Analise_1(Sequencias)

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UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO - CAMPUS MATA NORTE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ANÁLISE REAL I
PROFESSORA: JOELMA AZEVEDO DE MOURA
SEQUÊNCIA DE NÚMEROS REAIS - AULA 4
1. Definição de uma sequência
Uma sequência de números reais é uma função que associa a cada número natural n
um número real xn, chamado o n-ésimo termo da sequência.
x : N→ R
n 7→ x(n) = xn
Utilizamos as seguintes notações para indicar a sequência cujo o n-ésimo termo é xn:
� (x1, x2, x3, · · · , xn, · · · );
� (xn)n∈N;
� (xn).
Exemplo 1: Seja x : N→ R dada por x(n) =
√
n. Então,
x1 = x(1) =
√
1 = 1
x2 = x(2) =
√
2
x3 = x(3) =
√
3
...
...
xn = x(n) =
√
n
...
...
e temos a sequência (xn) = (1,
√
2,
√
3, · · · ,
√
n, · · · ).
Observação: Não se deve confundir a sequência (xn) = (x1, x2, x3, · · · , xn, · · · ) com o con-
junto {x1, x2, x3, · · · , xn, · · · } dos seus termos. Por exemplo, a sequência (1, 1, · · · , 1, · · · )
não é o mesmo que o conjunto {1}. Ou então as sequências
(0, 1, 0, 1, · · · ) e (0, 0, 1, 0, 0, 1, · · · ),
que são distintas, mas o conjunto de seus termos é o mesmo, igual a {0, 1}.
2. Sequência limitada
Uma sequência (xn) é dita limitada superiormente quando existe c ∈ R tal que
xn ≤ c, para todo n ∈ N.
Exemplo 2: A sequência ( 1
2n
) = (1
2
, 1
4
, 1
8
, 1
16
, . . . , 1
2n
, . . . ) é limitada superiormente, pois,
para todo n ∈ N,
xn =
1
2n
≤ 1
2
.
Uma sequência (xn) é dita limitada inferiormente quando existe c ∈ R tal que
xn ≥ c, para todo n ∈ N.
Exemplo 3: A sequência (2n) = (2, 4, 8, 16, . . . , 2n, . . . ) é limitada inferiormente, pois,
para todo n ∈ N,
xn = 2
n ≥ 2.
Dizemos que uma sequência é limitada quando é limitada superior e inferiormente.
Exemplo 4: A sequência (xn) dada por xn = (−1)n tem seus termos ı́mpares iguais a −1
e seus termos pares iguais a 1, ou seja,
(xn) = (−1, 1,−1, 1, . . . ).
Logo, para todo n ∈ N temos
−1 ≤ xn ≤ 1,
e conclúımos que se trata de uma sequência limitada.
Dizer que uma sequência (xn) é limitada equivale a dizer que existe k > 0 tal que
|xn| ≤ k, para todo n ∈ N.
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3. Subsequência
Dada uma sequência x = (xn)n∈N, uma subsequência de x é a restrição da função x a
um subconjunto infinito N′ = {n1 < n2 < · · · < nk < · · · } ⊂ N.
Utilizamos as notações abaixo para indicar a subsequência x′ = x|N′:
� (xn1 , xn2 , xn3 , · · · , xnk , · · · );
� (xn)n∈N′ ;
� (xnk)k∈N.
Exemplo 5: Se olharmos novamente para a sequência (xn), dada por xn = (−1)n, e res-
tringirmos essa sequência ao subconjunto N′ = {n ∈ N | n é par}, obtemos a subsequência
(xn)n∈N′ = (1, 1, 1, . . . )
Observação 1: N′ ⊂ N é um subconjunto infinito se, e somente se, é ilimitado, isto é,
para todo n0 ∈ N existe nk ∈ N′ com nk > n0.
