an);
Uma sequeˆncia tambe´m pode ser definida pro uma fo´rmula de
recorreˆncia. Por exemplo a sequeˆncia de Fibonacci: a1 = 1,
a2 = 1 e an = an−1 + an−2, n ≥ 3. Os primeiros termos sa˜o:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; . . . .
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
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Limite de uma sequeˆncia e propriedades
Definic¸a˜o 2
(i) Dada uma sequeˆncia (an), dizemos que o nu´mero L ∈ R e´ o
limite de (an) e escrevemos limn→∞ an = L ou (an)→ L se,
para todo � > 0, existe N tal que se n > N, enta˜o |an−L| < �;
(ii) Dada uma sequeˆncia (an), limn→∞ an =∞ ou (an)→∞ se
para cada nu´mero positivo M existe um inteiro N tal que se
n > N, enta˜o an > M.
OBS : Se a sequeˆncia (an) tem limite L, dizemos que ela e´
convergente e que converge para L. Caso contra´rio, dizemos que
ela diverge.
Prove usando a definic¸a˜o que:
(a)
(
1
n
)
→ 0;
(b)
(
n
n + 1
)
→ 1.
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
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Lista de Exerc´ıcios
Limite de uma sequeˆncia e propriedades
Propriedades das Sequeˆncias: Sejam (an), (bn) duas sequeˆncias
convergentes, isto e´, limn→∞ an = L1 e limn→∞ bn = L2. Enta˜o:
(i) limn→∞(an ± bn) = limn→∞ an ± limn→∞ bn = L1 ± L2;
(ii) limn→∞(an · bn) = limn→∞ an · limn→∞ bn = L1 · L2;
(iii) limn→∞(an/bn) = limn→∞ an/ limn→∞ bn = L1/L2, L2 6= 0;
(iv) limn→∞ k · an = k limn→∞ an = k · L1, k ∈ R;
(v) limn→∞(an)p = (limn→∞ an)p = L
p
1 , se p > 0 e L1 > 0;
Exemplo: Prove que
(
n
2n + 1
sen
pi
n
)
e´ convergente e determine
seu limite.
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
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Teoremas sobre convergeˆncia de sequeˆncias
Lista de Exerc´ıcios
Teorema da Substituic¸a˜o: Se limx→∞ f (x) = L e f (n) = an
quando n ∈ N, enta˜o limn→∞ an = L, com L ∈ R, L =∞ ou
L = −∞.
Exemplos
(a) lim
n→∞
1
nr
= 0, r > 0, pois lim
x→∞
1
x r
= 0, r > 0;
(b) lim
n→∞
ln n
n
= 0, pois lim
x→∞
ln x
x
= 0;
(c) lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
= e, pois lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e;
(d) lim
n→∞ n
1
n = 1, pois lim
x→∞ x
1
x = 1;
Teorema do Confronto: Se an ≤ bn ≤ cn, para n > n0 e
limn→∞ an = limn→∞ cn = L, enta˜o limn→∞ bn = L.
Exemplo: A sequeˆncia
(
(−1)n
n
)
e´ convergente?
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Lista de Exerc´ıcios
Teorema: Se limn→∞ |an| = 0, enta˜o limn→∞ an = 0.
Exemplo: Podemos usar esse teorema para provar que a sequeˆncia(
(−1)n
n
)
e´ convergente.
Teorema: Se limn→∞ an = L e se a func¸a˜o f for cont´ınua em L,
enta˜o limn→∞ f (an) = f (L).
Exemplos
(a) lim
n→∞ cos(
pi
n
) = cos( lim
n→∞
pi
n
) = cos 0 = 1;
(b) lim
n→∞
√
1
n
+ 1 =
√
lim
n→∞
(
1
n
+ 1
)
=
√
1 = 1.
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Lista de Exerc´ıcios
Lista de Exerc´ıcios
Exerc´ıcios a serem resolvidos do livro: O Ca´lculo com Geometria
Anal´ıtica - Vol. II, Autor: LOUIS LEITHOLD.
Pa´gina 694 (12.1)− 1 a` 29 (´ımpares).
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