Exemplo 6: Dado o número real a < −1, formemos a sequência (an)n∈N. Admitindo que
N′ é o conjunto dos números pares e que N′′ dos números ı́mpares, pergunta-se:
a) As subsequências (an)n∈N′ e (a
n)n∈N′′ estão bem definidas?
b) Se a resposta do item a) for afirmativa, podemos dizer que ambas as subsequências
são limitadas?
4. Limite de um sequência
Dizemos que o número real a é limite da sequência (xn) quando, para todo número real
ε > 0, dado arbitrariamente, pode-se obter n0 ∈ N tal que todos os termos xn com ı́ndice
n > n0 cumprem a condição |xn − a| < ε.
Existindo então a ∈ R nas condições acima, escrevemos
a = limxn = lim
n→∞
xn.
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Simbolicamente, escreve-se:
a = limxn . ≡ . ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N; n > n0 =⇒ |xn − a| < ε.
Observação: Notemos que |xn − a| < ε ⇐⇒ xn ∈ (a − ε, a + ε). Sendo assim, dizer
que a = limxn significa afirmar que qualquer intervalo aberto de centro a contém todos
os termos xn da sequência, salvo para um número finito de ı́ndices n (a saber, os ı́ndices
n ≤ n0, onde n0 é escolhido em função do raio ε do intervalo dado).
Observação: Quando uma sequência possui limite, dizemos que esta é convergente. Caso
contrário, dizemos que a mesma é divergente.
Exemplo 7: Considere a sequência (xn)n∈N, com xn = 1/n. Mostre que
limxn = 0.
Teorema 1 (Unicidade do limite): Uma sequência não pode convergir para dois limites
distintos.
(A demonstração pode ser vista em Análise Real, Volume 1, 2009; página 24).
Teorema 2: Se lim xn = a, então toda subsequência de (xn) converge para o limite a.
(A demonstração pode ser vista em Análise Real, Volume 1, 2009; página 24).
Exemplo 8: Considere a sequência (xn)n∈N, cujo n-ésimo termo é xn = 1 + (−1)n+1.
Podemos afirmar que (xn) é uma sequência convergente?
Teorema 3: Toda sequência convergente é limitada.
(A demonstração pode ser vista em Análise Real, Volume 1, 2009; página 24).
Exemplo 9: Considere a sequência (xn), com xn = n. Podemos afirmar que (xn) é uma
sequência convergente?
5. Sequência monótona
Uma sequência (xn) é dita monótona quando, para todo n ∈ N, um dos casos abaixo
se verifica:
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1) xn ≤ xn+1,
2) xn+1 ≤ xn.
No primeiro caso, dizemos que (xn) é uma sequência monótona não-decrescente. Já no
segundo, dizemos que (xn) é monótona não-crescente.
Se, para todo n ∈ N, tivermos a desigualdade estrita xn < xn+1, então diremos que
a sequência (xn) é crescente. E, se xn+1 < xn, para todo n ∈ N, então (xn) será dita
decrescente.
Exemplo 10: Quanto a monotonicidade, o que se pode dizer das sequências (xn), cujo
n-ésimo termo é dado a seguir:
a) xn = n.
b) xn = 1/n.
c) xn = 0, se n é ı́mpar, e xn = 1, se n é par.
Observação: Notemos que toda sequência monótona não-decrescente é limitada inferior-
mente, enquanto que toda sequência monótona não-crescente é limitada superiormente.
Teorema 4: Toda sequência monótona limitada é convergente.
(A demonstração pode ser vista em Análise Real, Volume 1, 2009; página 25).
Corolário (Teorema de Bolzano-Weierstrass): Toda sequência limitada de números
reais possui uma subsequência convergente.
(A demonstração pode ser vista em Análise Real, Volume 1, 2009; página 25).
Exemplo 11: Segue direto do Teorema 4 que a sequência cujo n-ésimo termo é xn = 1/n
é convergente, pois a mesma é monótona decrescente e limitada.
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6. Limites e desigualdades
Iniciamos essa seção fazendo o seguinte comentário:
Dizer que os termos xn de uma sequência satisfazem uma propriedade P “para todo n
suficientemente grande” equivale a afirmar que “existe n0 ∈ N tal que n > n0 =⇒ xn
satisfaz P.
Exemplo 1: Considere a sequência cujo n-ésimo termo é xn = 1/n. Podemos afirmar que
“para todo n suficientemente grande” os termos xn são menores que 0, 01?
Teorema 5: Seja a = lim xn. Se b < a, então tem-se b < xn, para todo n suficientemente
grande. Analogamente, se a < b, então xn < b para todo n suficientemente grande.
(A demonstração pode ser vista em Análise Real, Volume 1, 2009; página 26).
Corolário 1: Seja a = limxn. Se a > 0, então, para todo n suficientemente grande, tem-se
xn > 0 Analogamente, se a < 0, então xn < 0 para todo n suficientemente grande.
Corolário 2: Sejam a = limxn e b = lim yn. Se xn ≤ yn para todo n suficientemente
grande, então a ≤ b. Em particular, se xn ≤ b para todo n suficientemente grande, então
a = limxn ≤ b.
(A demonstração pode ser vista em Análise Real, Volume 1, 2009; página 26).
Observação: Se tivéssemos a desigualdade estrita xn < yn no Corolário 2, podeŕıamos
concluir que a < b? (Dica: Tome como exemplos as sequências xn = 0 e yn = 1/n).
Teorema 6 (Teorema do sandúıche): Se lim xn = lim yn = a e xn ≤ zn ≤ yn para todo
n suficientemente grande, então lim zn = a.
(A demonstração pode ser vista em Análise Real, Volume 1, 2009; página 27).
Exemplo 2: Considere a sequência cujo o n-ésimo termo é xn =
2cos(π/n)
n
. Mostre que
limxn = 0.
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7. Operações com limites
Teorema 7: Se lim xn = 0 e (yn) é uma sequência limitada (convergente ou não) então
lim(xn · yn) = 0.
(A demonstração pode ser vista em Análise Real, Volume 1, 2009; página 27).
Exemplo 3:Considere a sequência cujo o n-ésimo termo é xn =
sen(n)
n
. Mostre que
limxn = 0.
Observação: Estejamos atentos às hipótese do Teorema 7, pois se limxn = 0, mas (yn)
não é limitada, o produto xn · yn pode divergir (Tome como exemplo xn = 1/n e yn = n2).
Ou pode ainda o produto xn · yn convergir para um valor qualquer (Tome xn = 1/n e
yn = c · n).
Teorema 8: Se lim xn = a e lim yn = b, então:
1. lim(xn ± yn) = a± b.
2. lim(xn · yn) = a · b.
3. lim
xn
yn
=
a
b
, se b 6= 0.
(A demonstração pode ser vista em Análise Real, Volume 1, 2009; página 27).
Teorema 9: Suponha que xn > 0 para todo n ∈ N e que lim(xn+1/xn) = a < 1. Então
limxn = 0.
(A demonstração pode ser vista em Análise Real, Volume 1, 2009; página 28).
Exemplo 4: Utilize o Teorema anterior para concluir que lim
n→∞
nk
an
= 0, se a > 1 e k ∈ N.
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8. Limites infinitos
Dada uma sequência (xn), dizemos que “o limite de xn é mais infinito”, e escrevemos
limxn = +∞,
para significar que, dado arbitrariamente A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica
xn > A.
Analogamente, dizemos que “o limite de xn é menos infinito”, e denotamos por
limxn = −∞,
quando, para cada A > 0 dado, podemos achar n0 ∈ N tal que n > n0 =⇒ xn < −A.
Observação 1. Queremos enfatizar os seguintes pontos:
I) Os śımbolos +∞ e −∞ não são números.
II) Se limxn = +∞ e lim yn = −∞, as sequências (xn) e (yn) não são convergentes.
Observação 2. Como consequência da definição acima, temos que
limxn = +∞ se, e somente se, lim(−xn) = −∞.
Sendo assim, limitaremos nossos comentários ao primeiro caso.
Exemplo 1. Consideremos a sequência (xn), cujo termo geral é dado por xn = n
2. Mostre
que limxn = +∞.
Observação 3. Se limxn = +∞, então a sequência (xn) não é limitada superiormente.
No entanto, a rećıproca dessa afirmação é falsa, ou seja, (xn) ilimitada superiormente não
implica, necessariamente, em limxn = +∞.
O exemplo abaixo mostra o que acabamos de afirmar na Observação 3.
Exemplo 2. A sequência dada por xn = n + (−1)nn é, como podemos ver, ilimitada
superiormente, porém, não se tem limxn = +∞, pois x2n−1 = 0 para todo n ∈ N.
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Observação 4. A rećıproca da afirmação feita na Observação 3 é verdadeira se a sequência
ilimitada superiormente é também não-decrescente. Em outras palavras, se (xn) é uma
sequência não-decrescente, então (xn) ilimitada implica limxn = +∞.
Exemplo 3. Dado a > 1, a sequência (a, a2, a3, . . . , an, . . . ) é não-decrescente e ilimitada
superiormente. Logo, lim an = +∞.
Teorema 1. (1) Se limxn = +∞ e (yn) é ilimitada inferiormente, então lim(xn+yn) =
+∞.
(2) Se limxn = +∞ e existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ N, então lim(xnyn) =
+∞.
(3) Se xn > c > 0, yn > 0 para todo n ∈ N e lim yn = 0, então lim
xn
yn
= +∞.
(4) Se (xn) é limitada e lim yn = +∞, então lim
xn
yn
= 0.
Demonstração. A demonstração do teorema acima pode ser vista no livro (Análise Real,
Volume 1, Elon Lages Lima), Caṕıtulo 3, página 31.
Observação 5. As hipóteses feitas nas diversas partes do Teorema 1 têm por objetivo
evitar algumas das chamadas “expressões indeterminadas”.
I) No item (1) procura-se evitar a expressão +∞ − ∞. De fato, se limxn = +∞ e
lim yn = −∞ nenhuma afirmação geral pode ser feita sobre lim(xn + yn), pois,
a) Este limite pode não existir como no caso em que xn = n + (−1)n e yn = −n.
b) Pode ser igual a +∞ se xn = 2n e yn = −n.
c) Pode assumir um valor arbitrário c ∈ R se, por exemplo, xn = n+ c e yn = −n.
Por causa desse comportamento errático, dizemos que +∞−∞ é uma expressão
indeterminada.
II) Nos itens (2), (3) e (4), as hipóteses feitas excluem os limites do tipo 0 ×∞, 0
0
e
∞
∞
, respectivamente, os quais constituem expressões indeterminadas no sentido que
acabamos de explicar.
III) Outras expressões indeterminadas frequentemente encontradas são ∞0, 1∞ e 00.
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Os limites mais importantes da Análise quase sempre se apresentam sob a forma de
uma expressão indeterminada. Por exemplo, o número
e = lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
é da forma 1∞. E como veremos mais adiante, a derivada é um limite do tipo
0
0
.
Observação 6. Se k ∈ N e a > 1 é um número real, então
lim
n→∞
nk = lim
n→∞
an = lim
n→∞
n! = lim
n→∞
nn = +∞.
No entanto, como
lim
n→∞
nk
an
= lim
n→∞
an
n!
= lim
n→∞
n!
nn
= 0,
segue-se que para valores muito grandes de n temos
nk � an � n!� nn,
onde o śımbolo � quer dizer “é uma fração muito pequena de” ou “é insignificante diante
de”.
Devido a Observação 6 dizemos que o crescimento exponencial supera o polinomial,
o crescimento fatorial supera o exponencial com base constante, mas é superado pelo
crescimento exponencial com base ilimitadamente crescente. Por outro lado, o crescimento
de nk (mesmo quando k = 1) supera o crescimento logaŕıtmico, como mostraremos no
exerćıcio abaixo.
Exerćıcio 1. Mostre que
lim
n→∞
log n
n
= 0.
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